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-257- 第二十二章第二十二章 模糊数学模型模糊数学模型 1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德L.A.Zadeh教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊Ination and Control并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”模糊集合，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性” 。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有 这种模糊的现象， 如选举一个好干部， 但怎样才算一个好干部好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。 它作为一门崭新的学科， 它 是继经典数学、 统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。 经过短暂的沉默和争议之 后， 迅猛的发展起来了， 而且应用越来越广泛。 如今的模糊数学的应用已经遍及理、 工、 农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域， 即从必然 现象到偶然现象， 而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域， 即 从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类第一类是确定性数学模型，即 模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模 型的背景具有随机性和偶然性。 第三类是模糊性模型， 即模型的背景及关系具有模糊性。 1.2 基本概念 1.2.1 模糊集和隶属函数 定义 1 论域X到] 1 , 0[闭区间上的任意映射 A μ] 1 , 0[→X -258- xx A μ→ 都确定X上的一个模糊集合A， A μ叫做A的隶属函数，x A μ叫做x对模糊集A的 隶属度，记为 }|,{XxxxA A ∈μ 使5 . 0x A μ的点 0 x称为模糊集A的过渡点，此点最具模糊性。 显然，模糊集合A完全由隶属函数 A μ来刻画，当}1 , 0{x A μ时，A退化为一 个普通集。 1.2.2 模糊集合的表示方法 当论域X为有限集时， 记},,,{ 21n xxxXL， 则X上的模糊集A有下列三种常 见的表示形式。 i zadeh 表示法 当论域X为有限集时，记},,,{ 21n xxxXL，则X上的模糊集A可以写成 n nAAA n i i A x x x x x x x i A 2 2 1 1 1 μμμμ ∑ L 注 “∑”和“”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“ i iA x x μ ”不是 分数，它表示点 i x对模糊集A的隶属度是 iA xμ。 ii 序偶表示法 }, ,,,,,{ 2211nAnAA xxxxxxAμμμL iii 向量表示法 ,,, 21nAAA xxxAμμμL 当论域X为无限集时，X上的模糊集A可以写成 -259- ∫ ∈ Xx A x x A μ 注 “ ∫ ”也不是表示积分的意思， “ i iA x x μ ”也不是分数。 例 1 设论域}190,180,170,160,150,140{ 654321 xxxxxxX 单位 cm表示人的身高，X上的一个模糊集“高个子”A的隶属函数x A μ可定义为 140190 140 − − x x A μ 用 zadeh 表示法， 654321 18 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxx A 用向量表示法， 1 , 8 . 0 , 6 . 0 , 4 . 0 , 2 . 0 , 0A 例 2 设论域] 1 , 0[X， Fuzzy 集A表示 “年老” ，B表示 “年轻” ， Zadeh 给出A、 B的隶属度函数分别为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ax ax A , 0 , 1 μ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −− ≤ ax ax ax A ,exp1 , 0 2 σ μ 柯 西 型 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ax ax ax A , 1 1 , 1 β α μ 0, 0βα β α μ 1 1 ax A − βα, 0为正偶数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ − ax ax ax A , 1 1 , 0 β α μ 0, 0βα 1.3 模糊关系、模糊矩阵 -264- 1.3.1 基本概念 定义 4 设论域U，V，乘积空间上},,{VvUuvuVU∈∈上的一个模糊 子集R为从从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为 R μ VU ] 1 , 0[→， a,yx,yx R μ 则称隶属度,yx R μ为,yx关于模糊关系R的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 设{} m xxxU,,, 21 L，{} n yyyV,,, 21 L，R为从从U到V的模糊关系，其 隶 属 函 数 为,yx R μ， 对 任 意 的, ji yx∈VU 有] 1 , 0[,∈ ijjiR ryxμ， njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL，记 nmij rR ，则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出一 般的定义。 定义 5 设矩阵 nmij rR ，且] 1 , 0[∈ ij r，njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL，则R称 为模糊矩阵。 特别地，如果}1 , 0{∈ ij r，njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL，则称R为布尔Bool矩阵。 当模糊方阵 nnij rR 的对角线上的元素 ij r都为 1 时，称R为模糊自反矩阵。 当1m或 者1n时 ， 相 应 地 模 糊 矩 阵 为,,, 21n rrrRL或 者 T n rrrR,,, 21 L，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 例 4 设评定科研成果等级的指标集为,,, 521 xxxUL， 1 x表示为科研成果发 明或创造、革新的程度， 2 x表示安全性能， 3 x表示经济效益， 4 x表示推广前景， 5 x表 示成熟性；V表示定性评价的评语论域,,, 4321 yyyyV ， 4321 ,,,yyyy分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出VU 上每个有序对, ii yx指 定的隶属度。 -265- 表 2 有序对, ii yx指定的隶属度 V y1很好 y2较好 y3一般 y4不好 x1 0.45 0.35 0.15 0.05 x2 0.30 0.34 0.10 0.26 x3 0.50 0.30 0.10 0.10 x4 0.60 0.30 0.05 0.05 x5 0.56 0.10 0.20 0.14 由此确定一个从U到V的模糊关系R， 这个模糊关系的隶属度函数是一个 54 阶 的矩阵，记为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 14. 02 . 01 . 056. 0 05. 005. 03 . 06 . 0 1 . 01 . 03 . 05 . 0 26. 01 . 034. 03 . 0 05. 015. 035. 045. 0 R 则R为一个模糊关系矩阵。 1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质 1 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义 6 设 nmij aA ， nmij bB ，njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL都是模糊矩阵， 定义 i 相等 BA⇔ ijij ba ； ii 包含 BA≤⇔ ijij ba ≤； iii 并 nmijij baBA ∨U； y u x -266- iv 交 nmijij baBA ∧I v 余 nmij C aA −1 例 5 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 . 03 . 0 1 . 01 A， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 9 . 04 . 0 07 . 0 B，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 9 . 04 . 0 1 . 01 BAU， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 . 03 . 0 07 . 0 BAI， C A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 . 07 . 0 9 . 00 2 模糊矩阵的合成 定义 7 设 smik aA ， nskj bB ，称模糊矩阵 nmij cBA o 为A与B的合成，其中 {}skbac kjikij ≤≤∧1max 例 6 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 . 08 . 01 07 . 04 . 0 A， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 . 00 6 . 04 . 0 7 . 01 B，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7 . 01 6 . 04 . 0 BAo， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 . 03 . 03 . 0 5 . 06 . 06 . 0 5 . 07 . 07 . 0 ABo 两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下 function absynta,b; msizea,1;nsizeb,2; for i1m for j1n abi,jmaxmin[ai,;b,j]; end end -267- 模糊方阵 mmij aA 的幂定义为 AAAo 2 ， AAA kk o 1− 3 模糊矩阵的转置 定义 8 设 nmij aA ，njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL，称 mn T ji T aA 为A的转 置矩阵，其中 ij T ji aa。 4 模糊矩阵的−λ截矩阵 定义 9 设 nmij aA ，对任意的] 1 , 0[∈λ， i 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ λ λ ij ij ij a a a , 0 , 1 则称 nmij aA λ λ 为模糊矩阵A的λ强截矩阵。 显然，对于任意的] 1 , 0[∈λ,λ截矩阵是布尔矩阵。 例 7 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 18 . 03 . 00 8 . 011 . 02 . 0 3 . 01 . 015 . 0 02 . 05 . 01 A，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1100 1100 0011 0011 5 . 0 A， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1110 1100 1011 0011 3 . 0 A 下面给出模糊矩阵的一个性质。 -268- 性质 设 nmij aA ，njmi,, 2 , 1,,, 2 , 1LL是模糊自反矩阵对角线上的元 素 ij r都为 1 的模糊矩阵，I是n阶单位矩阵，则 2 RRI≤≤ 证因为 nmij aA 是模糊自反矩阵，即有1 ii r，所以RI≤，又 {} ijijiikjik rrrnkaa∧≥≤≤∧1max 即有 2 RR ≤。 2 模糊模式识别 本节我们假定论域为U，U上的模糊集的全体记为UF。 2.1 模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。 定义 10 设,,UFCBA∈，若映射 ] 1 , 0[→UFUFN 满足条件 （1）,,ABNBAN； （2）1,AAN，0,ΦUN，这里Φ为空集； （3）若CBA⊆⊆，则,,,CBNBANCAN∧≤； 则称,BAN为模糊集A与B的贴近度。N称为UF上的贴近度函数。 1．海明贴近度 若},,,{ 21n uuuUL，则 ∑ −−Δ n i ii uBuA n BAN 1 | | 1 1, 当U为实数域上的闭区间],[ba时，则有 -269- duuBuA ab BAN b a∫ − − −Δ| | 1 1, 2．欧几里得贴近度 若},,,{ 21n uuuUL，则 2/1 1 2 1 1,⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−Δ ∑ n i ii uBuA n BAN 当],[baU时，则有 2/1 2 1 1,⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − −Δ ∫ b a duuBuA ab BAN 3．黎曼贴近度 若U为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则 ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∨ ∧ Δ duuBuA duuBuA BAN , 1 ∫∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∧ Δ duuBduuA duuBuA BAN 2 , 2 例 8 设]100, 0[U，且 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ 8 绝对值倒数法 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠− ∑ − m k jkik ij jixxM ji r 1 1, , 1 其中M为使得所有] 1 , 0[∈ ij r,, 2 , 1,njiL的确定常数。 9 绝对值指数法 ∑ −− m k jkikij xxr 1 }exp{,, 2 , 1,njiL 10 海明距