电子表格法在岩土工程可靠度分析中的应用.PDF

收稿日期 2004- 11- 03 基金项目国家教育部春晖计划资助Z200421262011;甘肃省自然科学基金ZS0112A 5020132G 电子表格法在岩土工程可靠度分析中的应用 朱彦鹏,刘 星 兰州理工大学土木 工程学院,甘肃 兰州 730050 摘 要 基于可靠度指标的最优化算法,应用M icrosoft Excel电子表及其非线性规划求解,通过 实例给出了电子表法确定可靠度指标的实现方法.该方法简单明了,具有较大的工程应用价值. 关键词 可靠度指标;优化算法;非线性规划;电子表 中图分类号 TU 31112; TU 17 文献标识码 A 文章编号 10042036620050420040203 Application of Spreadsheet to Reliability Analysis of Geotechn ical Engineering ZHU Yan2peng, L I U Xing S chool of Civil Eng ineering,L anzhou U niversity of T echnology,L anzhou730050,China Abstract Based on the opti mal algorithm of reliability index, theM icrosoft Excel Solver is used to calcu2 late the reliability index.Project examples show that the is effective and reasonable w ith a higher value in engineering. Key words reliability index; opti mal algorithm; nonlinear programm ing; spreadsheet 在岩土工程可靠度分析中,由于岩土是一种高 度非线性材料,相应的状态方程往往是非线性的,如 果采用导数计算的可靠度方法,如中心点法, JC法 等,当考虑因素比较多时,极限状态函数往往变得难 以处理,特别是岩土工程中用到的某些三角函数相 当复杂,对其微分常会遇到麻烦.而一些近似计算方 法不涉及到求函数的导数,如某些数值方法,蒙特卡 洛法,但前者推导比较复杂,编制的计算程序通用性 差,后者要生成大量的随机数,要占用计算机的较大 内存.而我们以文献[1]所提出的可靠度指标的最优 化算法为理论基础,应用M icrosoft Excel电子表和 Solver工具求解可靠度指标,该方法计算工程直观, 分析简洁,免除了编程工作的繁重和解读程序的困 难,便于掌握和实际应用,并通过与文献中的一个算 例的对比分析,验证了该方法的可靠性. 1 可靠度分析及几何意义 [2～4] JC法是国际结构安全度联合会JCSS推荐的 一种方法.其实质简述为 设随机变量xii 1, 2,⋯,n满足方程 ZGx1,x2,⋯,xn 0 1 式1称为极限状态方程,ZG为状态函数. 当状态函数与多个正态基本变量有关时,式1 代表以基本变量xi为坐标的n维欧氏空间的一个 曲面,将状态函数在实验点p 3 x1,x2,⋯,xn处展 开为泰勒级数,取一次项,则可导出下列一组方程式 Gx1,x2,⋯,xn 0,2 xiΛxi-ΡxiΒΗi, i 1, 2,⋯n3 Ηi 5G 5xi Ρx i ∑ n j 1 5G 5xj Ρx j 2, 4 式中Λxi,Ρxi分别为变量xi的均值及标准差.解非线 性方程组2～ 4. 可求得可靠度指标 Β的值. 从可靠度分析的一次二阶矩理论可知,对于独 立正态分布的变量,在极限状态方程为线性时,可靠 度指标在标准正态坐标系中等于原点到极限状态平 第17卷 第4期 2005年12月 甘肃 科 学 学 报 Journal of Gansu Sciences Vol . 17 No. 4 Dec. 2005 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 面或直线的最短距离. Shinozuka已经证明如果 失效面的某点至坐标原点的距离是失效面上所有各 点至坐标原点的最短者,则该点就是最可能的失效 点.可以证明该距离就是可靠度分析的一个重要指 标可靠度指标 Β [5, 6]. 如图1 图中ROS为原坐标系,RSO为标准化后的新坐 标系,它们之间的换算关系为 R ϖ R-ΛR ΡR,S θ s-ΛS ΡS5 其中 ΛR、 ΡR、 ΛS、 ΡS分别为R和S 的均值和标准差. 式5就是所谓的标准化过程可靠度指标 ΒO ϖP3 直线距离 , P 3 点被称为设计试验点,满足极限状 态方程,是失效边界上与结构最有可能失效的概率 对应的点. ΒO ϖP3 [ R 3 -ΛR ΡR]2 [ S 3 -ΛS ΡS]2, 若极限状态方程有多个变量时,即 ZGx1,x2,⋯,xn , 6 将各正态变量标准化 x θ i xi-Λxi Ρxi ,7 于是方程就转化为标准正态坐标中的形式 ZGx θ1Ρx 1 Λx1,⋯,x θiΡx i Λxi, , ⋯,8 此时可靠度指标仍为标准正态坐标系中原点到极限 状态面的最短距离,即 Βx θ 13 2 x θ 23 2 ⋯x θ n3 2 ∑x θ i3 2. 9 综上所述,可靠度指标的计算可以转化为求原 点到极限状态曲面的最短距离.根据这一特点,我们 可以采用最优化方法进行可靠度的计算. 2 求可靠度指标的数学模型 从一般的情况出发,设有n个任意分布的独立 的随机变量影响结构的可靠度,极限状态函数为 ZGx1,x2,⋯,xn 0,10 按上述原则应先将非正态分布变量当量正态化,根 据在验算点上分布函数相等的条件得 Λ′xix 3 i-5 - 1[F xix 3 i ] Ρ′xi,11 由在验算点上密度函数相等的条件得 Ρ′xiΥ{Υ - 1[F xix 3 i ]} fxix 3 i , 12 式中5 - 1为标准正态分布函数的反函数, Υ 为标准正态的分布密度函数. 于是将x 3 i标准化后,得到可靠度指标标准正态空 间的优化数学模型 Β m in ∑x 32 m in ∑ [ x 3 i-Λ′x i Ρ′x i] 2 13 ZGx 3 1,⋯,x 3 i 0 14 3 广义简约梯度法 简约梯度法的基本思想是W olfe在1962年作 为线性规划单纯形法的推广而提出的[7].该方法每 一次迭代都通过当前点的积极约束消去一部分变 量,从而降低优化问题的维数,而且产生一个可行下 降方向.例如以下N P问题 目录函数 m infX 约束条件 A Xb X≥0 , 其中X∈R,f∶R n→Rl,A 为一个秩为mn矩阵, b∈R m, 按如下步骤进行求解 1选取初始可行点X 0∈8 ,给定终止控制常 数 Ε 0,令K 0. 2设I k B是X k 的m个最大分量的下标集,对 矩阵A进行相应分解,即A Bk,Nk . 3计算fX k BfX k NfX k ,然后,计算简 约梯度 Χ k N -B - 1 kNkBfX k NfX k . 记 Χ k N的第ii|I k B个分量为 Χ k i. 4按式 P k P k N P K B P k N∶P k i -Χ k i,Χ k i≤0 -x k iΧ k i 0,Χ k i 0, i|I k B P k B -B - 1 kNkP k N 构造可行下降方向P k. 若‖P k‖≤Ε ,停止迭代,输 出X k, 否则,进行下一步. 5进行有效一维搜索,即求解m in 0≤t≤tk max fX k tP k , 得最优解tk,其中变量的上界t k max由 t k max ∞ 若P k≥0 m in - x k i P k i P k i 0 ,若P k 0 确定,令X k 1 X k tkP k, k∶k 1,转回步骤 2. 14第17卷 朱彦鹏等电子表格法在岩土工程可靠度分析中的应用 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 简约梯度法对于大规模线性约束的非线性规划 问题是最好的.因此,用规划求解器按式13, 14 求解很方便,只要在Excel的工作表中输入相应的 公式,并定义规划求解模型即可进行计算.如果某些 变量是非正态分布,只要进行当量正态化后,仍按前 述方法分析.在Excel中只要将变量正态化的公式 输入单元格即可实现[8, 9]. 4 工程算例分析 引自文献[1]例 4. 2 某正方形钢筋混凝土浅 基础,置于地表以下5 m粉土上,物性指数内聚力 c,内摩擦角 Υ和容重 Χ都服从正态分布,统计参数 如表1. 表1 统计参数值 符号名称分布平均值标准差 Χ容重kNm- 3正态190. 5 Υ内摩擦角 正态303 c内聚力kPa正态9030 荷载效应p也为随机变量,服从正态分布,p的 均值和标准差分别为25 000 kN , 2 500 kN.文献 [10]对浅基础的承载力系数处理后,最后给出极限 状态方程为 Z 117. 2C- 64. 8Χ 21. 87c 83. 18ΧNq- P- 114. 7 0, 式中Nq为浅基础的承载力系数之一,是内摩擦角 Υ的函数.根据误差传递公式可以算的N q的均和标 准差分别为1814和6145,可靠度计算结果如下 文献[10]JC计算的结果 Β 2103,文献[5]计 算结果 Β 2105,采用文献[3]的方法与我们的计算 结果见表2. 从计算结果对比可知,我们所用的方法的结果 与JC法和文献[5]的结果几乎一致,从而验证了我 们方法的准确性,同时,该方法概念清楚,应用方便, 在计算中直接对可靠度指标求解,避免了在JC法 表2 可靠度计算 计算方法ΒckPaNqΧ kNm- 3PkN 文献[3] 2. 045 68. 284 6. 164 18. 989 25 598. 32 遗传算法[11]2. 06269. 4156. 01819. 12125 598. 32 电子表格法2. 044 66968. 293 636. 162 96818. 989 27225 598. 283 36 在验算点处将功能函数展开成泰勒级数,取其线性 部分的近似计算.而且上述方法对出始解并未严格 的要求. 6 结论 上述的整个求解过程中除了知道各个变量的统 计值以外,只用到了由各基本变量组成的极限状态 函数构成的目标函数.而极限状态函数通常是针对 某一具体的岩土工程问题的确定性分析模型,所以 说采用这种方法对计算岩土工程的可靠度极为有 效.我们所采用的优化方法是对独立变量进行的,对 于多个互相关的随机变量,可以采用协方差矩阵将 相关变量空间转化为不相关变量空间,然后再进行 计算. 参考文献 [ 1 ] 冷伍明.基础工程可靠度分析与理论设计[M ].长沙中南大 学出版社, 2000. 882102. 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