圆弧齿2K—V减速器的动力学建模.PDF

第 2 1 卷第 2期 2 0 0 4年 2月 机械设计 J OURNALOF MAC HI NE DES I GN Vo 1 ． 2 1 No ． 2 F e b ． 2 0 0 4 圆弧齿 2 KV减速器 的动力学建模 戚厚军， 方沂， 李充宁 天津职业技术师范学院 机械 系， 天津3 0 0 2 2 2 摘要 主要分析 了圆弧行 星齿轮的 时变啮合刚度和渐开线行 星齿轮的啮合刚度 。并建立 了 2 KV 型圆弧针轮 减速 器的动力学建模 ， 结合实例求解变系数微分方程， 获得 系统的固有频率。最后通过动态特性试验验证了所建模型的正确 性 。 关键词 2 KV型减速器； 圆弧针轮传动； 动力学建模 中图分类号 T Hl l 3 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 1 2 3 5 4 2 0 o 4 0 2 0 0 2 2 0 3 2 KV型圆弧针轮减速器 以下简称圆弧减速器 是一种 少齿差行星传动减速器， 是由 2 KH型和 KHV型两种行 星传动复合而成的新型传动机构。在该机构中内啮合部分采 用圆弧齿 ， 其齿廓由圆弧齿廓替代长幅外摆线齿廓形成的， 因 此降低了齿廓的加工难度， 无需采用专门的加工设备， 即可加 工出高精度的齿廓。另外， 轮齿彼此啮合的凹凸两圆曲率半径 相差很小， 相对滑动又小， 所以， 润滑条件好， 传动效率高， 并且 具有体积小、 传动比大等特点， 可应用于机器人、 印刷机、 雷达 等领域， 具有重要的工程实践意义。由于机器人等机构对低振 动水平的要求特别严格， 有必要对圆弧减速器的动态特性进行 研究， 解决机器人的抖颤问题。而 目前尚未见到这方面的研 究， 仅对其传动的形成原理和传动效率等问题作 了研究⋯。建 立了圆弧减速器的动力学模型， 并作了动特性试验研究。 1 2 KV传动系统的传动原理 圆弧减速器的机构及其传动原理如图 1 。 引山壳 图 1 2 KV传动原理 它是由两级减速机构组成， 第一级减速由输入齿轮和 2个 对称分布的渐开线行星齿轮实现高速级减速传动； 若输入轴齿 轮顺时针方向旋转， 那么行星齿轮在公转的同时还要逆时针方 向自转， 并通过2个曲柄轴驱动 2片圆弧齿轮作偏心运动， 若固 定针齿壳， 圆弧齿轮绕其轴线公转的同时， 还将反方向自转， 即 顺时针转动 ， 圆弧齿轮的反向自转运动由行星架传出， 实现第 [ 4 ] 美 沃尔 AM． 机械弹簧[ M] ． 谭惠民， 等译． 北京 国防工业出 版社 ， 1 9 8 1 1 6 82 0 8 ． [ 5 ] 闻邦椿， 刘凤翘， 刘杰． 振动给料机振动筛振动输送机的设计与调 试[ M] ． 北京 化学工业出版社 ， 1 9 8 9 2 3 3 2 3 7 ． [ 6 ] 闻邦椿， 等． 振动机械的理论与动态设计方法[ M] ． 北京 机械工 业出版社 ， 2 0 0 2 3 0 1 3 1 2 ． [ 7 ] 河南省科技情报研究所． 非线性双质体长距离输送机查新报告 [ R ] ， 2 0 0 0 ． S t u d y a n d a p p l i c a t i o n o f n o n l i n e a r v i b r a t i o n t h e o r y i n vi b ra t o ry c o nv e ye r LI U J i - f e n g D e p a r t me n t o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g ， Na n j i n g E ngi n eeri n g C o l l e g e ， N a n j i n g 2 1 0 0 1 3 ， C h i n a Ab s t r a c t On t h e b a s e s o f l i n e a r v i b r a t o r y c o n v e y e r a n d t h e i n t r odu c t i o n o f n o nl i n e a rvib r a t i o nt h e o ry ，t h e a p p l i c a t i o n o f v a il a b l e p i t c h e d s p rin g，wi t h i t s s p rin g y f o r c e t O b e a con t i n u o u s l y v a ri a b l e n o nl i n e a r h a r d c h a r a c t e ris t i c l i n e ，u n d e r t h e s y s t e m o f v a n ’a b l e l o a d i n g h a s b e e n s t u d i ed ．By r e a l i z i ng t h e s y s t e ma t i c rig i d i t y b a s i c a l l y tO b e c o me a l i n e a r v a r i a t i o n g o a l o n g wi t h t h e l oad i n g ， t h us ma d e t h e s y s t e ma t i c v i b r a t i o n a mp l i t u d e mu c h mo r e s t e a d y t h a n t h o s e o f t h e l i n e a r vib r a t o ry c o n v e y e r ，a n d cou l d r e a l l y l e t t h e s y s t e m tO r e a l i z e a n o p e r a t i o n c l o s e t o t h e n e a r b y r e s o n a n c e p o i n t ， an d c o u l d c h a ng e t he wo r k i ng poi n t o f t h e s yst e m con v e n i e n t l y b y usi ng t h e me t h o d o f a d j ust i ng t h e p r e s t r e s s i ng am o u n t o f s p ri n g ． Ke y wo r d s - n o nl i n e a r vib r a t i o n；h a r d c h a r a c t e ris t i c c u r v e ； v a r i a b l e p i t c h ；n ear b y r e s o n a n c e ；v a ri a b l e l oad i n g F i g 3 1 、a b 0 R e f 7 “ J i x i e S h e j i ” 3 0 0 8 收稿 日期 2 0 0 30 5 2 2 ； 修订 日期 2 0 0 30 82 9 基金项 目 天津市高等学校科技发展基金项 目 0 1 2 0 3 0 1 作者简介 戚厚 军 1 9 7 3一 ， 男 ， 山东沂水人 ， 讲师 ， 硕 士， 研究方 向 机械系统 动力学 。 维普资讯 2 0 0 4年 2 月 戚厚军， 等 圆弧齿 2 KV减速器的动力学建模 二级减速 。 2 圆弧减速器的动力学建模 2 ． 1 直齿轮的啮合刚度 渐开线直齿轮轮齿的啮合刚度的求解方法主要应用综合 啮合刚度[ 2 l ， 即在整个啮合区中主要与单齿的弹性变形， 单对 轮齿的综合弹性变形， 以及齿轮的重合度有关。 单对轮齿的弹 性变形主要包括弯曲变形 、 剪切变形和接触变形等。 单对轮齿 的综合刚度 k 为 式 中 女 。 主动齿轮的单齿刚度 ； 女 被 动齿轮 的单齿刚度。 在双齿啮合区， 有两对轮齿同时参与啮合 ， 刚度曲线是两 对轮齿综合刚度的叠加。 采用 He r t z a i n接触问题有限元法， 计算 了齿轮在一个啮合周期内若干个啮合位置变形的柔度系数， 从 而得到一个周期内的啮合刚度 k 。 2 ． 2 圆弧针轮啮合刚度 如图2 所示， 设圆弧齿轮沿顺时针旋转， 则曲柄轴逆时针方 向旋转 ， y轴的右侧圆弧齿轮与针轮不受力 ， 而在 y轴的左侧 圆弧齿轮与针轮啮合传动， 相互间存在作用力和反作用力。 圆 弧齿轮在阻力矩 T的作用下， 第 个针齿在接触点的公法线方 向产生接触变形， 其变形位移 为 △ 口 1 式中 ． 第 i 个啮合点的法线到圆弧齿轮转 动中心 0 的垂直距离 ； △ 一圆弧齿轮绕旋转中心 0 逆时针方向转过的角度。 设第 个针齿作用在圆弧齿轮上的力为F ， ， 则 Fi。 c ． 当 Z r 时， 一 △ 卢r ， 即 △ I9 ～ ／ r 2 式 中 r 圆弧齿轮的节 圆半径 。 根据文献[ 3 ] 知 F⋯ 4T／ z r Y F ／ P ＼ T 。 ＼ -O 、 一 o一 - 卜 图 2啮合 中的作用力 该传动系统由两片圆弧齿轮传递转矩， 并考虑制造误差及 结构原因， 传给两片圆弧齿轮的转矩是不易均等的， 故取 T 0 ． 5 5 T ， 即 3 受力最大的一对齿在 F 作用下， 在接触点公法线方向的 总的接触变形 为l 4 j ～ 案 号 h c -o 七 √ 4 式中 圆弧齿轮与针齿的泊松 比； E 圆弧齿轮与针齿 的弹性模量 ； r 针齿半径 ； 6 圆弧齿轮的齿宽 ； p 弧齿 的齿廓 曲率半径 ， ．0 r r ／ r r ； r 替代圆弧半径。 联立式 2 ～式 4 ， 得到在 t 时刻圆弧齿轮的扭转啮合刚 度为 女 l a 5 2 ． 3 系统的动力学模型 动力学模型如图 3 所示。 图 3动力学模型 为简化图形 ， 图中只表示出了一根曲柄轴。 该模型包括输 人轴、 太阳轮 、 渐开线行星轮、 圆弧齿轮、 曲柄轴和行星架的 9 个 回转 自由度， 以及两片渐开线行星轮和两片圆弧齿轮， 其中心 做平面运动， 具有的4个方向上的平动位移， 因此， 该动力学模 型具有 1 3 个自由度。 图中0为回转角， X为平动位移 ， 下标 i ， h ， s ， P ， 0 ， a 分别表示输入轴、 曲柄轴、 太阳轮、 行星轮、 行星架和圆 弧齿轮， 1 ， 2 。 根据文献[ 5 ] ， 采用集中质量法， 建立系统的动力学方程。 该系统中既有角位移又有线位移， 为便于分析， 将所有角位移 量统一成线位移， 其运动微分方程为 m j ． 2 t7 一 P ． ” z j k is ． 一 志 印 一 一xp i C O S 口0 i l 州p lj p 一k s p s 一X C o s口 k p i h i 一．,T h i 0 M 艾 一七 印 s 一 一Xp i C O S d C O S口k h i X 一 。 0 Ⅲh j h 一k 。 [ 一1 。 一2／ “ h ] k 1 [ X 一1 一 h l Ⅱ一 一1 。 ] Ⅱ一k b 2 [ 一x a 2 一1 一 h n一 r 。 ] 一 Ⅱ 0 埘 j k a a 一 一1 k b “ Xa k b l a 一k b l a ．T h l k b l ／ “ 。 维普资讯 2 4 机 械 设 计 第 2 1 卷第 2期 一1 b 2 Xa 2 k b 2 一 一1 ik b 2 a ,Tc }12一k m i x 。0 M 是 b 1 一 一1 矗 b 1 r a 一点 b 1 O ． ．7 7 h l 一点 b l 工 。 k m a k m a x b 2 b 2 } r 。 k b 2 X 0 2 2 2 ∑M 芏 。 m 。 一∑ 十E 。 一 k m 一 一 i1 i 1 i 1 2 2 ∑k bm l X a l 一∑k b m 2 X a2 b2 1 一k bl x al 12 一 x a2 l 1 8 式中 m、 ， m ， m ， mh ， m ， m 。 _分别为输入轴、 太阳轮、 渐开线行 星轮 、 曲柄轴 、 圆弧 齿轮 和行星 架 的当量 质量 ； m。 I i ／ r ； j 输入轴的转动惯量； 太 阳轮的基 圆半径 ； m I s ／r ； j 太阳轮的转 动惯量 ； m p l l p i ／ r ； j 。 渐开线行星轮的转动惯量 ； r tg i 行星轮的基圆半径 ； m h I h ／ a I h ； j h l 曲柄 轴的转动惯量 ； n 偏心距 ； m j ／ R ； j 圆弧齿轮 的转动惯量 ； Rh 曲柄轴的分布圆半径 ； m。 I o ／ R i ； j 。 行星架的转动惯量 ； M。 ， M 分别 为行星轮和圆弧齿轮的质量 ； a 渐开线齿轮 的压力角 ； k ， k a i 分别 为行星齿轮和圆弧齿轮的啮合刚度 ； k ， k p i h i 分别为输入轴和靠近行星轮一端曲柄轴的扭转刚度 ； k k b ／j 分别为曲柄轴上安装行星轮处和曲柄轴上安装圆弧齿 轮处的弯曲刚度 ； ．r 一 太阳轮沿啮合作用线的微位移； X p i 行星轮沿啮合作用线 的微位移 ； X X 分别 为行星轮和 圆弧齿轮中心的微位移 ； “ 曲柄轴偏心凸轮中心的切向微位移 ； 摆线轮中心的微位移 ； z 一 输入轴的切 向微位移 ； 。 行 星架 的切 向微位移 ； 下标 a ， b 一分别表示 曲柄轴上安装渐开线齿 轮处 的刚度 和安装 第 J个圆弧齿轮处的刚度 ； P 。 ， 。 分别 表示输入 和输 出端的广义力 i 1 ， 2 ； J 1 ， 2 。 将以上方程写成矩阵的一般形式为 M { 芏}K{ } { ， } 式 中 K 一个时变刚度矩阵。 因此 ， 该方程为变系数微分方程。 3 计算实例 以 2 KV6 型 圆弧针轮减速器 为研 究对象 ， 其参数为 太阳 轮齿数 1 0 ， 渐开线行星轮齿数 。3 4 ， 模数 m 1 mm， 齿形角a2 0 。 ， 圆弧齿轮齿数 2 9 ， 针轮齿数 b 3 0 ， 偏心 距 a0 ． 9 m m， 针齿半径 r 2 m m， 针齿分布圆半径 R 4 0 mm， 速比 i 1 0 3 ， 输出转速为 3 0 r ／ mi n ， 额定负载 T 5 8 N m。 根据以上理论模型和啮合刚度分析， 求解系统第一阶固 有频率为 1 3 1 Hz 。 采用频响函数法， 对 2 KV 6型圆弧针轮减速 器一阶频率进行 了实验， 其一阶扭振频率为 1 2 7 Hz 。 该结果与 理论计算基本符合， 说明了以上建模具有一定的工程实用价 值。 4 结论 基于集中质量法建立了系统的动力学模型， 并以 2 KV 6 型圆弧减速器为研究对象， 解得系统的固有频率， 并进一步通 过动力学特性试验， 验证了该理论模型的正确性 ， 为下一步分 析系统的有关参数对圆弧齿轮动态特性的影响奠定了基础。 参考文献 [ 1 ] 林世俊， 李充宁．圆弧针齿传动的研究[ J ] ．中国矿业大学学报， 1 9 8 9， 1 8 4 5 1 5 9 ． [ 2 ] 李润方， 王建军． 齿轮系统动力学[ M] ． 北京 科学出版社， 1 9 9 7 ． [ 3 ] 张少名行星传动[ M] 西安 陕西科学技术出版社， 1 9 8 8 ． [ 4 ] 现代机械传动手册 编委会． 现代机械传动手册[ M] ． 北京 机械 工业 出版社 ． 1 9 9 5 3 2 73 3 0 ． [ 5 ] 戚厚军． R V减速器动态特性分析[ D ] ． 天津 天津大学， 2 0 0 0 ． Dy n a mi c mo d e l i n g o n a r c t o o t h e d 2 K V r e d u c e r Q I Ho u - j u n ，F A NG Y i ， L I C h o n g - n i n g Ti a n j i n Vc c a t i o n a l T e c h n i c a l T e a c h e r s C o l l e g e ，T i a n j i n 3 0 0 2 2 2 ， C h i n a Ab s t r a c t Th e r e a l t i me me s h i n g s t i f f n e s s o f a r c e d p l a n e t g e a rand t h e mesh i n g s t i f f n e s s o f i n v o l u t e p l ane t g e a r h a v e ma i n l y b e e n a n a l y z e d．Th e d y n a mi c mo d e l i n g o f 2 K V t y p e d r edu c e r wi t h arc ed p i n g e a r h a s b e e n est a b l i s h ed ．Th e i n h e r e n t f r e q u e n c y o f t h e s y s t e m wa s o b t a i n ed b y c o mb i n i ng wi t h a l i v i n g e x a mp l e o f t h e s o l u t i o n o n v a r i a b l e c o e f f i c i e n t d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n．F i n a l l y，t h e c o r r ect n e s s o f t h e est a b l i s h ed mode l Was v e r i f i ed b y me a n s o f a d y n a n fi e c h a r a c t e ri s t i c s t est ． Ke y wo r d s 2 K V t y p e d r edu c e r ；t r a n s mi s s i o n o f a r c ed p i n g ear ；d y n a mi c s mode l i n g F i g 3 Ta b 0 R e f 5 “ J i x i e S h e j i ’ ’ 3 3 0 1 ∑ 暮 ’ ∑ ∑ 维普资讯