岩石断面三维分形维数的灰度测算新方法.pdf

第2 9 卷第2 期 2 0 1 2 年6 月 爆破 B L A S T I N G v 0 1 ．2 9N o ．2 J u n ．2 0 1 2 d o i 1 0 ．3 9 6 3 ／j ．i s s n ．1 0 0 1 4 8 7 X ．2 0 1 2 ．0 2 ．0 1 0 岩石断面三维分形维数的灰度测算新方法 贾晓强1 ，方向1 ，- 7 强1 ’2 ，潘俊2 ，肖介山2 1 ．解放军理工大学工程兵工程学院，南京2 1 0 0 0 7 ；2 ．7 6 3 3 2 部队，广水4 3 2 7 2 1 摘要岩石断口表面形貌的定量描述是评价其力学行为的基础。灰度数字图像是指每个像素只有一个 采样颜色的图像，根据采样位不同可以将灰度分为不同的级数，每个灰度时象都可以由一级或多级灰度表 示。采用近距离高像素摄像机对岩石断面摄影，经灰度处理后，用像素像素一灰度立方体盒子进行覆盖， 测算出断面的三维分形雏数。分析了摄影法的误差产生因素，并提出了相应的改进措施。 关键词岩石力学；粗糙表面；分形维数；立方体覆盖；新方法 中图分类号T U 3 1 1 ．2文献标识码A文章编号1 0 0 1 4 8 7 X 【2 0 1 2 0 2 - 0 0 3 8 0 4 N e w G r a y s c a l eM e t h o do fC a l c u l a t i n g 3 ．d i m e n s i o n a lF r a c t a lo fR o c kS e c t i o n 倒X i a o - q i a n 9 1 ，F A N G 舭昭1 ，N I N GQ 施增1 ”，P A NJ u n 2 ，X I A O 加一s h a n 2 1 ．E n g i n e e r i n gI n s t i t u t eo fE n g i n e e rC o r p s ，P L AU n i v e r s i t yo fS c i e n c e ＆T e c h n o l o g y ， N a n j i n g2 1 0 0 0 7 ，C h i n a ；2 ．7 6 3 3 2C o r p so fP L A ，G u a n g s h u i4 3 2 7 2 1 ，C h i n a A b s t r a c t D e s c r i p t i o no ff r a c t u r es u r f a c eo fr o c ki st h eb a s eo fe v a l u a t i n gi t sm e c h a n i c a lb e h a v i o r ．G r a y s e a l ed i g - i t a li m a g em e a n so n l yo n es a m p l ec o l o ri 啪g ∞p e rp i x e l ．A c c o r d i n gt Od i f f e r e ms a m p l i n gb i tg r a ys c a l ec a nb ed i v i d - e di n t od i f f e r e n ta e r i e s ，a n de a c hg r a yo b j e c tc ∞b ee x p r e s s e db yo n eo rm o r eg r a yl e v e l s ．H i g h r e s o l u t i o nc 锄眦i s u s e dt od o s e - u ps h o t so fr o c kg t 蜘o n ，a n dp i x e l p i x e l g r a yb o x e sa I e ∞V 口e db yt h eg t a y s c a l ed i g i t a li m a g e ．T h e n t h e3 - df r a c t a ld i m e n s i o nc a nb ee a l e u l m e c l ．T h ec a u 瞄o fe l T o rf r o mi m a g em e t h o da r ea n a l y z e d ．a n di m p r o v e m e n t m ⅨI g u 他Ba Mp r o p o s e d ． K e yw o r d s r o c km e c h a n i c s ；f r a c t u r es u r f a c e ；f r a c t a ] ．d l m e n s i o n ；c u b i ce m , e r i n g ；I l e Wm e l } 1 0 d 岩石断裂表面是岩石断裂后留下的关于断裂过 程的记录，在断口上蕴藏着其断裂过程中的丰富信 息。通过研究断裂表面信息可以探寻岩石断裂机理， 发现岩石的微结构组成和缺陷。自M a n d e l b o r t 等人 1 9 8 4 年首次采用分形理论对金属断面进行量化研究 以来，国内外已进行了大量相关研究。谢和平、陈至 达 1 9 8 7 ，P a n d e 1 9 8 7 等，穆在勤与龙期威 1 9 8 8 ， M e c h o l s k y ＆M a e h i n g 1 9 8 8 ，C a h n 1 9 8 9 ，S a o u m a B a r t o n 1 9 9 4 等分别研究了不同材料断裂表面的分 收稿日期2 0 1 1 一1 2 一l I 作者简介贾晓强 1 9 8 5 一 ，男，硬士研究生，从事岩石爆破设计与 技术应用方向研究， E m a i l j x q i a n 9 2 5 9 9 1 6 3 ．t o m 。 形特征以及表面分形维数与能量耗散和断裂韧性之 间的关系儿J 。由于条件限制，上述研究仅停留在对岩 石断面二维分形特征的研究上。M a n d e l b o r t 本人提出 剖线维数加1 来近似表示整个粗糙表面的维数p J 。 但粗糙表面的形貌复杂，表现为空间分布上的变形、 各向异性和局部化特征，仅采用粗糙表面上某条剖线 的分维数或几条剖线的平均分形维数均无法准确描 述整个表面的空间分形维数特征。这就需要对岩石 断面进行三维分形描述。 岩石断面的三维分形能更准确和全面地描述岩 石断面，能够帮助更为准确地研究岩石断裂的微观 机理、断裂过程和断裂性质等口“。谢和平、高峰、周 万方数据 第2 9 卷第2 期贾晓强，方向，宁强，等岩石断面三维分形维数的灰度测算新方法 3 9 宏伟、左建平、刘亚龙、李廷芥等前辈已经成功地将 分形理论引进到岩石断裂和破碎的过程中，其中包 括岩石微观断裂、宏观裂纹的动态扩展以及岩体破 碎的块度分布怕。2 | 。这都需要对岩石的局部或者整 个断面 剖面 进行分维的计算。可以看出，岩石断 面分形理论在岩石力学中有着广泛的应用。 近年来，随着科学技术的发展，开始采用扫描电 子显微镜、激光扫描仪等研究岩石断面的三维分形 特征。王怀文、周宏伟等在文献[ 8 ] 通过扫面电镜 下断口表面的三维重建，对断口表面的分形维数进 行了度量；张亚衡、周宏伟、谢和平在文献[ 9 ] 中对 立方体覆盖法进行了改进。 为了摆脱扫描电子显微镜、激光扫描仪等实验 设备昂贵的妨碍，同时尽量减少实验设备条件的限 制，采用更经济和便利的近距离高像素摄影测量法， 对岩石断面三维分形维数进行了测算，分析了该方 法造成误差的因素，并提出了相应的解决措施。 1 摄影法测量的可行性 1 ．1 测量系统的无标度特性 原始的灰度或彩色照片都具有连续的色调，即 在相邻的颜色或阴影之间是平稳过渡的，可是计算 机并不能理解任何连续的东西，信息被分成可以进 行处理的独立单元，像素就是可以用来度量图像数 据的最小的单元。 近距离摄影测量系统由一台高像素摄像机与配 置专业软件的计算机系统构成。采集岩石断面数据 时，将摄像机获取的图像经图像软件处理后经预先 编制的空间分形维数计算程序计算岩石断面的空间 分形维数。用一个标有“ ”号 控制点 的平板作 为控制场，岩石断面试样放置在平板上面，增强整个 断裂表面上明暗度的均匀性，以便于像素点之间的 灰度比较。 文献[ 5 ] 采用立方体覆盖法研究细沙岩分形维 特征时发现，当观测尺度6 1 ．2 5m i l l 时，粗糙表面 不表现分形特征，只有当6 1 ．2 5I T I I n 时粗糙表面 才表现出分形性质。文献[ 6 ] 采用改进立方体覆盖 算法后研究细砂岩表明形貌特征时，将粗糙表面存 在分形特征的无标度尺寸确定为6 1 ．6n l l T l 。因 此，研究者认为粗糙表面的分形性质存在于不同的 尺度范围，并不存在一个适宜于任何尺度范围的分 形维数。 夏才初、王伟、丁增志在文献[ 1 0 ] 中采用岩石 三维表面形貌仪对被测岩石表面进行面测量，仪器 主要有2 个高精度的工业摄像头、2 个工业镜头，摄 像头分辨率为1 ．4 4 1 0 6 像素，一次测量的最大面 积为2 0 0m mx1 5 0I T I I T I ～4 0 0l n n l 3 0 0I n n l ，最高测 量精度为0 ．0 2I n l i l 。因此，对于目前主流的上千万 像素的数码单反相机，很容易达到岩石断面分形维 数的尺度要求。 对于个1 0 0m n q 1 0 0l n n l 的岩石断面试样，采用 佳能G 1 X 相机进行拍摄，有效像素1 4 3 0 万，最高分辨 率4 5 3 2X 2 4 4 8 ，按1 ／5 的放大倍率拍摄成像，则最高测 量精度将达到0 ．2 0 ～0 ．1 1I I I I T I 级别。见图1 。 图1 近景摄影测量系统 F i g ．1 D i g i t a lc l o s ep h o t o g r a m m e t r ys y s t e m 1 ．2 构造灰度数字图像 在计算机领域，灰度数字图像是指每个像素只 有一个采样颜色的图像。用于显示的灰度图像通常 用每个采样像素为8 位的非线性尺来保存，这样可 达到2 5 6 级灰度。考虑到分维数的测算是一个极限 运算的过程，2 5 6 级灰度显然是不够的。若每个采 样用1 6 位来保存，可得到6 55 3 6 级灰度，若采用2 4 位保存时，可得到1 67 7 72 1 6 级灰度，这样的灰度级 数是完全可以保证灰度级数要求的。 2 数字图像三维盒维数计算理论 数字图像是以像素 e 为单位存储的，一幅宽 肘 e 像素，高N e 像素的数字图像，可以认为对应 一个M X N e 的矩阵，矩阵的每一个元素就代表一 个像素，元素的值是像素点的颜色或者索引色。如 果将图像的灰度G 作为第三维，取值范围，最小灰 度级为0 ，大于最小灰度级的均为l ，由此构成了一 个三维矩阵M N G 。 采用覆盖法统计数字图像的盒数量时，通过改 变像素宽度和灰度级数控制盒子大小。进行盒数量 统计时，在盒子内灰度级数大于图像最低级数，即该 矩阵不全为0 时，表示此盒子内含有要计算的对象， 计盒子数加l ，反之记0 。 按上述算法，改变不同划分网格尺寸的条件下， 遍历数字图像灰度矩阵，就可统计出使用各种不同 尺寸盒子进行覆盖时的盒子数。通过M a t l a b 编程 实现网格的自动划分和盒数量的统计，可求解得出 岩石断面的分形维数值。本论文研究中，是采用灰 万方数据 爆破 2 0 1 2 年6 月 度级数来代替岩石断面粗糙度的。 3 三维分形维数计算方法 采用立方体覆盖法测算的分形维数是纯几何意 义下的分形维数，计算过程中没有采用近似处理，每 个计算步骤均有精确的数学表达，因此通过覆盖数 字图像灰度矩阵的方法，计算的分形维数接近断裂 表面实际的空间分形维数。 采用立方体覆盖计算三维断面图像的分形维 数，基于测度维数的定义，集合A 的分形维数D 可 以定义为 。 揣 1 式中Ⅳ表示用“尺子”r 度量A 时的量度结果，用不 同的尺子度量A ，可得到不同的结果Ⅳ，由此可计算 出分形维数D 。 如图2 所示，对大小为M M 的图像，假设可以 用大小为e e e7 的网格覆盖整个图像，其中e ’ e G ／M ，G 为整个图像的灰度级数，u 。和b 。分别是 区域e e 内图像的最大和最小灰度，计算u 。和b 。 之间包含至少一个灰度级数的网格个数，记为J I 、r ，则 Ⅳ得数值随e 的取值不同而不同，尺子r e ／M ，M 为常数。网格尺寸e 即是测量图像灰度级数的尺 度，因此可以利用e 与Ⅳ函数关系计算图像灰度数 据的分形维数，由式 1 经简单数学推导可得 N e ／M 。 2 即 l o gN 一D l o ge C 3 式中，D 为图像的盒子维数，C D l o gM 为常数， 由不同e 值可得到不同 r 值。由式 3 可知，对e 、N 作双对数图，采用最小二乘法拟合的直线斜率即为 一D 。 选取武汉岩石力学研究所M T S 岩石力学实验 系统单轴压缩后细沙岩粗糙断面，摄影后处理成灰 度数字图像，如图3 。 基于M a f l a b 平台，将前面2 个步骤编写计算程 序，拟合数据如图4 所示。分析图4 的拟合数据发 现，采用立方体覆盖数字灰度图像矩阵的方法计算 本次试验中岩石断裂表面的分形维数值D 2 ．1 6 ， 满足空间分形维数的定义要求D ∈[ 2 ，3 ] ，充分说 明采用数字灰度图像覆盖法可有效地提取岩石断裂 表面的空间分形维数特征。 4 讨论 对同一组试件借助扫描电子显微镜进行断面扫 描，计算出三维分形维数D 2 ．2 0 。可见，采用摄影 法，通过灰度梯度计算岩石断面三维分形维数是可 信的。造成O ．0 4 的差异原因在于 图2 盒维数的三维计算方法 F i g ．2 M e t h o do fc a l c u l a t i n gt h e3 - db o xd i m e n s i o n 图3 岩石断面灰度数字图像 F i g ．3G r a y s e r ed i s t a li m a g e so fr o c ks e c t i o n 图4 三维分形维数计算结果 F i g ．4T h ec a l c u l a t i o nr e s u l t so f3 - df r a e t a ld i m e n s i o n 1 分析图4 可以看出，受计算条件和效率的 限制，不可能采用无限多的位数来保存每个采样，这 可能导致岩石粗糙表面的最凹处一级灰度的分界 点，即最凹处之上和之下都位于同一级灰度。因此， 选取不同6 时，立方体的覆盖起始点可能不同，此时 采用覆盖法统计岩石断裂表面的分形特征时不利于 粗糙表面的真实性和复杂性的完整体现。可采取文 献[ 3 ] 类似的措施，予以解决，这就需要对灰度数字 万方数据 第2 9 卷第2 期贾晓强，方向，宁强，等岩石断面三维分形维数的灰度测算新方法 4 1 图像进行二值化处理，将是另外一种空间分形维数 的计算方法见图5 图5 灰度的级数表不 F i g ．5G r a yS e r i e s 2 受摄影器材的限制，数值灰度图像的像素 是有限的，而分形定义本身是一个极限过程，6 越 小，所得到的分形维数越接近真实值，理论上当6 趋 近0 时，才能得到岩石断面的真实分形维数，而在数 值灰度图像像素不够时，会出现锐化现象而影响覆 盖和统计。 5 结论 从以上的计算和分析可知，通过对粗糙岩石断 面摄影，采用像素像素一灰度立方体盒子覆盖灰 度数字图像，能够比较准确地测算三维分形维数。 其理论基础与文献[ 6 ，7 ] 是一致的，它的不同之处 在于用像素像素一灰度立方体盒子代替了单纯的 以长度度量的立方体盒子。其研究思路建立在矩形 盒覆盖法计算复杂曲线的分形盒维数的基础上，可 作为平面曲线分形维数向空间曲面分形维数计算方 法的拓展。同时，摄影法避免了实验设备昂贵的限 制，省去了扫面电镜时需要喷金处理、抽真空等步 骤，计算结果和电镜扫描也很接近。 由于岩性不同的岩石粗糙表面存在有不同的分 形特征无标度尺寸范围，对摄影器材就提出了更高 的要求。在数值灰度图像像素足够的前提下，选取 合适的立方体的覆盖起始点，采用像素像素一灰 度立方体盒子覆盖灰度数字图像的方法，理论上可 以比较准确地测算出岩石断面的三维分形维数，但 结果仍需进一步的实践验证。 参考文献 R e f e r e n c e s [ 1 ]谢和平．分形一岩石力学导论[ M ] ．北京科学出版社， 2 0 0 5 ． [ 2 ]M A N D E L B O R TBB ．T h ef r a e t a lg e o m e t r yo fu a l u l t [ M ] ． N e wY o r k F r e e m a nWH ，1 9 8 2 ． [ 3 ] R E NZ h o n g - j u n ，P E N GX i a n g h e ．M i c r o m e c h a n i c a ld a m a g em o d e lf o rr o c k sa n dc o n c r e t e ss u b j e c t e dt oc o u p l e d t e n s i l ea n ds h e a rs t r e s s e s [ J ] ．A c t aM e c h a n i c a lS o l i dS i n i c a ，2 0 0 8 ，6 2 1 2 3 2 - 2 4 0 ． [ 4 ] Z H O UHW ，X I EH ．D i r e c te s t i m a t i o no ft h ef r a c t a ld i - m e r L i o no faf r a c t u r es m f a c eo fr o c k [ J ] ．S u r f a c eR e v i e w a n dL e t t e r s ，2 0 0 3 ，1 0 5 7 5 1 - 7 6 2 ． [ 5 ] 5 1 H GC ，P A R I SP C 。I R W I N GR ．O nc r a c k s i nr e c t i l i n e - a r l ya n i s o t r o p i cb o d i e s [ J ] ．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fF r a c t u r e ，1 9 6 5 ，1 3 1 8 9 - 2 0 3 ． [ 6 ] 谢和平，高峰，周宏伟，等．岩石断裂和破碎的分形 研究[ J ] ．防灾减灾工程学报，2 0 0 3 ，1 2 4 1 - 9 ． [ 6 ] X I EH e p i n g ，G A OF e n g ，Z H O UH a n gw e i ，e ta 1 ．F r a c t a l f r a c t u r ea n df r a g m e n t a t i o ni nr o c k s [ J ] ．D i s a s t e rP r e v e n t i o n a n dM i t i g a t i o nE n g i n e e r i n g ，2 0 0 3 ，1 2 4 1 - 9 ． i nC h i n e s e [ 7 ]李廷芥，王耀辉，张梅英，等．岩石裂纹的分形特性及岩爆 机理研究[ J ] ．岩石力学与工程学报，2 0 0 0 ，1 9 1 6 - 1 0 ． [ 7 ] L IT i n g - j i e ，W A N GY a o h u i ，Z H A N GM e i - y i n g ，e ta 1 ． F r a c t a lp r o p e r t i e so fc r a c ki nr o c ka n dm e c h a n i s mo fr o c k b u r s t [ J ] ．R o c k M e c h a n i c s a n dE n g i n e e r i n g ，2 0 0 0 ， 1 9 1 6 1 0 ． i nC h i n e s e [ 8 ]王怀文，周宏伟，谢和平，等．扫描电镜下断口表面的 三维重建及分形维数的测量[ J ] ．实验力学，2 0 0 8 ， 2 3 2 1 1 8 1 2 4 ． [ 8 ] W A N GH u a i w e n ，Z H O UH o n g w e i ，X I EH e p i n g ，e ta 1 ． 3 Dr e c o n s t r u c t i o na n df r a e t a ld i m e n s i o nm e a s u r e m e n to fa f r a c t u r es u r f a c eu n d e rS E M [ J ] ．E x p e r i m e n t a lM e c h a n i c s ， 2 0 0 8 ，2 3 2 1 1 8 - 1 2 4 ． i nC h i n e s e [ 9 ] 张亚衡，周宏伟，谢和平．粗糙表面分维估算的改进立 方体覆盖法[ J ] ．岩石力学与工程学报，2 0 0 5 ，2 4 1 7 3 1 9 2 - 3 1 9 6 ． [ 9 ] Z H A N GY a h e n g ，Z H O UH u n g W e i ，X I EH e p i n g ．I m p r o v e dc u b i cc o v e t i n gm e t h o df o rf r a c t a ld i m e n s i o n so fa f r a c t u r es u r f a c eo fr o c k [ J ] ．R o c kM e c h a n i c sa n dE n g i - n e e r i n g ，2 0 0 5 ，2 4 1 7 3 1 9 2 - 3 1 9 6 ． i nC h i n e s e [ 1 0 ] 夏才初，王伟，丁增志．T J X W - - 3 D 型便携式岩石三 维表面形貌仪的研制[ J ] ．岩石力学与工程学报， 2 0 0 8 ，2 7 7 1 5 0 5 1 5 1 2 ． [ 1 0 ] X I AC a i c h u ，W A N GW e i ，D I N GZ e n g - z h i ．D e v e l o p m e n t o ft h r e e d i m e n s i o n a lT J X W - 3 D - T Y P E Dp o r t a b l er o c k s u r f a c et o p o g r a p h y [ J ] ．R o c kM e c h a n i c sa n dE n g i n e e r - i n g ，2 0 0 8 ，2 7 7 1 5 0 5 1 5 1 2 ． i nC h i n e s e [ 1 1 ] s o u 正R OP 。A L I A B A D IMH ．F r a c t u r e m e c h a n i c sa n a l ． y s i so fa n i s o t r o p i cp l a t e sb yt h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h - 0 d [ J ] ．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fF r a c t u r e ，1 9 9 3 ，6 4 4 2 6 9 - 2 8 4 ． [ 1 2 ] P A NE ．Ag e n e r a lb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i so f2 Dl i n e a rE l a s t i cf r a c t u r em e c h a n i c s [ J ] ．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo f F r a c t u r e ，1 9 9 7 ，8 8 1 4 1 - 5 9 ． 万方数据