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第 25 卷 增 2 岩石力学与工程学报 Vol.25 Supp.2 2006 年 10 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct.，2006 收稿日期收稿日期2004–01–20；修回日期修回日期2006–03–28 基金项目基金项目山东省自然科学基金Y2005–A03资助项目；山东省教委重点资助项目G04D15 作者简介作者简介 潘 岳1947–， 男， 1982 年毕业于东北工学院工程力学专业， 现任教授， 主要从事岩土力学方面的教学与研究工作。 E-mail panyue 非对称开采矿柱失稳的突变理论分析非对称开采矿柱失稳的突变理论分析 潘 岳 1，张 勇2，吴敏应1，王志强1 1. 青岛理工大学 土木工程学院，山东 青岛 266520；2. 青岛湎店管理学院，山东 青岛 266100 摘要摘要正确求得非对称开采岩梁弯矩方程和挠曲线方程，采用 Maple9.5 符号运算软件，通过由能量守恒原理导得 的总势能函数微分形式途径， 建立非对称开采岩梁–狭窄矿柱系统动力失稳的突变模型， 以分析形式给出矿柱失 稳临界条件、矿柱失稳起始点和终止点位置，给出失稳瞬间岩梁的弹性能释放量；采用 Matlab 软件绘出的矿柱失 稳性状图解形式蕴涵了丰富的信息量，对了解岩梁–矿柱系统各形变阶段的行为规律和识别岩梁沿某方向的等效 刚度问题上有重要作用。分析结果表明，对称开采时岩梁等效刚度最大，非对称开采减小岩梁的等效刚度。非对 称开采时矿柱受偏压，因此又减小了矿柱刚度即冲击倾向，其综合效果会使其失稳的强度要小于对称开采时矿柱 的失稳强度。 关键词关键词采矿工程；矿柱；折迭突变；能量输入率；弹性势能变化率；能量释放量；非对称开采 中图分类号中图分类号TD 324 文献标识码文献标识码A 文章编号文章编号1000–69152006增 2–3694–09 ANALYSIS OF CATASTROPHE THEORY FOR PILLAR DESTABILIZATION IN DISSYMMETRIC MINING PAN Yue1，ZHANG Yong2，WU Minying1，WANG Zhiqiang1 1. College of Civil Engineering，Qingdao Technological University，Qingdao，Shandong 266520，China； 2. Qingdao Hismile College，Qingdao，Shandong 266100，China Abstract The equations of bending moment and deflection line of rock beam in dissymmetric mining are deduced. Using the symbolic operation software Maple9.5， the catastrophe model of dynamic buckling in rock beampillar system，is established through the way that the differential of total potential function is deduced by principle of conservation of energy. The critical condition，positions of start point and end point of pillar destabilization are analyzed，and the elastic energy releasing amount of rock beam at destabilization instant is also given. The diagrammatic of the behavior of pillar destabilization，which is protracted by the software Matlab，contains rich ination. It has important effect on the problem of realizing the behavior rule in every deation phase of rock beampillar system，and it distinguishes the equivalent stiffness of rock beam in a certain direction. The analytical results show that the equivalent stiffness of rock beam is the largest in symmetric mining，and that dissymmetric mining lessens the equivalent stiffness of rock beam. The pillar surfers eccentric compression in dissymmetric mining，so it lessens the stiffness of pillar，i.e. impact tendency. The resultant effect shows that the destabilization intensity of pillar is smaller than that of symmetric mining. Key words mining engineering； pillar； fold catastrophe； energy importing rate； rate of elastic energy change； energy releasing amount；dissymmetric mining 1 引引 言言 根据潘 岳和王志强[1]在将顶板端部视为固定 支承条件下所建立的对称开采情况下狭窄矿柱失稳 突变模型，对矿柱失稳原型包括系统稳定性在内的 行为特征作了描述。由于受地质条件的限制，有时 对称开采难于实现，而采空区的稳定性直接关系到 第 25 卷 增 2 潘 岳等. 非对称开采矿柱失稳的突变理论分析 3695 矿井安全生产和深部矿体的开挖规划的实现，李 宏 等[2 ，3]采用计算机符号运算方法，在非对称开采和 将未采矿层视为弹性地基的两种情况，对坚硬顶板 下矿柱岩爆前兆规律进行了探讨，本文拟采用突变 理论方法对非对称开采下的矿柱稳定性进行分析。 2 非对称开采的分析模型非对称开采的分析模型 采场布置如图 1 所示，在矿层上方赋存坚硬岩 层，矿柱由渐近进破裂突发生岩爆时，顶板岩层并 不破坏而仅参与释放能量[4]。设底板不变形，工作 面很长，在 I–I 剖面处取单位长度研究，即可将顶 板视为岩梁，岩梁自重及上覆岩层的作用简化为集 度为 q 的均布荷载，单位长度矿柱的作用可视为在 ax 处的集中力 F；在矿柱对中央位置有较小偏离 情况下，可假定矿柱上方岩梁挠曲线转角为 0；矿 柱相对狭窄，其压缩量远大于未采矿层的压缩量， 为简化分析，设未采矿层不可压缩，梁固嵌其中， 如图 2 所示。在矿柱形变破裂过程中梁保持弹性， 其抗弯刚度为EI。矿柱介质的应力–应变关系[5] 为 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m E 0 0 exp ε ε εσ 1 式中 0 E为其初始弹模；m为曲线同族指数； 0 ε与 峰值应力 c σ对应的应变 c ε的关系为⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 1 ε m m c ε，当1m时， c0 εε。 这样矿柱对岩梁点C的作用力或矿柱的荷载– 位移关系见图3为 1工作面；2未采矿层；3狭窄矿柱；4巷道；5岩梁 图 1 采场布置示意图 Fig.1 Schematic diagram of stope layout 图 2 岩梁–狭窄矿柱系统的简化模型 Fig.2 A simplified model of rock beam-pillars system 图 3 狭窄矿柱的荷载–位移曲线 Fig.3 Load-displacement curves of rock beam and pillar ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m u u uuF 0 exp λ 2 式中HBE0λ为矿柱的初始刚度，其中B，H 分别为矿柱的宽与原始高度；u为矿柱形变即其上 端位移，也即岩梁在ax 处的挠度见图2， 00 εHu 。 3 非对称开采下梁的挠曲线方程非对称开采下梁的挠曲线方程 图2中若撤去矿柱支撑，岩梁将下沉，并处在 自重与上方赋存岩体作用下相协调的静平衡位置 图4，跨中挠度24 4 max EIlqu。图2中矿柱的支 承力uF使梁挠曲线上包括跨中及点C在内的各 点位移都受到限制，但在重力荷载q作用下梁挠曲 线上各点总有恢复到图4中静平衡位置的倾向。正 图 4 无矿柱支承时的岩梁挠曲线状况 Fig.4 State of deflection line of rock beam without sustain of pillar 1 4 3 1 4 II q 32 2 5 q A H y ab 2l u Fu x C B Fu uuj us o α j Ke 1 s t s c j ΔE s α α q 24 max EIquu AB x y C ab l l 3696 岩石力学与工程学报 2006年 是这种趋向，会导致矿柱失稳破裂。 在ax 处岩梁挠曲线或横截面转角为0条件 下，可以将图2中固嵌梁在均布力q和矿柱反力 uF共同作用下， 矿柱位移为 u时的梁端弯矩和剪 力分成如图5a，b所示的两部分进行研究。根据 结构力学[6 ，7]基本理论， 则图 5a中两端固嵌梁受均 布力q及右端有顺时针侧向位移u 时，A端与C端 的弯矩规定弯矩使梁下侧受拉为正、剪力分别为 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − −−− u a EIqa Qu a EIqa Q u a EIqa Mu a EIqa M CAAC CAAC 33 2 2 2 2 12 2 12 2 6 12 6 12 ， ， 3 图 5 矿柱的梁端反力 Fig.5 Counter forces at beam ends of pillar 图5b中两端固嵌梁受均布力q及左端有逆 时针侧向位移u时，C端与B端的弯矩、剪力分别 为 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −−− −−− u b EIqb Qu b EIqb Q u b EIqb Mu b EIqb M BCCB BCCB 33 2 2 2 2 12 2 12 2 6 12 6 12 ， ， 4 以点A为原点，由式3可得AC段的弯矩方程为 − 2 2 1 qx xQMxM ACAC ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −u a EIqa xu a EIqaqx 2 2 3 2 6 12 12 22 5 以点B为原点，由式4可得BC段的弯矩方程为 −− 2 2 2 qx xQMxM BCBC ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −u b EIqb xu b EIqbqx 2 2 3 2 6 12 12 22 6 由式5和挠曲线微分方程xMyEI−′ ′可得 以点A为原点的AC段梁的转角、挠曲线方程为 xu a EIqax u a EIqaqx yEI ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −′ 2 22 3 3 1 6 122 12 26 7 2 6 126 12 224 2 2 23 3 4 1 x u a EIqax u a EIqaqx yEI ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 8 由式6可得以点B为原点的BC段梁的转角、 挠曲线方程为 xu b EIqbx u b EIqbqx yEI ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −′ 2 22 3 3 2 6 122 12 26 9 2 6 126 12 224 2 2 23 3 4 2 x u b EIqbx u b EIqbqx yEI ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 10 由式7～10容易验证所求得挠曲线方程满足 A端和B端0y，0 ′ y ，及在C端0 1 ′ a y， 0 2 ′ b y和ubyay 21 的边界条件。 由式3，4还可得矿柱形变为u时对岩梁提供 反力或C端处挠度u与q及F之间的关系式为 − CBCACBCA QQYYuF ukl ba lq 3 33 11 12⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 11 其中， 3 lEIk 12 4 矿柱失稳的突变理论分析矿柱失稳的突变理论分析 4.1 非对称开采矿柱失稳的折迭突变模型非对称开采矿柱失稳的折迭突变模型 下文中关于位置的微分用d表示，关于变量的 微分用δ表示，在这里先予以说明。 矿柱动力失稳是在其荷载–位移uF曲线峰 值强度后的软化段上发生的， 在uF曲线软化段上 岩梁–矿柱系统的平衡位置有准静态位移即矿柱 的压缩变形或其上端位移为 uδ时，岩梁因其挠曲 线上各点均向图4中平衡位置趋近而要释放弹性形 变能0 e ＜Uδ；矿柱以其内微裂纹扩展、连通耗散 能量0 p ＞Uδ，当 pe UUδδ−＜时，外力q在其位移 上做功Wδ＞0补充能量，才能使矿柱产生变形。 由于是处于准静态， 无动能影响， 由能量守恒原理， AC M CA M AC Q CB M CB M CB Q CB QCA Q q q A C C B x b x a u 第 25 卷 增 2 潘 岳等. 非对称开采矿柱失稳的突变理论分析 3697 可得关系式[1]为 0 pe δ−δδWUU 13 式13是以矿柱上端位移到u时的状态为参考 态建立的，矿柱有微位移0＞uδ而系统处于准静态 时的系统功、能增量平衡关系也即总势函数微分形 式。 矿柱上端有位移增量uδ时耗散能量为 uFUδδ p 14 相应岩梁释放的能量为 δδ δδ ∫∫ ∫ xxMxM EI xxMxM EI xxxMU l a a l d 1 d 1 d 2 0 2 0 e κ xxMxM EI xxMxM EI ba d 1 d 1 0 22 0 11∫∫ δδ 15 式中EIxMx κ为梁点C挠度矿柱位移 为u时挠曲线上x处的曲率，而xκδ为挠曲线点C 有挠度增量uδ时挠曲线x处曲率的改变量。 外力功增量 δδδδ ∫∫∫ xxyqxxyqxxyqW l a al ddd 2 0 2 0 xxyqxxyq ba dd 0 2 0 1∫∫ δδ 16 式中xyδ为点C处挠度增量为uδ时的挠曲线任 一点x处的挠度增量。把式5，6代入式15可得 ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − δ − ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− δ ∫ ∫ b a bxu b EIb xbx q EI xaxu a EIa xax q axu a EIa xax q EI U 0 3 2 2 3 2 2 0 3 2 2 e 2 6 6 2 1 d2 6 6 2 2 6 6 2 1 xbxu b EIb xbx q d2 6 6 2 3 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − δ − 17 在上式中通过式11可将q用F和u表示，qδ 用Fδ和uδ表示，再利用Maple9.5符号运算软件在 上式关于x积分、整理后可得 ukuCFkA u F kuAF B U δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ δ δ 3842424 360 1 e 18a 其中， ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − 7 5533 224 55 5 3 33 33 2 4 2 2 l baba baba C ba l B l ba ba A 18b 将式18a代入总势函数微分形式式13， 并在 等式两边除以uδ后可得 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ δ 3842424 360 1 kuCFkA u F kuAF B 0− JF 19 这里式19是以矿柱上端位移到u时的状态为 参考态建立的，矿柱上端有大于0的微位移uδ ＞ 0而系统处于准静态时的平衡方程， 式19中J可表 示为 uWJδδ 20 J为使矿柱产生单位位移时所需外界输入系统 的能量，可称之为能量输入率[1]。从所导得的式13 及关于式13的物理意义说明可知，式19中的 0＞J时，矿柱在作准静态位移；若式19中的0J 时，则表明无须外力q做功，仅凭系统内部的能量 转移顶板或岩梁所蓄的弹性应变能向矿柱转移， 矿柱位移便可自动增大，表明系统处于临界状态， 故可用0J来作为判定系统失去准静态， 或矿柱失 稳破裂岩爆的临界条件。 图3中由式2表示的uF曲线软化段上拐点t 处的位移 t u满足0′ ′ t uF的条件，可得 t u与 0 u间 的关系为 m t m m u u 1 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 21 式21表明曲线指数m大则 0 /uut 小，即uF曲 线软化段较陡，矿柱介质的冲击倾向增强。岩爆在 uF曲线峰值力后软化段上拐点t之前的某点开始 而在拐点之后的某点结束，利用式21可将uF曲 线表达式2在拐点对应的位移 t u处展开得 3698 岩石力学与工程学报 2006年 −−− 32 1 6 t t tt uumm u uumuuF β ββ L−− 422 3 114113 24 t t uummm u β 22 式中]/ 1 [ expmm−λβ。将式22代入平衡方 程式19可得 −−−−− ⋅−− tt t t uAkKmuuAkm Kmuu u Akmm 241 24 1 2 241 2 2 βββ β ββ 0360 3 − t uuOJBk 23 由式22可知，在式23中的K可表示为 384384 t uF kC m kC K ′− β 24 以下讨论K在1附近取值的情况。由于 t uu − 的2次项是式23中系数不为0的最低幂项，根据 确定性原则[8]，式23对应的是突变理论中折迭突变 模型[8 ，9]的平衡方程，故可略去 t uu −的3次以上 项来讨论岩梁–矿柱系统的稳定性。将式23化成 量纲一的量形式并略加整理后得 0 241 1 8 15 1 1 2 241 24 1 241 24 1 22 2 2 2 2 − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − t t t uFAkmC BKJ m K Akm AkmK Akm AkmK u uu β β β β β 25 在推得式25时已利用 tt uuFβ和式24。 由此作变量代换 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎭ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − −− − 241 1 8 15 1 1 2 241 241 241 241 1 2 2 2 2 2 uFkmC BKJ m K Akm AkmK Akm AkmK u uu w t t β β β η β β 26 可将式25转化成折迭突变模型平衡方程的正 则形式[7] 0 2 ηw 27 式中w为状态变量，η为控制变量。当η≤0时， 式27的图形为一抛物线，0η或1−K轴时将抛 物线分成上、下两枝，如图6所示。并有 t u Akm AkmK u 241 241 1 2 * ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − β β 28 图 6 折迭突变模型的平衡曲面 Fig.6 Equilibrium surfaces of fold catastrophe model 式26中第1式将Fu曲线上的点映到图6中 0w的1−K轴上。显然 * u值随K而变，1K 时， t uu * 。 将式8，10代入式16， 并利用式11将qδ用 Fδ和uδ表示，可得到外力功增量为 δW ∫ 0 ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −δ a xaaxx q EI q 241224 2234 ∫ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −δ ⎥ ⎦ ⎤ − δ b xbbxx q EI q xaxx a uEI 0 2234 23 3 241224 d32 ⎥ ⎦ ⎤ − δ xbxx b uEI d32 23 3 []ukCF Bk lq δδ384 360 29 式29代入式20后得能量输入率为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ δ δ δ Ck u F Bk lq u W J384 360 30 由此看到能量输入率J是个变量。在uF曲线 软化段的某些区段上式30中的0＞J。在这样的区 段上，式25可以写成如下两个式子，即 − 10 wK u uu t t 24 18 15 1 2 1 1 2 0 t uF Ak C BKJ KK m ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − β 31 K-1 1＞K K 1 分枝 1 1＜K 分枝 2 η w j s o 第 25 卷 增 2 潘 岳等. 非对称开采矿柱失稳的突变理论分析 3699 − 20 wK u uu t t 24 18 15 1 2 1 1 2 0 t uF Ak C BKJ KK m ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − β 32 其中， 241 241 0 Akm AkmK K −− β β 式31，32分别为岩梁–矿柱系统准静态平衡 路径的下、上两个分枝，且分别对应于图 3中uF 曲线峰后软化段拐点t以上和以下的某区段。在矿 柱破裂情况下，岩梁–矿柱系统平衡位置最终是要 到达图6中分枝 2 的。从图6中可得，对不为0的η 值，系统有 2 个平衡位置与其对应，当K值给定， 若平衡位置由分枝1经原点或1−K轴过渡到分枝 2即两条准静态平衡路径可以延伸到1−K轴， 矿柱 将以准静态形式破裂。否则，平衡位置将以跳跃形 式到达分枝2，矿柱以动力失稳形式破碎岩爆。 4.2 非对称开采矿柱失稳特性非对称开采矿柱失稳特性 K固定时，由式26，30和31可知，当 * uu＜ 且在矿柱压缩、岩梁下沉u增大过程中，u F′ 及J 减小，故η与w1由负向0变化，即系统平衡位置 1 w，η沿在图6分枝1右行；由式26，30和32 可 知，当 * uu＞且u增大时，u F′ 及J增大，故η 负向增大而w2正向增大，即平衡位置 2 w，η沿分 枝2左行。下面来看K取不同的值时u趋近和离开 式29中的 * u，即平衡位置w，η趋近和离开1−K 轴的情况。 1 C384 t uFk′−＜即K＜1时 平衡位置 1 w，η沿分枝1右行，由此可以证 明， 在分枝1上存在某点0＜ j w， 即 * uu＜的某点 j u 处，有 * tj uFuFuF′−′−′−＜＜会使得 0384′CkuF j 33 由此Cook刚度判据[10]得到满足，在点 j u处 式30中有 0 δ δ u W 或0J 34 由前文可知该系统处于临界状态。由式16可 得 u ylq u xxyq u W l δ δ δ δ δ δ∫ m 2 0 2 d 35 其中， l xxyq y l 2 d 2 0 m ∫ δ δ 36 为梁轴ax 处有挠度增量uδ时挠曲线上各点挠度 增量的平均值。只要矿柱形变0＞uδ，图2中梁 挠曲线除点A，B外的任一点上的挠度增量0＞xyδ， 故恒有挠度的平均增量0 m＞ yδ。系统平衡位置在准 静态平衡路径分枝1上移动时， m yδ与uδ是同阶微 量。通过式35，由临界条件/WJδuδ0，或 0 m δ δ u y ，可得 m y u δ δ →∞ 37 这表明在 j u处，位移u将有一个突然的有限 改变量。由于除K − 1轴上的点之外，对于同一η值， w有2个状态与之对应，故平衡位置将从分枝1的 j w点跳跃到分枝2的 s w处见图6。在 s w点有着与 式22形式相同的关系式，即 0384′kCuF s 38 如图3所示。由于在点j，s均有0J，根据 式31，32可得矿柱以动力形式失稳的幅度为 −Δ js uuu t uK Akm AkmK m ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −− 1 2 241 241 1 2 β β 39 注意到式17中][uuFuuFuuFδδ， 将 式17与式14相加，再将它们从 j u到 s u积分此阶 段0J，可得失稳期间岩梁所释放的超过矿柱由 于破裂所吸收能量之后的弹性应变能部分为 ⋅−−Δ48[ 720 1 22 jjssjs uFuFAkFF Bk E ∫ δ− s j u u js uuFuukCA 22 2 ]384 24 40 其几何形式为图3阴影区面积将图中jo斜直 线平移到右边j点所围成。 由于是释放能量，EΔ＜ 0。这部分多余的能量将转变成岩梁–矿柱系统的 动能 ETΔ−Δ 41 TΔ中一小部分消耗于矿柱裂缝动力扩展，大 3700 岩石力学与工程学报 2006年 部分将转变成围岩自身的动能，引起弹性波向四周 传播。 当bla＞＞时，由式3，4可知，岩梁C处的 梁端弯矩 CBCA MM＞，这使矿柱受有逆时针方向的 附加力矩 CBCAC MMM−，利用式11可将的附加 力矩 CBCAC MMM−用F和u表示为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 22 22 11 6 12 ba uEI baq MC ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 33 3 96 6 ba l uEIF ba 42 附加力矩 C M对矿柱产生小偏压，其偏心矩为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 33 3 96 1 6 ba l uF uEIba uF M e C 43 小偏压使矿柱一侧的压缩量要大于另一侧，因 此矿柱若发生动力失稳，必定发生在压缩强度大的 矿壁处，导致侧帮岩爆。 小偏压使图1矿柱横截面承受轴压力的面积 1B减小为1BBB＜，式2中矿柱的初始刚度 HBE0λ相应减小为HBE0λ， 矿柱轴向承载 力F减小为]exp[ 0 m uuuF−λ，uF曲线软化 段拐点处斜率的绝对值 t u F′ 减小为 ′ t uF ]1 [ expmmm−λβ，曲线软化段变得平缓。也 就是说，小偏压减小了矿柱刚度即冲击倾向。 2 384 t uFkC′−即1K时 当1K时， 式28中的 t uu * 对应图6中1−K 轴上的点，而式31，32则转变为 24 18 15 1 1 1 t t t uF Ak C BJ m w u uu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − β 44 24 18 15 1 1 2 t t t uF Ak C BJ m w u uu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − β 45 平衡位置 1 w，η沿分枝1右行，J由正而减小； 据条件kCuF 384 t ′−及式30可知，当 t uu * u时，临界条件0J才得到满足，因为这时式44， 45中的0 21 ww，也即这时图6中岩梁–矿柱 系统的准静态平衡路径分枝1和分枝2延伸到1−K 处相连， 从而平衡位置可以平稳无跳跃地从分枝1 过渡到分枝2并沿分枝2左行。这表明，随工作面 推进及矿柱受力情况的变化，矿柱持续地以渐进形 式破裂，而降低了对岩梁的支撑作用。 3 384 t uFk′−＞即K＞1时 平衡位置将从分枝1平稳地过渡到分枝2，矿 柱似渐进形式破裂见图6。 5 岩梁等效刚度和能量变化率曲线岩梁等效刚度和能量变化率曲线 式33表明， 在矿柱失稳起始点Cook刚度判据 成立，由此得到非对称开采时岩梁的等效刚度为 kl baba baba kCK 7 5533 224 e 2 ]4[ 384384 − 46 通过式47绘出图1，2中矿柱小偏离中央位置 时，岩梁等效刚度kCK384 e 随跨长la/的变化关 系如图7，从图中看到，alb 时岩梁等效刚度 取极大值kK384 maxe 。当ba ≠时 e K值减小。对于 la2 . 1，lb8 . 0时，由式18可得 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ 06.28668.25538.30384 68.255360 38.3024 C BA， 47 图 7 岩梁等效刚度与非对称性关系 Fig.7 Relationship between the equivalent stiffness of rock beam and dissymmetry 非对称矿柱位置减小岩梁的等效刚度， e K 但 同时又减小了矿柱刚度即冲击倾向。两方面的综合 作用效果，会使岩梁–矿柱系统动力失稳的强度要 小于矿柱位于对称位置的系统动力失稳的强度。 当图 1，2 中lba时成为对称开采布局。容 易看到，当lba时式18中有1A，1B， 1C。 由式17可得岩梁所蓄弹性势能关于梁ax 处位移或系统状态变量 u 的变化率表达式 ⋅ δ δ Bku U 360 1 e 0.80.91.0 1.1 1.2 0 100 200 286 384 450 等效刚度 K 0.71.3 a/l 第 25 卷 增 2 潘 岳等. 非对称开采矿柱失稳的突变理论分析 3701 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ δ δ 3842424kuCFAk u F AkuF 48 式中0u时0F，因此0 e δδuU。在图 3 中 uF曲线上 j，s 点，将式33，38的系统失稳起 始点和终止点条件CkuF384′代入式48，可得 0 e ＜ j uFuU−δδ 49 将式2代入式48后两端除 00e 384kuCuK， 可得量纲一的量化后的岩梁弹性势变化率表达式为 ⋅ δ δ δδ CBu U kuC uU 384 360 1 384 e 0 e ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ mm u u u u m u u k 000 2 2 exp 1 λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − mm u u u u m u u k A 000 exp 2 24 λ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ 0 38424 u u CA 50 式中 0 uuu 。 当la2 . 1，lb8 . 0时， 据式47， 取1m，11/kλC384。对式50利用Matlab软 件绘出量纲一的量岩梁弹性势能变化率曲线 uUδδ/ e -u如图8所示。 图 8 岩梁弹性能变化率和矿柱耗能量纲一的量化曲线 Fig.8 Dimensionless curves of change rate of rock beam′s elastic energy and dissi