m法求解桩身内力与变形的幂级数解.PDF

收稿日期 1996212205 3 甘肃省自然科学基金资助项目 m法求解桩身内力与变形的幂级数解3 朱彦鹏 张安疆 王秀丽 甘肃工业大学建筑工程系,兰州 730050 摘 要 针对桩在桩端弯矩和水平力共同作用下桩土共同工作时,用m法求解无法 得出解析解,而用有限元法和差分法给出的解不尽人意的具体问题,用幂级数法求解 了m法的微分方程,推出了桩的内力及变形的具体计算式,并编制了计算程序. 关键词 桩身 内力及变形 m法 幂级数解 程序 分类号 TU 470 桩在桩端弯矩和水平力作用下,其内力与变形的计算方法是以弹性地基梁理论为基础,依 据桩与地基土共同工作时的受力关系,建立微分方程来求解.由于采用的地基弹性抗力系数不 同其计算方法也不一样.常用的计算方法有K法、m法和C法等[1 ～3], 不同的计算方法其结果 往往差别较大,而按文献[2]方法计算时,由于A,B,Α,e0等参数难确定,故直接应用于工程难 度较大.经过大量试验和工程实践验证表明 ,m 法较符合实际,且 建筑桩基技术规范JGJ 949推荐使用m法,但m法最大的问题是不能求出解析解.因此,本文根据m法建立微分方 程,引入边界条件,利用幂级数法推导出桩身内力与变形的一系列计算公式,并编制了计算程 序.通过输入有关桩端力及桩身材料和几何参数,即可求出桩身任意截面的内力与变形.计算 结果与实测值比较吻合. 图1 单桩受力图 1 m法微分方程的建立与求解 1. 1 基本方程的建立 埋入土体中的桩,在水平力及桩端弯矩作用下,将与桩 周土体共同工作,属弹塑性介质中的弯曲问题.求解时将桩 作为一个竖向的弹性地基梁来考虑,受力如图1所示.即假 定桩侧土为W inkler离散线性弹簧.据此可导出桩在水平 力及桩端弯矩作用下的基本挠曲方程 E I d4y dx 4 Px,y 01 任意深度桩侧土反力与该点的水平位移成正比,表示为 Px,y kxyb0 其中kx是地基土水平抗力系数,它随深度的增加而 第23卷第3期 1997年9月 甘 肃 工 业 大 学 学 报 Journal of Gansu U niversity of Technology Vol . 23 No. 3 Sept. 1997 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 假定有不同的变化图式. m法假定kx随深度线性增加,即kx m x,则桩侧土反力为 Px,y m b0 x y2 将式2代入式1得 E I d4y dx 4m b0 x y 0 令 Α 5 m b0 E I ,则上式变为 d4y dx 4Α 5x y 03 式中 m地基土水平抗力系数随深度变化的比例系数 b0桩的计算宽度,按 规范 取值 Α桩的水平变形系数 E I桩的抗弯刚度,E IΒEcI,钢筋混凝土桩Β 0185 式3即为m法的基本微分方程. 1. 2 基本方程的解 式3是一个四阶变系数微分方程,直接求解此方程没有解析解.为了求解,国内外有关专 家曾提出的解法主要有差分解、 有限元解及初值法的数值解,但这些解法只能就某一具体问题 给出一个解答,无法得到通解.规范 中推荐用m法,但无比较简便的解答.本文则将m法的 方程用幂级数法来求解,得到了满足精度要求的解答,并编制了计算程序,使得工程设计应用 m法成为可能. 幂级数法求解步骤如下 假定式3的解为一幂级数 ya0a1xa2x 2 ⋯ ∑ ∞ n 0 anx n 4 上式微分可得 y’a1 2a2x 3a3x 2 ⋯ ∑ ∞ n 1 nanx n- 1 4a y″ ∑ ∞ n 2 nn- 1 anx n- 2 4b y˚ ∑ ∞ n 3 nn- 1 n- 2 anx n- 3 4c y 4 ∑ ∞ n 4 nn- 1 n- 2 n- 3 anx n- 4 4d 将式 4, 4d 代入式3得 ∑ ∞ n 4 nn- 1 n- 2 n- 3 anx n- 4 -Α 5x ∑ ∞ n 0 anx n 4e 根据式 4e 即可确定待定系数a0,a1,⋯,an,将各系数表达式代入式 4, 整理得 y ∑ ∞ n 0 anx n a0a1xa2x 2 a3x 3 ∑ ∞ k 1 a5k- 1x 5k- 1 ∑ ∞ k 1 a5kx 5k ∑ ∞ k 1 a5k 1x 5k 1 ∑ ∞ k 1 a5k 2x 5k 2 ∑ ∞ k 1 a5k 3x 5k 3 k 1, 2, 3,⋯ 引入记号E n mk m k-n [ mk-1 -n][mk-2 -n]⋯{m[k-k-1 ] -n} mn 87甘肃工业大学学报 第23卷 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 令 f0x 1 ∑ ∞ k 1 - 1 kE 4 5k 5 k Αx 5k f1x x ∑ ∞ k 1 - 1 k E 3 5k 5 k 1 1 Α Αx 5k 1 f2x x 2 ∑ ∞ k 1 - 1 k 2E 2 5k 5 k 2 1 Α 2Αx 5k 2 5 f3x x 3 ∑ ∞ k 1 - 1 k 6E 1 5k 5 k 3 1 Α 3Αx 5k 3 则化简得 ya0f0x a1f1x a2f2x a3f3x6 上式即为微分方程幂级数解的表达式,式中的常数系数a0,a1,a2,a3可由边界条件确定. 1. 3 引入边界条件 水平力作用下埋入土中的桩,其下端水平位移挠度与转角很小,可忽略不计,下端简化 为固定支承,认为桩底截面处位移、 转角为零.设桩长为L,于是桩底符合y′xL 0,yxL 0. 桩上端仅有地基梁起连接作用,保证各桩顶发生同步的水平位移,因此,桩顶可简化为自 由端.假定桩顶水平力为H0,桩端弯矩为M0,则有E Iy″x 0M0,E Iy˚x 0H0.这样,灌 注桩边界条件为 E Iy″x 0M0 E Iy˚x 0H0 y′xL 0 yxL 07 分别将式6及其微分形式代入式 7, 求出各系数如下 a3 H0 6E I a2 M0 2E I 8 a1 [a2f2L a3f3L ] f′0L - [a2f′2L a3f′3L ] f0L f0Lf′1L - f′0Lf1L a0 [a2f2L a3f3L ] f′1L - [a2f′2L a3f′3L ] f1L f1Lf′0L - f′0Lf0L 将式8及式5代入式 6, 便得微分方程的解 ya0f0x a1f1x a2f2x a3f3x9 为了书写方便,上式中仍用aii 0, 1, 2, 3与fix i 0, 1, 2, 3来表示. 2 桩的内力与变形分析 当桩受力情况、 桩身材料及桩型确定后,可依据式9进行桩的内力与变形分析. 1 桩的水平位移ya0f0x a1f1x a2f2x a3f3x 2 桩的转角Υ dy dx a0f′0x a1f′1x a2f′2x a3f′3x 3 桩身弯矩ME I d2y dx 2 E I[a0f″0x a1f″1x a2f″2x a3f″3x ] 4 桩身剪力VE I d3y dx 3 E I[a0f˚0x a1f˚1x a2f˚2x a3f˚3x ] 5 地基土反力Pm x yb0m b0 x[a0f0x a1f1x a2f2x a3f3x ] 根据上述各式,可依次求出沿桩深度方向任意截面的水平位移、 桩身弯矩、 水平剪力、 转角 以及地基土对桩身的反力. 97第3期 朱彦鹏等 m 法求解桩身内力与变形的幂级数解 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 图2 程序结构框图 3 程序设计 虽然用幂级数求解m法的微分方程,推导过 程十分清晰,但其计算工作量大,使手算难以实 现,因此文中依据上面的求解过程,用FOR2 TRAN 77语言编制了程序,结构框图见图2.利 用程序计算,只需输入8个参数,则程序可计算 出沿深度方向桩的内力及变形值,并绘制出桩身 弯矩M、 桩身剪力V、 水平位移y、 转角Υ 以及地基土反力P随桩的深度x变化的关系 曲线.程序设计合理,用机时间少,大大简化了工 作量,具有一定的优越性. 4 理论分析与实测结果比较 根据甘肃省建筑科学研究所所作的数桩测试结果,与本文程序计算结果进行分析比较,得 出结论. 测桩试验地质概况地基土分为两层,上层为第四纪全新世Q4洪积坡积黄土状土,属 级自重湿陷性黄土,厚510m左右;下层为中密碎石层,为桩尖持力层.取该试验中1号挖孔灌 注桩来研究,该桩桩径400mm ,桩长4118m混凝土强度等级为C 1815,配筋2Υ22 4Υ12,配 筋率 Θ 0197 ,试验时,土体为浸水饱和状态. 测试时,桩端水平力循环加载,现取两级荷载 与电算值比较,按程序要求,分别计算. 1 桩端水平力H0 15 kN ,M0 0时,根据灌注桩的条件及受力情况,确定出各参数值. 于是得输入数据文件Pile. dat 4118, 10, 014, 1417, 0, 2155e 7, 5 000, 0,程序计算结果见 表1.实测弯矩与电算弯矩值比较如图3所示,剪力与水平位移的分布如图4所示. 表1 计算值与实测值的比较 实测数据 深度x m 实测弯矩值 kN m 程序计算值 深度x m 弯矩M kN m 剪力V kN 转角 Υ 土体反力P kN m 2 水平位移y m 0001417001001 8001004 1 0141851920 4131143 901001 771023 9010034 01999111101836101671 591320 301001 6111168 501002 7 11254131562 941493 601001 4121856 601002 1 11672141408 8- 01092 601001 2121665 501001 5 21063101821090131485 1- 31279 801001 0111192 501001 1 215081114316- 41156 901000 881945 501000 7 2172451402192691046 9- 21391 201000 661299 8010004 3134461890 711176 501000431559 201000 2 317321. 93176241568 731563 201000 311153 901000 1 4118041180- 01470 2 - 11835 4000 08甘肃工业大学学报 第23卷 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 图3 弯矩值比较 图4 剪力与水平位移分布 2 桩端水平力H0 25 kN ,M0 0时,按程序要求,输入数据文件Pile. dat 4118, 10, 表2 计算值与实测值的比较 实测数据 深度x m 实测弯矩值 kN m 程序计算值 深度x m 弯矩M kN m 剪力V kN 转角 Υ 土体反力P kN m 2 水平位移y m 0-00241500 001002 9001006 8 0141891867 3211906 501002 8111706 501005 6 01999191401836171785 8151533 801002 6181614 201004 5 11254221604 871489 301002 3211427 701003 4 11672241014 7- 01154 301002 0211109 101002 5 21063201721090221475 2- 51466 401001 6181654 101001 8 21508191052 6- 61928 101001 3141909 201001 2 21724111221926151078 2- 31985 401001 0101499 601000 7 31344111484 811960 801000 751931 901000 4 317324183176271614 551938 60. 000 511923 201000 1 4118041180- 01783 6 - 31058 9000 图5 弯矩比较 图6 剪力与水平位移分布 18第3期 朱彦鹏等 m 法求解桩身内力与变形的幂级数解 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 014, 2415, 0, 2155e 7, 5 000, 0,程序计算结果见表2.实测弯矩与计算弯矩比较如图5所示, 剪力与水平位移的分布如图6所示. 5 结论 1 从实测弯矩与电算弯矩比较来看,实测值与电算值吻合较好.当深度达桩身弯矩最大 值以后,电算值偏大且递减较慢,因此可直接利用电算结果获取桩身的最大弯矩及其截面位 置,为桩的强度设计提供可靠的数据. 2 试验记录中没有剪力、 水平位移、 转角等的实测值,无法与电算结果比较,但从电算结 果绘制的曲线分布来看,完全符合桩土共同工作的内力及变形分布规律,因此,利用电算的内 力及变形值,可进行工程桩的检验与校核. 3 程序计算时,参数m的值可根据试验确定,也可按 规范 的经验来取,其它参数均可由 桩型及受力情况来确定. 4 计算结果中,H0 25 kN时桩顶水平位移y0 618 mm ,而实测值为y0 513mm ,电算 结果比实测值略大,偏于安全. 参 考 文 献 1 朱彦鹏,王秀丽.人工灌注桩内力和变形分析的微分方程解法.甘肃工业大学学报, 1993, 191 102～105 2 阎树旺.半解析法求水平等载桩的反应特性.岩土工程学报, 1989, 114 1～8 3 卜小明.无拉力W inkler弹性地基深浅梁的统一解.工业建筑, 1996, 261 28～30 Power series solution of internal force and deation of piles with m- Zhu Yanpeng,Zhang A njiang,W ang X iuli Dept. of Civil Engineering, Gansu U niv. of Tech. , L anzhou 730050 Abstract W hen the pile is subjected to the joint action of horizontal load and bending mo2 ment at the pile end and the reaction of foundation soil, the analytic solution by means ofm2 can not be obtained and the solutions obtained by means of finite element or finite difference are not satisfactory. A i med at this specific problem, a pow er series solution to the differential equation w ith the m2 is obtained, the ulas for ua2 tion of pile internal force and deation are derived, and the uation program is devel2 oped. Key words pile body; internal force and deation; m2; pow er series solution; program 28甘肃工业大学学报 第23卷 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.