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第27卷 第10期 岩石力学与工程学报 Vol.27 No.10 2008 年 10 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct.，2008 收稿日期收稿日期2008–05–29；修回日期修回日期2008–07–24 基金项目基金项目国家自然科学基金重大研究计划项目90715041；国家自然科学基金资助项目50709014；清华大学骨干人才计划资助项目 作者简介作者简介杨 强1964–，男，博士，1986 年毕业于清华大学水利水电工程系水工结构专业，现任教授，主要从事水工结构与岩石力学方面的教学 与研究工作。E-mailyangq 岩体等效强度参数确定的理论和方法岩体等效强度参数确定的理论和方法 杨 强 1，陈英儒2，刘耀儒1，周维垣1 1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084；2. 中国水利水电科学研究院，北京 100038 摘要摘要从能量等效的角度研究岩体的等效强度参数，采用变形加固理论中的塑性余能为等效指标确定复合介质的 强度参数，详细推导用于等效复合介质强度参数的等效计算表达式。该表达式表明了复合介质变形和强度参数之 间的相关性，通过数值算例研究材料变形参数对强度参数的影响程度以及材料不同配比下复合介质强度参数的变 化规律，表明塑性余能等效方法在确定岩体强度参数上的可行性。 关键词关键词岩石力学；等效；塑性余能；变形参数；强度参数 中图分类号中图分类号TU 45 文献标识码文献标识码A 文章编号文章编号1000–6915200810–1993–07 THEORY AND OF DETERMINING EQUIVALENT STRENGTH PARAMETERS OF ROCK MASS YANG Qiang1，CHEN Yingru2，LIU Yaoru1，ZHOU Weiyuan1 1. State Key Laboratory of Hydroscience and Hydraulic Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China； 2. China Institute of Water Resources and Hydropower Research，Beijing 100038，China AbstractThe equivalent strength parameters of rock masscomposite medium are studied from the viewpoint of energy equivalence. Based on the equivalence of the plastic complementary energy，the equivalent computational expression is derived，which shows the correlation between deation parameters and strength parameters. The influence of the deation parameters of medium on strength parameters and change law under different ratios of materials are studied by means of numerical examples. The results show that the equivalent of plastic complementary energy has feasibility to determine the strength parameters of composite medium. Key wordsrock mechanics；equivalence；plastic complementary energy；deation parameters；strength parameters 1 引引 言言 在水利水电岩体工程中，合理确定岩体参数是 工程设计的关键问题之一。节理岩体为复合介质， 岩体工程力学参数主要为变形参数，E以及抗 剪强度参数cf，，一般可通过现场承压板和抗剪 试验确定。由于现场试验成本高昂、试验成果也不 稳定，从岩块和节理力学参数出发推求岩体力学参 数，一直是岩石力学的一个重要课题。确定复合介 质的等效变形参数是细观力学的经典问题之一，如 自恰理论、均质化方法等，这些方法在岩体变形参 数预测方面都得到了应用，此处不一一赘述。确定 复合介质等效强度参数的细观力学理论和方法还很 少，在岩体工程上的应用更为少见。 岩体工程中目前主要采用粗略的连通率概念将 岩块岩桥和节理结构面力学的抗剪参数联系起 来，确定岩体的抗剪参数 1994 岩石力学与工程学报 2008年 arj arj 1 1 cK cKc fK fKf      1 式中K 为连通率； a c， r c， j c分别为等效岩体、 完整岩体和岩体结构面的黏聚力； a f， r f， j f分别 为等效岩体、完整岩体和岩体结构面的摩擦因数。 图1给出了连通率简图。连通率方法不考虑岩 块和节理的变形特征，属于极限分析方法，显然过 于粗略。本文探索强度等效的理论本质和难点所在， 着重在复合介质变形等效参数的细观力学方法的框 架下，发展复合介质强度等效参数的细观力学方法。 这对实际解决节理岩体等效强度当然还有一定距 离。 图 1 连通率简图 Fig.1 Sketch of connectivity rate 复合介质变形等效参数确定方法的核心是能量 等效。材料力学变形参数一般是以在均匀的宏观荷 载应力或应变加载作用所导致的材料试件的变形 或应力来衡量。在均匀的宏观荷载作用下，均匀介 质试件的应力和应变场是均匀的，而复合介质试件 的应力和应变场则是非均匀的。故在应力和变形的 基础上无法谈等效，细观力学中等效变形参数的确 定实质上是基于等效均匀介质和复合介质之间的弹 性能的等效[1 ，2]。 这一思路是否可以延伸到对复合介质的等效强 度参数确定即以某种能量等效确定复合介质的强 度参数。在均匀的宏观荷载作用下，弹性能只涉及 材料的变形参数，显然确定复合介质的强度参数的 能量应涉及材料的强度参数。变形加固理论[3 ～5]中 提到了塑性余能的概念，对某一结构体，在给定外 荷载作用下，结构体的塑性余能可用于评价其稳定 性[6]，塑性余能综合反映了的材料变形和强度参数。 鉴于此，本文基于能量等效的研究思路对复合 介质的等效变形参数和强度参数进行研究。具体采 用余能弹性余能、塑性余能等效的方法，从2个 层次对复合介质等效力学参数进行研究第1层次， 针对复合介质变形参数，采用弹性余能等效方法计 算复合介质的等效变形参数；第2层次，针对复合 介质的强度参数，采用塑性余能等效的方法计算复 合介质的等效强度参数。在此基础上本文进一步研 究了各种因素，如复合介质各组分材料所占体积比、 变形参数、强度参数等对复合介质等效强度参数的 影响规律。这些成果可以深化对复合介质强度等效 的认识。 2 复合介质等效变形参数研究复合介质等效变形参数研究 复合介质变形参数主要为弹性模量[7]变形模 量。如图2所示的复合介质，在其表面施加均匀荷 载均匀应力或应变，若施加均匀应力荷载，则复 合介质等效为均匀介质的弹性余能为 2 2 UV E   2 式中为施加在复合介质上的均匀应力，E为等 效均匀介质的弹性模量，V为复合介质的总体积。 图 2 复合介质力学参数等效示意图 Fig.2 Sketch of equivalent mechanical parameters of composite medium 若施加均均匀应变荷载，则复合介质等效为均 匀介质的弹性应变能为 2 1 2 UEV 3 式中为施加在复合介质上的均匀应变。 复合介质的弹性余能可由复合介质内部真实的 应力与应变表示为   V ijij V VVU d 2 1 d 2 1  4 第 27 卷 第 10 期 杨 强，等. 岩体等效强度参数确定的理论和方法 1995 令UU，即可求出等效均匀介质的弹性模量 E。 为了计算的简单，可假设复合介质各组成部分 的变形相同或者应力相同，即Voigt和Reuss近似， 其分别为复合介质等效弹性模量的上限和下限，计 算公式分别为 Voigt 1 1 Reuss 1 n ii i n i i i EC E C EE              5 式中 i C， i E分别为复合介质各组成部分的体积分 数和弹性模量。 式4中的弹性余能，可以采用有限元的方法得 到，进而求得等效均匀介质的弹性模量E。对于另 一个变形参数，泊松比，则可根据定义，由单轴 压缩试验中轴向变形与横向变形的比值得到。 为验证本方法的有效性，取某一均质材料试件 见图3，试件尺寸为1 m1 m2 m长宽高， 对其进行单轴压缩数值试验，分别对其赋以3种不 同材料参数。对试件施以 n 2 MPa的压应力，计 算结果如表1所示。 图 3 单轴压缩试件示意图 Fig.3 Sketch of uniaxial compression 表 1 均质材料变形参数等效计算结果 Table 1 Equivalent calculated results of deation parameters 实际情况 本文结果 材料 编号 弹性模量 E/GPa 泊松比 弹性余能 /Nm 弹性模量 E/GPa 泊松比 1 16.50 0.20 242.359 16.504 0.201 2 11.50 0.25 347.681 11.505 0.252 3 3.25 0.30 1 230.032 3.252 0.303 由表1可知，材料1～3根据弹性余能等效求 出的弹性模量的误差分别为0.024，0.043和 0.062，泊松比的误差分别为0.5，0.8和1.0， 其误差都不大。 进一步验证含2种材料的试件。2种材料的变 形参数为 1 E16.5 GPa， 1  0.20； 2 E3.25 GPa， 20. 0 2 。考察材料1的体积分数分别为10， 20，30，，90情况下复合介质的变形参数， 其中材料1在复合介质中的位置采用随机分布的方 法，由于材料1位置的不同对最终变形参数的结果 有一定的影响，为减少误差，采用同一体积分数下， 多次随机分布，最终计算结果采用多次计算结果的 平均值。图4给出了不同体积分数下材料1的位置 分布图。 a 10 b 30 c 50 d 70 e 90 f 100 图 4 不同体积分数下材料 1 的位置分布图 Fig.4 Position distribution of material 1 of different volume fractions n 1996 岩石力学与工程学报 2008年 图5给出了不同体积分数下材料1的复合介质 变形参数在Voigt假设、Reuss假设以及本文的弹性 余能下等效弹性模量E的变化情况。很明显，Voigt 假设和Reuss假设组成包络线，真实的结果必定位 于包络线内，而本文的弹性余能等效的计算结果位 于包络线内。对于另一个变形参数泊松比，计算表 明其数值为0.19～0.20，没有明显的规律性。该计 算结果将进一步应用到强度参数的计算中。 体积分数/ 图 5 不同体积分数下材料 1 的复合介质的等效弹性模量 Fig.5 Equivalent elastic moduli of different volume fractions 3 复合介质等效强度参数研究复合介质等效强度参数研究 本节对图2所示的复合介质，采用塑性余能等 效的方法研究其等效强度参数。首先介绍一下塑性 余能的概念。图6给出了一典型的增量加载过程中 弹塑性应力调整图。 图 6 弹塑性应力调整图 Fig.6 Sketch of elastoplastic stress adjustment 初始应力状态 0 要求是稳定的，即 0 f≤0。 对初始状态施加应变增量 ，相应于弹性应力增量  e D，弹性加载状态应力为 e 01 。 如果 1 f＞0 6 则应变增量 导致塑性加载。对加载过程，最终应 力状态为 p 11 ，且0f。经典弹塑性力 学中应力–应变关系和正交流动法则为微分形式，在 此将其改写成增量形式 p D 7      f p 8 式7，8也可以看成应力–应变关系和正交流 动法则的积分形式。弹性加载状态和最终状态的应 力差值应为塑性应力增量，即 1 p 。故塑 性应变增量可表示为 1 pp CC 9 式中 1  DC为柔度张量。将式9代入式8，并 注意到在屈服面上，可确定最终应力状态，即          0 1     f f C 10 针对塑性应力增量，定义一个标量的塑性余能 密度范数，其表达式为 pp 2 1 CE 11 塑性余能可表示为 pp 1 dd 2 VV EE VV  C 12 对式11求导，可得如下关系式 pp p E       C 13 式13可看为塑性余能形式的卡氏第二定理。 下面给出采用Drucker-Prager屈服准则的塑性余能 的表达式。Drucker-Prager屈服准则的形式为 kJIf 21 ≤0 14 式中 1 I， 2 J分别为第一应力张量不变量和第二应 力偏量不变量；，k可通过拟合莫尔–库仑准则 求得，在平面上，若Drucker-Prager准则为库仑 六边形的外接圆，则有 1  p  O 0  f 1 0  e D∶ ∶ ˆ Reuss Voigt 本文结果 等效弹性模量/GPa 第 27 卷 第 10 期 杨 强，等. 岩体等效强度参数确定的理论和方法 1997 2sin 33sin 6 cos 33sin c k                 15 式中，c分别为材料的内摩擦角和黏聚力。 由此可求得最终应力的解析解为 ijijij pn 1 1 16 其中， 2 1 2 1 3 32 3 w n J pmwnI m f w m                     17 式中fIJ，， 12 均由 1 确定；，为拉梅常数， 且有 112 21 E E                 18 每个增量步或迭代步，转移应力或塑性应力为 ijij pn 1 1 p 19 将式19代入式11，可得塑性余能密度范数的 表达式为 22 1121 11 [223] 22 EnI IInpIp       2 1 11 3 96 nIp K        20 式中 2 I为第二应力不变量。 对单轴应力状态，式20可简化为 2 2 112 || [6112 ]3 Ek E         21 对多种材料有 ii EEV  22 式中 i E为每种材料的塑性余能， i V为每种材料 的体积分数，E为复合介质的总体塑性余能。 由式21可知，塑性余能的表达式为材料力学 参数的综合表达式，表达式比较复杂。复合介质的 等效强度参数不能写成显式的形式，因而欲获得复 合介质的等效强度参数，只能通过数值拟合的方式 得到。且式21还表明，复合介质的等效强度参数 受到变形参数的影响。因此，只考虑体积效应的概 化方法如连通率方法显得过粗。 类似于变形参数，同样采用图3所示的试件验 证本方法，仍然对3种不同的材料施加一定的单轴 压力超出各自的单压强度，计算结果如表2所示。 表 2 均质材料强度参数塑性余能等效结果 Table 2 Equivalent results of strength parameters 实际情况 本文结果 材料 编号 f c/MPa f c/MPa 1 1.35 2.5 1.346 2.512 2 1.22 2.2 1.197 2.187 3 1.02 1.0 1.012 1.017 由表2可知，根据本文塑性余能等效方法求出 的均质材料的强度参数比较接近实际材料的强度参 数，稳定性较好。下面将进一步应用到复合介质等 效强度参数中。 当前对复合介质强度参数的等效一般不考虑变 形参数的影响，下面通过一系列算例研究变形参数 对强度参数的影响。为便于说明问题，仅考虑2种 材料的情况，2种材料的力学参数如表3所示。 表 3 2 种材料的力学参数 Table 3 Mechanical parameters of two materials 材料编号 E/GPa  f c/MPa 1 16.5 0.20 1.35 2.5 2 3.25 0.20 1.02 1.0 图7给出了不同体积分数下材料1的复合介质 等效强度参数情况，并将结果与连通率方法的计算 结果对比。通过对比可知，对强度参数f而言，塑 性余能等效的结果与连通率方法的计算结果类似， 呈近线性关系；但强度参数c有明显的不同，呈非 线性关系，因而变形参数对强度参数的影响存在， 等效强度参数时不可忽略。 下面进一步考察变形参数对强度参数的影响。 首先考察材料弹性模量的影响，对上述的2种材料， 固定材料1的弹性模量，逐步增加材料2的弹性模 量。图8给出了材料2不同弹性模量下复合介质的 1998 岩石力学与工程学报 2008年 体积分数/ 体积分数/ a b 图 7 不同体积分数下材料 1 的复合介质等效强度参数 Fig.7 Equivalent strength parameters of different volume fractions 弹性模量/GPa 弹性模量/GPa a b 图 8 不同弹性模量下材料 2 和复合介质等效强度参数 Fig.8 Equivalent strength parameters of different elastic moduli of material 2 等效强度参数，作为对比，图8中还给出了连通率 方法的计算结果。由图8可知，强度参数f随着弹 性模量的增大逐渐减小；而强度参数c随着弹性模 量的增大逐渐增加，且其数值均大于连通率方法的 计算结果。进一步给出了泊松比对等效强度参数的 影响，采用的方法是固定上述2种材料的弹性模量， 逐步改变其泊松比。由图9可知，随着泊松比的增复 大，合介质等效强度参数呈现减小趋势，但从数值上   a b 图 9 不同泊松比下复合介质等效强度参数 Fig.9 Equivalent strength parameters of different Poissons ratios 连通率方法的计算结果 本文结果 f 连通率方法的计算结果 本文结果 c/MPa 本文结果 连通率方法的计算结果 f 本文结果 连通率方法的计算结果 c/MPa f c/MPa 第 27 卷 第 10 期 杨 强，等. 岩体等效强度参数确定的理论和方法 1999 看变化幅度较小。 复合介质变形参数的近似等效中Voigt近似应 变一致和Reuss近似应力一致分别给出了上下限， 类似与变形参数，强度参数也分别采用应变一致和 应力一致的假设。 图10给出了不同体积分数下材料1 的复合介质等效强度参数。由图10可知应变一致 与应力一致的结果形成一个包络线，且应变一致的 结果明显高于应力一致的结果；本文计算结果位于 应变一致与应力一致的包络线内，且比较接近应变 一致的结果。 体积分数/ a 体积分数/ b 图 10 不同体积分数下材料 1 的复合介质等效强度参数 Fig.10 Equivalent strength parameters of different volume fractions of material 1 4 结结 论论 本文以变形加固理论中的塑性余能为等效指 标，提出了一种确定复合介质等效强度参数的方 法，通过数值算例研究了该方法的可行性，主要有 以下结论 1 推导了复合介质等效强度参数的表达式， 揭示了复合介质变形参数与强度参数之间的相关 性。数值算例研究表明，弹性模量对最终的强度参 数有较大影响。主要原因是弹性模量的变化对各组 分的受力有较大的影响，进而影响到材料强度。 2 借鉴复合介质变形参数上下限的研究思 路，分别采用应变一致和应力一致假设对复合介质 强度参数的可能取值范围进行研究，进一步运用本 章中塑性余能等效方法确定复合介质的强度参数。 数值算例表明，采用本文塑性余能等效的结果在应 变一致与应力一致近似的结果的范围内，数值上更 接近于应变一致假设的结果。 本文提出确定复合介质强度参数的塑性余能等 效方法目前只是在理论上研究其可行性，进一步应 用到岩体强度参数的确定中还有大量的工作要做。 参考文献参考文献References [1] BUDIANSKY B. On the elastic moduli of some heterogeneous material[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1965， 132223–227. [2] HUANG Y，HWANG K C. A unified energy approach to a class of micromechanics models for microcracked solids[J]. Acta Mechanica Solida Sinica，1995，8232–42. [3] 杨 强，陈 新，周维垣，等. 三维弹塑性有限元计算中的不平 衡力研究[J]. 岩土工程学报，2004，263323–326.YANG Qiang， CHEN Xin，ZHOU Weiyuan，et al. On unbalanced forces in 3D elastoplastic finite element analysis[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2004，263323–326.in Chinese [4] 杨 强，陈 新，周维垣. 岩土工程加固分析的弹塑性力学基础[J]. 岩土力学，2005，264553–557.YANG Qiang，CHEN Xin， ZHOU Weiyuan. Elastoplastic basis of geotechnical engineering reinforcement analysis[J]. Rock and Soil Mechanics，2005，264 553–557.in Chinese [5] 杨 强，薛利军，王仁坤，等. 岩体变形加固理论及非平衡态弹 塑性力学[J]. 岩石力学与工程学报，2005，24203 704–3 712. YANG Qiang，XUE Lijun，WANG Renkun，et al. Reinforcement theory considering deation mechanism of rock mass and non- equlibrium eleastoplastic mechanics[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 2420 3 704–3 712.in Chinese [6] YANG Q，CHEN Y R，LIU Y R. On monolithic stability and reinforcement analysis of high arch dams[J]. Science in China Series ETechnological Sciences，2007，50Supp.190–97. [7] 黄克智， 黄永刚. 固体本构关系[J]. 北京 清华大学出版社， 1999. HUANG Kezhi， HUANG Yonggang. Constitutive relation of solid[J]. BeijingTsinghua University Press，1999.in Chinese c/MPa f 应力一致 应变一致 本文结果 应力一致 应变一致 本文结果