岩层移动复合层板模型的系统方法解析.pdf

第20卷 第2期岩石力学与工程学报202 139～146 2001年3月Chinese Journal of Rock Mechanics and EngineeringMarch ,2001 岩层移动复合层板模型的系统方法解析 赵晓东 宋振骐 山东科技大学 泰安 271019 摘要 从弹性力学基本方程出发,未加任何有关位移和应力模式的附加假设,利用系统方法,引入关态空间,推导 出状态方程,建立了岩层移动的复合层板模型。并以位移为基本未知量,在横观各向同性和层间滑动接角状态下, 解出开挖水平煤层引超的岩层移动问题的精确级数解,为解决复杂的开采沉陷系统提供了新的途径。 关键词 岩层移动,复合层板,状态空间,状态方程 分类号 TD325 文献标识码 A 文章编号 1000 - 6915200102 - 0197 - 05 1 引 言 文[1]将上覆岩体看成是横观各向同性的多层层 关弹性的接触问题,并用富氏积分变换进行了求解,使 岩层移动理论研究有了重要突破。从文[1]的推导可 以看出,如果将岩体看成正交各向异性体,而非横观各 向同性体,则文[1]的推导和计算将会更为繁琐,使问 题变得复杂化,其最后得出的微分方程也将更为难解。 本文得用文[2]的结果,对文[1]提出的问题,同样只通 过弹性力学的基本方程,引入系统状态空间,建立状态 方程,利用系统的方法对岩层移动复合层板模型作了 解析,得出在系统方法下该问题的解析解。 1的输出矢量,C t 为mn输出矩阵,D t 为m 为了保持符号的统一,高U , V , W分别是层 1999年10月16日收到初稿,1999年12月27日收到修改稿。 作者 赵晓东 简介男,1969年生,博士,1991年毕业于山东矿业学院应用数学与软件工程系应用数学与软件专业,现任副教授,主要从事GIS及 其在岩土工程应用方面的研究工作。 图2 弹性复合层板 Fig. 2 Elastic complex laminated plate 板沿x , y和z方向的位移分量,如图2所示。 由于 把开挖引起的附加应力作为外载考虑,因而不计体 积力,故平衡方程为 5σ x 5x 5τ xy 5y 5τ xz 5z 0 5τ yx 5x 5σ y 5y 5τ yz 5z 0 5τ zx 5x 5τ zy 5y 5σ z 5z 0 6 几何方程为 εx 5U 5x , γ xy 5V 5x 5U 5y εy 5V 5y , γ yz 5W 5y 5V 5z εz 5W 5z , γ zx 5U 5z 5W 5x 7 横观各向同性体的物理方程为 σx σy σz τyz τzx τxy C11C12C13000 C12C11C13000 C13C13C33000 000C4400 0000C440 00000 C11-C12 2 εx εy εz γyz γzx γxy 8 将式7代入式 8 , 得 σx σy σz τyz τzx τxy C11C12C13000 C12C11C13000 C13C13C33000 000C4400 0000C440 00000 C11-C12 2 5U/5x 5V/5y 5W/5z 5V/5z 5W/5y 5U/5z 5W/5x 5U/5y 5V/5x 9 从式 6 , 9中消去应力分量σx,σy,τxy,为 此,记 X τxz, Y τyz Z σz, α 5 5x , β 5 5y 并令 C1 - C13 C33 C3 C12- C213 C33 C5 1 C33 C2 C11- C213 C33 C4 C11-C12 2 C6 1 C44 10 由式9的第3～5行可分别求得 5 W 5z C5Z C1αU C1βV11 5 V 5z C6Y -βW12 5 U 5z C6X -αW13 由式6的第3行可求出 5V 5z -αX -βY14 又由式9中的第1 , 2 , 6行可求出 σx C11αU C12βV C13 5W 5z 15a σy C12αU C11βV C13 5W 5z 15b τxy C4βU α V 15c 将式15a , 15b , 11代入式6的第1行可求得 5X 5z - C2α 2 C4β 2 U - C3 C4α βV C1αZ 16 将式15b , 15c , 11代入式6的第2行可求得 5Y 5z 891岩石力学与工程学报 2001年 - C3 C4α βU - C4α 2 C2β 2 V C1βZ 17 联合式11～17 ,则有 5 5z [ U V Z X Y W ]T D U V Z X Y W T 18 式中 D 000C60-α 0000C6-β 000-α-β0 - C 2α 2 C4β 2 - C 3C4α β C1α000 - C 3C4α β - C 4α 2 C2β 2 C1β000 C1αC1βC5000 此时,应力分量σx,σy,τxy已被消去。 当然,还可由 式15a , 15b , 15c求出。 将式11分别代入可 求得 σx σy τxy C2αC3β-C1 C3αC2β-C1 C4βC4β0 U V Z 19 上式表明,一旦U , V , Z求出,则可求出σx,σy, τxy。 现取 U ∑ m ∑ n Umn zcos mπx a sin nπy b V ∑ m ∑ n Vmn zsin mπx a cos nπy b Z ∑ m ∑ n Zmn zsin mπx a sin nπy b X ∑ m ∑ n Xmn zcos mπx a sin nπy b Y ∑ m ∑ n Ymn zsin mπx a cos nπy b W ∑ m ∑ n Wmn zsin mπx a sin nπy b 20 a , b为计算区域层板的长和宽。 不难看出,式20 所表达的函数满足四边简支的边界条件其他情况可 通过附加应力进行处理及平衡方程,即 σx W V 0 x 0, a处 σy W U 0 y 0, b处 21 将式20代入式18 , 对每一对m , n有 d dz [ Umn z Vmn z Zmn z Xmn z Ymn z Wmn z ] T D[ Umn z V mn z Z mn z X mn z Y mn z Wmn z ] T 22 式中 D 000C60-ζ 0000C6-η 000ζη0 - C 2ζ 2 C4η 2 C 3C4ζ η C1ζ000 - C 3C4ζ η - C 4ζ 2 C2η 2 C1η000 -C1ζ-C1ηC5000 23 式中ζ mπ a ,η mπ b 。 式22是一个常系数齐次状态方程,该方程组 即为我们要求的横观各向同性层板的状态方程。 4 复合层板模型的计算 对每一层板选取一局部坐标,坐标原点取在层 板的上表面, z轴垂直板向下,对任一层板j的坐标 zj,有0≤zj≤hj h j为层板厚度 , 共有p层,每层 均为横观各向同性层板。 由式 5 , 得状态方程22的解为 [ Umn z Vmn z Zmn z Xmn z Ymn z Wmn z ] T eDz[ Umn0 V mn0 Z mn0 X mn0 Y mn0 W mn0 ] T 24 若令 R Z [ Umn z Vmn z Zmn z Xmn z Ymn z Wmn z ] T R 0 [ Umn0 V mn0 Z mn0 X mn0 Y mn0 W mn0 ] T 25 D zeDz26 对任一层板j来说,式24变成 Rj zDj z Rj0 z∈[0, hj]27 下标j表示对第j层而言。 在式27中令zhj,得 Rj h jDj h j R j0 28 由于采用了局部坐标,式28对所有层板均成立。 根据文[1]层间的应力和位移连续条件滑动接触条 件 , 对相邻两层上下表面有 Rj 10Rj h j 逐层类推,得 Rp h p Dp h p D p- 1 h p- 1⋯D2 h 2 D 1 h 1 R 10 Π 1 jp Dj h j R j0 29 991第20卷 第2期 赵晓东等.岩层移动复合层板模型的系统方法解析 令 ΠΠ 1 jp Dj h j 则式29变为 Rp h pΠR10 30 将式30写成显示,则有 Umn h p Vmn h p Zmn h p Xmn h p Ymn h p Wmn h p Π11Π12Π13Π14Π15Π16 Π21Π22Π23Π24Π25Π26 Π31Π32Π33Π34Π35Π36 Π41Π42Π43Π44Π45Π46 Π51Π52Π53Π54Π55Π56 Π61Π62Π63Π64Π65Π66 Umn0 Vmn0 Zmn0 Xmn0 Ymn0 Wmn0 31 由文[1]给定的边界条件如下 X 0 Y 0 Z0 X hp Y hp 0 采空区位移按如下级数展开 W x , y ∑ m ∑ n Wmnsin mπx a sin nπy b Wmn 4H ab∫ a 0∫ b 0 sin mπx a sin nπy b 16H mnπ 2 式中H为采高。 取式31的第4 , 5 , 6三行组成新的方程组,则 有 Π41Π42Π46 Π51Π52Π56 Π61Π62Π66 Umn0 Vmn0 Wmn0 Xmn h p Ymn h p Wmn h p - Π43Π44Π45 Π53Π54Π55 000 Xmn h p Ymn h p Wmn h p 16H mnπ 2 0 0 1 32 通 过 式32可 求 出Umn0 , Vmn0 , Wmn0。 此时,初始值R10为已知。 将求出的初 始值回代到式27并令j 1,便可求出第一层的各 力学分量。 其它层内的各力学分量可类推求出,则 整个复合层板的位移和应力处处可求。 5 实例研究 根据本文的层板理论,这里给出了文[3]中一个 计算任意位移的实例。 该例的地质结构比较简单, 煤层倾角近乎水平,煤层采厚为5. 2 m ,上覆岩层平 均厚度为98. 5 m ,大部分为粉砂岩,属软岩。 长壁 工作面开采尺寸分别为200 m和300 m ,上覆岩层分 为10个分层,各层计算参数如表1所示。 表1 层板理论预测开采沉陷的力学参数 Table 1 The mechanical parameters used for the subsidence prediction with laminated plate theory 层号层厚/ m弹性系数/ 104MPa泊松比 19. 851. 000. 13 29. 851. 340. 17 39. 851. 490. 20 49. 851. 360. 20 59. 851. 490. 21 69. 851. 520. 21 79. 851. 340. 20 89. 851. 490. 20 99. 852. 350. 22 109. 851. 770. 20 图3为开采后的复合层板及其相应z方向的位 移。 图4为开采后的x和y方向的水平位移。 正如所 料,最大垂直方向位移在开采区的中心部位。 模型计 算最大值为4. 72 m ,实测值为4. 95 m ,误差为5 。 6 结 语 本文的模型基于弹性理论,未加任何有关位移 和应力模式的附加假设,利用系统方法,在位移边界 条件下推导出每一层板的状态空间和状态方程。所 有推导基于矩阵方法,计算机容易实现。利用复合 层板模型,提供了实例研究,并与实测值作了比较, 图3 开采后的复合层板及其相应z方向的位移 Fig. 3 Complex laminated plate model after excavation and correspondingz2displacement 002岩石力学与工程学报 2001年 图4 x和y方向的水平位移 Fig. 4 Horizontal displacements inxandydirections 收到了满意的应用效果。 参考文献 1赵晓东.开采沉陷预测研究及其GIS面元栅格数字化方法[博士 学位论文][D].泰安山东科技大学, 1999 2李增琪.使用富氏积分变换计算开挖引起的地表移动[J ].煤炭 学报, 1983 , 2 18～28 3麻凤海,刘 琪,王泳嘉.巨系统复合介质岩层移动模型及工程 应用[J ].岩石力学与工程学报, 1997 , 166 536～543 ANALYTICAL SOLUTION OF SYSTEM ON THE MODEL OF COMPLEXLAMINATED PLATES FOR ROCK STRATA MOVEMENT Zhao Xiaodong , Song Zhenqi Shandong University of Science Technology , Tai′an 271019 China Abstract Starting from the basic equation of elastic mechanics , without any additional hypotheses of displacement or stress model , just introducing state space and state equation , the model of Complex Laminated Plates for Rock Strata Movement is made. In addition , using displacement as a basic unknown variable , the accurate analytical se2 ries solution for the problem of strata movement caused by extraction of horizontal seam is obtained when trans2 versely isotropic elastic layers are in sliding contact state. A new approach is put forward to solve the complicated system of mining subsidence. Key words strata movement , complex laminated plate , state space , state equation 新书简介 岩体地应力与工程建设 一书由刘允芳、 罗超文、 龚壁新、 刘元坤、 盛 谦、 刘 鸣合著,湖北科学技术出版社2000年9 月出版, 32开本, 296页, 25万字,定价36元。 该书系统全面地论述了当前国外通用的各种地应力测量方法的理论、 测量原理、 测量元件和测量仪器以及实测数据处理技 术。 并论述了根据地应力实测资料和地质条件确定大范围工程区的地应力场的分析方法,特别是讨论了我国岩石工程在地应力 测量和研究方面的主要成就。 全书共分7章 1.地应力及其测量, 2.岩体表面应力测量技术, 3.套钻孔应力解除法地应力测 量技术, 4.水压致裂法地应力测量技术, 5.其他地应力测量方法的测量技术, 6.地应力场分析, 7.地应力测量与研究在水工 地下工程中的应用。 该书理论扎实,观点新颖,视野开阔,实例丰富,可供地质、 水工、 矿山、 隧道、 军工、 地震以及地面、 地下、 边坡岩石工程 的科研、 设计等工程技术人员和大专院校师生、 研究生参考。 欲购该书者请与该书作者联系。 联系地址汉口赵家条九万方长 江科学院岩基所,邮编 430010。 102第20卷 第2期 赵晓东等.岩层移动复合层板模型的系统方法解析