渐开线齿轮变位系数选择的新方法.pdf

渐开线齿轮变位系数选择的新方法渐开线齿轮变位系数选择的新方法 变位齿轮设计的关键问题是正确地选择变位系数，如果变位系选择得当，可 使齿轮的承载能力提高 2030；假若变位系数选择不当，反而可能降低齿轮的 承载能力。 关于变位系数的选择方法，以前，人们作过大量的研究工作，世界各国也有 着自己的不同推荐，或制订了一些标准和制度。在我国，由于各行各业的不同特 点，应用变位的齿轮的情况和选择变位系数的方法也各不相同。近年来，用“封 闭图”法选择变位系数[1]、[7]得到了普遍的重视和推广，大齿形角齿轮的“封 闭图”也已制作出来并即将出版。利用“封闭图”，可以根据齿轮的传动要求， 综合地考虑各种性能指标， 比较合理地确定变位系数。 但是， 由于它的篇幅太大， 一般的机械设计手册中均不推荐它， 而推荐一些较简单的篇幅小的选择变位系数 方法。 本文提出的选择变位系数方法，是根据齿轮的破坏情况，抓住主要矛盾，并 以“封闭图”作为研究工具而得出的。为了说明本方法的优点，笔者还将它与国 内应用得较多的一些变位系数选择方法（如西德标准 DIN3992[9]、瑞士标准 VSM15525[4]、苏联的 B.H.库德里也夫切夫选择变位系数方法[7]、英国的 N. E. 曼里特选择变位第数方法[8]以及“封闭图”法等）进行了全面的分析和比较， 本方法具有下列优点在满足限制条件下，它配凑中心距的范围大，可以很方便 地确定啮合角的数值，并能按最大啮合角和等滑动率选择变位系数、方法简单， 使用方便，篇幅小等。 一、选择变位系数的基本原则 为了提高齿轮传动的承载能力， 必须分析各种齿轮传动的失效原因及破坏方 式，找出主要矛盾，从而确定选择变位系数的基本原则。 1.对于润滑良好的软齿面（HB350）的闭式齿轮传动，一般认为其主要危险 是在循环应力的作用下齿根的疲劳裂纹逐渐扩展而造成齿根折断。但是， 实际 上也有许多硬齿面齿轮传动因齿面点蚀剥落而失去工作能力的。因而。对这种齿 轮传动，仍应尽量增大传动的啮合角α（即尽量增大总变位系数ξ∑），这样不 仅可以提高接触强度，还能增大齿形系数y值，提高齿根的弯曲强度。必要时还 可以适当地分配变位系数，使[σ]W1y1[σ]W2y2，即达到两齿轮的齿根弯曲强度大 致相等。 3.对于开式齿轮传动，由于润滑不良，且易落入灰尘成为磨料，故极易产生 齿面磨损而使传动失效。为了提高齿轮的耐磨损能力，应增加齿根厚度并降低齿 面的滑动率。 这也要求采用尽可能大的啮合角的正传动， 并合理地分配变位系数， 以使两齿轮齿根处的最大滑动率接近或相等（即ηη “）。 4.对于高速或重载的齿轮传动，易产生齿面胶合破坏而使传动失效。除了应 在润滑方面采取措施外，应用变位齿轮时，也应尽可能减小其齿面的接触应力及 滑动率，因而它也要求尽量增大啮合角α，并使ηη “ 综上所述，虽然由于齿轮的传动方式、材料和热处理的不同，其失失效的形 式各异， 但为了提高承载能力而采用变位齿轮时， 不论是闭式传动还是开式传动， 硬齿面还是软齿面，一般情况下，都应尽可能地增大齿轮传动的啮合角α（即增 大总变位系数ξ∑），并使齿根处的最大滑动率接近或相等（即ηη “）。 二、选择变位系数的限制条件 1. 几何条件 一对变位齿轮传动，要实现无侧隙啮合，就必须满足下式 即 式中ξ1、ξ2---分别为齿轮Z1、Z2的变位系数； ξ∑---总变位系数，； Z∑---齿数和；Z∑Z1Z2； α---啮合角； α0---刀具的齿形角。 图 1 ξ∑为α和Z∑的函数，当给定α，如α＝19,20,21⋯⋯等，即可求得 如图 1 的ξ∑---Z∑曲线，这就是一对变位齿轮所必须满足的几何条件。 从图 1 可以看出，对于一定的Z∑，只要给定啮合角α，即可求得相应的ξ∑。 而根据前述选择变位系数的基本原则，为了提高齿轮的承载能力，应该尽量增大 啮合角α；但是，α大到一定数值后，将会使重合度ε17 时，若在折 线ABCD上选取ξ∑，其重合度ε都大于 1。2。 4. 保证齿轮啮合时不干涉 一齿轮的齿顶与另一齿轮根部的过渡曲线接触时，将产生过渡曲线干涉。对 于齿条型刀具加工的齿轮，小齿轮根不产生干涉的条件是 大齿轮齿根不产生干涉的条件是 对于一定齿数的齿轮付（即Z1、Z2一定），将公式（5）及（5）对变位系 数求解，即可作出如图 4 的干涉限制曲线①和②。在该图中，ηη “曲线与大 齿轮的干涉限制线②的交点D大都在它与ε＝1.2 曲线的交点B之外，不必考虑它 的影响，而ηη “曲线与小齿轮的干涉限制线①的交点为C，若在C点外面的阴 影区内选取变位系数ξ∑C＝ξ1Cξ2C，齿轮将产生啮合干涉。所以，在C点选取 变位系数是不产生啮合干涉的极限情况。 图 4 对于不同齿数的齿轮付，ηη “曲线与小齿轮的干涉曲线的交点C （即ξ ∑C） 是不同的。图 5 为ξ∑B──Z∑的变化曲线。为了保证各种齿数的齿轮付都不产生 干涉，我们规定啮合角不得小于 1830（对于α0＝20的齿轮），ξ∑不得小 于-0.4（如图 5 中的折线EFGH）。 图 5 5. 保证有必要的齿顶厚 变位系数越大，齿轮的齿顶厚Se越小，为了保证齿轮的齿顶强度，一般要求 Se≥0.25～0.4m。 齿顶厚Se按下式计算 根据对Se＝0.4m线的分析，当满足前述各项限制条件选取总变位系数，并按 ηη “原则分配变位系 数时，就可以保证Se＝0.4m，不必再进行验算。* 6. 用标准滚刀加工时，轮齿不完全切削的限制 滚刀加工齿轮时，齿轮的齿形是由刀具齿廓在其啮合NB上范成出来的。如图 6 所示，当轮齿转出其齿顶与啮合线的变点B时，齿形应该加工完了。因而滚刀 的螺纹部分长度l必须大于 2BC。而BCResinαe-α0,故应有 lDesinαe-αe；否则轮齿将产生不完全切削现象。 图 6 考虑到滚刀齿顶厚度的规定，为了避免不完全切削现象，必须满足下式 可以从齿轮刀具标准中查出不同模数的滚刀的螺纹部分长度l，即当模数一 定时，公式（7）左端的数值是一定的。而该式右端的数值则与齿轮的齿数Z和变 位系数 ξ有关，当齿数 Z一定时，变位系数ξ越大，则 Desinαe-αe 之值就 越大， 越易产生不完全切削。 而当变位系数一定时， 只要大齿轮Z2能满足公式 （7） ， 则小齿轮Z1也必然能满足。 根据公式（7）和齿轮刀具标准（“机标（草案）”）规定的滚刀长度，算 出了如图 11 中的模数限制线m7,⋯⋯m10 等线）**，在该模数限制线以下选 取变位系数时，用标准滚刀加工该模数的齿轮，不会产生不完全切削现象。当 m1.2～1.6 ③ u1.6～2.2 ④ u2.2～3.0 ⑤ u3.0 图 10 中的斜线①代替u1～1.2 时的各种齿轮组合的ηη “曲线； 斜线②代 替u1.2～1.6 时的各种齿轮组合的ηη “曲线；⋯⋯等等。这样，只要根据齿 数比u的大小，用图 10 中的对应斜线分配变位系数，即可保证齿轮的滑动率相等 （或接近）。 图 10 四、选择变位系数线图及应用举例 为了使用方便，将图 7 和 10 图合在一起得图 11，称为选择变位系数线图。 在该图中，由座标原点 0 向左，ξ1为正值，反之为负值。 图 11 根据以上所述的基本原理及方法， 并以大齿形角齿轮的“封闭图”为研究工 具，制作了图 12～15 的选择变位系数线图。 图 12 用于α022。5、f01 ； 图 13 用于α25、 f01； 图 12 图 13 图 14 用于α025、 f00.9 ； 图 15 用于α028、 f00.9 ； 图 14 图 15 这些选择变位系数线图的使用方法是相同的，下面仅以图 11 为例，对其用 法，举例加以说明。根据齿数和 Z∑及其它具体要求（如给定中心距或要求提高 接触强度等），在该线图右部的许用区内（阴影线以内）选择总变位系数ξ∑。 对同一Z∑，当所选ξ∑越小时，其重合度ε越大，越大（啮合角α越大）时，重 合度越小（越接近于 1.2）。 确定ξ∑之后，再根据齿数比uZ2/Z1的大小，按线图左部的五条斜线分配 变位位系数。 例某机床变速箱中的一对齿轮，Z121、Z233，m2.5,中心距70 毫米， 试选择变位系数。 解 （1）根据给定的中心距A求啮合角α ∴α＝25125“ （2）在图 11 中，由 0 点向α＝25125“作射线，它与自Z∑Z1Z2213354 处引垂线相交于A1点，A1 在许用区内，故可用。A1点的纵座标值即为所求的总变位系数，ξ∑1.12。 若精度要求高时，应根据求得的啮合角α，按照公式（1）计算ξ∑。 （3）根据齿数比uZ2/Z133/211.57，故应按线图左部的斜线②分配变位 系数。即自A1点作水平线与斜线②交于点C1，C1点的横座标值即为ξ1。 ξ10.55 ξ2ξ∑-ξ11.12-0.550.57 例 2齿轮的齿数Z117，Z2100，要求尽可能地提高接触强度，试选择变 位系数。 解为提高接触强度，应按最大啮合角选取总变位系数。在线图上，自 Z∑Z1Z217100117 处引垂线，与线图上边界线交于A2点，A2点处的啮合角（作 射线OA2即可求得啮合角的数值），即为Z∑117 时的最大许用啮合角 （α2511）。 A2点的纵座标值即为所求的ξ∑，ξ∑2.54（若需圆整中心距，可适当调整总变 位系数ξ∑）。齿数比 uZ2/Z1100/175.93.0，故应按斜线 ⑤分配变位系 数，即自A2点引水平线与斜线⑤交于c2点，c2点的横座标值即为ξ1。 ξ10.77 ξ2ξ∑-ξ12.54-0.771.77 例 3齿轮Z115，Z228，试确定高度变位系数。 解高度变位时，啮合角αα020，总变位系数ξ∑0，变位系数ξ1应根 据齿数比u的大小，由线图左部诸斜线与横座标轴（ξ∑0）的交点来确定。 齿数比uZ2/Z128/151.87，故应按斜线③与横座标轴（ξ∑0）的交点 来确定ξ1。 ξ10.23 ξ2－ξ1－0。23 五、各种选择变位系数方法的分析与比较 上述选择变位系数方法（以后简称为“线图法”），不仅适用于直齿圆柱齿 轮传动，还能用于斜齿圆柱齿轮与直齿圆锥齿轮传动，此时只要用当量齿数Zv 替线图中的齿数Z就行了。 对于齿形角α020的齿轮，目前，国内的各种设计资料中推荐的选择变位 系数方法很多，例如，发行量很大的机械零件设计手册[2]主要推荐了西德 标准 DIN3992 选择变位系数的三幅线图（以后简称“DIN3992”法）；最近修订 出版的[4]却又主要推荐了英国的曼里特变位制 （以后简称“曼里特 法”） [8]，同时，它还介绍了其它一些方法；而变齿轮应用得较多的行星减速 器部颁标准，却又是按照苏联的B.H.库德里也夫切夫提出的方法[7]（以后简称 为“库氏法”）计算变位系数的；⋯⋯如此等等。 选择变位系数的方法如此繁多，如何判断各种方法的优劣，以便择其优者而 用之呢 下面分析“线图法”的特点入手，对各种方法加以分析和比较，从而 判明孰优孰劣。 图 16 1.“线图法”配凑中心距的范围大， 既能用于角度变位， 又能用于高度变位。 如图 11 所示，“线图法”所允许的总变位系数的最大值ξ∑max3.0，最小值 ξ∑min－0.4；其啮合角可达αmax2630，αmin1830。 图 17 图 16 为DIN3992 法选取变位系数范围（不必验算的）的线图[9]，与图 11 比较，当Z∑60 后， 随Z∑的增加， ξ∑增大的范围较小， 其最大值为 2.0， 仅为“线图法”的 2/3。 它所允许的负变位的数值与“线图法”基本一样。 为了与“库氏法”进行比较， 现将“库氏法”所允许的选取变位系数的最大 值折算到图 17 上，在该图上，折线ABCD为“线图法”允许的选取变位系数的范 围，各点的位置是按照不同的小齿轮齿数及不同的齿数比，根据资料[7]所给 定的齿高缩短系数σ曲线求得的ξ∑之值。从图 17 中可以看出，“库氏法”与 “线图法”所允许的最大变位系数是基本相同的。 但“库氏法”没有给出负变位 的情况，因而，其总的可以凑中心距的范围比“线图法”为小。 为了清楚起见，以Z∑145 为例，将各种方法选取变位系数的情况列于表 1 表 1 序号 方法 ξ∑maxξ∑minξ△ ∑ξ∑max-ξ∑min 备注 1 线 图 法 3.0-0.343.34 2 西德 DIN3992 法2.0-0.42.40 3 苏 联 库 氏 法2.870 2.87 取Z125 时 4 英 国曼里特 法1.0-1.02.0 需要验算 5 瑞士 VSM15525 法1.2-0.61.8 6 封 闭 图 法 3.2-0.363.56 从表中可以看出，“线图法”所能选取变位系数的范围△ξ∑，仅比“封闭 图法”小 6左右，是各种简便方法中的最大者。 因而它能配凑中心距的范围也 是各种简便方法中的最大者。 2. “线图法”可以直接查得啮核角 α 的数值。 在选取变位系数时，能够直接确定啮合角 α 的数值，这是“线图法”的另 一优点。用此法设计变位齿轮时，可以先估计两齿轮的齿数和的范围，从而初步 选定啮合角 α 的数值，进行接触强度计算，确定中心距，而后再经弯曲强度计 算确定齿轮的模数及齿数。这样不仅可以提高设计速度，更主要的是便于选择最 小的机构尺寸。 其它的选择变位系数方法，包括“封闭图法”均不能直接查得啮合角 α 的 数值，就是“库氏法”也需 用两幅图才能查出啮合角，而且它并不能简化设计步骤。 在这里应该指出， 有些选择变位系数的数字表格， 也给出啮合角α的数值 （见 资料[4]附表 4-3），但是，因它无法配凑不同的中心距，使用极不方便。此外， 还需指出， 有些选择变位系数表格存在着严重的问题， 如资料[4]的附表 9-19-3 所转引的库德里也夫切夫制角度变位系数表中 （或资料[1]附表 1～3） ， 当Z121， Z240 时， 按该表选择变位系数， 小齿轮齿根都将产生过渡曲线干涉。 例如，Z140， Z280～200）时，按该表可取ξ12.00、ξ20.349～1.21，；此时小齿轮齿根的 干涉是极为严重的。因此，对这类问题，我们必须加以分析，决不能以讹传讹， 给生产造成损失。 3.“线图法”分配变位系方法简单，并能保证齿根处的最大滑动率接近相 等， 有利于抗胶合和耐磨损。 “线图法”仅用一幅线图即可选取并分配变位系数， 而其它方法均需二幅以上的线图或用公式计算才能决定变位系数的分配。 用“线 图法”分配变位系数后，其齿根的最大滑动率如表 2 表 2 Z117、Z2100 Z125、Z250 Z115、Z242 标准齿 轮 高度变 位 角度变 位 标准齿 轮 高度变 位 角度变 位 标准齿 轮 高度变 位 角度变 位 α 20 20 251320 20 254420 20 2615 ξ10 0.39 0.76 0 0.23 0.76 0 0.32 0.65 ξ20 -0.39 1.74 0 -0.23 1.09 0 -0.32 0.92 η 18.75 1.74 0.61 2.30 1.37 0.644 155 3.177 1.042 η“1.036 1.42 0.78 1.16 1.49 0.648 1.608 2.342 0.998 │η-η“│ 17.71 0.32 0.17 1.14 0.12 0.004 153.390.835 0.044 从表 2 中可以看出（1）高度变位时，小齿轮的滑动率η比标准齿轮时减 少较多，且η与η “趋于平齐。（2） 角度变位 （α＞α 0） 时，二齿轮的滑动 率比高度变位时还能进一步减小，而且也能保证η≈η “。因此，角度变位时， 不仅使啮合角 α增大，提高了接触强度，而且二齿轮的滑动率比标准齿轮或高 度变位齿轮均小，更有利于抗胶合和耐磨损能力的提高。 “线图法”还能适应生产中提出的不同要求而选取不同的总变位系数ξ∑ （即不同的α），以配凑不同的中心距或满足重合度等方面的要求。下面以为 Z117，Z2100 为例，将各种方法选取并分配变位系数的数值列于表 3 表 3 Z117，Z2100 时，各种方法选取并分配变位系数的比较 线 图 法 西 德 DIN3392 法 苏联 库氏法 英 国 曼里特法 瑞 士 VSM15525 法 2.5 ξ1 ξ2 0.76 1.74 0.565 1.935 2.0 ξ1 ξ2 0.68 1.32 0.429 1.571 1.5 ξ1 ξ2 0.62 0.88 0.66 0.84 0.36 1.14 1.0 ξ1 ξ2 0.53 0.47 0.50 0.50 0.267 0.733 0.55 0.45 0.50 0.50 0.5 ξ1 ξ2 0.46 0.04 0.38 0.12 0.178 0.322 0.48 0.02 0.35 0.15 0 ξ1 ξ2 0.39 -0.39 0.26 -0.26 0.10 -0.10 0.41 -0.41 0.23 -0.23 -0.3 ξ1 ξ2 0.35 -0.65 0.21 -0.51 0.36 -0.66 0.14 -0.44 -1.0 ξ1 ξ2 0.27 * -1.27 * 需验算干涉。 为了清楚起见，现将表中的数值画入ξ1、ξ2的直角座标系中，并与“封闭 图”中的ηη “曲线比较，如图 18 所示。 图 18 图 19 图 20 为了对各种选择变位系数的方法进行全面的分析，现用上述同样的方法，对 不同的小齿轮齿数Z1和不同的齿数比u的齿轮付进行比较并作出如图 19～图 22 等几幅图。 图 21 图 22 图中 ①线图法 ②----DIN3992 法 ③---库氏法 ④---曼里特法 从上述几幅图的比较中可以看出 （1）不论小齿轮齿数如何，当齿数比u2 之后， 各种方法所得结果差别 较大。 （2）就各种不同的齿数比u而言，“线图法”及“曼里特法”分配的变位系 数最接近于ηη “曲线，其次为“DIN3992 法”；当u较大时，“库氏法”分配 的变位系数与ηη “曲线距离较远。 因此，用“线图法”选取并分配变位系数比其它各种方法（除封闭图法外） 都更有利于抗胶合和耐磨损。 4. “线图法”方法简单，使用方便。 要满足机械工程中的齿轮设计的需要， 应用“封闭图法”约需近 200 幅图才 行；而“线图法”只需要一幅图，其篇幅还不到“封闭图法”的 1/100；而其可 以配凑中心距的范围、提高接触强度的程度等与“封闭图法”所差无几。当然， “ 封闭图法”还考虑了节点外啮合及双齿对啮合等情况，这对于高精度的齿轮 设计是有益的，线图法没有考虑这一点。此外，“ 封闭图”中的等弯曲强度曲 线，是在一对齿轮具有相同的材料及热处理并具有相同的计算寿命时求得的。而 实际生产中，一对齿轮所用的材料及热处理多不一样，这时若仍然按其等弯曲强 度曲线选择变位系数，就可能造成大齿轮的弯曲强度低于小齿轮的不合理现象。 与几种较简单的选择变位系数方法相比，“线图法”除具有前述优点外，其方法 也更为简单，使用也更为方便。 六、结 论 1.与“ DIN3992 法”、“库氏法”、“曼里特法”、“瑞士 VSM15525 法” 以及一些数字表格法进行比较，“线图法”具有配凑中心距范围大、可直接查出 啮合角 α 的数值、更接近于等滑动率等优点；而且它比“ 封闭图法 ”的篇幅 大为缩小，又能满足齿轮设计中的一般需要，方法简单，使用方便，因此，我们 认为，在一般机械设计中，用“线图法”选取取变位系数是比较合适的。因而该 法已为一机部主编的机械工程手册所推荐。 2.应用“线图法”的基本原理作出的几种不同齿形角的齿轮的选择变位系 数线图，对大齿形角的齿轮设计提供了新的设计资料，这对机械工业的发展必将 起到一定的促进作用。