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Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 高等岩石力学高等岩石力学 第二章第二章 岩石的弹塑性本构关系岩石的弹塑性本构关系 引言引言 岩石塑性力学的特点岩石塑性力学的特点 1． 不仅静水压力可以引起岩石塑性体积的变化，而且偏应力也可能引起塑性体积变 化剪胀； 2． 岩石屈服准则不仅考虑剪切屈服，还要考虑体积应变屈服，表现在屈服面上，岩 石塑性力学的屈服面是封闭的，且越来越多地采用双屈服面和多重屈服面； 3． 岩石塑性力学不受稳定材料的限制，可考虑出现软化阶段的所谓不稳定材料； 4． 岩石塑性力学中考虑塑性势函数和屈服函数不一致的所谓非联合流动法则，这时 塑性应变增量方向和塑性势面正交，而和屈服面不正交； 5． 岩石塑性力学考虑弹性系数随塑性变形的发展而变化的弹塑性耦合现象。 - 1 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 目目 录录 第一节 非线性弹性理论 第二节 应力空间表述的弹塑性本构关系 第三节 应变空间表述的弹塑性本构关系 第四节 塑性的内蕴时间理论 - 2 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 第一节 非线性弹性理论第一节 非线性弹性理论 一．应力空间和应变空间一．应力空间和应变空间 在岩石力学中使用弹塑性理论是将岩石介质看作是一种连续介质，严格来说，岩石 介质的应力－应变关系都是非线性的。 本构关系是关于一个物质质点的力学性质，一般认为它是与应力和应变有关，而与 应力梯度和应变梯度无关。为了直观地描述质点的状态，引入应力空间和应变空间两个 概念。 应力空间是这样一个九维空间，指定的应力状态（二阶张量）的九个分量是这个空 间中的正交笛卡儿坐标系九个轴上的分量，于是，指定的应力状态 ij σ 用这个空间的一 个点来表示。应力状态变化的历史可用应力空间中的一条曲线表示，称为应力路径。 应变空间中的一个点对应于一个应变状态 ij ε ，应变空间中的一条曲线称为应变路 径，表示质点应变状态变化的历史。 应力空间表述取应力状态为基本的状态变量，应变为状态函数。 - 3 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 应变空间表述取应变状态为基本的状态变量，应力为状态函数。 二．用二．用 Cauchy 方法给出的本构方程方法给出的本构方程 按 Cauchy 方法可以这样定义弹性介质在外力作用下，物体内各点的应力状态和 应变状态之间存在着一一对应的关系，弹性介质的响应仅与当时的状态有关，而与应力 路径或应变路径无关，假设了应力和应变都是瞬时发生的。 用全量形式表示各向同性的弹性介质的本构关系如下 1 ss ijijkkij ss EE υυ εσσ δ − （2－1） 和 2 2 3 ijsskkijs ij KGG sσε δ− （2－2） 式中 s E 是材料的割线杨氏模量； s υ 是割线泊松比； s K 是割线体积模量； s G 是割线剪 切模量； 用增量形式表示各向同性的弹性介质的本构关系如下 - 4 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 1 tt ijijkkij tt ddd EE υυ εσσ δ − （24） 和 2 2 3 ijttkkijtij dKG dGdsσε δ− （2－5） 式中是材料的切线杨氏模量； t E t υ 是切线泊松比； t K 是切线体积模量；是切线剪 切模量； t G 三．用三．用 Green 方法给出的本构方程方法给出的本构方程 在应变空间中相应的点沿一闭合曲线移动一周，如果物体是弹性的，在变形过程中 满足 dAdudQ （2－11） 式中dA 是外力功增量；du 是内能增量；dQ 是进入系统的热量。其中ijij dAdσε 沿封闭的应变路径积分，得 ijij ddQσε ∫∫ （2－12） - 5 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 在绝热和等温条件下， 0 ijij dσε ∫ ，令 ijijij ddUσεε ，即 ij ij U σ ε ∂ ∂ （2－14） 上式就是应变空间表述的全量本构方程，将上式两边取微分，得应变空间表述的增 量本构方程，即 2 ijkl ijkl U ddσε εε ∂ ∂∂ （2－15） 现在使用 Legender 变换方法可以得到应力空间表述的全量和增量本构方程，分别为 ij ij ε σ ∂Φ ∂ （2－17） 和 2 ijkl ijkl ddεσ σσ ∂ Φ ∂∂ （2－18） 其中 ijijij Uσσ εΦ− - 6 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 第二节第二节 应力空间表述的弹塑性本构关系应力空间表述的弹塑性本构关系 一． 岩石的单轴压缩试验一． 岩石的单轴压缩试验 如图所示为一般岩石在普通室温和大气压条件下进行的单轴压缩试验典型应力－ 应变曲线，曲线大致分为四个区域 - 7 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 第Ⅰ区域（OA 段） 应力－应变曲线向上弯，即随着变形的增加，产生同样大小 的应变所需增加的应力越来越大； 第Ⅱ区域 （AB 段） 应力－应变曲线接近于直线， 它的斜率即为岩石的弹性模量 E， B 点对应的应力称为弹性极限或屈服应力； 第Ⅲ区域（BC 段） 曲线逐渐下弯，C 点处达到峰值，其对应的压应力值称为压缩 强度在这区域任何点 P 处卸载，应力应变将沿 PQ 下降，当压应力降为零时，应变却没 有完全消失，说明岩石中存在参予变形，称为塑性变形，如果重新加载，应力－应变将 沿 QR 上升至 R 点，岩石仅发生弹性变形，相当于把弹性极限从 B 点对应的应力值提 高到 R 点对应的应力值，这种现象称为应变硬化。 第Ⅳ区域（CD 段） 出现应力降低、应变增加的现象，称为应变软化。 为了突出弹塑性材料的主要性质，将上述试验曲线进行简化 ①在整个 OB 阶段假设变形是纯弹性的，应力－应变之间成线性关系； ②从超过 B 点之后的状态卸载和重新加载的两条曲线完全重合，通常不考虑弹塑性耦 - 8 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 合现象。 岩石单轴压缩试验表明 ①在塑性状态，弹塑性材料具有历史相关性或路径相关性，这使得本构方程的表述要 比非线性弹性复杂； ②岩石体积应变和平均压力之间不是线性的， 岩石体积应变既有静水压力作用下的压 缩体积应变，又有受剪引起的塑性体积应变。在硬化阶段，压缩体积应变是主要的，表现 为岩石的体积压缩，而在软化阶段，岩石的塑性体积应变不断增大，岩石体积膨胀，称为 剪胀现象； ③岩石具有明显的 Bauschinger 效应。 二． 岩石屈服条件和屈服面二． 岩石屈服条件和屈服面 从弹性状态开始第一次屈服的屈服条件称初始屈服条件，它可以表示为 0 ij fσ 当产生了塑性变形，屈服条件的形式发生变化，此时的屈服条件称后继屈服条件， - 9 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 它可以表示为 ,, 0 p ijij fσ σχ （2－22） 式中 ij σ 为总应力， p ij σ 为塑性应力，χ为标量的内变量，它可以代表塑性功， 塑性体应变，或等效塑性应变，屈服条件在几何上可以看成是应力空间中的超平面。 对于一个介质质点，它的状态可以用外变量 ij σ ，内变量 p ij σ 和χ来完全描述，一 般地，使 ,, 0 p ijij fσσχ 三． 硬化材料的屈服面模型三． 硬化材料的屈服面模型 1． 等向硬化－软化模型 塑性变形发展时，屈服面作均匀扩大（硬化）或均匀收缩（软化） ，如果 * 0f 是 初始屈服面，那么等向硬化－软化模型的后继屈服面可表示为 - 10 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee * 0 ij ffHσχ− （2－28） 2． 随动硬化模型 塑性变形发展时， 屈服面的大小和形状保持不变， 仅是整体地在应力空间中作平动， 其后继屈服面可表示为 * 0 p ijij ffσασ− （2－29） 3． 混合硬化模型 对于大多数实际材料，屈服面的硬化规律大概介于等向硬化－软化和随动硬化之 间，这种模型的后继屈服面可表示为 * 0 p ijij ffHσασχ−− （2－30） 复杂应力作用下状态下的各种硬化模型如下所示。 - 11 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 四． 塑性岩石力学最常用的屈服条件四． 塑性岩石力学最常用的屈服条件 1． 库仑（Coulomb）屈服条件 库仑屈服条件是一种等向硬化－软化模型， 它认为当材料某平面的剪应力达到某一 特定值时，材料就进入屈服，而这一特定值不仅与材料自身的性质有关，而且与该平面 上的正应力有关，一般表示为 - 12 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee tan n cτσφ 主应力的表示形式为 1231312 11 ,,sincos0 22 fcσ σσσσσσφφ−−− 库仑屈服条件没有考虑围压 2 σ 对屈服特性的影响；德鲁克－普拉格屈服条件是对 库仑屈服条件的修正，它不仅能考虑围压 2 σ 对屈服特性的影响，而且能反应剪切引起 膨胀（扩容）的性质。 2． 德鲁克－普拉格（Drucker－Prager）屈服条件 德鲁克－普拉格屈服条件也是一种等向硬化－软化模型，可表示为 1/2 12 0fIJKα− 式中是应力第一不变量， 31 I 112 Iσσσ ； - 13 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 2 J 是应力偏量第二不变量， 222 2122331 1 [ ] 2 Jσσσσσσ−−− 在主应力空间中，库仑屈服条件是一个六棱锥，德鲁克－普拉格屈服条件是一个圆锥， 以上两种屈服条件在π平面上的几何图形如图所示。 - 14 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 五． 塑性状态的加载－卸载准则五． 塑性状态的加载－卸载准则 1． 理想塑性材料的加载－卸载准则 由于理想塑性材料是无硬化的，它的后继屈服条件和初始屈服条件是一致的，后继 屈服面和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，故它与加载历史无关。 在这样的塑性状态下，材料对所施加的应力增量 ij dσ 有两种不同的反应，一种是有 新的塑性变量增量 p ij dε 出现，这种情况称为塑性加载，简称加载。由于加载是从一个塑 性状态（ ij σ ， p ij σ ，χ）变化到另一个塑性状态（ ijij dσσ ， pp ijij dσσ ， dχχ ）上， 应力点始终保持在屈服面上，因而有 0df ，这个条件称为一致性条件；另一种情况是 无新的塑性变形发生，即 0 p ij dε ，反应是纯弹性的，这种情况称为塑性卸载，简称卸 载，在卸载期间，材料从一个塑性状态退回到一个弹性状态，即从一个使 0f 的状态 退回到一个使的状态，因而在卸载时有。 0f 0 0 when a0 a a ⎧ ⎨ ≤ ⎩ （2－52） - 20 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 并考虑到硬化材料的加载－卸载准则，可将塑性状态加载、中性变载和卸载情况的本构 方程写成统一的形式，即 ,, 0, 1 ,, 0, p ijijijijklkl p ijijijijklklkl ijkl when fdC d gf when fdC dd A σσχεσ σσχεσσ σσ ⎧t1）应力为 ijij dσσ ；然 后卸去附加应力（卸载） ，直到t＝t3时应力状态又回复到 0 ij σ ，于是完成一个封闭的应力 循环（如图所示） 。 32 12 0 1 []0 2 tt ppp ijijijijijij tt pp ijijijijijij ddd dddd εσεσεσ σεσσσε −≤ ∫∫∫ 经简化得 0 0 p ijijij dσσε−≥ （2－59） 由上式导出结论塑性应变增量矢量与屈服面正交。 - 22 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 由于弹塑性耦合性质， 对于塑性状态下一个应力增量 ij dσ ， 应变增量可以分解为三部分 RCP ijijijij ddddεεεε （2－60） 其中 R ij dσ 是卸除增量应力后可消失的那部分变形，称为可逆应变增量，它与应力增量之间的 关系是 R ijijklkl dC dεσ （2－61） C ij dσ 是因屈服 （内变量变化） 导致弹性模量变化而引起的应变增量， 称为耦合应变增量， - 23 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 并且有 C ijijklkl ddCεσ （2－62） P ij dσ 是通常意义下的塑性应变增量。 - 24 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 第三节第三节 应变空间表述的弹塑性本构关系应变空间表述的弹塑性本构关系 一． 应变屈服条件和应变屈服面一． 应变屈服条件和应变屈服面 用九维空间中的一个点代表物质质点的应变状态，假设存在超曲面，它所包围的区 域内部所有的点能用纯弹性应变的路径达到， 而这个超曲面上的点表示介质将会发生进 一步的塑性变形，这个曲面就是应变空间的屈服面，用公式表示为 ,, 0 p ijij Fεεχ 0 ij Fε 表示初始屈服面； 表示处于弹性状态； ,, 0 p ijij Fεεχ 2 12 69 210 bK LbL bG αα′ − ，完全加载，有 22111221 1 p ijklijklij klij klijkl Dbq qbr rbq rbr q B −− （2－163） 方程（2－159）～（2－163）及其加载－卸载准则构成了帽盖模型奇异点处完整的本构 关系，奇异点处的加载－卸载准则可用下图几何表示 - 35 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee - 36 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 第四节第四节 塑性的内蕴时间理论塑性的内蕴时间理论 内蕴时间理论是由 Valanis 最初提出的，设引入一个时间尺度ξ，这个时间尺度与 牛顿时间 t 无关，仅仅依赖于内在的材料变形特性。时间尺度ξ是塑性变形的单调增函 数，用下式定义 pp ijijklkl ddP dξεε （2－164） 另一方面为考虑真实材料的时间相关性，引入与牛顿时间 t 有关的时间尺度ζ，即 内蕴时间量度 （2－165） 2222 dddtζαξβ 将ξ转化为内蕴时间标度 zζ ， , 0 ddz dz fd ζ ζζ （2－166） 式中， fζ 是硬化－软化函数，用它表征材料在变形过程中的硬化－软化效应。 内蕴时间理论认为， 塑性和粘塑性材料内任何一点的现时应力状态是该点领域内整 个变形和温度历史的泛函。 采用内蕴时间 z 而不是牛顿时间 t 去度量不可逆变形的历史， - 37 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee 就是将材料性质及其内部结构变化对本构关系的影响， 突出到用一个基本变量来加以描 述的程度。 一．热力学基础一．热力学基础 Valanis 内蕴时间理论是建立在以内变量理论为基础框架的不可逆热力学基础上， 对 于等温过程，微分形式的热力学控制方程将是 1 ijij eσ ε ρ ii （2－167） 0 ijij rρθσ ερψ−≥ iii （2－168） 上两式中，e 是每单位质量介质的能量；r 是不可逆熵；ψ是自由能；式（2－167） 在物理上是能量守恒定律或热力学第一定律； （2－168）是热力学第二定律或称为耗散 率不等式。 将应力ij σ 和自由能ψ表示为变形状态ij ε 和某些独立的内变量的函数，如下式 a q - 38 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee , ijijija qσσε （2－169） , ija qψψ ε （2－170） 将式（2－170）对时间微商，得到 ija ija q q ψψ ψε ε ∂∂ ∂∂ iii （2－171） 将（2－171）代入（2－168）得 0 ijija ija q q ψψ σρερ ε ∂∂ −−≥ ∂∂ ii （2－172） 如果上式对可逆和不可逆过程都是正确的，那么有 0 ijij ij ψ σρε ε ∂ − ∂ i - 39 - Advanced Rock Mechanics Presented by Elite Lee ij ij ψ σρ ε ∂ ∂ （2－173） 由（2－168） 、 （2－171） 、 （2－173）得 0 a a rq q ψ θ ∂ −≥ ∂ i （2－174） （2－173）和（2－174）对任何材料都是适用的，的性质表示具体材料的本构特性。 a q 二．本构关系二．本构关系 由前面的方程可知，ζ和是单调增函数，故有 z 0, 0 ddz dtd ζ ζ （2－175） 根据（