土木工程结构可靠度理论与设计.pdf

内 容提要 本书共分八章,前六章着重讨论结构构件可靠度理论,介绍常用的可靠 度计算和设计方法以及统一标准与现行设计规范的联 系,第七章着重讨论结 构体系可靠度理论,第八章简单介绍结构生命全过程可靠性分析。 本书可供高等院校土木工程专业的学生和研究生使用,也可供土木工程 结构设计人员、 科学研究人 员和高等院校有关教师阅读、 参考。 自年代以来,国际上以概率论和数理统计为基础的结构可 靠度理论在土木工程领域 已进入实用阶段。许多国家都致力于建 立以结构可靠性理论为基础的结构设计的规 范体系。我国工程技 术界对结构可靠性问题一直非常重视,建设部门于年 完成 了 建筑结构设计统一标准的编制工作,已由国家计委 颁发,自年月日起执行。铁道 、 公路、 水运和水利各有关 部门也都先后成立专门机构,分别进行编制 铁道工程结构设计统 一标准 、 公路工程结构设计统一标准 、港 口工程结构设计统一 标准 和 水工结构设计统一标准 。 同时,上述五个部门还联合进 行编制 工程结构可靠度设计统一标 准,并 已发布。 为了理解和运用好这些统一标准,对土木工程专业学生和工 程技术人 员而言,掌握一点结构可靠度理论是必要的。 作者正是为 此目的而编写本书,供土木工程结构设计人 员、 科学研究人 员和高 等院校师生阅读、 参考。 本书共分八章,前六章着重讨论 了结构构件可靠度理论,介绍 了常用的可靠度计算和设计方法以及统一标准与现行设计规 范的 联系,第七章着重讨论 了结构体 系可靠度理论,第八章简单介绍 了 结构生命全过程可靠性分析。 全书承蒙湖南大学施楚贤教授审定,左恒忠为全书描绘 了插 图,谨致谢意。 限于作者水平,书中难 免有不妥之处,恳请有关专 家和广大读 者批评指正。 编著者 第一章绪论 第一节引言 第二节结构可靠性的基本概念 第三节结构可靠性设计与理论的发展 第二章结构可靠度理论基础 第一节可靠性数学基础 第二节结构可靠指标 第三章结构可靠度计算 第一节中心点法 第二节验算点法 第三节设计点法 第四节蒙特卡洛法 第四章结构作用的统计分析 第一节作用荷载及其概率模型 第二节作用荷载的统计分析结果 第三节荷载代表值 第四节荷载效应组合 第五章结构构件抗力的统计分析 第一节结构构件抗力不定性因素的分析 第二节结构构件抗力的统计参数和概率分布类型 第六章结构可靠性设计 第一节目标可靠指标 第二节实用设计表达式 第三节荷载和抗力的分项系数 第四节结构重要性 系数 第七章结构体系的可靠度 第一节杆件与结构体系的失效模式 第二节基本结构体系 第三节结构体系的可靠度分析积分法 第四节结构体系的可靠度分析界限法 第五节结构体系的可靠度分析法 第六节结构体系的可靠度分析弹塑性分析法 第八章结构生命全过程可靠性分析 第一节施工期结构可靠性分析 第二节服役期结构动态可靠性分析 附表1 .正态分布表 附表分布的双侧分位数 表 附表函数表 附表分布表 主要参考文献 结构计算主要解决两方面的问题一方面是如何考虑材料固 有的性能,使结构的力学分析 日趋完善;另一方面是如何合理地选 择影响结构安全的参数,如荷载值 、 材料强度值以及安全系数等。 结构设计理论 由于采用了现代力学方法例如非线性分析、 应用 计算机和 日益完善的结构试验方法而更趋精确。 但若不考虑荷载、 材料强度等参数的不确定性和它们对结构安全的影响,那就会与 日益精确的力学分析不相匹配。安全系数取大些,荷载值取大些, 就多用材料;安全系数取小些,荷载值取小些,就少用材料。 如何在 结构的可靠性与经济性之间选择一种最佳的平衡,力求以最经济 的途径使所建造的结构以适当的可靠度满足各种预定的功能要求 是结构设计要解决的根本问题。 图结 构可靠性设计 以概率论为基础的可靠性理论极限状态设计法得到发展,它 引入结构可靠度的概念,用概率来描述结构可靠性 的问题,这就使 复杂的可靠性 问题变成一个可以用数学方法近似处理的问题,从 而有了比较科学的分析和解决的方法,见图。 结构所要满足的功能要求是指结构在规定的使用年限内,满 足下列四项功能要求 1.能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用包 括荷载以及外加变形或约束变形; 2.在正常使用时具有 良好的工作性能; 3.在正常维护下具有足够的耐久性能; 4.在偶然事件如爆炸、 车辆撞击、 超过设计烈度的地震、 龙卷 风等发生时及发生后,仍能保持必需的整体稳定性即结构仅产 生局部的损坏而不致发生连续倒塌。 在以上的四项功能要求中,第1、4两项通常指结构的强度、 稳 定,即所谓的安全性;第2项是指结构 的适用性;第3项是指结构 的耐久性,三者总称为结构的可靠性。即结构可靠性,是指结构在 规定的时间内,在规定的条件下,完成预定功能的能力。 这里所说的“ 规定的时间 ”,是指结构可靠性分析时考虑各项 基本变量与时间关系所取用的设计基准期。 目前,国际上对设计基 准期的取值并不统一,例如 国际“ 结构安全度联合委员会 ” 建议的结构设计基准期为年,加拿大“ 国际建筑法规 ”取年, 我国 建筑结构设计统一标准以下简称 统一标准规定建筑结 构的设计基准期为年。所说的“ 规定的条件 ”,一般是指正常设 计、 正常施工、 正常使用条件,即不考虑人为过失的影响。 结构可靠性的定义概念外延显然 比安全性大。度量结构可靠 性的数量指标称为结构可靠度,其定义为结构在规定的时间内, 在规定的条件下,完成预定功能的概率。可见,结构可靠度是结构 可靠性的概率度量。 衡量一个结构是否可靠,或者说是否完成功能要求,应有 明确 的标志。因此,在工程设计中引入了按极限状态设计的概念。所谓 极限状态,是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满 足设计规定的某一功能要求,则此特定状态就称为该功能的极限 状态。 显然,我们要求所设计的结构应具有足够大的可靠度来保证 不致达到规定的极限状态,只有这样,才能认为结构满足预定的功 能要求。 结构的极限状态一般可分为如下三类 1 .承载能力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件 达到最大承载能力,或达到不适于继续承载的变形。 当出现了下列状态之一时,即认为超过 了承载能力极限状态 1 整个结构或某一部分作为刚体失去平衡如倾覆等; 2结构构件或连接处 因超过材料强度而 破坏包括疲劳破 坏 ;或因很大塑性变形而不适于继续承载; 3结构转变为机动体系; 4结构或结构构件丧失稳定如压屈等。 在设计时,以足够大的可靠度来避免这种极 限状态的发生是 保证结构安全可靠的必要前提,因此所有结构构件均应进行强度 包括压屈失稳计算,在必要时应验算结构的倾覆和滑移;对于直 接承受重级工作制吊车的构件,还应进行疲劳验算。 2.正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件 达到正常使用和耐久性的各项规定限值。 当出现下列状态之一时,即认为超过了正常使用极限状态 影响正常使用或外观的变形例如,变形过大会造成房屋 内 粉刷层剥落、 填充墙和隔断墙开裂及屋面积水等 ; 2影响正常使用或耐久性能的局部损坏包括裂缝 ; 3影响正常使用的振动; 4影响正常使用的其他特定状态。 为 了 使所设计的结构构件能满足正常使用的功能要求,根据 使用条件需控制变形值的结构构件,应进行变形验算;根据使用条 件不允许混凝土出现裂缝的构件,应进行抗裂度验算;对使用上需 要限制裂缝宽度的构件,应进行裂缝宽度验算。 3.逐渐破坏极限状态。 指偶然作用后产生的次生灾害限度,即 结构因偶然作用造成局部破坏后,其余部分不致发生连续破坏的 状态。偶然作用包括超过设计烈度的地震、 爆炸、 车辆撞击及地基 塌陷等等。 这是一种针对偶然事件的条件极限状态。 当考虑偶然事件时, 仅要求按承载能力极限状态对主要承重结构进行设计,并遵照以 下原则 1按考虑偶然事件所造成的荷载效应的偶然组合进行设计或 采取保护措施,使主要承重结构不致因偶然事件而丧失承重能力; 2应使主要承重结构因偶然事件而发生局部破坏后,其剩余 部分仍应具有适当的安全度,在一段时间内不致于发生连续倒塌, 以避免生命和经济的重大损失,并为修复提供条件。 以上前两类极限状态在我国现行结构设计中已经被采用,国 际上也通常采用这两类极限状态。至于第3种极限状态国内外 目 前都正在进行研究。 结构可靠度通常受到各种荷载、 材料性能、 几何参数、 计算公 式精确性等因素的影响。这些 因素一般具有随机性,称为基本变 量,记作,则结构功能可用下面的功 能函数表 示 当时,结构处于可靠状态; 当时,结构处于极限状态; 当时,结构处于失效状态。 故称方程 为极限状态方程。 通常,描述结构的基本变量为随机变量。 这样,结构可靠度 可表述为结构处于可靠状态的概率,或简称为可靠概率,其表达式 为 即为结构可靠度,表示括号 内事件发生的概率。 同理,我们有结构的失效概率 结构达到极限状态的概率 通 常为连 续型变 量,因此 我们可 以认 为,功 能函数 的分布函数为连续函数。在这种情况下,由概率论 的知识可知,故有 这就是说,在处理结构可靠问题时,只考虑结构 的两种状态, 称为结构可靠性的二态模型。由式可知,失效概率同样可 以作为衡量结构可靠性的数量指标。 一、 结构设计方法的发展 结构设计方法的发展,在可靠性分析方面经历了从定量的、 经 验的到概率的发展。下面来看看发展过程中的各结构设计方法。 1.容许应力法 在材料力学及弹性力学方法发展以后,早期的结构设计方法 是容许应力法。 它假设材料为均匀弹性体,分析结构上所受到的荷 载作用,用结构力学或材料力学的方法算出构件中的应力分布,确 定危险点上的工作应力值;再根据经验及统计资料确定容许应 力;设计时保证最大应力不超过材料的容许应力,即 这称为强度判据,它满足了结 构的强度要 求,因而认为结构在工作 中不会破坏 。 以往的结构设计由于该法使用方便而均采用它。 设计时,作用 于结构上的荷载 以及结构的承载能力均用定值,若有动荷载作用 于结构上时,将动荷载换算成静荷载进行计算。 由于容许应力法使用方便,设计者对它很熟悉,按此法设计可 以满 足正常使用的要求,所以此法能较长时期被应用。 但该法存在 着明显的缺点一是该法按线性弹性理论以一点的强度来确定整 个结构构件是否安全可靠,这对于用脆性材料如石块、 铸铁等制 作的结构构件来说有一定的合理性。但是,对于用弹塑性材料如 钢材、 钢筋混凝土、 混凝土材料等制作的结构构件而言,由于没有 考虑到结构在非弹性阶段仍具有承受荷载 的能力,以及没有将荷 载、 结构抗力等作为随机因素加以考虑,所以是不合理的;二是此 法所给定的容许应力不能保证各种结构具有比较一致的可靠度水 平;三是此法没有适 当考虑荷载的变化具有不同的比例或具有不 同的符号,而是假设所有荷载的变化均具有相同的比例,并 由此采 用单一安全系数。 但对于出现反应力的情况等,运用此法就不合适 了。 容许应力法在实际应用中,针对上述的某些问题,也做过一些 修正。例如对塑性材料的结构构件,可在考虑其塑性工作的基础 上,采用按塑性计算的容许应力;对不同荷载情况,也可 区别对待, 通过调整,采用不同的容许应力。因而,考虑到它在设计表达式上 具有简洁的优点,对某些单一材料的结构构件,有些设计规范依然 采用容许应力法的表达形式。 2.破损阶段法 破损阶段法的设计原则是结构构件达到破损阶段时的计算 承载能力应不低于标准荷载引起的构件 内力乘以由经验判 断的安全系数,即 计算承载能力是根据结构构件达到破损阶段时的实际工作条 件来确定的。 由于安全系数是伴随着荷载效应,因此该设计方法也 可称之为荷载系数法。 破损阶段的设计方法首先在本世纪年代 由前苏联提出,主 要是用在钢筋混凝土结构构件的设计中。 其实,这个设计思想早在 世纪出现铸铁材料制成的结构时 已经形成。当时,由于铸铁桥 和房梁的断裂事故,对工程师提 出设计荷载应 比破损荷载提高多 少倍的问题,为此经过有组织的调查和研究,提出过一些供设计用 的建议,但终 由于容许应力法的发展与成熟,并主宰了整个结构设 计领域,使破损阶段法延迟到钢筋混凝土结构得到大量应用的 年代才正式形成。 当时,塑性理论和钢筋混凝土结构的试验研究已 取得一定的成果,给钢筋混凝土结构按破损阶段设计奠定了基础, 有可能从理论上计算结构的最终承载能力。 因此,与容许应力法不 同,作为设计方法,破损阶段法是要考虑结构材料的塑性性质及其 极限强度,从而确定结构的最终承载能力。但在结构可靠性方面, 还是由安全系数来保证,这与容许应力法相同,也存在着类似的缺 点。 由于该设计方法是以结构进入最终破损阶段的实际工作为依 据的,因此当对其他极限状态,例如对使用阶段的结构变形和裂缝 状态也有限制条件时,除了那些对设计理论娴熟、 经验丰富的工程 师,能对结构作出必要的验算外,一般设计人员只能依靠“ 足够大 ” 的安全系数,或者在设计规范中通过构造要求的规定,来给出一个 模糊的保证。即使这样,有时也难免有所不足。 无论是容许应力法,还是破损阶段法,在可靠性方面都是通过 经验来给以考虑的,因而设计中采用的安全系数,多半是根据 已有 结构的经验而加以确定,一般不轻易减小。 即使当结构效应的分析 方法有所改进,分析中采用接近实际的计算模型,考虑材料的实际 性能,有可能使分析结果更接近实际,但考虑到结构设计 中涉及的 不确定因素还有很多,一时难以判断,人们宁肯维持在原有的安全 水平上。这样,在结构分析方面取得的 良好效果,往往会被模糊的 可靠性要求所掩盖。因此,如何合理度量结构的可靠牲,一直是结 构设计中迫切期待解决的研究问题。 3 .极限状态法 由于荷载的 作用,结构在使用期 内有可能达到各种临界状态。 如上所述,主要可将这些状态归纳为两大类,承载能力极限状态和 正常使用极限状态。承载能力极限状态包括所有各种使结构进入 最终的破坏状态,而正常使用极限状态只涉及到结构在使用荷载 下的结构效应所处的状态,因此极限状态方法将前两种设计方法 中所考虑的结构实际工作状态都概括在内。 具体地说,承载能力极 限状态指的是构件断裂、 失稳 、 过大的塑性变形等所导致的结构破 坏;而正常使用极限状态指的是由于构件过大的弹性变形、 局部变 形包括混凝土的裂缝和剥落和振幅,使房屋 的非承重构件墙 面、 门、 窗等遭致破损或引起使用者在心理上的不舒适感。 极限状 态方法就是要求通过设计,保证结构不致进入上述的极限状态。 无论是在最早提出该方法的前苏联规范中,还是后来在欧洲 很多国家中得到发展,并在国际标准化组织中得到反映的标准文 件中,在可靠性方面都采用半概率的方法。所谓半概率 方法,它并不要求必须保征结构以规定的小概率进入极限状态,而 只要求在按极限状态设计的表达式中的各项设计值都在概率的意 义上取值。 例如,在设计表达式中,对荷载效应项,以一个较小的超 载概率取其设计值;对抗力项,以一个较小的低强概率取其设计 值。 我国在年代初,曾参照前苏联的结构设计规范,采用过这 类半概率的极限状态设计方法,原则上都以平均值增或减三倍标 准差的方法来确定设计计算值,然后根据荷载和材料的标准值,规 定了相应的荷载系数和强度系数。此外,仍在经验判断的基础上, 规定了结构构件或材料的工作条件系数,这类系数在一般情况下 取 。 作为随机变量考虑的荷载、 材料强度等设计变量,其概率分布 和统计参数的合理估计,由于样本容量的限制,在实际上也是不容 易做到的,尤其是荷载及其效应。因此,用三倍标准差原则来规定 设计值的合理性也遭到人们的怀疑。 于是在半概率的方法 中,对设 计变量取用了所谓特征值,它仍是该变量 的概率分布 中某个分位 值,要求这个值能够根据统计数据 比较可靠地加以确定。 由于样本 容量的限制,过低或过高的分位值往往难以得到实践的验证,在欧 洲建议对材料强度采用的分位值,对荷载采用的分位值 作为特征值。 此外,在设计表达式中仍将引入由经验判断的考虑各 种其他不确定因素的分项安全系数。 由于它能将统计的因素与不 能或暂时无法统计 的因素加以区别,使有可能根据可统计的设计 变量在客观上的改变,以保持原有可靠性的条件来调整设计参数。 在我国年代中期制定的设计规范中,标准荷载和材料强度 也是在概率的意义上规定的,而其单一安全系数是将各分项安全 系数经综合后近似得出。 采用单一安全系数的方式,主要出于设计 计算过程上的方便。 但 由于不能根据不同的设计条件,过细地规定 安全系数,因此在结构的可靠性方面仍是有缺陷的。 二、 结构可靠度理论的发展 可靠度的研究早在年代开始,当时主要是 围绕飞机失效进 行研究。第二次世界大战中,德国曾用可靠度方法分析过火箭,美 国也对飞机进行过可靠度分析。年代开始,美国国防部 专门建立了可靠度研究机构 ,对一系列可靠度问题进行 研究,促进了空间研究计划。 可靠度在结构设计 中的应用大概从年代开始。年,弗 罗伊詹特发表题为 结构 的安全度 的论 文,开始较为集中地讨论这个问题。同期,前苏联的尔然尼钦 提出了一次二阶矩理论 的基本概念和计算结构 失效概率的方法及对应的可靠指标公式。但那时以及从那以后 的研究都还局限于古典可靠度理论,设计 中随机变量完全为其均 值和标准差所确定。 显然,这只有在随机变量都是正态分布条件下 才是精确的。美国柯涅尔在尔然尼钦工作的基 础上,于年提出了与结构失效概率相联系的可靠指标作为 衡量结构安全度的一种统一数量指标,并建立了结构安全度的二 阶矩模式。年加拿大的林德对这种模式采用 分离函数方式,将可靠指标表达成设计人员习惯采用的分项系 数形式。这些进程都加速了结构可靠度方法的实用化。美国伊利 诺斯大学洪华生在结构可靠度研究方面有较大 的贡献他对各种结构不定性作 了分析,提 出了广义可靠度概率 法;他同邓汉忠合写的 工程规划和设计中的概率 概念 一书在世界上 已广为应用;他正致力于结构体系的可靠度 问题 的研 究工 作年,国 际“ 结 构 安全 度联 合 委 员 会 ” ,采用拉克维茨和菲斯莱等人提出的 通过“ 当量正态 ”的方法以考虑随机变量实际分布的二阶矩模式, 这对提高二阶矩模式的精度意义极大。 至此,二阶矩模式的结构可 靠度表达式与设计方法开始进入实用阶段。 我国从年代开始,有关高等院校和科研单位开展了极限状 态法的研究和讨论,用数理统计方法研究荷载、 材料强度的概率分 布,确定超载系数及材料钢筋、 混凝土强度匀质 系数。年代 初,在周总理的关怀下,组织 了航空及机械方面的可靠性研 究队 伍。在工程结构方面,以中国土木工程学会为主,广泛开展过安全 度问题的讨论,当时的 土木工程学报 发表过不少这方面的论文, 这些成果已部分地纳入 了年代初颁布的结构设计规范中。 年代,我国在制订工业与民用建筑设计规范,以及公路桥 梁和铁路桥梁、 水利水电工程、 港 口工程等设计规范时,也对结构 安全度问题做了大量的调查研究工作,基本上采用了多系数分析、 单系数表达的容许应力法,属半经验半概率的极限状态设计法范 畴。这虽然比以往的规范有不少改进和提高,但仍存在不少问题 例如,各种材料的结构设计表达式不统一,荷载和材料强度取值 的原则不统一,缺乏明确的可靠度定义,各类构件的可靠度水准不 一致等。其中比较突出而急需解决的问题一是改进结构可靠度 的分析方法和表达式;二是使各种结构的设计原则统一化。 为了提高结构设计规范的先进性、 合理性和统一性,并同国际 的发展趋势相适应,我国土木工程的各专业相继开展了大规模的 结构可靠度理论研究和设计规范修改工作。首先是在建筑结构领 域,原国家建委年下达 了“ 建筑结构安全度及荷载组合 ”研究 课题,年又下达 了编制 建筑结构设计统一标准 的任务,在 中国建筑科学研究院主持 下,有关 的科研 、 设计和高等院校共 多个单位,组成强大的阵容,密切协同,有计划有步骤地对建筑结 构的荷载 、 各类材料的性能、 各种构件的可靠度校准计算及设计表 达式、 分项系数等,进行了大量的调查实测 、 统计分析 、 试验验证及 理论研究工作。在总结我国近年来研究成果和多年来工程实践经 验的基础上,并参考了有关的国际标准,于年完成了 建筑结 构设计统一标准的编制工作,已由国家计委颁发,自 年月日起施行。年和年,铁道部、 交通部分别 下达了“ 铁道工程结构可靠性统一标准 ”及“ 公路桥梁可靠度 ”研究 任务,水工、 港 口工程等部门也开展了相应的工作。铁道 、 公路、 水 运和水利各有关部门也都先后成立专门机构,分别进行编制 铁道 工程结构设计统一标准、 公路工程结构设计统一标准 、 港 口工 程结构设计统一标准 和 水工结构设计统一标准 。 同时,上述五 个 部 门还 联 合 进 行 编 制工 程 结 构 可 靠 度 设 计 统 一 标 准 ,并 已发布。 这些统一标准的共 同特点是,采用了国际上正在发展和推行 的以概率论为基础的极限状 态设计方法,统一了各类结构设计的 基本原则,明确了结构的可靠指标,规定了适于各种材料钢 、 木、 钢筋混凝土结构的可靠度分析和质量控制与验收标准。 统一标 准 的提出,有利于各类结构 的设计、 施工、 质量控制、 维护管理全 过程,在结构可靠性理论基础上的统一,实现先进性和科学性。在 此基础上,使得各类结构的设计 、 施工、 验收规范修改有 了共 同遵 守的准则。 年在中国土木工程学会桥梁及结构工程学会下,设立了 结构可靠度委员会,在该 委员会 的主持下,于年 、年、 年、年分别召开了第一 、 二、 三 、 四届全国学术交流会,发 表了数百篇研究论文和报告,进行了广泛的交流。 近多年来,我国结构可靠度的研究工作及所取得的成果, 标志着我国在理论研究和应用方面 已提高到一个新的水平,已跻 身国际先进水平的行列,并将会对我国的结构设计规范体系和设 计思想、 施工管理、 科研方法 、 教学 内容等方面,产生一系列的影 响。 一、 随机变量的概念 在 自然界中,有些现象人们可以预先作 出推断。例如质量为 的质点,受力作用时,其加速度必为,且沿方向。 这 种在一定条件下必然会出现的现象称必然事件。 反之,如果在一定 条件下必然不出现的现象,则称不可能事件。 在 自然界中,也存在大量的另一类现象,它们在一定条件下可 能出现,也可能不出现,这种现象称为随机事件,通常简称为事件。 例如 某地今后年内要遭受烈度为度的地 震; 某地今后年内要遭受烈度不超过度地震。 从上面所举的两个事例可以看出,每一事件都有某种程度的 可能性,但事件的可能性要 比事件的可能性要小一些,为了 从数量上 比较事件可能性 的程度,必须对每一个事件给予一个数 字,这个数字就是事件的概率。也就是说,事件的概率是该事件客 观可能性的数值测度。 有些事件的概率是可以直接计算的。 典型的例子是古典概型, 即具有下列两个性质的试验 试验的可能结果只有有限多个。在概率论 中,所谓试验是 指一定条件下的实践。 试验 中每一个可能的结果,称为该试验的一 个基本事件。 2所有基本事件都是等可能的。 对于古典型试验,若试验结果由个基本事件组成,而事件 由其中的个基本事件组成,则定义的概率 为 不难看出,介于与之间,即 若,则为必然事件;若;则为不可能 事件。 但工程中很多问题不能归结为古典概型,因而不能应用式 计算其概率。对于这类事件,通常要通过大量重复试验来确定。 若在次试验 中,某事件出现次,则称 为事件在次试验中出现的频率;为在这次试验中出现 的频数。 实践与理论 已证 明,当增加试验次数后,频率将通过随机波动 而趋近于概率。 在计算事件的概率或频率,常要利用概率加法定理与乘法定 理。 概率的加法定理个互不相容事件之和的概率,等于各事件 的概率之和,即 所谓两事件与之和;是指、 中至少有一个事件实现,所谓 与互不相容,是指与不能同时出现。多个事件之和的概 念是类似的。 概率的乘法定理两事件乘积的概率等于一事件的概率,乘以 在这一事件发生的条件下另一事件的条件概率,即 式中是指事件在事件发生的条件下的概率,称为条 件概率。 所谓两事件与之积,是指与同时实现的意思。若 与中任一事件的概率与另一事件是否发生无关,则称是相 互独立的。在这种情况下 两独立事件之积的概率等于各事件的概率之积 个相互独立事件乘积的概率为 与随机事件有密切联系的一个重要概念是随机变量。这个概 念的产生推动了概率理论的研究和应用,使其研究的对象 由随机 事件扩大为随机变量。 所谓随机变量,是指在一定条件的实验 中,每次都取一个不能 预先确知数值的变量。 例如,某混凝土制 品厂每天不出废品的概率,出一件废品 的概率为0 .2 ,出两件及两件 以上废 品的概率为0 ,求5天中的废 品总数。我们设它为,显然它可能取的值 是0或但 是不能预先确知取那一个,因而是随机变量。 在上面的例子 中,随机变量的取值为可预先列举的有限个 值有时是可列个值 ,称为离散型随机变量。反之,若随机变量的 取值为充满某一区间的任何数值,则称为非离散型随机变量或连 续型随机变量。 例如,某地区地震最大加速度是一个变量,每次都 有一个具体值,但究竟是一个什么样的数值,事前不可能预知,因 而是随机变量。它可以在某个实数范围内,或者说在某个区间内, 或者说在某个 区间内取 任意的数值,即其可能值可以充满某个 区 间,因而是非离散型随机变量。这类例子很多,如某地区的年最大 风速、 年最大积雪深度、 年最大降雨量,以及材料强度等都属于非 离散型随机变量。 我们常用大写字母表示随机变量,小写字母表示 它可能取的值。 二 、 随机变量的分布 若是一个随机变量,为任意一个实数则 简记为是一个随机事件,所以它有一个确定 的概率,这样就定义了一个的函数,其函数值在 区间上,这样的函数称为随机变量的分布函数,即 分布函数具有以下性质 即任一分布函数都是单调非减的。 我们说,分布函数全面地反映了随机变量取值统计规律,有了 这个分布函数,随机变量按任何方式取值的概率便可依靠分布 函数计算出来。例如按分布函数定义立即可知 即事件的概率等于分布函数在该 区间上的 增量。 常见的随机变量可以有离散型随机变量与连续型随机变量。 前者仅能取有限个数或可数无限个数值;而后者即是非离散型随 机变量中最重要的一类,而可靠度理论讨论 中主要用的概率模型 就是这一类。 这是因为建筑结构设计中遇到的基本变量,比如材料 强度、 几何尺寸、 弹性模量、 裂缝 、 挠度、 恒载、 风、 雪和临时楼面活 荷载等取值都是充满某一区间,均可用连续型随机变量模型来描 述。 如果随机变量的分布函数可表为 其中,则称为连续型随机变量,称为的分布密 度简称密度。 可以证明连续型随机变量的分布函数是连续函数。 分布密度具有下列性质 由于连续型随机变量 的分布函数与密度 函数有如此 紧密关 系,所以连续型随机变量的统计规律 也完全可以用密度函数来描 述。 在实际问题中,试验结果有时往往需要用两个或两个以上随 机变量来描述,要研究这些随机变量之间的联系,就同时考虑若干 个随机变量即多维随机变量及其取值规律,下面将简单介绍这方 面内容。为了简明起见,只介绍二维情形,可依此类推。 例如在研究某族人的身长与体重之间的联系,要从这族人中 抽出若干个测量他们的身长与体重。 每抽一个人出来,就有一个 由 身长、 体重组成的有序数组 ,这个有序数组是根据试验结果 抽到的人而确定的。 如果 由两个变 量所组成 的有序数 组,即二维变量的取值是 随着试 验结果而确定的,那末称这个二维变量 为二维 随机变 量,与一 维时 相 仿,我们定义二维随机变量的分 布函数为 其中为任意实数。这就是说, 二维分布函数表示取图所示区域内的值 的 概率,即 与一维连续型随机变量类似,设为一个二维随机变量, 如果存在着一个定义域为整个平面的非负函数,使的 分布函数可表示为 其中为图所示的无界区域,那末称为二维连续 型随机变量,称,为的分布密度。 二维分布密度具有下列性质 其中为平面内任意区域。 设二维连续型随机变量分布密度为 关于的分布函数 所以关于的分布密度为 同理,关于的分布函数为 所以关于的分布密度为 下面我们将借助于随机事件的相互独立性概念,引进随机变 量的相互独立性。 设、 为随机变量,如果对于任意实数,事件 是相互独立的,即 那末称是相互独立的。 我们也可以把相互独立性概念推 广到两个以上的随机变量上去。 设的分布函 数依次为,那 末由上式即可得若相互独立,有 现在设二维连续型随机变量的分布密度为,如 果相互独立,则 由上式有 这里分别为的分布密度。 反之,如果有成立,则有 ,故相互独立。 三、 随机变量的数字特征 在许多实际场合,并非都要了解其概率分布,有时只要 了解其 某些主要的统计参数就行了。 例如要了解一个工厂生产的某种产 品的质量情况,有时只要 了解产品质量的平均水平和均匀程度就 够了。 下面介绍几种 常用的统计 参数,如平均 数,方差、 变异系数 等。 位置特征 反映随机变量 的集 中位置或分布 中心的数学特征有数学期 望、 众数或中位数等。 对离散型随机变量来说,所有可能值与其对应概率乘积的总 和称为该随机变量的数学期望。 例如,设离散型随机变量的可能值为其对应的 概率分别为,则的数学期望,记为或,为 若以等概率取则 即随机变量的数学期望就是其所有可能值的平均 值。 在一般情况下,随机变量取的概率是不相等的,设 则 即随机变量的数学期望是所有可能值的加权平 均值。称为的权数。 由上述可见,随机变量的数学期望实际上是平均值的推广。 并 常常把数学期望就称为平均值。 对于连续型随机变量来说,由于它的可能值是不可列的,是连 续地充满某个 区间的,因而式中的离散值替换 为连续变 量,对应的概率则替换为概率元,且总和改为积 分,即得非离散型随机变量的数学期望,即 当已确知随机变量的取值范围为时,则上式积分可 改为从到 。 在位置特征中,除了最常用的数学期望外,有时也用众数和中 位数,分别记为和。 对离散型随机变量来说,众数是概率为 最大的可能值;对连续型随机变量来说,众数则是概率密度为极大 的值。 由于工程中常遇到的概率密度是单峰铃形曲线,故众数可由 下式求得 随机变量的中位数,也常称中值,是满足等式 的值。 从几何上说,中位数将分布曲线下 的面积划分为相等的 两半,即随机变量取小于或大于值的概率相等。 通常 中位数只 适用于连续型随机变量,对离散型随机变量也可给予适当定义,但 是用处不大,故不详述。 当分布曲线为对称且单峰时,则数学期望、 众数 、 中位数三者 重合为一。 若分布是非对称的,则因数学期望受较大可能值的影响 最大,故离众数最远,且偏于分布曲线的长尾部,中位数总是介于 众数与数学期望之间。 三者还有如下经验关系对连续型随机变量 来说,众数与中位数之间的距离,一般约两倍于中位数与数学期望 之间的距离。 2.原点矩和 中心矩 数学期望是表达随机变量的集中位置或者说分布中心的数字 特征。 求出了数学期望,就知道了随机变量的一切可能值是围绕什 么值分布的,因此数学期望是最重要 的数学特征。 但是,随机变量 的一切可能值 围绕数学期望究竟怎样分布,是 比较集 中或 比较分 散,还需要其他的数字特征来说 明。 我们知道,在力学中常用矩来描述质量或面积的分布特征。 例 如,截面惯性矩 的大 小可 以表示面积 的分布情况。 当截 面积相 同 时,则惯性矩大者,面积分布离重心远。 与此类似,在概率论中也用 矩来描述随机变量集中程度及分布特征。 对离散型随机变量,所有可能值 的次方与其对应概率的乘 积的总和称为该随机变量的阶原点矩。 例如,设离散型随机变量的可能值为,其对应的 概率分别为,则的阶原点矩为 对于连续型随机变量,则如前述,应将离散值的求和改为对连 续变动的参数的积分,且将代之以概率元,即 比较式与式,式与式可以看出,数学 期望就是一阶原点矩,而阶原点矩则是随机变量的次方的 数学期望 随机变量与其数学期望之差称为中心化随机变量,即 为,它的阶原点矩称为随机变量的阶中心矩,记为 ,计算公式为 对于离散型随机变量 对于连续型随机变量 一阶中心矩恒等于零。 将式中的或式 中的用二项式定理展开,则可求得中心矩与原点矩的下 述关系 3.方差、 标准差、 变异系数 如所知,惯性矩是面积对通过形心主轴的二阶矩,它反映了面 积围绕形心的分布特征。 与此相对应,随机变量对数学期望的二阶 矩,即二阶中心矩,则描述随机变量 围绕数学期望的分布特征,通 常称为方差,记为, 即方差是随机变量相对其数学期望 的偏差的平方的数学期 望。 对于离散型随机变量 对于连续型随机变量 从方差的定义及计算公式可以看出,方差是恒为正的。 若方差 是一个很小的正数,则表示随机变量的一切可能值高度集 中在数 学期望附近;反之,若方差是一个很大的正数,则表示随机变量 的 取值是很分散的,即与数学期望的偏差很大。 因此,方差是描述随 机变量的离散性的数字特征。 由于方差具有随机变量二次方的量纲,用起来不方便,因而常 取方差 的平方根作为描述随机变量离散性 的数学特征,称为均方 差或标准离差,记为或。 但是 随机变量均方差的大小除了与离散性有关 外,还与其数 学期望值的大小有关,因此不能仅用均方差来比较随机变量的离 散度,而应采用均方差与数学期望的比值作为判据。 这个 比值称为 离散系数或变异系数,记为 。 4 .偏态系数和峰度系数 当分布曲线为对称时,不难证 明所有奇次 阶的中心矩等于零。 如 果,则说 明分布 曲线不是对称 的。 由于一阶中心矩是恒等于零的,因此第一个可能不等于零 的奇 次阶中心矩是三阶中心矩,故通常选用表征随机变量分布的 不对称性。 但考虑到三阶矩的量纲是随机变量的三次方,为了得到 无量纲的数字特征,一般采用三 阶中心矩与均方差的三次方的比 值,称为偏态系数或简称偏态,记为。 当时,分布曲线称为正偏态曲线;当时,分布 曲线 称为负偏态曲线见图。 四阶中心矩描述 了分布 曲线顶峰的突出程度。 鉴于 四阶中心 矩具有随机变量的四次方量纲,故常采用四阶中心矩与均方差的 四次方的比值,即。 同时,又因正态曲线的等于,故定义 为峰度系数或简称峰度。 当时,表示分布 曲线的峰度 比正态 曲线 低,即比较平 坦,称低峰度曲线;当时,则曲线比较尖峭,称高峰度 曲线见 图。 在大多数实际问题 中,最常用的数字特征是数学期望及方差 或均方差、 离散系数,其次是偏态,再次是峰度。 而采用更多和更 高阶的矩,从理论上说能够更多地描述随机变量的分布特征,但在 实际统计中,用高阶矩将可能产生很大误差,故极少采用。 四、 结构可靠度分析中常用的概率分布 1.正态分布 在许多实际问题中,遇到的实际变量常受到许多相互独立 的 随机因素的影响,而每个个别因素的影响都不起决定性 的作用,但 这些影响是可以叠加的。 例如,电灯泡的耐用时数寿命受到原 料、 工艺、 保管条件等因素的随机变动的影响,而这些因素的波动 在正常情况下是相互独立的且每一个都不起决定性作用,并可认 为是可以叠加的。 在概率论的极限理论 中可以证 明具有上述特点 的随机变量一般都具有以函数 为密度的连续型分布,称这种分布为正态分布或高斯分布。 它依赖 于两个常数及,以后,把这种分布简记为特殊地 的分布称为标准正态分 布,见图。 正态分布中的常 数依次是按这个分布的随 机变量的平均值与标准差。 从而,对于正态分布,只要利用平均值 及标准差这两个统计参数便能完全定出其分布。 正态分布的变异系数为 若随机变量服从,则可通过标准化变换 化为标准正态分布,可证服从。 人们将