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第 34 卷 第 4 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.4 2012 年 .4 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Apr. 2012 透射边界稳定性控制措施探讨 李小军，杨 宇 * （中国地震局地球物理研究所，北京 100081） 摘 要多次透射边界是一种应用广泛的人工边界模拟方法，但类似于其它人工边界，它也存在计算稳定性问题。利 用在透射边界区附加黏弹性元件的方案，探讨了在波动数值模拟中消除多次透射边界计算失稳的措施，该措施中弹簧 和阻尼元件被附加在透射边界区内的有限元网格点上。数值计算分析表明，该措施是一种处理透射边界计算飘移失稳 的有效措施，对透射边界的零频飘移失稳有较好的抑制作用，但该措施对抑制透射边界的高频失稳没有明显效果。 关键词波动模拟；多次透射边界；黏弹性元件；飘移失稳；高频失稳 中图分类号P315.9 文献标识码A 文章编号1000–4548201204–0641–05 作者简介李小军1965– ，男，湖南临湘人，研究员，主要从事地震工程研究。E-mail beerli。 Measures for stability control of transmitting boundary LI Xiao-jun, YANG Yu Institute of Geophysics, China Earthquake Administration, Beijing 100081, China Abstract The multi-transmitting boundary is a local artificial boundary widely used in numerical simulation of the near-field wave motion in infinite media. But like other artificial boundaries, the multi-transmitting boundary has the instability of numerical simulation. The measure is studied for eliminating the instability of the transmitting boundary by means of adding visco-elastic elements in the artificial boundary area. In the measure, the spring-damper elements are emplaced at the finite element nodes next to the artificial boundary in the artificial boundary area. Validity of the suggested measure is tested by numerical analysis. The results show that the proposed measure is effective to solve the drift instability of multi-transmitting boundary, which is valid for eliminating the drift instability but no visible effects on the high-frequency instability. Key words wave propagating simulation; multi-transmitting boundary; visco-elastic element; drift instability; high-frequency instability 0 引 言 人工边界条件是近场波动数值模拟的一个重要问 题，自 20 世纪 60 年代以来，关于这一问题已进行广 泛而深入的研究取得系列性研究结果[1-8]。 在已建立的 人工边界条件中，透射边界具有适应面广、便于与有 限元方法结合实现高精度解耦波动数值求解的优点。 类似于其他的局部人工边界，透射边界存在着有 待进一步研究的计算稳定性问题。文献[8～12]阐明了 透射边界的高频失稳 （high-frequency instability） 机理， 并给出相应的抑制高频失稳现象的措施。 李小军等[13-14] 首先在数值试验的基础上提出了透射边界的另一类失 稳现象即零频飘移失稳 （drift instability） ， 探讨了透射 边界飘移失稳的机理，并建议了抑制飘移失稳的降阶 处理方法。此后，透射边界飘移失稳问题引起了研究 者进一步关注[15]，文献[16，17]提出了另一种消除飘 移失稳的措施， 即在多次透射公式中加修正算子 0 0 Bγ。 黏弹性人工边界[18]是一种具有可靠计算稳定性 的人工边界，本文试图利用黏弹性人工边界的计算稳 定性的特点，通过在透射边界中引入黏弹性元件的方 案以寻找改善和解决透射边界计算稳定性的措施。 1 人工边界区附加黏弹性元件方案 透射边界利用波的传播规律建立了边界点运动与 内点运动之间的关联，但是没有直接建立边界点与边 界以外点的联系。换言之，透射边界以外的部分对整 个计算区是没有约束的，一旦边界点出现不合理的位 移，整个计算区在没有约束的情况下，将可能出现高 频振荡位移即高频失稳或不能自我恢复的累积偏移即 飘移失稳。 ─────── 基金项目国家重点基础研究发展计划资助项目（2011CB013601） ；国 家自然科学基金重大研究计划项目（90715038，91015001） 收稿日期2011–07–29 *通讯作者 642 岩 土 工 程 学 报 2012 年 基于上述分析， 本文提出在透射边界区 （边界内） 有限元网格的若干点上（图 1）附加黏弹性元件即弹 簧和阻尼元件（图 2）的方案，以试图实现对计算过 程中由于人工边界引起的不合理的位移进行约束，消 除失稳趋势的发展与蔓延（至边界内计算区） 。 图 1 透射边界区离散模型 Fig. 1 Discrete model of multi-transmitting boundary area 图 2 节点 A 上附加黏弹性元件 Fig. 2 Added visco-elastic element at node A 这里，假定在透射边界区（边界内）附加弹簧和 阻尼元件的节点包括每一边界点 J 内边界法向的 J-1 到 J-2N 的 2N 个边界内点 （N 为多次透射边界的阶数， 即 N 次透射边界） 。对于图 3 所示的场地有限元模型， 这些附加弹簧和阻尼元件的节点分布如图 4 所示。 有限元网格内点和人工边界点波动数值模拟的具 体方法参考文献[19]。 但其中的 2N 个附加黏弹性元件 边界区点的动力方程用下式替代 []{ }[]{ }[]{ }{ }Mu tCu tKu tF t ， 1 式中，[]M 为质量矩阵， []C为修正阻尼矩阵， []K为 修正刚度矩阵。且有 [ ] 0 [][]KKkI ， 2 [ ] 0 [][ ]CCcI ， 3 式中，[]K 为体系固有的刚度矩阵，[ ]C 为体系固有的 阻尼矩阵，[ ] I 为单位矩阵， 0 c为附加阻尼器的阻尼系 数， 0 k为附加弹簧的刚度系数。 上面分析表明，方程式（1）与未附加黏弹性元 件的计算区内点的动力方程形式上一致，只是对其刚 度矩阵和阻尼矩阵进行了修正。对于方程式（1）可以 采用与计算区内点动力方程求解的相同积分方法求 解，因此，本文提出的附加黏弹性元件的方案并不给 原波动问题的数值求解带来不便。采用李小军等提出 的显式差分格式[20]求解，可得到 2N个附加黏弹性元 件节点的局部节点运动的显式差分格式解为 2 1 1111 1 1 1 22 pppp t uFuttu M α Δ Δ−Δ− 2 10101 1 1 [] 2 L pppp lll l t KuuK uC u M β Δ ∑ ， 4 111 111111 1 1 2 pppppp t uFFuuu M α Δ −−− 11 1 1 1 1 [2 ] 2 L pppp lllll l Kt uuuu M β Δ−−∑ 11 011011 1 1 [2] 2 pppp tK uuC uu M Δ− ， .5 11 11 2 pppp ll uuuu t −− Δ 。 6 计算区内其它节点运动的显式差分格式解同样可 以用式（4）～（6）表示，只是令其中的 0 K和 0 C的 取值为0。 如果 0 K和 0 C的取一小值，当边界区节点反应的 位移和速度值正常时， 弹簧和阻尼器产生的力都很小， 对整个计算区域的计算精度仅产生微小影响；当边界 出现失稳即不适宜的大位移和速度时，弹簧和阻尼器 将发挥约束作用，抑制这些不合理的运动，从而达到 控制人工边界计算失稳的效果。下面将通过数值试验 分析和检验这一措施的可行性和有效性。 2 失稳现象及处理方案实例分析 透射边界计算失稳是一种非常态偶然出现的数值 计算失稳现象，特别是对于较短的有限持时地震波动 问题分析。以往研究经验表明对于地形突变较大的楔 形地形场地模型， 更易出现边界计算失稳现象。 为此， 选择楔形地形场地作为计算分析对象，并形成有限元 离散模型如图3所示。计算分析中，选择的观测点坐 标分别为1号点（953 m，-500 m） 、2号点（866 m, -450 m） 、3号点（1212 m，-350 m） 、4号点（87 m, 0 m） ，剪切波波速2000 m/s，离散网格尺寸为xΔ 8.66 m，yΔ 5 m。边界区内2N个点附加黏弹性元件的节 点分布如图4所示，计算中场地入射波位移选择如图 5所示的脉冲形式波垂直入射，N为2。 图 3 楔形地形计算模型 Fig. 3 Numerical model of wedge topographical site 第 4 期 李小军，等. 透射边界稳定性控制措施探讨 643 图 4 人工边界区附加黏弹性元件位置示意图 Fig. 4 Location diagram of adding springs and dampers in .artificial boundary area 图 5 脉冲式位移波 Fig. 5 Pulse displacement wave 分别考虑黏弹性元件不同参数情形进行数值模 拟，分析附加黏弹性元件的效果。具体算例中所附加 的黏弹性元件情况A1、B1及C1的刚度系数（单位 106 N/m）和阻尼系数（单位104 Ns/m）分别为（0，0） （不附加黏弹性元件） 、 （0，9.0） 、 （2.3，0） ，计算得 出的各观测点的位移时程结果如图6所示。 分析图6可以得到如下认识场地中不同观测点 的飘移失稳位移量基本一致，飘移失稳表现为整个体 系的类似刚体移动；边界及附近点的飘移失稳和高频 震荡失稳均早于远离边界的内点，失稳是由边界开始 并向内传播；在边界区内点附加弹簧或者阻尼元件的 措施对透射边界的计算飘移失稳实现了有效的抑制， 但对高频震荡失稳没有抑制效果。 图 6 附加元件不同方案计算反应各观测点位移时程 Fig. 6 Calculated displacement time histories at observation points for different cases of visco-elastic elements 为了进一步展示附加黏弹性元件对透射边界计算 飘移失稳的抑制作用效果， 这里采取边界区滤波方法[8] （取滤波系数0.85）来消除计算中的高频震荡失稳， 结果如图7，8所示。 图7算例中所附加的黏弹性元件 情况A2、B2、C2及D2、E2、F2的刚度系数（单位 106 N/m）和阻尼系数（单位104 Ns/m）分别为 （1.8， 0） 、 （2.175，0） 、 （2.4，0）及（0，3.0） 、 （0，4.25） 、 （0，4.5） ，图8算例中所附加的黏弹性元件情况A3、 B3、C3及D3的刚度系数（单位106 N/m）和阻尼系 数（单位104 Ns/m）分别为（0，0） （即不附加黏弹 性元件） 、 （0，4.25） 、 （2.175，0）及（1.2，2.5） 。 从图7看到，附加弹簧或阻尼元件对透射边界计 算飘移失稳均有有效的抑制作用，消除飘移失稳的效 果与刚度系数或阻尼系数的取值有直接关系系数取 值过小效果不够， 系数取值过大可能出现相反的效果。 644 岩 土 工 程 学 报 2012 年 图 7 黏弹性元件参数不同时观测点 1 的位移时程 Fig. 7 Displacement time histories at observation point 1 for different cases of visco-elastic elements 从图8可得到以下结论合适的附加弹簧或阻尼 元件系数取值可以达到理想的消除透射边界计算飘移 失稳效果；附加弹簧或者阻尼或者两者，都可以有效 地消除透射边界计算飘移失稳。相对而言，仅附加阻 尼元件的效果比其它两种方案更好。 图 8 不同附加元件方案计算观测点位移时程 Fig. 8 Displacement time histories at observation points for .different cases of visco-elastic elements 3 结 语 透射边界中的人工边界点与边界外原有的场地介 质没有直接的物理连接，而导致对人工边界内计算区 没有直接的物理约束是透射边界计算失稳特别是漂移 失稳产生和持续扩展的原因。基于这一认识，本文提 出了透射边界区内点上附加黏弹性元件来约束计算区 的措施，并通过算例检验了这一建议方案对于透射边 界计算飘移失稳的有效性。十分轻微的附加弹簧和阻 尼力可以达到控制透射边界的计算失稳，而且不影响 透射边界对人们关心的频率范围内运动模拟精度的优 势。 相对透射边界计算飘移失稳处理的降阶措施[13-14] 和加γ算子措施[17]，本文方案的优势在于它是一种基 于物理边界意义的人工边界计算失稳处理措施，为从 不同的角度探讨透射边界计算失稳问题提供了新的途 径。然而，从本文的研究可以进一步看到，建议措施 中附加黏弹性元件的弹簧刚度系数和阻尼系数的取值 对失稳处理的效果有影响，还没有找到有效参数选取 的原则。能否找到一个方便有效参数选取的原则将是 这一措施实用性的关键。这一问题的解决也正是需要 进一步探讨的问题。 参考文献 [1] 廖振鹏. 近场波动的有限元模拟[J]. 地震工程与工程振动， 1984, 42 1–14. 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