突变理论及其在采矿工程中的应用.pdf

Ξ 收稿日期2007 - 12 - 10 作者简介高峰1977 , 男,山东泰安人,博士研究生,主要从事深部矿山支护理论和设计方法研究. 突变理论及其在采矿工程中的应用 Ξ 高 峰1,闫茂林2 1. 中国矿业大学 理学院,江苏 徐州 221008; 2.山西焦煤集团 庞庞塔矿,山西 吕梁 033200 摘要阐述了突变理论的概念、 演变过程、 基本原理,以及初等突变理论的基本突变类型,介绍了尖 点突变模型的推导过程及相关性质,研究了尖点突变模型在煤矿底板突水预测和深部巷道围岩失 稳突变分析中的应用.结果表明突变理论的应用将会极大地提高解决非线形问题的能力. 关 键 词突变理论;尖点突变模型;采矿工程 中图分类号TD745 文献标识码A文章编号1671 - 0924200802 - 0064 - 04 Catastrophe Theory and Its Application in Mining Engineering G AO Feng1,Y AN Mao2lin2 1. School of Science , China University of Mining and Technology , Xuzhou 221008 , China ; 2. Pangpangta Mine , Shanxi Coking Coal Group , Lvliang 033200 , China Abstract This paper expatiates on the concept , developing process , and basic principle of catastrophe theory , and the basic catastrophic types of elementary catastrophe theory , introduces the deducing proce2 dures and related properties of cusp catastrophe model , and studies the application of cusp catastrophe model in the forecast of water inrush from coal floor of coal mine and the catastrophe analysisof surrounding rocks’instability in deep laneway. The results show that the application of catastrophe theory improves the ability to solve non2linear problems to a great extent. Key words catastrophe theory; cusp catastrophic model ; mining engineering 事物的发展存在2种演化方式渐变和突变. 从牛顿、 莱布尼兹创立微积分以来,数学在处理渐 变现象时卓有成效,但对于同样大量存在的千变 万化的突变,似乎就无能为力.在采矿工程中,由 于地质条件复杂、 构造应力大、 围岩存在非均质性 和塑变、 流变明显等诸多不利因素,导致大量突变 现象出现,使系统由于诸元素相互影响表现出开 放性、 非线性、 不可逆性等特征,如矿井底板突水、 锚注岩体突然失稳和露天矿滑坡等.此时应用传 统的力学计算方法便显得不经济甚至失效.而突 变理论产生的目的就是为了对一个光滑的无限次 可微的系统中可能出现的突然变化作出适当的、 定性的数学描述,因此,可以应用突变理论解决这 些采矿工程中的突变问题. 第22卷 第2期 Vol.22 No.2 重 庆 工 学 院 学 报自然科学 Journal of Chongqing Institute of TechnologyNatural Science 2008年2月 Feb. 2008 1 突变理论 1.1 突变理论基本原理 所谓突变是指在系统演化过程中,某些变量 的连续逐渐变化最终导致系统状态的突然变化, 即从一种稳定状态跳跃到另外一种稳定状态.突 变理论是法国数学家R. Thom于20世纪70年代 初期创立的,是研究不连续现象的新兴数学分支. 突变理论认为系统所处的状态可以用一组参数 描述.当系统稳定时,标志该状态的某一函数就有 唯一的取值.当参数在某一范围变化时,该函数有 多个极值,系统处于不稳定状态.随着参数的继续 变化,系统又从不稳定态进入另一稳定态,此时, 系统就会发生突变.人们所熟知的微积分方程只 能用来描述连续变化的自然现象,面对自然界中 更加普遍的非连续现象如火山爆发、 地震、 泥石 流等就显得无能为力.而突变理论可以在不知道 系统有哪些微分方程,且不需求解微分方程的条 件下,仅在几个假设的基础上,用少数几个控制变 量便可以定性或定量地预测系统的性质[1]. 1.2 突变理论基本概念 1 势.在热力学系统中,势是自由能,由系统 演化的方向决定;在力学系统中,势是相对保守的 位置能;在社会领域,势是系统采取某种趋向的能 力.势由系统各个组成部分的相对关系、 相互作用 及系统与环境的相对关系决定,因此系统势可以 通过系统的状态变量和外部参量描述系统的行 为.一般地说,被研究对象的行为构成与控制空间 在数学上是高维状态的超曲面Rn m ,其中n为行 为变量, m为控制变量. 2奇点.在突变论中,把某一平滑函数的位势 导数为零的点叫做定态点.定态点在不同的条件 下有不同的分类,当n 1时,有3种类型极大 点、 极小点和拐点.特别是在某些定态点附近,连 续变化能够引起不连续的结果,此时将退化的定 态点称为奇点. 3 吸引子.吸引子是系统趋向的一个极限状 态.该极限状态可以是封闭迹线,也可以是更为复 杂的图形.这些极限点的连通集被称为系统的一 个吸引子.如果系统有多个互不相交的吸引子,那 么它们将处于相互竞争的状态,有可能破坏分解 为多个吸引子,从而走向分叉.Lorenz系统的吸引 子相图[2]如图1所示. 图1 Lorenz系统的吸引子 1.3 突变模型的基本特征 1 突跳性.控制参量有一微小的变化就会引 起状态变量巨大的变化,从而导致系统从一个局 部极小点突跳到另外一个局部极小的临界点. 2 滞后性.当任何一个物理系统不能严格地 逆向重复某种变化过程时,就会出现滞后现象. 3 发散性.对于连续平滑的变化,控制参数微 小的扰动仅引起状态变量的微小增量.但在退化 点邻域内,参量的微小变化将导致状态变量很大 的变化,这种不稳定性称为发散性. 4 多模态.系统中有可能出现2个或2个以 上不同的状态,即系统的位势对于控制参数的某 些范围可能有多个极小值. 5 多径性.平衡曲面中的某一状态,可以通过 控制变量变化的不同路径来实现. 6 不可达性.系统在某些状态变量上不能实 现真正意义上的稳定平衡. 1.4 初等突变理论 对于一个动态系统,其势函数可以描述成 F F T, U1 式中 T为系统状态参数ti的集合, T{ t1, t2, t3, ⋯, tn,⋯} ; U为系统控制参数ui的集合, U 56高 峰,等突变理论及其在采矿工程中的应用 { u1, u2, u3,⋯, un,⋯} . 对式1求偏导数,得到方程组 5F 5T 0 5F 5U 0 2 从而得到系统的平衡状态临界点 T 1, U1 , T 2, U2 , ⋯, Tn, Un . R. Thom已经证明如果控制参数U的元素不 超过4个,函数F最多只有7种突变模式,如表1 所示. 表1 基本突变类型 突变 类型 势函数 变量 个数 参数 个数 折叠型x3mx11 尖点型x4mx2nx12 燕尾型x5mx3nx2wx13 蝴蝶型x6tx4mx3nx2wx14 双曲脐型x3y3wxy-mx-ny23 椭圆脐型x3-xy2 x 2 y2-mxny23 抛物脐型x4x2ywx2ty2-mx-ny24 2 尖点突变模型 尖点突变又称为Rienan2Hugonioc点突变,是 常用的突变模型,本研究将详细介绍其推导过程 及相关性质.尖点突变的势函数为 V x x4μx2νx3 相空间为由状态变量x及2个控制变量m , n 构成的三维空间,如图2所示,平衡曲面方程为 5V 5x 4x32μx υ04 非孤立奇点集还需满足方程 52V 5x2 12x22μ05 将式4和5消去x ,得到满足分支点集的方 程 8μ 3 27ν 2 06 当m 0时, n的变化只引起x的光滑变化, 故称之为正则性态,相应地称n为正则因子;当 m 1时,发生突水;当Ip 1时,不会发生 突水. 3.2 深部巷道失稳突变理论分析 随着对能源和资源需求的不断增加,矿山开 采逐渐转入地壳深部,采掘环境更加恶劣,深部巷 道失稳剧烈,具有明显的非线性和不连续性,呈现 出突变特性.巷道围岩开挖后,在围岩范围内形成 一定厚度的松动区、 承载区和原岩区如图4 . 由 于受开挖爆破扰动的影响,巷道周边围岩产生损 伤累积,岩体内裂隙扩大并贯通,力学指标下降. 当集中应力大于岩体强度时,松动区岩体首先被 破坏,并逐渐向深部扩展,直至达到新的平衡状 态. 图4 巷道围岩受力及分区 取巷道周边径向位移u作为状态参量,在松 动圈内假设体积不可压缩,系统总势能为 Π UE Us UE∫ 2π 0∫ ∞ R 1 2σ rεr 1 2σ θεθrdrdθ Us∫ 2π 0∫ R aω rdrdθ 8 通过变化得到系统总势能 Π A1u4 0 B1u30 C1u20 D1u0 9 从而得到系统发生失稳的充要条件[4]为 4k’ 3 -3k’ 2 9ξ 2 18k ’ ξ -6ξ0 k’ 1,保持巷道稳定. 4 结束语 经过近30年的不断探索和完善,突变理论已 经具有相当深厚的数学和哲学基础,已成为描述 非线形问题的自然科学语言,影响日益增长,其方 法和概念被越来越普遍地理解和接受.特别是最 简单的尖点突变模型,已经被广泛地用来定性或 定量解决大量工程实际问题.采矿工程中大量的 问题都属于内部作用未知或不完全知道的系统, 与突变理论的研究背景和方法极其相似.有理由 相信,随着人们对突变模型的深入研究和计算机 技术与突变理论的融合,将极大提高解决非线形 问题的能力,为突变理论在采矿工程中的广泛应 用开辟广阔的前景[5]. 参考文献 [1] 凌复华.突变理论及其应用[M].上海上海交通大学 出版社,1987. [2] 王兴元,骆超.系统通向混沌的道路[J ].大连理工大 学学报,2006 ,464 583 - 584. [3] 王连国.基于尖点突变模型的煤层底板突水预测研 究[J ].岩石力学与工程学报,2003 ,224 573 - 577. [4] 闫长斌,徐国元.深部巷道失稳的突变理论分析[J ]. 矿山压力与顶板管理,2005 8 9 - 11. [5] 刘军.突变理论在岩石力学中的应用及发展趋势 [J ].科技进展,2006 ,225 264 - 267. 责任编辑 刘 舸 76高 峰,等突变理论及其在采矿工程中的应用