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测绘技术装备季刊第 7卷2 0 0 5年第 3期 技术交流 3 1 工程测量平面坐标系统的建立 郭红霞 ’王军德 ’ 张俊山 1 ． 郑州测绘学校郑州4 5 0 0 0 5 ；2 ． 河南省地震局郑州4 5 0 0 0 0 摘要本文讨论了地面长度投影到参考椭球面及椭球面长度投影到高斯平面所引起的长度 变形， 并结合实 例给出了几种平面直角坐标系统的实现方法，对解决平面控制测量中的投影变形问题有很好的指导意义。 关键词参考椭球面 高斯平面 长度投影变形 中央子午线 投影基准面 1引言 平面控制测量 中，地面长度投影到参考椭球面 以及将椭球面长度再投影到高斯平面均会引起长度 变形 。国家坐标系统为 了控 制长度变形 ，虽然采用 了分带投影 ，以满足测图的基本要求，但长度变形 依然存在，尤其是在离 中央子午线越远 的地区变形 越大 。如果不考虑长度变形 的影响，将 不能满足大 范围工程项 目勘测和施工放样的要求。 如何根据 实 际情 况来 合理 确定测 区 中央子午 线、变换投影基准面 ，以建立符合工程需要的平面 直角坐标系统呢本文将 首先讨论两次投影的变形 情况， 以及工程平面坐标系统方案的选择原则，然 后给 出几种坐标系统方案的实现方法，并用实例加 以说明 以帮助工程人员解决实际工程 中所遇到的投 影变形问题 。 2两项投影的长度变形 在控制测量计算 中，有两项投影计算会引起长 度变形 一个是地面水平距离 一般是高于椭球面 的投影到参考椭球面 ，这将 引起距 离变短 ；一个 是参考椭球面距离投影到高斯平面 ，这将导致距离 变长。下面讨论两项变动的大小情况 。 2 ． 1地面水平距 离投影到椭球 面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作 △S 。 一旦 1 R 式 1 中H为边长两端点的平均高程， R为 当地椭球面平均曲率半径，d 0为地面水平距离 。 其 中，R计算公式如 2 式 尺 ， 且c ， V V b ， - 式中，a为椭球长半轴， 为椭球短半轴， 为 椭球第二偏心率， 为测区平均大地纬度 。 分析可知，高于椭球面 的地面水平边长投影到 椭球面总是距离变短。投影变形的绝对值与 H成正 比，随 H的增大而增大，而且当 H 1 5 0 m时，每公里 长度变形即接近 2 ． 5 c m ， 相对变形接近四万分之一。 当投影面不是参考椭球面，而是某个高程为 H 0 的投影面时，则 1 式变为 。 一生 。 3 2 ． 2椭球面距 离投影到高斯平面的长度变形 此项变形的数值可近似地写作 、 ， 2 ， S 4 ‘ 2 尺 式 4 中S为椭球面边长，R为当地椭球面 平均曲率半径，Y 为投影边两端 Y坐标 去掉 5 0 0 k m 常数的平均值 。 由式 4 可知，投影变形与 Y 的平方成正比， 离中央子午线越远，变形越大。约在 Y 4 5 k m处每 公里变形2 ． 5 c m ，相对变形1 ／ 4 万。 综合 以上两种变形 ，最后的投影长度变形为 ． ， 一 皂 ． ‘ 尺 2 ‘ 近似的写为 堡 一 ．H - H o． s 5 2 尺‘ 尺 3工程测量平面直角坐标 系统方案 工程控制网作 为各项工程建设施工放样测设数 据 的依据，为 了便 于施工放样 工作的顺利进行 ，要 求 由控制 点坐标 直接反算 的边长 与实地量 得 的边 长 ，在数值上应尽量相等 。也就是说 ，由上述两项 投影改正而带来的长度变形 △S A S 1 A S 2 综 合 影响应该限制在一定数值之内。正是基 于此项考 虑 ，根据工程地理位 置和平均 高程 的大小，可 以采 用下述三种坐标系统方案 ① 当长度变形值不大于 2 ． 5 c m ／ k m ， 可直接采用 高斯正形投影的国家统一 3 。带平面直角坐标系统 ； ② 当长度变形值大于 2 ． 5 c m ／ k m ，可采用 ①投 影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角 坐标系统；②投影于抵偿高程面上的高斯正形投影 维普资讯 3 2技术交流 测绘技术装备季刊第 7卷2 0 0 5年第 3期 3 。带平面直角坐标系统；③投影于抵偿高程面上的 高斯正形投影任意带平面直角坐标系统 。 ③ 面积小于 2 5 k m 的小测 区工程项 目，可不经 投影采用平面直角系统在平面上直接计算 城市测 量 规 范 c J J 8 9 9规 定 。 4变换投影基准面和 中央子午线 的地方坐标系 前述的 1 ，3两种方案无须多作解释，读者一看 就能明白。这里仅介绍第 2种方案的三种情况。 前 已导出，要使控制 网变形小，即要求基本做 到 豪一 0 6 由对此式 的不同处理可导出几种不 同的工程测 量平面直角坐标系统方案。 4 ． 1投影于参考椭球面上的高斯正形投影任意带平 面直 角坐标 系统 这种方案 的思路是地面观测值仍然归算 到参考 椭球面， 但高斯投影的中央子午线不是标准 3 。带 中 央子午线 ，而 是按工程需要来 自行选择一条 中央子 午线。用这条中央子午线 ，边长的高程投 影和高斯 投影引起的长度变形能基本互相抵消。 由于投影基准面仍然为参考椭球面， 故 H0 0， 则 6 式变为 一 ．S0 7 2尺‘ 解得 Y m√ 2 H 8 即当 满足上式时边长的两项投影互相抵消。 4 ． 2投影于抵偿 高程面上的高斯正 形投影 3 。带平 面直 角 坐标 系统 这种方案的思路是在不改变国家标准 3 。带中 央子午线 的情况下，不再投影至参考椭球面而是投 影至某个抵偿高程面，从而得到地面上边长的高斯 投影长度改正与归算到基准面上的高程投影改正相 互抵 偿 的相 同效 果 。 在保持中央子午线不变，即 Y 不变的前提下， 由 6 式可解得 H H 一 9 2 这 就 是 说 ， 如 果 把 地 面 边 长 投 影 至 高 程 为 、 ，2 H 。 H 一 景 的 高 程 面 上 ， 而 不 是 投 影 至 参 考 椭 球面上，则高程投影引起的长度变形 △S。 与高斯投 影引起的长度变形 △s。 能够互相抵消。 不过 ， 测区是个范围， 而不是一个点。 式中的Y 应如何取值呢 高斯投影长度变形 ， v ，对于 一 个测区， 必有y 的 最小值 Y 和最大值 Y ，显然，我们既不能取 y Y ⋯ ，又不能 取 y 三 Y ⋯ 而应取 v 篮 1 0 ， ， l 、 用这样的y 带入 9 式算出的H 。 ，可使整个 测区边长变形综合最小 。当然实际选用时，如果结 合测 区地势情况 ，需要时对 ． ， 稍作变动效果会更 好 。 这种坐标系统 的实现步骤 ，一般是先算 出基准 面为参考椭球面的国家标准 3 。带控制 网坐标， 再将 控制网缩放至抵偿 高程面。这样做的好 处是有两套 坐标，其 中一套 是国家标准 系统 的坐标 ，另一套 为 抵偿 高程面坐标 。至于控制 网缩放至高程抵偿面 的 做法 ，请读者参看下面方案 三 。 【 例 】某测区相对于参考椭球面 的平均高程 H 一1 0 0 0 m ，在 国家标准 3 。带 内跨越的 Y坐标范围为 一 8 0 k m 一 5 0 k m ，若不变换 中央子午线 ，求能抵偿投 影变形的高程抵偿面。 【 解】 y ，，，2 曼 璺 4 4 5 0 ‘ 。 2 即 Y 一 6 6 ． 7 k m Ⅳ 一 1 0 0 0一 6 5 0． 7 m 2 尺 263 7 I XH HI 即选 H o 6 5 0 m的高程面作控制 网的投影基准面最为 合适。事实上 ，最小变形在 y o - 6 6 ． 7 k m处，因为 △S 一丝二 丝 Q1 0 0 0 2 R R ． - - - 6 6 ． 7 2 一1 -0 6511 0 0 0≈ 0 26 37 0‘ 6 37 0 最大变形在 y l 一 5 0 k m 和 y 2 -- 一 8 0 k m处， 分别为一 0 ． 0 2 4 m 和 0 ． 0 2 4 m 。 从上也可看 出，若不变换 中央子午线 ，仅靠选 择抵偿 高程面，其抵偿范围也是有限的，本例中有 效抵偿带宽仅为 3 0 k m 。 4 ． 3投影于抵偿 高程面上 的高斯正 形投影任意带平 面 直角 坐标 系统 这种 方案 的思路 结合 了前两 种方 案的一 些特 点，既将中央子午线移动至测 区中部，又变换 了高 维普资讯 测绘技术装备季刊第 7卷2 0 0 5年第 3期 技术交流 3 3 程投影面。当测区东西向跨度较大 ，需要抵偿 的带 宽较大时，即可采用此种方案 。 该方案 同时要求 A s 一 H -Ho ．d 。 0 儿 尺 ． ．2 △s 2 S 0 1 2 2 这里 日 表示投影基准面 的高程。 由 1 1 式解得 H H 0 此时边长的高程投影变形为零。若 H 。 取测区平均高 程面 腻，或略低于该平 均高程面 ，则各边长高程投 影近似为零 。 由 1 2 式解得 0 这表示要求测区在中央子午线附近 。 根据 以上两种要求，这种坐标系的作法是将 高 斯投影的中央子午线选为测区 内或附近某一合适 的 子午线；而高程投影面选 为测区平均高程面 H m或 比 它稍低一些的高程面上。 因为这种坐标系的变形最 小，许多离国家标准 3 。带中央子午线较远的城市多采用这种坐标 系，常 称作城市坐标系或地方坐标系。下面详细介绍这种 坐标系的实现步骤 。 ① 选择合适的地方带中央子午线 L 。 在测区内或测区附近选择一条整 5 或整 1 0 的子午线作中央子午线 。例如河南某城 市的城市地 方坐标系中央子午线取作 l l 2 。3 O ， 某县城的城市 坐标系中央子午线取作 1 1 5 。2 5 。 ② 已知点换带计算 将 当地的国家控制 网已知点坐标通过高斯反、 正投影计算，换算成中央子午线为 L 。 的地方带坐标 系内的坐标。 ③ 计算控制网的地方带坐标 第 1套地方坐标 将地面观测值 包括边长 先投影至参考椭球 面，再投影至所选中央子午线的高斯平面 ，然后进 行平差计算。获得 的坐标 ，高程投影基准面仍为参 考椭球面 或似大地水准面 ，而中央子午线则为地 方中央子午线 。可称作第一套地方坐标 。这套坐标 系的好处是，可通过坐标换带与国家标准坐标系统 互算 。这样 ，地方控制 网与国家控制 网就是联系紧 密 的统 一 系统 。 ④ 选高程投影面 H 。 高程投影面 届一般选测 区平均高程面 ，或最 好稍低一点 的面 。届取至整 1 0米 。 ⑤ 计算地方带平均高程面坐标 第 2套地方坐 标 1 在测区内 最好在中心区选择点 P 0 作为 控制 网缩放的不动点 。P o 点的坐标 X 。， y 。 在控制 网缩放前后保持不变。点 P o 可以是一个实有的控制 点，也可 以是一个人为取定的坐标点。 2 计算控制网缩放 比例七 1 3 尺 式 中R为当地椭球面平均曲率半径，用公式 2 计算得到； H 为所选高程投影面。 3计算各点第 2套地方坐标 2 X o 1 一 o 七 ．y 2．y o ．y n一．y o ’ 1 4 这里的下标 1， 2分别代表第 1套 、第 2套地 方坐标。 代表除不动点 P。 以外的所有点，包括 已 知点。由以上两式计算出来 的坐标即为中央子午线 为地方中央子午线 L。 ，高程投影面为H。 的第 2套地 方坐标系 。它适合于工程应用。 5 结 论 上述三种方案，实践 中可根据具体情 况灵活选 用 。一般来说 ，对于城市坐标系统和范围较 大的工 程测量坐标系统 ，以将 中央子午线选在测区中部的 方案为最好；在此基础上 ，如果需要 ，再将控制 网 缩 放至 比测 区平 均高程 面或稍微低 一 点的高程 面 匕。 参考 文献 [ 1 】杨国清，李明海。 控制测量学 [ M 】 。 郑州郑州测绘学校校 内教材 【 2 】中国有色金属工业总公 司． 工程测量规范 G B 5 0 0 2 6 - 9 3 ． 北京中国计划出版社 维普资讯