有限元和边界元法.pdf

1 有限元和边界元法 朱加铭 哈尔滨工业大学 2 目录 第 1 章 绪论.........................................................................................................................5 1.1 引言..............................................................................................................................................5 1.2 一个简例......................................................................................................................................6 1.3 有限单元法分析过程的描述....................................................................................................11 1.3.1 结构离散化建立计算模型.............................................................................................11 1.3.2 单元分析.........................................................................................................................11 第 2 章 平面问题的有限单元法.......................................................................................14 2.l 三角形应变单元.........................................................................................................................14 2.1.1 连续体的离散化.............................................................................................................14 2.1.2 位移模式..........................................................................................................................14 2.1.3 用结点位移表示应变.....................................................................................................16 2.1.4 用结点位移表示应力.....................................................................................................17 2.2 形函数的性质 面积坐标..........................................................................................................18 2.2.l 形函数的性质..................................................................................................................18 2.2.2 面积坐标.........................................................................................................................20 2.4 整体刚度方程的建立 整体刚度矩阵.....................................................................................26 2.5 等效结点力 荷载列阵..............................................................................................................31 2.6 约束条件的处理........................................................................................................................34 2.7 解题步骤和注意事项................................................................................................................36 2.7.1 解题步骤.........................................................................................................................36 2.7.2 注意事项.........................................................................................................................37 2.8 解答的收敛性............................................................................................................................38 2.9 热应力计算................................................................................................................................39 2.9.1 热应力.............................................................................................................................39 2.9.2 平面应力问题.................................................................................................................40 2.9.3 平面应变问题.................................................................................................................41 2.10 矩形单元..................................................................................................................................42 2.10.1 概述...............................................................................................................................42 2.10.2 位移模式.......................................................................................................................43 2.10.3 单元应变.......................................................................................................................44 2.10.4 单元应力.......................................................................................................................45 2.10.5 单元刚度矩阵...............................................................................................................45 2.10.6 等效结点力...................................................................................................................46 2.10.8 矩形单元和三角形常应变单元比较..........................................................................46 第 3 章 平面问题有限元法程序设计...............................................................................49 3.1 概 述..........................................................................................................................................49 3.1.1 建立离散化模型，输入已知信息................................................................................49 3.1.2 形成、组集结构刚度矩阵............................................................................................49 3.1.3 载荷、约束信息量处理.................................................................................................49 3.1.4 求解结构整体刚度方程.................................................................................................49 3.1.5 计算应力等其它力学量..................................................................................................49 3.1.6 输出计算结果.................................................................................................................49 3.2 常应变单元的主要公式和程序设计........................................................................................50 3 3.2.1 常应变单元的主要公式.................................................................................................50 3.2.2 程序框图和程序设计重点............................................................................................51 3.2.3 程序结构.........................................................................................................................52 3.2.5 标识符说明及程序中的数据组织................................................................................53 3.2.6 主程序.............................................................................................................................54 3.3 原始数据输入............................................................................................................................54 3.4 形成材料弹性矩阵....................................................................................................................55 3.5 形成单元刚度矩阵....................................................................................................................55 3.6 形成结构整体刚度矩阵............................................................................................................57 3.6.1 存贮方法.........................................................................................................................57 3.6.2 关于有限元结点的合理编序........................................................................................58 3.6.3 等带宽存贮技术，形成组集结构整体刚度矩阵的子程序.........................................59 3.7 形成结构整体荷载列阵............................................................................................................60 3.8 约束条件的处理........................................................................................................................60 3.9 结构整体刚度矩阵方程的求解................................................................................................61 3.9.1 高斯消元法原理.............................................................................................................62 3.9.2 对称带状稀疏方程组的高斯消元法............................................................................63 3.10 单元应力分析..........................................................................................................................66 第 4 章 轴对称空间问题的有限单元法...........................................................................74 4.1 概述............................................................................................................................................74 4.2 三角形截面环单元.....................................................................................................................75 4.2.1 单元的位移函数.............................................................................................................75 4.2.2 单元应变.........................................................................................................................75 4.2.3 单元应力.........................................................................................................................76 4.3 单元刚度矩阵.....................................................................................................................77 4.4 等效结点力计算........................................................................................................................79 4.4.1体积力...........................................................................................................................79 4.4.2 表面力..............................................................................................................................80 4.5 采用四面体单元解一般空间问题...........................................................................................82 4.5.1 单元的位移系数..............................................................................................................82 4.5.2 单元的应变与应力..........................................................................................................84 4.5.3 刚度矩阵.........................................................................................................................85 4.5.4 等效结点计算.................................................................................................................86 第 5 章 等参数单元...........................................................................................................88 5.1 等参数单元的概念....................................................................................................................88 5.2 高斯求积法.................................................................................................................................90 5.3 平面八结点等参单元................................................................................................................93 5.3.2 单元刚度矩阵.................................................................................................................96 5.4 空间二十结点等参单元............................................................................................................99 5.4.1 单元的应变矩阵和应力矩阵......................................................................................100 5.4.2 单元刚度矩阵...............................................................................................................103 5.4.3 单元等效结点力列阵...................................................................................................104 第 6 章 杆件系统的有限元法.........................................................................................108 6.1 概述...........................................................................................................................................108 4 6.2 局部坐标系中梁单元的刚度矩阵与等效结点力.................................................................108 6.2.4 局部坐标系中梁单元的单元刚度矩阵的计算...........................................................112 6.2.5 等效结点力计算............................................................................................................112 6.3 坐标变换 体坐标系中单元 刚度矩阵与等效结点力.........................................................115 6.3.1 坐标变换方法...............................................................................................................115 6.3.2 转换矩阵 T...................................................................................................................115 6.4 结构整体刚度矩阵与节点载荷列阵 算例...........................................................................117 6.5 释放自由度..............................................................................................................................119 第 7 章 动力学问题的有限单元法简述.........................................................................125 7.1．动力学方程 质量矩阵及阻尼矩阵.....................................................................................125 7.2 特征值问题...............................................................................................................................128 7.3 动力响应逐步积分法...........................................................................................................129 7.3.1 动力响应问题................................................................................................................129 7.3.2 逐步积分法...................................................................................................................129 第 8 章 平面问题的边界元法.........................................................................................134 8.1 基本解.......................................................................................................................................134 8.1.1函数..........................................................................................................................134 8.1.2 基本解............................................................................................................................135 8.2 边界积分方程...........................................................................................................................139 8.2.l 积分方程........................................................................................................................139 8.2.2 边界积分方程...............................................................................................................141 8.3 边界积分方程的离散...............................................................................................................144 8.4.1的计算....................................................................................................................145 ii H 8.4.3、（）的计算........................................................................................147 ij H ij Gji  8.5 域内的位移和应力..................................................................................................................151 8.5.1 域内的位移...................................................................................................................151 8.5.2 域内的应力...................................................................................................................151 8.6 边界上的应力...................................................................................................................152 8.7.1 使用说明.......................................................................................................................154 8.7.3 源程序...........................................................................................................................155 5 第第 1 1 1 1 章章 绪论绪论 1.11.11.1 1.1 引言引言引言 引言 随着现代工业、生产技术的发展．不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和 精密的机械及工程结构。为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预 测即将诞生的机械和工程结构在未来工作时所发生的应力、应变、位移。但是传统 的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。弹性力学的经典理论，由于 求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对 于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性 等问题往往遇到很多麻烦．试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的， 甚至是不可能的。因此，需要寻求一种简单