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一种基于强度折减法的自适应安全系数算法研究 ① 伍礼杰， 邓红卫， 张亚南 （中南大学 资源与安全工程学院， 湖南 长沙 ４１００８３） 摘 要 在系统分析 ＦＬＡＣ３Ｄ５．０ 内置安全系数算法的求解机制和不足的基础上，根据失稳状态下求解不平衡力比率时步曲线的变 化规律，基于更小分析单位的系统失稳状态判定机制，提出了自适应安全系数算法及其计算流程，并进行了验证。 研究结果表明 自适应安全系数算法的求解结果准确可靠；相比内置安全系数算法，自适应安全系数算法能够显著提高安全系数的计算效率，并且 随着模型网格密度增加，自适应安全系数算法计算效率优势更加明显。 关键词 边坡稳定性； 安全系数； 强度折减法； 数值计算 中图分类号 ＴＵ４５７文献标识码 Ａｄｏｉ１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３－６０９９．２０２０．０１．００６ 文章编号 ０２５３－６０９９（２０２０）０１－００２７－０６ Ａｎ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｆａｃｔｏｒ ｏｆ Ｓａｆｅｔｙ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ＷＵ Ｌｉ⁃ｊｉｅ， ＤＥＮＧ Ｈｏｎｇ⁃ｗｅｉ， ＺＨＡＮＧ Ｙａ⁃ｎａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｓａｆｅｔｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８３， Ｈｕｎａｎ， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ ｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｙ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂｕｉｌｔ ｉｎ ＦＬＡＣ３Ｄ５．０， ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｌａｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｂａｌａｎｃｅｄ ｆｏｒｃｅ ｒａｔｉｏ ｖｓ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｉｎ ａｎ ｕｎｓｔａｂｌｅ ｓｔａｔｅ． Ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｓａｆｅｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｒｅ ａｌｌ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｓｔａｔｅ ｗｉｔｈ ｓｍａｌｌｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕｎｉｔ． Ａｎｄ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｉｓ ｔｈｅｎ ｖａｌｉｄａｔｅｄ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｏ ｂｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｎｄ ｒｅｌｉａｂｌｅ， ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｃａｎ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ ＦＬＡＣ３Ｄ５．０． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｅ ａｄａｐｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓａｆｅｔｙ ｆａｃｔｏｒ ｗｉｌｌ ｍａｎｉｆｅｓｔ ａｎ ｅｖｅｎ ｇｒｅａｔｅｒ ａｄｖａｎｔａｇｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ； ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｓａｆｅｔｙ； ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ； ｎｕｍｅｒａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ 稳定性分析是边坡工程建设、评估、治理中的重要 内容，目前主要通过理论计算、试验研究和数值模拟等 方法进行研究，其中利用强度折减法计算安全系数是 目前最常用的数值模拟方法之一。 保证安全系数计算 准确的关键是精准判定边坡的状态，目前在边坡稳定 性分析中常使用潜在破坏面贯通［１－２］、特征点位移突 变［３］、能量突变［４－６］和数值计算不收敛［７］作为边坡失 稳的判据，但前 ３ 种判据对边坡临界状态的判定依赖 在折减系数等增量变化下对判据变化的观察，且贯通 塑性区发展部位的判断依赖于人的经验，在事先不能 确定安全系数范围的情况下要想获得高精度的解，计 算过程繁杂、效率低，即使采取增量细化搜索策略［８］ 进行优化，其计算量也非常庞大。 数值计算不收敛判 据的生效并不依赖折减系数等增量变化下某些观测量 表现出的突变性和渐变贯通性，并能通过交叉二分法 提高安全系数的搜索效率，使用方便且计算效率较高， 因此在大型数值计算中具有良好的实用性。 基于数值 计算不收敛判据，许多研究通过各种方法来提高算法 效率［９－１２］，这在一定程度上对强度折减安全系数算法 的搜索区间、搜索机制、初始应力状态回归等方面进行 了优化，但对数值计算收敛判据的标准依旧采用人为 划定的收敛限值和迭代计算上限，收敛限值过大会影 ①收稿日期 ２０１９－０８－１２ 基金项目 国家自然科学基金（５１８７４３５２） 作者简介 伍礼杰（１９９４－），男，安徽合肥人，硕士研究生，主要从事边坡工程与稳定性数值分析等研究。 通讯作者 邓红卫（１９６９－），男，湖南岳阳人，副教授，博士研究生导师，主要从事岩石力学、岩土工程与地质灾害处置等方面的研究工作。 第 ４０ 卷第 １ 期 ２０２０ 年 ０２ 月 矿矿 冶冶 工工 程程 ＭＩＮＩＮＧ ＡＮＤ ＭＥＴＡＬＬＵＲＧＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｖｏｌ．４０ №１ Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０２０ 万方数据 响安全系数的准确性，过小则会提高计算收敛难度导 致计算量过大甚至无法收敛；迭代计算上限过大或过 小会导致边坡状态的误判，且过大的迭代计算上限还 会导致计算量过大。 寻找位于安全系数求解准确性和 效率两者平衡点间的迭代计算上限值需要丰富的经 验，所得结果会因人而异，故在保证安全系数计算准确 性前提下提高求解效率的关键是采用合理数值计算不 收敛判据。 本文从 ＦＬＡＣ３Ｄ内置安全系数算法（以下简称内置 算法）出发，针对内置算法的不收敛判据存在的一些 不足，通过对安全系数搜索和计算流程中的系统失稳 状态判定的优化研究，建立了一种原理简单、方便易 用、准确高效的自适应安全系数算法（以下简称自适 应算法）。 １ ＦＬＡＣ３Ｄ内置算法的机制与问题分析 １．１ 内置算法原理 ＦＬＡＣ３Ｄ内置算法采用强度折减法计算边坡的安 全系数，即不断折减材料的剪切强度以获取边坡临界 平衡状态，此时的材料折减系数即边坡稳定性安全系 数 ＦＳ，其原理的表达式为 ｃｔｒｉａｌ＝ ｃ Ｆｔｒｉａｌ （１） φｔｒｉａｌ＝ ａｒｃｔａｎ ｔａｎφ Ｆｔｒｉａｌ （２） 式中 ｃ、φ 分别为材料的粘聚力和内摩擦角；Ｆｔｒｉａｌ为折 减系数；ｃｔｒｉａｌ、φｔｒｉａｌ分别为材料强度折减后的粘聚力和 内摩擦角。 大多数工程边坡特别是失稳后亟需治理和处治后， 要求边坡的安全系数介于 ０．５～２．０ 之间，因此本文讨论 的安全系数范围为［０．５，２．０］。 ＦＬＡＣ３Ｄ５．０ 软件的内置 算法机制可以视为运用 Ｆｔｒｉａｌ搜索区间为［０．５，２．０］且首 次 Ｆｔｒｉａｌ为１．０ 的特殊二分法来逼近边坡临界状态的折减 系数，其典型的求解流程如图 １ 所示，具体步骤如下 １） 初始计算条件设置，包括材料本构关系、性质 和模型边界条件等参数的设置，重力加速度的施加等。 ２） 初始平衡计算，生成初始地应力，并对数值计 算产生的变形位移、变形速度和塑性屈服区进行归零 处置，获得模型初始应力状态文件。 ３） 系统特征响应时步 Ｎｒ的计算，以摩尔⁃库仑本 构模型为例，此计算过程的实质是给模型粘聚力和抗 拉强度一个极大值，使系统内部应力状态产生巨大变 化，默认给系统应力状态一扰动因子为 ２ 的扰动，计算 系统将历经多少时步回归平衡，这个时步值即为 Ｎｒ， 反映系统的求解计算难度。 ;,A/;994 **;A4D0 FOSInitial.f3sav *;8/0;FS -/ -/ 912,7, -8,C0;Ftrial0.5v1v2 ;*9D1.0 ,9*;D0 FOSInitial.f3sav -v2Ftrial/;D0 FOSUnstable.f3sav -v1Ftrial/,D0 FOSStable.f3sav , 图 １ 内置算法典型流程 ４） 采用交叉法猜测强度折减系数 Ｆｔｒｉａｌ的上下限 值［ｖ１，ｖ２］，并用二分法不断试算逼近模型临界状态的 ＦＳ。 每经过 Ｎｒ时步的强度折减迭代计算都会进行系 统状态判定，当不平衡力比率小于收敛限值 Ｒｄ（软件 默认为 １．０１０ －５ ）时，则认为数值计算结果收敛，系统 状态是稳定的，更新稳定状态文件 ＦＯＳＳｔａｂｌｅ．ｆ３ｓａｖ。 当某次迭代计算 Ｎｒ时步后系统的平均力比率的变化 量小于 １０％或者其变化量一直大于 １０％但迭代时步 超过 ６Ｎｒ，都认为数值计算结果不收敛，系统处于失稳 状态，更新失稳状态文件 ＦＯＳＵｎｓｔａｂｌｅ．ｆ３ｓａｖ。 以上条 件都不符合时，系统处于未确认状态，进入下一轮 Ｎｒ 时步的迭代计算，直到满足条件后才会退出强度折减 迭代计算。 ５） 当强度折减系数的上下限的差值满足求解精 度要求时（默认为 ｖ２ －ｖ １＜０．００５ ｖ１ ＋ｖ ２ ２ ），则跳出参数试算 循坏，获得安全系数 ＦＳ，反之继续采用二分法获得新 ８２矿 冶 工 程第 ４０ 卷 万方数据 的 Ｆｔｒｉａｌ进行强度折减计算，不断缩小 Ｆｔｒｉａｌ的取值范围。 １．２ 内置算法存在的问题分析 ＦＬＡＣ３Ｄ５．０ 内置算法的本质是传统强度折减法， 虽然有着众多优点，但在计算边坡安全系数时依旧存 在有待改进之处，比如对粘聚力和内摩擦角的同比例 折减策略并不完全符合实际边坡失稳破坏过程中粘聚 力和内摩擦角的变化［１３－１４］，边坡失稳状态难以精准判 定等。 图 ２ 为内置算法计算过程中不平衡力比率和折 减参数的时变曲线，可以看出在时步（６．５～１３）１０４计 算阶段的三次强度折减中，计算结果不再收敛，但算法 并不能及时精准识别这一系统状态。 结合内置算法的 求解流程分析可知，以特征响应时步 Ｎｒ作为分析单位 过于保守，对系统失稳状态的识别度较低，在采用不平 衡力比率判定系统状态时，无法及时有效识别系统失 稳状态使得求解时间变长，效率变低，尤其对于尺寸 大、网格密度高和工况复杂的大型数值模型计算，安全 系数求解时间会随着求解难度的提高明显变长，而且 限于软件权限，内置算法无法对边坡折减过程进行连 续监测以及在大变形模式下计算安全系数。 0;Ftrial 8/4;9 C0;Ftrial 2,* 1.63 1.62 1.61 1.60 101214 图 ２ 某例内置算法求解不平衡力比率及折减系数时变曲线 ２ 自适应算法的机制与实现 ２．１ 自适应算法的求解机制 根据上述分析可知 ＦＬＡＣ３Ｄ内置算法求解效率较 低是因为计算过程中对系统失稳状态的判定比较保 守，不能充分利用强度折减迭代计算结果中蕴含的信 息，常存在已经可以判断系统处于失稳状态但软件仍 继续计算的情况。 本文在进行这种数值计算时发现所 有的失稳状态下的不平衡力比率时变曲线都符合前期 迅速下降、后期平稳波动的规律，具体如图 ３ 所示。 可 以看出Ⅰ区域曲线下降速度快、幅度明显，计算收敛迅 速，Ⅱ区域曲线在某一稳定值上下波动，但变化幅值极 小，一般而言整个计算周期不平衡力比率最小值会出 现在这一区域，Ⅲ区域曲线以极缓极小幅度上升，表明 数值计算不再收敛，系统失稳。 0A/;994 ,9*;A4D[v1 , v2 ] D../4; D199 ; , 9;FS -/ -/ 912,7, 图 ４ 自适应算法典型流程图 ０３矿 冶 工 程第 ４０ 卷 万方数据 ３ 自适应算法的验证与分析 ３．１ 自适应算法的可靠性验证 为对比内置算法与自适应算法在求解结果上的 差异和求解效率上的优劣，参考文献［１５］中的模型 数据和参数设置了 ４ 个具有代表性的边坡模型来进 行对比分析，其边坡具体尺寸如图 ５ 所示，模型宽度统 一取 ５．０ ｍ，其材料参数如表 １ 所示，安全系数都处于 ［０．５，２．０］区间内。 30 m 30 m 20 m 40 m 95 m a 30 m 40 m 20 m 40 m 95 m b 30 m 50 m 20 m 40 m 95 m c 30 m 60 m 20 m 40 m 95 m d 图 ５ ４ 种边坡网格构形 表 １ 材料参数 密度 ／ （ｋｇｍ －３ ） 体积模量 ／ ＭＰａ 剪切模量 ／ ＭＰａ 粘聚力 ／ ｋＰａ 内摩擦角 ／ （） 抗拉强度 ／ ＭＰａ ２．５８．３３３４．８４６４２２７０．１ 建模时采用 Ｍｉｄａｓ ＧＴＳ ＮＸ 进行网格划分，网格类 型为四面体＋六面体的混合网格，网格尺寸为 １．０ ｍ， 模型底部施加 ３ 方向位移约束的边界条件，四周施加 垂直面的方向位移约束的边界条件，上部施加自由边 界。 为保证计算效果的可靠性，两种算法对同一边坡 进行安全系数计算时采用的网格模型、重力加速度、材 料参数和软硬件环境保持相同，求解精度均取 ０．００１。 表 ２ 和表 ３ 分别为自适应算法与内置算法求解的 安全系数和所需的计算时步，可以看出两种算法求解 结果差异非常小，４ 个边坡自适应算法结果与内置算 法结果的差值比分别为 ０． ５２‰，１． ８６‰，０．００‰ 和 ０．００‰，但在计算时步上自适应算法与内置算法相比，４ 个边坡的计算时步分别减少了 ４２．２４％，６５．７５％，３９．９０％ 和 １８．９８％。 这说明自适应算法不仅求解结果是准确 的，而且在求解效率上是大于内置算法的，因此自适应 算法一定程度上改进了内置算法存在的系统失稳状态 识别效率低的缺点。 表 ２ 安全系数对比 边坡 坡角 ／ （） 安全系数 内置算法自适应算法 差值比 ／ ‰ （ａ）２９．７１．９３８１．９３７－０．５２ （ｂ）３８．７１．６１０１．６０７－１．８６ （ｃ）５３．１１．２６９１．２６９０．００ （ｄ）７６．００．８９４０．８９４０．００ 表 ３ 计算时步对比 边坡 坡角 ／ （） 计算时步 内置算法自适应算法 差值比 ／ ％ （ａ）２９．７１０３ ０１５５９ ５０４－４２．２４ （ｂ）３８．７１５０ ７１７５１ ６２１－６５．７５ （ｃ）５３．１１０８ ５２７６６ ３１５－３９．９０ （ｄ）７６．０１１６ ２１１９４ １５８－１８．９８ ３．２ 网格密度对自适应算法求解结果的影响分析 为进一步研究在大型数值计算中网格密度对两种 算法的计算结果差异的影响，以边坡（ｃ）为基础，划分 ０．３～１．２ ｍ 共 １０ 种不同网格尺寸的模型，获得了不同 网格密度下两种算法所得的安全系数、求解时步和求 解时间，具体结果如表 ４ 和图 ６～８ 所示。 由表 ４ 和图 ６ 可知，２ 种算法求解的安全系数曲 线的变化规律基本相同，数据差异很小，始终保持在 １．１％以下，说明网格密度对自适应算法计算结果的准 表 ４ 不同网格密度下两种算法结果差异对比 网格尺寸 ／ ｍ 网格 单元数 差异占比／ ％ 安全系数求解时步求解时间 １．２８ ６４０＋０．０８－３９．４８－３７．４１ １．１１０ ９６０＋０．０８－４７．２９－４６．３９ １．０１５ ３０５０．００－４０．３７－３８．９６ ０．９２１ ２０５０．００－４２．３０－４１．４８ ０．８２８ ９３５－０．７９－６９．４８－７０．１９ ０．７４３ ９３７－０．３２－５７．２８－５７．３２ ０．６６９ ４４５－０．４１－５３．４２－５３．００ ０．５１１６ ４９２－１．０６－７９．１２－７９．１８ ０．４２４３ ２６１－０．２５－５７．９７－５７．４５ ０．３５６９ ２５９－１．０７－６９．４７－６９．５６ 平均值－５５．６２－５５．０９ １３第 １ 期伍礼杰等 一种基于强度折减法的自适应安全系数算法研究 万方数据 -B;105 1.30 1.28 1.26 1.24 1.22 1.200 246 9;                   6D, D;A,   图 ６ 安全系数对比图 -B;105 3 2 1 00 246  91;105                   6D, D;A,   图 ７ 求解时步对比图 -B;105 60 50 40 30 20 10 00 246 91;0h             6D, D;A,                  2,* 8 6 4 2 0 0.40.20.60.00.8 图 ８ 求解时间对比图 确性基本上没有影响。 由表 ４ 和图 ７ 可知，随着网格 密度增大，内置算法的求解时步总体上不断增大，而自 适应算法所需的求解时步能够始终保持在一定的数值 范围内，对比内置算法平均能够减少 ５５．６２％的求解时 步，自适应算法在计算时步上的优化效果显著。 由表 ４ 和图 ８ 看出，随着网格密度增加，２ 种算法的求解时 间都在增加，但自适应算法的增幅小于内置算法，相比 内置算法，自适应算法平均能够减少 ５０．１０％的求解时 间。 因此自适应算法在计算效率上比内置算法具有更 加明显的优势。 ４ 结 论 １） 通过分析 ＦＬＡＣ３Ｄ内置安全系数算法的求解流 程和机制，发现判定机制过于保守、无法灵敏及时识别 系统失稳状态，因而计算效率低。 此外内置算法还存 在不能在大变形模式下求解安全系数、整个求解流程 并不对用户开放等不足。 ２） 根据失稳状态下求解不平衡比率时步曲线的 变化规律，采用比特征响应时步更小的分析单位实现 对数值计算不收敛情况的超前预测和高效识别，提出 了基于改进的系统失稳状态判定机制的自适应算法。 ３） 针对 ４ 种典型边坡对比了两种算法求解的安 全系数和时步，验证了自适应算法的正确性和高效性， 而且自适应算法的求解效率随着网格密度的增加而明 显增加。 参考文献 ［１］ Ｍａｔｓｕｉ Ｔ， Ｓａｎ Ｋ． Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂｙ ｓｈｅａｒ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ［Ｊ］． Ｓｏｉｌｓ ＆ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ， １９９２，３２（１） ５９－７０． ［２］ 王 伟，陈国庆，朱 静，等． 考虑张拉⁃剪切渐进破坏的边坡强度 折减法研究［Ｊ］． 岩石力学与工程学报， ２０１８，３７（９）２０６４－２０７４． ［３］ 胡安峰，陈博浪，应宏伟． 土体本构模型对强度折减法分析基坑整 体稳定性的影响［Ｊ］． 岩土力学， ２０１１，３２（Ｓ２）５９２－５９７． ［４］ 刘新荣，涂义亮，钟祖良，等． 基于能量突变的强度折减法边坡失 稳判据［Ｊ］． 中南大学学报（自然科学版）， ２０１６，４７（６）２０６５－ ２０７２． ［５］ 李世贵，黄 达，石 林，等． 基于极限应变判据⁃动态局部强度折 减的边坡破坏演化数值模拟［Ｊ］． 工程地质学报， ２０１８，２６（５） １２２７－１２３６． ［６］ 涂义亮，刘新荣，钟祖良，等． 三类边坡失稳判据的统一性［Ｊ］． 岩 土力学， ２０１８，３９（１）１７３－１８０． ［７］ Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ Ｄ Ｖ， Ｌａｎｅ Ｐ Ａ． Ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］． Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｑｕｅ， １９９９，４９（７）３８７－４０３． ［８］ Ｗｏｎ Ｊ， Ｙｏｕ Ｋ， Ｊｅｏｎｇ Ｓ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｕｐｌｅｄ ｅｆｆｅｃｔｓ ｉｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｉｌｅ⁃ｓｌｏｐｅ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃｓ， ２００５，３２（４） ３０４－３１５． ［９］ 陈育民，徐鼎平． ＦＬＡＣ／ ＦＬＡＣ３Ｄ基础与工程实例（第 ２ 版）［Ｍ］． 北京中国水利水电出版社， ２０１３． ［１０］ 陈 曦，刘春杰． 有限元强度折减法中安全系数的搜索算法［Ｊ］． 岩土工程学报， ２０１０，２８（９）１４４３－１４４７． ［１１］ 苏 飞，李 博． 基于 ＦＬＡＣ３Ｄ的强度折减法程序改进研究［Ｊ］． 贵州科学， ２０１７，３５（２）７２－７８． ［１２］ 张 奎，刘艳章，盛建龙，等． 基于边坡岩土体劣化破坏的临界滑 移面研究［Ｊ］． 矿冶工程， ２０１８，３８（５）６－１０． ［１３］ 陈 冉，刘 飞． 基于双折减系数法的土坡稳定性分析［Ｊ］． 防 灾减灾工程学报， ２０１３，３３（ｓ）１０５－１１０． ［１４］ 赵炼恒，曹景源，唐高朋，等． 基于双强度折减策略的边坡稳定性 分析方法探讨［Ｊ］． 岩土力学， ２０１４，３５（１０）２９７７－２９８４． ［１５］ 白 冰，袁 维，石 露． 一种双折减法与经典强度折减法的关 系［Ｊ］． 岩土力学， ２０１５，３６（５）１２７５－１２８１． 引用本文 伍礼杰，邓红卫，张亚南． 一种基于强度折减法的自适应安 全系数算法研究［Ｊ］． 矿冶工程， ２０２０，４０（１）２７－３２． ２３矿 冶 工 程第 ４０ 卷 万方数据