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层状板岩断口分形与裂纹扩展速率研究 ① 卢泽政， 李江腾 （中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083） 摘 要 为探讨裂纹演化过程中材料形貌与力学参数的关系，采用 Talysurf CLI 2000 三维激光形貌仪对层状岩样双扭试件断口形 貌进行了扫描分析，结果表明，分形维数能较好地表述裂纹扩展形成的断口断面；利用轮廓线分形维数 D2对裂纹真实扩展长度进 行计算，结果表明，测度对确定裂纹实际扩展长度影响较大，且 D2值越大，扩展长度对测度变化越敏感。 运用 Paris 公式推导了与 速率有关的应力强度因子 KⅠ的分形模型，结果表明，D2与 KⅠ的指数参数 n 线性拟合较理想。 关键词 分形维数； 裂纹扩展速率； 应力强度因子 中图分类号 TU452文献标识码 Adoi10.3969／ j.issn.0253－6099.2017.05.004 文章编号 0253－6099（2017）05－0015－04 Fracture Fractal and Crack Propagation Rate of Layered Slate LU Ze-zheng，LI Jiang-teng （School of Resources and Safety Engineering， Central South University， Changsha 410083， Hunan， China） Abstract For investigating the relation between material morphology and mechanical parameters， the fracture morphology of double torsion specimens of layered slate was analyzed by adopting Talysurf CLI 2000 3D laser profilometer. It is found that the fractal dimension can be used to represent the fracture section resulting from crack growth. The actual propagation length of the crack was calculated with fractal dimension （D2） of the contour line for the fractured surface. Result showed that the measurement had a great influence on the determination of the actual propagation length of cracks. A higher D2value led to propagation length more vulnerable to the variation of measurement. Then， the fractal model of stress intensity factor KⅠrelative to the rate was derived based on Paris ula. It is found that D2can be fit linearly with index parameter n of KⅠ. Key words fractal dimension； crack growth rate； stress intensity factor 众多研究表明，岩石断裂表面形貌蕴含着断裂过 程与材料力学属性等重要信息。 自然界中由于长期的 地质作用，使得岩石材料形成后内部存在裂隙和孔隙 等缺陷，且其分布的随机性极强，因而对荷载作用下裂 纹结构面的发展演化和预测十分困难。 20 世纪 80 年代 Mandlbrot[1]创立了分形几何的理 论，用于分析自然界中常出现的海岸线轮廓和雪花等 复杂曲线的自相似性特性。 之后分形方法被逐渐引入 力学领域[2－4]。 随着学科发展分形维数产生了如谱密 度法、切岛法、盒子法、码尺法、变差分析法等测量计算 方法。 随着研究深入，更多分形方法被提出[5－6]。 分 形维数在裂纹扩展中的应用研究较多[7－13]。 本文利用双扭试验对层状板岩双扭试验断口进行 研究，采用高精度三维表面形貌测试仪 Talysurf CLI 2000 对断裂面进行扫描。 引入分形维数对 Paris 公式 进行修正，得出了应力强度因子的分形模型，以期为裂 纹演化中的力学研究提供新的思路与方法。 1 试验方法 1.1 双扭试验 采用层状板岩制成等宽厚比的双扭试件，双扭试验 在中南大学测试中心 MTS Insight 电子拉力试验机上进 行，试验分为3 部分① 预裂试验以0.02 mm／ min 速率 对试件进行加载，至荷载不随时间增加时预裂完成，停 止加载；② 松弛试验以 0.1 mm／ min 速率对试件进行 加载，荷载增加至预裂试验最大荷载 95％时控制位移不 ①收稿日期 2017－04－23 基金项目 国家自然科学基金（51374246） 作者简介 卢泽政（1991－），男，湖南郴州人，硕士，主要研究方向为岩石工程。 第 37 卷第 5 期 2017 年 10 月 矿矿 冶冶 工工 程程 MINING AND METALLURGICAL ENGINEERING Vol.37 №5 October 2017 万方数据 变，开始进行松弛试验；松弛试验完成后以 10 mm／ min 速率加载至断开；③ 断裂试验以 10 mm／ min 速率对试 件进行加载，直至试件断裂破坏。 计算机记录试验过程 中的荷载、压头位移随加载时间的变化。 表 1 为 4 组 板岩试件荷载破坏 PC测试值。 表 1 破坏载荷测试值 组数试样编号 PC／ N 试验方式 1 1-1412.28断裂韧度 1-2272.05松弛 2-1341.63断裂韧度 2-2230.92松弛 22-3261.10松弛 2-4233.45松弛 2-5248.81松弛 3-1271.09断裂韧度 3-2213.75松弛 33-3182.50松弛 3-4181.45松弛 3-5114.43松弛 4-1344.12断裂韧度 44-2143.42松弛 4-3167.25松弛 由表 1 可知，试件 1-1、2-1、3-1、4-1 的破坏载荷均 大于同组其他试件。 这是由于试样进行松弛试验时发 生亚临界裂纹扩展，岩石内部产生损伤，因而破坏载荷 值较小。 1.2 形貌扫描试验 将断裂后的试件开裂面朝上进行扫描，由三维非接 触式激光形貌仪 Talysurf CLI 2000 扫描裂开表面，扫描 数据通过仪器配置软件 Taly Map Gold 5.0 进行处理。 2 试验结果及讨论 2.1 断口三维形貌分析 图 1 为各组中典型试样断口三维图像，为体现断 口形貌特性，沿图像 X 轴（试件厚度 d）与 Z 轴（垂直 断口向外即峰高方向） 进行了放大显示。 由图 1 可 知，试件表面峰高沿裂纹扩展方向（试件长轴方向，设 为 Y 轴）起伏较大，对于试件同一 Y 值沿 X 轴方向峰 高分布规律基本一致；断口表面峰高沿 X 轴逐渐减 小，其减小趋势与层理方向基本相同，其原因是节理穿 过断裂面导致表面能减小，由线弹性理论可知脆性断 裂裂纹扩展方向始终沿着表面能更低的方向发展，从 而形成了表面高度沿层理面斜向渐变的现象。 各表面颜色从暖色到冷色调转变表示 Z 方向值 由高至低分布。 可知试样 1-1 较其他试样更为平缓且 起伏较小；试样 3-1 表面较平缓，但表面起伏十分明 显；试样 2-1 与试样 4-1 表面十分粗糙，形貌较相近， 且均有驼峰状明显起伏。 结果表明，不同组别表面峰 值分布倾向角度不同，该角度基本与层理面方向一致， 可见断口形貌与材料力学性质密切相关。 图 1 典型三维断口形貌图像 （a） 试样 1-1； （b） 试样 2-1； （c） 试样 3-1； （d） 试样 4-1 断口三维形貌体现了断裂扩展的结果，受载荷作 用裂纹沿 Y 轴扩展，对断口形貌分析可得到加载过程 中的断裂信息。 因为材料各向性质不同，为分析裂纹 扩展过程，将 4 组试件中断裂韧度试样断口沿试样 X 轴方向分别取 d1＝ 1 4 dn、d2＝ 1 2 dn、d3＝ 3 4 dn共 3 条轮 廓线，采用盒子法对分形维数D2进行计算，结果见表2。 表 2 轮廓曲线及分形维数 编号轮廓线形状D2 61矿 冶 工 程第 37 卷 万方数据 由表 2 可知，D2在 1.165～1.400 之间，各组组内 轮廓线十分相似且分形维数数值较为接近，且轮廓线 越粗糙，分形维数越大。 其中最大组间分形维数极差 为曲线 2-d1与 2-d2，值为 0.193，曲线 2-d1更为光滑； 曲线形态差别最大为曲线 3-d1与 3-d2，其分形维数差 值为 0.011。 这是由于分形常包含了自相似与自仿射 的混合但结果只体现在一个参数值上，且分形也是整 体与部分规律一致性的体现。 因而可利用分形维数对 断口形貌定量表述，进而对其断裂机理进行研究。 2.2 裂纹扩展与分形分析 由文献[8]对采用位移控制加载断裂试验，有 V0＝ dy dt 1 BP － dP dt 1 BP2 （1） 式中 V0为裂纹长度扩展速率；P 为作用于扭杆上的荷 载；y 为加载点位移；t 为时间；B＝ 3Wm2 Wd3G，其中 W m 为扭 臂长度；W／2 为扭杆宽度；d 为试件厚度；G 为岩石剪 切模量。 由松弛试验可得到松弛阶段 V0-t 层理角曲线如 图 2 所示，利用梯形积分可得在曲线与 X 轴形成的面 积即为该阶段的裂纹沿路径扩展长度。 t / s 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 5000100015002000 V0 ／ 10-5 m s-1 ■ ▲ ★ 1-2 2-2 3-2 4-2 ◆ 图 2 松弛试验典型试样 V0-t 曲线 断裂韧度试验试样 V0-t 曲线如图 3 所示。 t / s 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.51.00.01.52.52.03.0 V0 ／ 10-2 m s-1 ■ ▲ ★ 1-1 2-1 3-1 4-1 ◆ 图 3 断裂韧度试验典型试样 V0-t 曲线 由图 3 可知，断裂试验加载速率较快，裂纹扩展速 率也较快，试件发生破坏的时间十分短暂。 加载初期 曲线很快达到峰值，这与松弛试验加载规律一致；除试 样 2-1 以外，其他试样均有裂纹稳态扩展阶段，此时裂 纹扩展速率随时间基本不变；曲线末端与加载初期一 样，亦存在一个峰值，与初期不同的是，其上升过程为 渐变型，此阶段试件裂纹发生非稳定扩展。 在实际中断裂常被简化为二维模型，即简化宏观 裂纹速率进行求解，因此利用断口表面轮廓线分形维 数 D2进行计算。 由文献[7]可得 V ＝ （V0－ D′a0lgε）ε1－D（2） 由于利用 D2进行计算，因此式（2）中 V 为裂纹真 实扩展速率；D′为裂纹分形维数对时间的导数；ε＜1， 为测度；在确定扩展路径内，对于任意 ε，D′＝0。 可得 V ＝ V0ε1－D（3） 因任意确定结构其 ε 必有下界，对 ε 取值与计算 所得裂纹路径长度 a 做出对比，如表 3 所示。 表 3 裂纹沿实际路径扩展长度计算值 测度 裂纹沿实际路径扩展长度／ m 1-12-13-14-1 D2＝1.214D2＝1.575D2＝1.477D2＝1.389 1.00.0720.1250.1280.112 0.50.0830.1870.1790.147 0.10.1170.4710.3850.275 0.050.1360.7020.5360.360 由表 3 可知，随着测度 ε 减小，扩展长度 a 逐渐增 大；分形维数 D2越大，a 增幅越大。 岩石晶体结构是 有下限的，因而必定存在确定 ε 使得 a 最大。 在 ε＝1.0 时各试样 a 值为裂纹从 V 型口沿板扩展的长度，极差 为0.056 m，当 ε＝0.05 时，a 值极差为 0.566 m，说明测 度对裂纹实际扩展长度的确定影响较大，且 D2值越 大，a 对 ε 变化越敏感。 2.3 应力强度因子 KⅠ分形分析 由于脆性材料的扩展本质为分子键的依次断裂， 由文献[14]，其扩展速率模型 Paris 公式为 V ＝ A（KⅠ） n （4） 两边取对数，得 lgV ＝ nlgKⅠ ＋ C （5） 式（4）可变换为 V ＝ k KⅠ b n （6） 结合式（3） ～（4），可得 V0＝ d（KⅠ） nε1－D2 （7） 式（4）与式（6）中 k、n、A、b 均为材料常数，其中 b 71第 5 期卢泽政等 层状板岩断口分形与裂纹扩展速率研究 万方数据 为使 KⅠ规范化的任意常数，n 为裂纹扩展参数，与裂 纹形貌有关，本身具有不同晶体结构，岩石的断裂有沿 晶、穿晶、沿晶穿晶耦合 3 种形式。 式（7）中 ε 存在确 定下界且与晶体组成有关，本文因仪器扫描精度，并未 就显微结构进行分析。 根据试验数据对式（5）进行拟 合，结果如表 4 所示。 表 4 拟合参数 编号Cn相关系数 R2D2 2-1－44.63373.7430.9961.575 2-2－29.63450.9890.9921.423 2-3－27.78147.7860.9821.334 2-4－34.41846.5810.9761.401 2-5－35.32144.0720.9751.208 3-1－20.57245.6880.9721.477 3-2－15.19537.3850.9391.392 3-3－14.25829.6130.9871.373 3-4－13.38916.1170.8021.208 3-5－16.82121.7870.9611.334 表 4 中相关系数都达到了 0.8 以上。 其中试样 2-1，3-1 为直接进行断裂韧度试验，其它试样均为松弛 后再进行断裂试验。 组内试样 C，n 相近，断裂韧度试 样较组内其它试样 n 值大 10～20，第 2 组各试样的 n 值高于第 3 组试样，C 值规律则相反。 这是由于两组 试样组成结构不同而断裂机理相同。 断裂是试件内部 弹性形变能释放与表面能增加和塑形变形的能量耗散 过程，试件在松弛阶段由于加载速率较小，亚临界裂纹 扩展能更多发育积累了塑性形变，再进行断裂试验时， 其内部已然发生了应力重分布，且加载速度对断裂韧 度亦有相应影响，过程不同，产生形貌也不一致。 因而 试样表面形貌分形维数是对裂纹扩展信息的一种记 录。 分形维数 D2与材料参数 n 拟合曲线见图 4。 D 2 80 70 60 50 40 30 20 10 1.21.31.41.51.6 n ■ 2组试样 3组试样 ● ■ ■ ■ ■ ■ ● ● ● ● ● 图 4 D2与 n 拟合曲线 第 2 组试样和第 3 组试样拟合曲线经验公式分别 为 y＝78.323x－56.093 和 y ＝ 113.762x－124.234，相关 系数分别为 0.869 和 0.944，相关性良好。 由于式（6） 与式（7）形式一致，KⅠ与 D2呈指数相关。 3 结 论 1） 利用分形维数对断口表面进行分析得出分形 维数能较好地表示裂纹扩展形成的断口断面，相同试 样 D2值相近，且轮廓线越粗糙，D2越大；通过 D2对裂 纹真实扩展长度计算，结果表明测度 ε 对裂纹实际扩 展长度 a 值的确定影响较大，且 D2值越大，a 对 ε 变 化越敏感。 2） 由于参数 n 与断口表面形貌有关，得出强度因 子与断口形貌的分形模型，结果表明，n 与 D2线性拟 合良好，验证了应力强度因子分形模型的可靠性。 但 要通过 KⅠ准确预测裂纹扩展，还需通过材料细、微观 结构确定测度 ε，因而测度 ε 下界的确定仍需进一步 探究。 参考文献 [1] Mandelbrot B B. 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