基于映射的梯度点阵结构设计方法_蔡金虎.pdf

振动与冲击 第 卷第 期 基金项目 国家自然科学基金 收稿日期 修改稿收到日期 第一作者 蔡金虎 男博士生 年生 通信作者 王春洁 女博士生导师 年生 基于映射的梯度点阵结构设计方法 蔡金虎 王春洁 北京航空航天大学机械工程及自动化学院北京 北京航空航天大学虚拟现实技术与系统国家重点实验室北京 摘要点阵结构因具有高比强度高比刚度的性能优势而在航空航天等领域具有广阔的应用前景梯度点阵 结构相比于传统的均匀点阵结构具有更优的力学性能因此提出了一种基于密度与应力映射的梯度点阵结构设计方法 该方法对结构进行拓扑优化以获取结构的单元相对密度与应力分布信息并建立单元相对密度应力与胞元支柱截面尺 寸之间的映射函数关系以确定其尺寸采用反距离加权法对单元相对密度与应力进行过滤将材料分布在结构的主要传 力路径上并提出了在结构质量不变条件下的胞元支柱尺寸控制方法所提方法建立不同体积与胞元密度的点阵结构只 需进行一次拓扑优化设计并且该方法可应用于较复杂结构的点阵化设计提升了点阵结构设计的效率所提方法已通 过数值算例验证了其可行性与有效性可推广到相关结构的轻量化设计中 关键词点阵结构增材制造胞元支柱相对密度单元应力 中图分类号 文献标志码 点阵结构因具有高比强度高比刚度的性能优势 和吸能减震的功能潜力而在轻量化设计领域具有广 泛的应用前景 同时增材制造技术采用逐层叠加 材料的方式制造零部件大大降低了点阵结构复杂 几何所带来的制造困难因此现阶段对点阵结构的研 究成为结构轻量化设计领域的热点为了提升传统均 匀点阵结构的力学性能提出一种面向增材制造的梯 度点阵结构轻量化设计方法具有重要意义 当前国内外学者对点阵结构的设计方法进行了 广泛的研究李修峰等提出了一种面向增材制造技 术的桁架结构设计方法该方法首先对结构进行拓扑 优化以获取主要传力路径并将其抽象为桁架结构然 后采用尺寸优化方法求解最佳的桁架支柱尺寸 等提出了一种周期性点阵结构设计方 法该方法首先对结构进行受力分析以选择合适的 胞元构型然后通过尺寸优化得出最佳的点阵支柱 截面半径最后对结构进行有限元分析以评估结构 的力学性能陈婷婷等分别以实体和空心杆件建 立金字塔点阵结构然后以杆件的倾斜角度截面尺 寸等为参数建立点阵结构的有限元模型并对其隔声 特性进行研究 等研究了使用 算 法的多层次自适应网格策略在拓扑优化中的应用 采用双网格系统将设计变量与有限元网格解耦以 设计梯度点阵结构 等提出了一种基于有 限元网格的点阵结构设计方法并且该方法可以在 结构自动表面生成蒙皮结构 等提出了一 种基于基结构的点阵结构设计方法该方法首先在 设计域内建立点阵基结构并赋予支柱初始尺寸值 然后对结构进行有限元分析以获取支柱的应力值 并根据支柱应力值确定支柱尺寸 等首先 将结构划分为功能体积和功能表面并进一步将功 能体积划分为设计域与非设计域然后在设计域内 生成点阵支柱框架并计算支柱与功能表面的交点 以删除结构体外的支柱该方法可应用于具有复杂 几何外形结构的点阵化设计 等提出了 一种基于有限元网格的点阵结构设计方法该方法 采用四面体单元对结构进行离散并将有限元网格 的边线作为支柱该方法通过改变胞元的体积密度 以设计出梯度点阵结构 尽管点阵结构的设计已经取得较大进展但是尚 不能完全满足实际工程需要拓扑优化技术作为一种 常用的轻量化设计方法可以在保证结构刚度的同时 最大程度的减轻结构质量点阵结构与拓扑优化在轻 量化设计方面具有各自独特的优势本文将拓扑优化 方法与点阵结构结合起来提出一种基于映射方法的 梯度点阵结构设计方法并通过算例验证了本文所提 方法的可行性与有效性 点阵结构映射原理 变密度结构拓扑优化方法 拓扑优化技术是一种常用的结构轻量化设计方 法可在最大化结构刚度的前提下降低结构的质量 然而大型三维连续体结构的拓扑优化问题仍然存在 计算效率低的问题因此很难直接通过拓扑优化进 行结构点阵化设计本文首先通过拓扑优化方 法得出结构大致的相对密度与应力分布然后建立 其与支柱尺寸之间的映射关系以确定支柱的截面 尺寸 本文采用变密度法对结构进行拓扑优化假设结 构被离散为个单元则材料弹性模量 与单元密度 之间的计算关系 为 式中 为材料初始弹性模量为惩罚因子 在材料体积约束下最小化结构柔度的拓扑优化 数学模型如式所示          式中 为结构柔度 为单元位移矩阵 为单 元充满材料时的单元刚度阵 为结构平衡方 程为结构整体刚度矩阵为结构位移矩阵为结 构所受载荷向量为优化过程中的有效体积 为设 计区域的体积为材料用量百分比体积分数 是 为了防止单元刚度矩阵奇异而引入的设计单元密度 下限 本文采用优化准则法对上述优化模型进行迭代 求解该方法收敛速度快适用于较大型结构的优化设 计优化过程中目标函数对设计变量的灵敏度为 点阵结构胞元支柱尺寸计算 点阵结构的胞元尺寸应根据设计域的尺寸与受力 情况而设定以设计出力学性能较好的点阵结构本 文将胞元尺寸与拓扑优化单元的尺寸设为相互独立的 参数以使该方法可设计出不同胞元密度的点阵结构 如图所示为采用 胞元对拓扑优化设计结果 进行填充该胞元内部含有个有限元单元常用 的六面体胞元如图所示 图拓扑优化结果与胞元映射原理 第期蔡金虎等基于映射的梯度点阵结构设计方法 图六面体胞元库 本文采用映射方法确定胞元支柱的尺寸并且所 提映射方法同时考虑单元相对密度和应力的影响本 文所提映射方法遵循以下两项原则只有处于距离胞 元支柱一定范围内的单元对支柱产生影响单元对支 柱的影响遵循反距离加权原则距离支柱较近的单元 对支柱的影响较大反之距离较远单元的影响较小 例如图所示为反距离加权幂指数为时的作用效 果只有与中心距离小于 的单元产生影响且单 元的影响权重与距离的平方成反比因此与单元距 离相关的权重可由式计算所得 式中 为单元 的距离权重为单元与中心 的距离为与中心距离不大于 的单元总数 为 距离幂指数该距离权重与单元灵敏度计算相互独 立因此可在拓扑优化之前计算获得并且在整个设计 过程中只需计算一次以提升算法效率 图单元距离权重的变化规律 因此单元的密度权重为 应力较大区域的支柱应具有更大的截面尺寸为 了考虑单元应力大小对支柱尺寸的影响引入式所 示的单元应力权重系数 式中 为单元的应力权重系数 为单元的 冯米泽斯应力其值可从拓扑优化结果中提取 因此综合考虑单元相对密度与应力的影响得到 综合权重系数为 式中 为取值在 之间的实数 根据式可知计算 时需要判断对当前支柱 产生影响的单元并计算单元与支柱之间的距离如 图所示 为拓扑优化结果的有限元单元 的中心 为支柱的端 点则可得单元与支柱之间的距离计算式为        图单元与支柱距离计算 式中 和 分别为支柱端点到单元中心的向 量且为向量点积结果 式式中 式中 为支柱的长度 槡 当满足式时则可判定该单元对当前支柱截 面计算产生影响 联立式 式即可求出拓扑优化结果的单元对 当前支柱的权重大小进而可得支柱的体积权重为 振 动 与 冲 击年第卷 式中 为与支柱计算相关的有限元单元总数 设定点阵结构的总体积为 则每根支柱的体 积为 式中 为支柱的材料体积 为点阵结构中的 支柱总数 本文中采用圆柱形支柱则可得支柱的截面尺 寸为 点阵结构胞元支柱尺寸控制 增材制造技术的迅猛发展降低了具有复杂几何 构型的点阵结构的制造难度然而增材制造技术仍 然存在一定的制造约束如选区激光融化成形技术 受激光光束大小与粉 末大小的约束其存在所能制造的最小尺寸为 了保证设计结果的可制造性需对点阵结构支柱的 最小尺寸进行控制假设所采用的增材制造方法所 能制造的最小支柱尺寸为 则支柱的截面尺寸 需满足 如果通过映射方法计算所得的支柱尺寸小于该最 小尺寸约束值即 则令 对点阵结构中所有截面尺寸小于 的支柱进行 尺寸调整则这些支柱所增加的总体积为 式中 为点阵结构中支柱截面尺寸小于 的支柱 总数 为了保持点阵结构的材料总体积保持不变支柱 增加的体积 需要从截面尺寸大于 的支柱按比例 缩减所得每根支柱所减少的体积与其权重有关 式中 为支柱需要减少的体积 为点阵结构 中截面尺寸大于 的支柱总数 重复以上步骤直到满足终止条件 综上所 述支柱尺寸调整的流程如图所示 图点阵结构支柱尺寸控制流程 数值验证 四旋翼飞行器支撑臂结构设计 为了验证上述方法的有效性建立如图所示的 四旋翼飞行器支撑臂结构该结构由受力孔固定孔 和两者之间的连接部分组成为了保证结构的可靠性 将结构的约束与载荷作用位置设为非设计域中间连 接部分设为设计域结构所用材料的弹性模量 密度为 泊松比 设定惩罚因子 体积分数 在给定的受力条 件下采用变密度法对结构进行拓扑优化设计所得结 果如图所示图 所示为结构的主要传力路径 其单元密度阈值设置为 图为相对密度分布 信息由图可知密度较大单元分布在主要传力路径上 且大密度单元主要分布在结构表面 悬臂梁结构的受力形式为压缩载荷采用如图 所示的拉伸与压缩主导型胞元 对结构设计域 进行填充设定参数 设计 域的质量为 且胞元尺寸为 第期蔡金虎等基于映射的梯度点阵结构设计方法 则设计所得的点阵结构如图所示该点阵结构胞元 密度较大共含有 个支柱 图四旋翼飞行器支撑臂结构 图拓扑优化结果 图点阵结构设计结果 为了说明所设计的点阵结构支柱尺寸是梯度变化 的作出如图 和图中所示个剖切面上的点 阵结构支柱截面尺寸变化云图分别如图 图 图 图 所示从图中可以看出点阵结构 支柱的截面尺寸是梯度变化的对比图可知主要传 力路径上的支柱截面尺寸较大结构内部的支柱截面 尺寸则相对较小点阵结构的支柱截面尺寸分布规律 与图中所示的拓扑优化结果相对密度分布一致说 明了本文所提方法延续了拓扑优化结果的主要传力路 径结构材料得到合理的利用设计出支柱截面尺寸梯 度变化的梯度点阵结构 图剖切面上的点阵结构支柱截面尺寸云图 为了验证本文所提方法的对点阵结构力学性能的 提升建立与梯度点阵结构胞元尺寸和结构质量相同的 均匀点阵结构并对两种点阵结构在相同受力情况下的 结构刚度进行分析如图为胞元尺寸为 的梯度点阵结构与均匀梯度点阵结构 同时为了分析胞元尺寸对点阵结构力学性能的影响 改变胞元尺寸建立不同胞元密度的点阵结构并对点 阵结构的力学性能进行分析所得分析结果如图 示图所有的点阵结构质量均为 从图中可 以看出点阵结构的刚度与胞元尺寸之间成正相关关 系并且通过本文方法建立的梯度点阵结构其力学性 能优于传统的均匀周期点阵结构说明了本所提方法 的有效性 图梯度点阵结构与均匀点阵结构 振 动 与 冲 击年第卷 如图所示为不同取值对设计结果的影响由 图可知 时结构刚度最大即同时考虑单元密度 与应力并且两者权重相等时结构力学性能最好 图梯度点阵结构与均匀点阵结构力学性能对比 图系数权重对结构性能的影响 缓冲吸能结构设计 薄壁金属圆管因其高吸能性而成为一种广泛使用 的缓冲吸能元件如为了保证电梯运行的安全性通常 在电梯轿厢底部安装有铝合金圆管以吸收电梯意外坠 落时产生的能量如图 所示为某型电梯的铝合 金薄壁圆管缓冲吸能结构示意图铝合金圆管通过 塑性变形吸收冲击能量本节将采用上文方法设计点 阵结构缓冲材料以获得更优的缓冲吸能特性铝合金 管的材料为 其弹性模量 泊松比 密度 铝合金圆管缓冲材料 的质量为 图铝合金圆管缓冲材料 为了分析铝合金圆管的吸能性能首先在有限元 分析软件 中建立铝合金圆管的有限元模型如 图所示有限元模型由铝合金管压头和支撑 板组成压头和支撑板均采用刚性板模拟支撑板在 准静态分析中完全固定压头以一定速度向下运动对 铝合金管进行压缩刚性板与铝合金圆管之间采用面 面接触算法并设定接触摩擦因数为 采用自 接触算法模拟铝合金圆管在压溃过程中各部分之间可 能出现的接触并设定铝合金管的压缩行程为 在压头上设置参考点以输出缓冲材料的压缩长度同 时在支撑板上设置参考点以输出压缩过程中的支反力 作为缓冲材料所受的外力 然后采用本文所提方法设计点阵结构缓冲材料 为了便于比较保持点阵结构的质量和外形尺寸与铝 合金管相同即点阵结构的初始设计域为底面半径为 高度为 质量为 的实心圆柱 该实心圆柱的受力形式可简化为上表面承受均布压力 载荷下表面固定设定材料体积分数为 密度 法的惩罚因子 在给定的受力条件下进行拓扑优 化所得结果如图所示图 为相对密度阈值 为 的显示结果即不显示相对密度小于 的单 元图 为 截面内的单元相对密度分布从图 图 中可以看出圆柱结构的传力路径并 且相对密度较大的单元沿力的主要传力路径分布图 图分别为圆柱结构上表面 的米泽斯 应力与相对密度分布云图可知应力分布与密度分布 云图并不相同图 面外圈区域的单元相对密 度最大而图中相同区域的单元应力并未达到 最大值 图拓扑优化设计结果 第期蔡金虎等基于映射的梯度点阵结构设计方法 由于缓冲材料主要承受轴向压缩载荷可采用 与算例相同的 胞元对结构设计域进行填充 在本算例中首先采用六面体单元对圆柱体设计域 进行离散然后根据选定的胞元结构将六面体单元 的顶点相连以建立点阵结构框架如图 所示 设定点阵结构参数 设 置点阵结构质量与铝合金管质量相同可得如图 所示的点阵结构该点阵结构共有个胞 元 根支柱 图点阵结构缓冲材料 之后建立点阵结构的有限元模型其接触模型与 边界条件与图所示的模型相同分别对铝合金 圆管和所设计的点阵结构进行压缩过程的仿真分析 得到两种缓冲材料的压缩过程如图所示同时输出 力位移曲线对比结果如图所示点阵结构在压缩过 程中具有更大的缓冲力对力位移曲线进行积分可 得缓冲材料变形过程所吸收的能量经计算可知铝 合金管吸收的能量 点阵结构吸收的 能量为 点阵结构吸收的能量相比于 铝合金管有很大幅度提升说明采用本文方法建立的 点阵结构吸能性能更优 图铝合金管缓冲材料与点阵结构缓冲 材料压缩形变过程 图铝合金管缓冲材料与点阵结构缓冲 材料的轴向压缩力位移曲线 结论 本文提出一种基于映射的点阵结构设计方法该 方法通过拓扑优化获取结构内部的相单元对密度与应 力分布信息并建立单元密度应力值与支柱尺寸之间 的映射关系以确定尺寸值本文所提的点阵结构设计 方法具有以下优点 建立不同体积与胞元尺寸的点阵结构只需 要进行一次拓扑优化计算效率较高 通过相对密度与应力映射确定支柱尺寸将 材料分布在主要传力路径上可以设计出性能较好的 梯度点阵结构 所提方法考虑了胞元支柱的最小尺寸限制 保证了所设计结果的可制造性 本文的算例表明所提方法建立的梯度点阵结构 的力学性能比传统均匀周期点阵结构有较大幅度的提 升同时也可设计出具有优异吸能性能的点阵结构说 明了本文方法的有效性本文的研究方法拓展了点阵 结构的设计理论还可推广到其他结构的轻量化设 计中 参 考 文 献 郭锐南博华周昊等点阵金属夹层结构抗侵彻实验 研究 振动与冲击 朱凌雪王同银朱晓磊基于梯度化因子功能梯度点阵 夹层结构优化设计 振动与冲击 振 动 与 冲 击年第卷 姜世杰 孙宁宁等振动利用对 薄板 机械性能的影响研究 振动与冲击 李修峰高令飞王伟等一种面向增材制造技术的桁 架式支架结构设计方法 宇航学报 陈婷婷刘杰谭栋国等金字塔型空心点阵结构的隔 声特性研究 振动与冲击