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采场顶板安全厚度与跨度及暴露面积的关系研究 ① 刘 畅１，２， 张 见３， 彭 云４， 屈延嗣５， 覃 敏１，２ （１．长沙矿山研究院有限责任公司，湖南 长沙 ４１００１２； ２．金属矿山安全技术国家重点实验室，湖南 长沙 ４１００１２； ３．铜陵有色金属集团股份有限公司 安庆铜矿，安徽 安庆 ２４６３１２； ４．化工部长沙设计研究院，湖南 长沙 ４１０１１６； ５．中煤科工集团重庆研究院有限公司，重庆 ４０００３７） 摘 要 采用极限分析原理建立了基于采场跨度与暴露面积的顶板安全厚度计算模型，利用反演算法深入分析发现，采空区长度 与跨度比值 ｋａ＞２ 时，顶板安全厚度值取决于跨度的大小；ｋａ＜２ 时，顶板安全厚度值取决于暴露面积的大小。 结合某钨矿实际情况， 选取相关参数进行计算分析，得到了不同跨度与暴露面积的采空区顶板安全厚度。 分别选取不同跨度和暴露面积进行分析，进一 步论证了顶板安全厚度与采场跨度及暴露面积之间的关系。 关键词 顶板安全厚度； 采场跨度； 暴露面积； 极限分析； 长跨比 中图分类号 ＴＤ３２５文献标识码 Ａｄｏｉ１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３－６０９９．２０１６．０６．００５ 文章编号 ０２５３－６０９９（２０１６）０６－００１８－０４ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｓａｆｅ Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ Ｒｏｏｆ ｏｎ Ｓｔｏｐｅ Ｓｐａｎ ａｎｄ Ａｒｅａ ｏｆ Ｅｘｐｏｓｕｒｅ ＬＩＵ Ｃｈａｎｇ１，２， ＺＨＡＮＧ Ｊｉａｎ３， ＰＥＮＧ Ｙｕｎ４， ＱＵ Ｙａｎ⁃ｓｉ５， ＱＩＮ Ｍｉｎ１，２ （１．Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｍｉｎｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｏ Ｌｔｄ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００１２， Ｈｕｎａｎ， Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓａｆｅｔｙ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｍｅｔａｌ Ｍｉｎｅｓ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００１２， Ｈｕｎａｎ， Ｃｈｉｎａ； ３．Ａｎｑｉｎｇ Ｃｏｐｐｅｒ Ｍｉｎｅ， ＴｏｎｇＬｉｎｇ Ｎｏｎｆｅｒｒｏｕｓ Ｍｅｔａｌｓ Ｇｒｏｕｐ Ｈｏｌｄｉｎｇ Ｃｏ Ｌｔｄ， Ａｎｑｉｎｇ ２４６３１２， Ａｎｈｕｉ， Ｃｈｉｎａ； ４．Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１０１１６， Ｈｕｎａｎ， Ｃｈｉｎａ； ５．Ｃｈｉｎａ Ｃｏａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｇｒｏｕｐ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ Ｃｏ Ｌｔｄ， Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００３７， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ａ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｒｏｏｆ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｔｏｐｅ ｓｐａｎ ａｎｄ ｅｘｐｏｓｅｄ ｒｏｏｆ ａｒｅａ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｌｉｍｉｔｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ． Ｔｈｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｒｅｖｅａｌｅｄ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｌｅｎｇｔｈ⁃ｓｐａｎ ｒａｔｉｏ ｏｖｅｒ ２， ｔｈｅ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｓｔｏｐｅ ｒｏｏｆ ｄｅｐｅｎｄｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｐａｎ； ｗｈｉｌｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ⁃ｓｐａｎ ｒａｔｉｏ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ２， ｔｈｅ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｓｔｏｐｅ ｒｏｏｆ ｄｅｐｅｎｄｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｅｘｐｏｓｕｒｅ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｏｍｅ ｔｕｎｇｓｔｅｎ ｍｉｎｅ， ｓｏｍｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ， ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｇｏａｆ ｒｏｏｆｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐａｎｓ ａｎｄ ａｒｅａｓ ｏｆ ｅｘｐｏｓｕｒｅ． Ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｈａｓ ｐｒｏｖｅｎ ｔｈｅ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｒｏｏｆ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｏｐｅ ｓｐａｎ ａｎｄ ａｒｅａ ｏｆ ｅｘｐｏｓｕｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓａｆｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｒｏｏｆ； ｓｔｏｐｅ ｓｐａｎ； ａｒｅａ ｏｆ ｅｘｐｏｓｕｒｅ； ｌｉｍｉｔ ａｎａｌｙｓｉｓ； ｌｅｎｇｔｈ⁃ｓｐａｎ ｒａｔｉｏ 矿体开采过程中，为保证上部阶段或地表稳定、不 发生破坏，通常在下部阶段采场顶部保留一定厚度的 矿体不采动，称为顶柱［１］。 顶柱厚度（也称顶板安全 厚度）的确定直接影响井下安全生产和资源的回收。 一方面，厚度大有利于回采安全，但因回收困难浪费过 多矿产资源；另一方面，顶板安全厚度小则能充分回收 资源，但安全开采得不到有效保障。 合理的顶板安全 厚度既能满足安全生产，又能充分回收矿产资源。 采空区顶板安全厚度受多重因素影响。 首先，与 其自身性质密切相关，包括岩体强度、完整性、结构面 发育情况及隔水性能等；其次，不确定性生产因素也对 其构成一定影响， 如爆破作业、 上部的外力作用 等［２－３］。 此外，采场跨度及暴露面积（或长度）也决定 了顶板安全厚度的大小。 在围岩物理力学特性保持不 变的情况下，忽略不确定性因素的影响，研究安全厚度 与采场跨度及暴露面积之间的关系，探寻科学合理的 采场结构参数，以期在保障安全生产的前提下，充分回 收矿产资源。 １ 顶板极限状态下的安全厚度 １．１ 极限分析原理 假定岩体（或土体）为理想弹⁃塑性体，当作用于岩 ①收稿日期 ２０１６－０６－１７ 基金项目 国家重点基础研究发展计划（９７３）项目（２０１２ＣＢ７２４２０７）；湖南省科技重大专项（２０１１ＦＪ１００３） 作者简介 刘 畅（１９８７－），男，湖南株洲人，硕士，主要从事矿山岩石力学方面的研究工作。 第 ３６ 卷第 ６ 期 ２０１６ 年 １２ 月 矿矿 冶冶 工工 程程 ＭＩＮＩＮＧ ＡＮＤ ＭＥＴＡＬＬＵＲＧＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｖｏｌ．３６ №６ Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１６ 万方数据 体的载荷达到某一数值且保持不变时，岩体发生“无 限”塑性变形，此时可认为岩体处于极限状态，则对应 的载荷称为极限载荷。 在外载荷作用下，岩体弹塑性 变形是一个相对复杂的过程，而详细了解这一过程对 分析极限载荷并不会产生实际意义，反而大大增加了 求解难度。 极限分析原理就是不分析岩体的弹塑性变 化过程，借助相关数学方法，直接求解岩体在极限状态 下的载荷及其分布状况。 这一求解思想避免了在无关 问题上花费力气，大大简化了问题的求解过程，降低了 分析难度［４－１０］。 将这一思想引入地下矿山采空区顶板 的稳定性分析，可较好地分析顶板在极限载荷状态时 其厚度安全值的确定问题。 １．２ 顶板安全厚度的确定 随着工作面的不断向前推进，采场的跨度和暴露 面积不断增加，顶板岩层的弯矩也随之增大。 当顶板 岩层达到强度极限时，将形成断裂。 相似材料模拟试 验表明，四周固支板弯矩的峰值发生在长边的中心部 位，这一区域将最先产生裂缝，而后短边对应区域开始 出现裂缝，随着裂缝的扩展，固支板裂缝贯通呈现类似 英文字母“Ｏ”的形状［１１］。 当弯矩进一步增大时，贯穿 裂隙产生，最终形成了“Ｘ”型破坏［１２］，如图 １ 所示。 图 １ 四周固支矩形板破损结构形式 由材料力学及相关理论可知，变形体处于平衡的 充要条件是对任意微小虚位移，虚功恒等于变形体系 各微段内力所做的虚功和，即外力虚功与变形虚功相 等［１３－１４］。 具体到四周固支的顶板来说，则 Ｗε ＝ Ｗ ｉ （１） 式中 Ｗｉ为内力功，Ｗε为外力虚功。 Ｗε＝∫ Ａ ｑδＣｄｃ（２） 式中 δＣ为虚位移；ｃ 为固支板面积。 内力功 Ｗｉ与极限弯矩在固支板上做的耗散功相 等 ，得 Ｗｉ＝∫ ｓ Ｍｐθｓｄｓ（３） 式中 θｓ为裂缝与水平线的夹角；ｓ 为裂缝长度和。 １．２．１ 四周固支板的当量来压步距 将顶板岩层看成四周固支板进行分析。 假定固支 板上最大虚挠度以字母 δ 表示，如图 ２ 所示。 A G B EF H D C A B b rrb-2r B C GH θ2 2θ θ1 θ3θ4 θ3θ4 θ2 δ δ θ δ a EB tanαEB tanβ 图 ２ 四周固支板破损机构计算图 于是可得内力功为 Ｗｉ＝ ４δ ２ｈ ａ ＋ ａ ｘ Ｍｐ（４） 外力功为 Ｗε＝ ｑ ６ δａ（３ｂ － ２ｘ）（５） 由虚功原理 ４δ ２ｈ ａ ＋ ａ ｘ Ｍｐ＝ ｑ ６ δａ（３ｂ － ２ｘ）（６） 式中 ａ 为固支板短边长度，ｂ 为长边长度，ａ＜ｂ。 式中 ｘ 待定，由最小能量原理可知，适当的 ｘ 值可使外力做功 最小。 通常采场长度设计是相对固定的，而外部荷载 也可认为固定不变，来压步距和外力功呈线性相关关 系，以初始来压步距对 ｘ 求导数，即可得最佳 ｘ 值 ｘ ＝ ２ ３ Ｍｐ ｑ １ ２ （７） 初次来压步距为 ｌ＝ ８Ｌ２ｑＭｐ １ ２ ３（ｑＬ２－１６Ｍｐ） ４ Ｍｐ ｑ １ ２ ≤ｌ≤４ ３ Ｍｐ ｑ １ ２ ４８ＬＭｐ ３ｑＬ－８ ３（ｑＭｐ） １ ２ １ ２ Ｌ≥４ ３ Ｍｐ ｑ １ ２ （８） 将式（８）简化，可得 ｌｍ＝ ２Ｌｍ２ ３（Ｌｍ２－ １） １ ≤ Ｌｍ≤ ３ ３Ｌｍ ３Ｌｍ － ２ １ ２ Ｌｍ≥ ３ （９） 其中 ９１第 ６ 期刘 畅等 采场顶板安全厚度与跨度及暴露面积的关系研究 万方数据 ｌ ＝ ４ Ｍｐ ｑ １ ２ ｌｍ ＝ Ｃ ｍｌｍ Ｌ ＝ ４ Ｍｐ ｑ １ ２ Ｌｍ ＝ Ｃ ｍＬｍ （１０） １．２．２ 顶板初次来压计算 对式（１０）中的当量系数进行分析不难发现，当量 系数 Ｃｍ为常数 Ｃ 与（Ｍｐ／ ｑ） １ ２的乘积，则式（１０）可表 示为 ｌ ＝ ＣＣｎ Ｍｐ ｑ １ ２ ｆ（Ｌｍ）（１１） 式中 ｆ（Ｌｍ ） ＝ ２Ｌｍ２ ３（Ｌｍ２－ １） １ ≤ Ｌｍ≤ ３ ３Ｌｍ ３Ｌｍ － ２ １ ２ Ｌｍ≥ ３ （１２） 由式（１１）、（１２）进行反算，可得 Ｍｐ ｑ １ ２ ＝ Ｌ（ＣｎＬ）２＋３ｌ－ＣｎＬ２ ３Ｃｌ １ ＣＬ＜ Ｍｐ ｑ １ ２ ≤ ３ ＣＬ ｌｌ２ ＋３Ｃ ｎＬ ２ －ｌ ２ ３ＣＣｎｌ Ｍｐ ｑ １ ２ ≥ ３ ＣＬ （１３） 式中 ｑ 为固支板所受的均布载荷；Ｍｐ为固支板的极限 弯矩，其值由下式确定 Ｍｐ＝ １ ６ σｔｈ２（１４） 式中 ｈ 为顶板厚度；σｔ为顶板岩层的抗拉强度。 Ｃ 和 Ｃｎ在不同边界条件下的取值见表 １。 表 １ 不同边界条件下 Ｃ 和 Ｃｎ取值 边界约束形式Ｃ Ｃｎ 四周固支４１ 三固一简 ２＋ ２ ４ ２＋ ２ 二固二简 ２＋ ２ １ 一固三简 ２＋ ２ １＋ ２ ２ ２ 顶板安全厚度与采空区跨度及暴露 面积的关系 某钨矿位于江南丘陵地区，为一大型白钨矿床，其 储量大，矿石品位高，矿体连续厚大，倾角缓，顶底板围 岩稳固，开采条件优越。 矿山发展初期，因开采规划不 合理，滥采乱挖，采空区连片成群，安全隐患较为突 出［１５］。 随着空区进一步扩大，井下地压活动日渐增多，多 处顶板出现掉块现象，部分区域已发生小规模冒顶事 件，严重威胁矿山安全生产。 对该矿顶板安全厚度、跨度及暴露面积进行研究， 以四周固支约束形式进行分析计算，涉及的相关参数 列于表 ２ 中。 表 ２ 顶板安全厚度计算参数 当量系数 ＣＣｎ 采空区长度 ／ ｍ 跨度 ／ ｍ 顶板抗拉强度 ／ ＭＰａ 容重 ／ （ｋＮｍ －３ ） ４１３０～１００１０～３００．９０２７．０ 采场结构参数直接决定顶板稳定与否，为保证开 采安全，必须采用合理的采场结构参数。 计算结果表 明，跨度是决定顶板安全厚度值的最关键因素。 跨度 增加，顶板安全厚度值随之增加，二者近似为线性关 系，如图 ３ 所示。 保持采空区长度为 ３０ ｍ，仅增加空 区跨度，发现厚度由最初的 １．１６ ｍ 增至 ５．１０ ｍ；固定 采空区长度为 １００ ｍ，同样的跨度增幅下，厚度由最初 的 １．５２ ｍ 剧增至 １０．８４ ｍ。 目前该矿采空区顶板岩层 厚度达 ５０ ｍ 以上，远大于计算值，采空区整体稳定。 ,3,m 14 12 10 8 6 4 2 0 151020253035 ,9/,m ,30 m ,40 m ,50 m ,60 m ,80 m ,100 m      €                                € € € € € € € € 图 ３ 顶板安全厚度与长度的关系 比较图 ３ 中曲线可以看出，保持跨度为 １０ ｍ，仅 增大采空区长度，则厚度由 １．１６ ｍ 增至 １．５２ ｍ，可见 并未发生明显变化。 同样，当采空区长度增至 １００ ｍ， 保持跨度为 ３０ ｍ，厚度剧增至 １０．８４ ｍ。 显然，采空区 长度与顶板安全厚度之间并不是线性关系，其关系还 与某外部因素有关。 对此问题进一步分析，同样以该矿采空区为例，另 取数组数据（见图 ４）分析可知，长度对厚度的影响受 采空区长跨比 ｋａ限制。 当 ｋａ＞２ 时，顶板安全厚度直 接取决于跨度，而采空区长度的影响较小，且 ｋａ越大， 这一趋势越明显；而当 ｋａ＜２ 时，暴露面积是顶板安全 ０２矿 冶 工 程第 ３６ 卷 万方数据 厚度的决定因素，此时采空区长度与跨度均对安全厚 度产生直接影响，且 ｋａ越小，这一趋势越明显。 比较 图 ４ 中曲线可知，顶板跨度为 ８ ｍ 时，ｋａ＞６，厚度与采 空区暴露面积（或长度）之间近似于横向线性关系，即 可认为顶板安全厚度与长度无关。 当采空区跨度增至 １４ ｍ 时，ｋａ＞２，此时虽然厚度随长度发生变化，但增长 幅度较小，增加趋势并不明显。 随着跨度增大，ｋａ不 断减小，当采空区长度从 ２８ ｍ 增加至 ９３ ｍ 时，厚度从 ２．３ ｍ 增至 ４．８ ｍ。 由顶板安全厚度与暴露面积的关 系曲线（见图 ５）也可明显看出，跨度越大，ｋａ越小时， 采空区长度的变化才能影响顶板安全厚度值，而跨度 与顶板安全厚度的关系则不受 ｋａ限制。 560m2 4.8 4.3 3.8 3.3 2.8 2.3 1.8 1.3 0.8 400200600800100012001400 ,9/,m 3,8 m 3,10 m 3,12 m 3,14 m 3,16 m 3,18 m 3,20 m                                      € € € € € € € € € € € 图 ４ 顶板安全厚度与跨度的关系 ,3,m 5 4 3 2 1 0 108121416182022 ,9/,m 560400 m2 560600 m2 560800 m2 5601000 m2 5601100 m2 5601200 m2 5601300 m2      €                                     € € € € € € € 图 ５ 顶板安全厚度与暴露面积的关系 以上分析充分表明，顶板安全厚度与采场跨度及 长度（或暴露面积）有关。 跨度越大，需要预留的安全 厚度越大。 采空区长度与顶板安全厚度的关系受长跨 比 ｋａ的影响。 这一分析从理论上解释了当巷道不断 向前延伸，长度不断增加，其顶板稳定性不受影响的原 因，即巷道的长跨比远大于 ２，尽管巷道的暴露面积不 断增加，但巷道跨度（宽度）没有发生变化，因此，安全 厚度不变即可保持巷道顶板的稳定。 ３ 结 论 采用极限分析思想和虚功原理建立了基于采场跨 度和暴露面积的顶板安全厚度计算模型，利用反演算 法研究采场顶板安全厚度与采场跨度及暴露面积之间 的关系，结果表明 １） 顶板安全厚度值与采场跨度及暴露面积密切 相关。 从总体趋势来看，跨度越大，安全厚度值越大； 在一定条件下，长度越大，安全厚度值越大。 ２） 结合某钨矿采空区实际情况，选取典型参数进 行计算分析，结果表明该矿采空区群顶板安全厚度为 １２ ｍ 以下。 但随着采空区不断扩大，安全顶顶板厚度 也相应增加，采空区顶板将面临较大的冒落风险。 ３） 采空区长度对顶板安全厚度的影响受一定条 件的限制。 长跨比 ｋａ＜２ 时，采空区长度与跨度均对安 全厚度产生直接影响；ｋａ＞２ 时，顶板安全厚度值取决 于跨度。 ４） 从理论上解释了巷道不断延长，其顶板稳定性 不受影响的原因。 巷道长度增加导致暴露面积增大， 巷道的长跨比远大于 ２，但巷道跨度不变，因此其顶板 安全厚度不变即可保持巷道顶板的稳定。 参考文献 ［１］ 占丰林，叶 萍，凌征华，等． 有色金属矿床开采［Ｍ］． 北京冶金 工业出版社， ２０１１． ［２］ 黄 旭，马念杰，贾安立，等． 软岩厚度对层状顶板破坏特征影响 分析［Ｊ］． 岩土力学， ２００７，２８（２）３４３－３４６． ［３］ 马云龙． 采空区稳定性分析及影响因子研究［Ｄ］． 长沙中南大学 资源安全与工程学院， ２０１０． ［４］ 郑颖人，赵尚毅． 岩土工程极限分析有限元法及其应用［Ｊ］． 土木 工程学报， ２００５，３８（１）９１－９８． ［５］ 王 钊，王协群． 加筋地基的极限分析［Ｊ］． 清华大学学报（自然 科学版）， ２００１，４６（１）１１２－１１４． ［６］ 郑颖人，赵尚毅，邓楚键，等． 有限元极限分析法发展及其在岩土 工程中的应用［Ｊ］． 中国工程科学， ２００６，８（１２）３９－６１． ［７］ 王均星，李永明，李 泽． 重力坝的塑性极限分析法［Ｊ］． 水利学 报， ２００４（８）８１－８４． ［８］ 李小贝，戴兴国，王新民，等． 基于 ＣＴ⁃ＧＲＮＮ 模型的采场顶板位移 预测［Ｊ］． 矿冶工程， ２０１５（６）３０－３４． ［９］ 刘爱华，徐 欣，尚雪义． 极破碎中厚矿体开采方法及稳定性分析 ［Ｊ］． 矿冶工程， ２０１４（３）９－１２． ［１０］ 程 健，张钦礼，薛希龙，等． 基于 ＡＨＰ 和 ＴＯＰＳＩＳ 法的采场结构 参数优化研究［Ｊ］． 矿冶工程， ２０１４（１）１－５． ［１１］ 郭保华，姚向荣，涂 敏． 初次断裂前矩形顶板的差分解［Ｊ］． 安 徽理工大学学报（自然科学版）， ２００３，２３（３）１９－２３． ［１２］ 浦 海，黄耀光，陈荣华． 采场顶板 Ｘ⁃Ｏ 型断裂形态力学分析 ［Ｊ］． 中国矿业大学学报， ２０１１，４０（６）８３５－８４０． ［１３］ 刘鸿文． 材料力学（第四版）［Ｍ］． 北京高等教育出版社，２００３． ［１４］ 曾钱帮，王思敬． 基于虚功原理的悬索桥隧道式锚固碇边坡稳定 性分析［Ｊ］． 工程地质学报， ２００７，１５（１）２２－３２． ［１５］ 刘 畅． 基于房柱法开采的缓倾斜大面积空区群稳定性研究 ［Ｄ］． 长沙长沙矿山研究院， ２０１３． １２第 ６ 期刘 畅等 采场顶板安全厚度与跨度及暴露面积的关系研究 万方数据