基于参变量变分原理的地基梁位移非线性分析.pdf

建筑结构学报Journal of Building Structures 第 33 卷 第 4 期 2012 年 4 月 Vol. 33No. 4Apr． 2012 018 文章编号 1000-6869 2012 04-0142-08 基于参变量变分原理的地基梁位移非线性分析 邓岳保 1，谢康和1，夏建中2 1． 浙江大学 岩土工程研究所， 浙江杭州 310058; 2． 浙江科技学院 岩土工程研究所，浙江杭州 310023 摘要 提出一种分析地基梁非线性位移的新方法。首先采用分段线性函数对非线性的基底压力 p- 基底沉降 s关系曲 线进行拟合， 通过引入控制变量， 得到 p- s 曲线统一表达式。根据地基梁模型能量泛函， 结合参变量变分原理和分段线性地 基模型中的互补条件， 导得一个标准的线性互补模型。该模型可用较为成熟的规划算法进行求解， 使地基梁位移非线性求 解问题转化为一个标准的数学问题。在对该法的合理性进行验证后， 详细推导了集中荷载作用下地基梁位移的非线性求 解方程， 并对其进行求解。在此基础上， 对线性与非线性计算的差异及影响非线性计算结果的因数进行分析， 得到如下主 要结论 考虑非线性影响时， 地基梁位移曲线不均匀沉降增大， 地基梁内力增大; 随着 p- s 曲线非线性程度增加以及 p- s 曲线 上进入非线性段临界压力值的减小， 非线性影响越明显; 荷载大小及梁与地基的相对刚度均会影响地基梁位移分布形式。 关键词 地基梁; p- s 曲线;分段线性模型;非线性分析;参变量变分原理;位移 中图分类号 TU433文献标志码 A Non-linear analysis of foundation beam based on parametric variational principle DENG Yuebao1，XIE Kanghe1，XIA Jianzhong2 1． Institute of Geotechnical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China; 2． Geotechnical Engineering Institute，Zhejiang University of Science and Technology，Hangzhou 310023，China AbstractA new for non- linear analysis of foundation beam was presented． Firstly， a piecewise linear function was used to fit the nonlinear p- s curve and a unified relationship between pressure and settlement under foundation beam was set up with an introduced control variable． The energy functional dealing with the deation of foundation beam was then derived． Combined with the complementarities which drawn from the piecewise linear function，a standard linear complementary model was ed by using parametric variational principle． This model can be solved by a mature programming algorithm known as planning algorithm． Consequently，the non- linear analysis of foundation beam was transed into computing a standard mathematical model． After the rationality of the proposed was validated，a detailed solution process for non- linear analysis of foundation beam under concentrated load was presented． On the basis，the difference between linear and non- linear analyses and factors that affect the non- linear calculation results were investigated．It shows that the uneven settlement and the internal bending moment of foundation beam increases when the non- linear effects are considered． Increasing the nonlinearity level of the p- s curve or decreasing the pressure threshold into non- linear section，the non- linear effects become more obvious． Both the load intensity and the relative stiffness of beam to foundation affect the distribution of displacement in the non- linear analysis of foundation beam． Keywordsfoundation beam; p- s curve; piecewise linear model; non- linear analysis; parametric variational principle; deation 作者简介 邓岳保 1983 ， 男， 湖南岳阳人， 博士研究生。E- mail dengyuebao yahoo. com. cn 收稿日期 2010 年 2 月 241 0引言 研究地基梁与土体的相互作用在土木水利交通 工程中具有十分重要的意义， 其研究成果既可用于 基础的结构设计， 又可用于分析支承地基土体内的 应力和变形。国内外学者对此进行了大量深入的研 究 ［1- 3 ］， 这些研究通常将地基土的性态进行简化， 用 Winkler 地基模型、 弹性连续介质模型或双参数地基 模型来表征地基的性质。其中 Winkler 基床系数法 因计算方法简单， 在工程中应用广泛。 Winkler 基床系数法假定地基土受到的压力 p 与 沉降 s 关系为线性关系。然而， 由于天然土的力学性 质受到土颗粒的形状及尺寸、 颗粒间作用力、 土的结 构与土中水和气体等的影响， 地基土的 p- s 关系曲线 通常表现出明显的非线性。故 Winkler 基床系数法 是比较粗略的。为改进计算精度， 文献［ 4］ 提出变基 床系数弹性地基梁解法。该法用分段线性逼近地基 土压力与沉降间的非线性关系， 将变基床系数地基 梁的状态方程转换为常基床系数地基梁求解方程， 并利用初参数法进行求解。这种求解方法思路清 晰， 但计算须进行迭代运算， 过程复杂。 钟万勰采用类比方法， 借助最优控制论中的基 本思想， 提出参变量变分原理 ［5-8 ］。该理论通过选择 适当的状态变量和控制变量并将其引入所求对象的 本构关系中， 使得弹塑性分析和接触分析等转化为 泛函在一定约束条件下的极值问题， 最终得到一个 互补模型并采用规划算法求解。这种方法在每个增 量步中不需进行迭代，其收敛性对步长不敏感，且 具有较高的精度、 效率和稳定性 ［9- 12 ］。本文拟基于这 一思想实现对地基梁非线性变形问题的求解。 1计算模型与假定 1. 1基本假定 非线性地基上承受上部荷载的均质等截面地基 梁坐标系统及其基本物理力学参数如图 1 所示。其 中， 梁上作用广义分布荷载 q x ，梁与地基间相互 作用力为 p。 并做如下基本假定 ① 地基梁符合欧拉 梁理论， 即不考虑剪切影响; ② 地基梁与地基土变形 协调， 即地基梁竖向变形 w 和基底沉降 s 相等。 1. 2地基模型 地基梁设计最大的难点是确定基底反力和地基 变形之间的关系 ［13 ］。因此建立既能反映地基特性又 便于分析地基与基础共同作用的地基模型非常重 要。Winkler 地基模型假定基底压力 p 与基底沉降 s 间为线性关系， 即 p ks， 而反映 p 与 s 间相互关系 图 1非线性地基上弹性梁 Fig． 1Elastic beam on nonlinear foundation 的基床系数 k 值则通过载荷板试验等确定。软弱土 地基上载荷板试验得到的典型 p- s 曲线如图 2 所示。 由图 2a 可知， k 值随沉降 s 变化而变化， 并非线 性相关。工程设计中出于简化考虑， 常采用 p- s 曲线 中初始荷载作用下近似线性段 k0进行计算 初始刚 度法 ; 或者首先由上部构筑物总重量估算基础平均 沉降量， 然后据此查找 p- s 曲线上对应的点 如 A ， 连接该点与原点所得割线 OA的斜率即为基床系 数 kA 割线刚度法 。显然， 这两种做法均与实测 p- s 曲线所反映的地基特性存在差异。为此， 本文将 p- s 曲线分为多个线性段来对其进行逼近 图 2b 。当分 段数足够多时， 可近似地认为计算结果与实际情况 一致。 图 2 p- s 曲线及其分段拟合图 Fig． 2p- s curve and subsection of p- s curve 如图 2b， 当分段数为 3 时， p- s 关系可描述为 s p k1 p ≤ p1 p k1 p － p1 1 k2 － 1 k 1 p1＜ p ≤ p2 p k1 p － p1 1 k2 － 1 k 1 p － p2 1 k3 － 1 k 2 p2＜ p ≤ p3          1 依此类推， 当分段数为 n 1 时， p- s 关系为 s p k1 ∑ i j 1 p － pj 1 kj1 － 1 k j pi＜ p ≤ pi1 p k1 ∑ n j 1 p － pj 1 kj1 － 1 k j p ≥ pn { 2 式中， kj为 p- s 曲线第 j 分段斜率， 且 k1 k0。 若令 341 λ ∑ n j 1 λj j 1， 2， ， n 3 其中 λj p － pj 1 kj1 － 1 k j p ≥ pj 4 则可得 s p k1 λ 或 p k1 s － λ 5 式 5 所表述的地基模型与 Winkler 地基模型不 同之处是该式中多了物理量 λ， 即文献［ 5］ 所述的参 变量。参变量 λ 在 p- s 曲线中起控制作用 当 λ 0 时， 表示基底压力 p ≤ p1，对应于 p- s 曲线中的第一 段; 当 λ λ1时， 表示 p1＜ p≤p2， 表明进入 p- s 曲线 中的第二段; 当 λ λ1 λ 2时， 表示 p2 ＜ p ≤ p3， 表 明进入 p- s 曲线中的第三段; 依此类推。 2基于参变量变分原理的求解 2. 1地基梁控制方程 根据式 5 计算模型可得地基梁在 y 方向变形 w 时的能量泛函为 Π［ λ w ］ Ub Us－ Wp 6 式中， 地基梁弯曲变形势能 Ub、地基压缩变形势能 Us和梁上广义分布荷载所做功 Wp的表达式分别为 Ub∫ l/2 －l/2 EI 2 d2w dx 2 2 dx Us∫ l/2 －l/2 bk1 2 w － λ 2dx Wp∫ l/2 －l/2 qwd        x 7 式中， b 为地基梁宽， EI 为地基梁抗弯刚度。 当地基梁位移 w 进行合理假定后 见 3. 2 节 ， 对式 6 取变分， 即可得到 w 和 λ 的关系表达式。值 得说明的是， 根据参变量变分原理， 式 6 中 λ 不参 与变分， 但却控制变分。对此， 文献［ 8］中给出了详 细的论述。本文仍对其合理性进行简要验证。对式 6 变分可得 Π w U b w U s w － W p w 8 其中 U b w ∫ l/2 －l/2 EI d4w dx4 δwdx EI d2w dx2 δw l/2 －l/2－ EI d3w dx3 δw l/2 －l/2 U s w ∫ l/2 －l/2 bk1 w － λ δwdx W P w ∫ l/2 －l/2qδwd            x 9 由 Π w 0 及 δw 的任意性， 可得到地基梁控制 方程为 EI d4w dx4 bk1 w － λ q 10 在梁两端有 EI d2w dx2 δw l/2 －l/2 0 EI d3w dx3 δw l/2 －l/2 { 0 11 参变量变分得到的地基梁边界控制方程与普通 变分原理得到的方程相同。由于地基梁两端为自由 边界条件， 故式 11 自然满足。结合式 5 与式 10 可得 EI d4w dx4 p q 12 式 12 即为经典的地基梁控制方程， 由此证明 参变量变分原理用于求解地基梁问题的合理性。 2. 2地基梁约束方程 由式 5 可知， 参变量 λ 和 w 之间并非独立， 其 相互关系推导如下。首先将式 5 中 p 代入式 4 ， 等式左右相减记为 gj w， λ ， 则 gj w， λ kj－ kj1 kjkj1 ［ k1 w － λ－ pj］－ λj p ≥ pj 13 若进一步假设 fj w， λ gj w， λ kjkj1 kj－ kj1 1 k1 则有 fj w， λ w － λ － 1 k1 pj－ kjkj1 kj－ kj1 1 k1 λj 14 式中 λj＞0 时， fj w， λ0; λj0 时， fj w， λ＜0。 基于最优化思想， 引入非负松弛变量 vj， 则可以 得到 fj w， λ vj 0 λjvj { 0 15 式中， vj≥0， vj≥0， j 1， 2， ， n。 2. 3规划算法求解 综合式 8 和式 15 ， 得到地基梁求解模型 min.Π［ λ w ］ s． t.F w， λν 0 ν Tψ 0ν≥ 0，ψ≥ 0 } 16 式中， n 阶向量 F ［ f1，f2， ，fn］ T、 ν ［ ν1 ， ν 2， ， νn］ T、 ψ ［ λ1 ， λ 2， ， λn］ T。该模型求解思路如下 首先根据地基梁已知条件给出符合边界条件且满足 连续条件的位移函数 w， 代入式 8 可得相应的能量 441 泛函。然后， 基于参变量变分原理进行变分， 得位移 函数 w 和控制变量 λ 之间的关系式。将 w- λ 关系代 入式 16 中的约束方程， 得到互补方程。最后利用 规划算法进行求解。 3算例求解与分析 3. 1已知条件 图 3 所示地基梁受跨中集中荷载 Q0作用。其 中， 梁长为 l， 梁宽为 b， 梁抗弯刚度为 EI。 将梁划分 为 2N 段进行求解。考虑到对称性， 取 x ＞ 0 侧进行 分析。 图 3地基位移非线性分析梁算例 Fig． 3Example for nonlinear analyses of foundation beam 梁段划分后， 分段地基梁下的基底压力为 pi， 分 段地基梁竖向变形为 wi。 地基 p- s 曲线如图 2b， 分 3 段拟合n 2 。各线性段基床系数分别为 k1、 k2和 k3。 线性分段间临界压力分别为 p1和 p2， 控制变量为 λi。 据前文推导得 pi k1 wi － λ i ， λi ∑λj， i λ1， i λ 2， i。 λj， i i 表示梁段编号， i 1， 2， ， N; j 为 分段线性 p- s 曲线的线性阶段， j 1， 2。后文双下标 量的下标意义与此同， 不再赘述。 3. 2求解 首先设定地基梁位移曲线。对称荷载作用下， 离开坐标原点 x 处地基梁的竖向位移 w x可表示 为 ［1 ］ w x w0∑ 2M－1 m 1， 3 amcos mπx l － l/2 ≤ x ≤ l/2 17 其中 w0代表梁刚体位移; 梁挠曲变形用一系列余弦 函数逼近，am为相应的系数;M 为试函数的项数。 由式 17 可得地基梁各分段位移wi w xi ，其 中， xi 2i － 1 l/ 4N 。 其次， 对式 6 进行变分推导可得 Π ∫ 1/2 －1/2 EI 2 d2w dx 2 2 dx ∫ 1/2 －1/2 bk1 2 w － λ 2dx Q 0w |x 0 18 根据参变量最小势能原理， 有 － 1 m－1 /22 mπ w0 1 2 αm 4 2 am 1 N∑ N i 1 λicos mπxi l βl m 1， 3， ， 2M － 1 19 式中 α EIπ 4 / bk1l4 ; β Q0/ bk1l2 。 另外， 由 y 方向力的平衡关系可得 Q0∫ l/2 －l/2 p x dx ∫ l/2 －l/2 bk1 w － λ dx 20 进而有 w0∑ N i 1 ∑ 2M－1 m 1， 3 cos mπxi l am 1 N∑ N i 1 λi βl 21 综合式 19 和式 21 可得 A1a B1λ fa 22 式中 无 量 纲 挠 度 系 数 向 量 a ［ w0， a1， a3， ， a2M－1］ T /l， 为 M 1 阶向量; 无量纲向量λ ［ λ1 ， λ 2， ， λN］ T /l， 为 N 阶向量; fa ［ β， β， ， β］ T， 为 M 1 阶向量。另外 A1 c10. 5 0. 5α 1400 c200. 5 0. 5α340  cM000. 5 0. 5α 2M － 1 4 1d1d2d             M ; B1 cos πx 1 l cos πx 2 l cos πx N l cos 3πx1 l cos 3πx2 l cos 3πxN l  cos 2M － 1 πx1 l cos 2M － 1 πx2 l cos 2M － 1 πxN l 11                 1 ; ck － 1 2k－1 /22 2k － 1 π; dk∑ N i 1 cos 2k － 1 πxk l ; k 1， 2， ， M。 另外， 由式 15 有 珚w A2a 23 式中 无量纲挠度 珚w 珔w1 ， 珔 w2， ， 珔w [] N T，珔 wi wi/l。 A2为 N M 1阶矩阵， 表达式如下 A2 1 cos πx 1 l cos 3πx1 l cos 2M － 1 πx1 l 1 cos πx 2 l cos 3πx2 l cos 2M － 1 πx2 l  1 cos πx N l cos 3πxN l cos 2M － 1 πxN                   l 结合式 22 和式 23 ， 可得 珚w B2λ fb 24 式中 B2 A2A －1 1 B1， fb A －1 1 fa。 至此， 地基梁变形 和控制变量间的关系式已得到。下文将构造互补方 程组。 根据前文推导及算例已知条件， 式 14 可以简 化为 541 f1， i wi ， λ i w － λ － 1 k1 p1－ k1k2 k1－ k2 1 k1 λ1 f2， i wi ， λ i w － λ － 1 k1 p2－ k2k3 k2－ k3 1 k1 λ { 2 25 式中， 若 fj， i wi ， λ i 0， 则 λj， i ＞ 0; 若 fj， i wi ， λ i＜ 0， 则 λj， i 0。 引入松弛变量 νj， i， 则式 25 可写成 fj， i wi ， λ i νj， i 0 26 且有 νj， iλj， i 0， νj， i≥ 0， λj， i≥ 0。 将式 24 扩阶， 并代入式 26 可得 ν Mλ q ν T λ 0， ν≥ 0， λ≥ { 0 27 式中ν ［ ν1， 1， ν2， 1， ν1， 2， ν2， 2， ， ν1， N， ν2， N］ T，为 2N 阶向量;λ ［ λ1， 1， λ2， 1， λ1， 2， λ2， 2， ， λ1， N， λ2， N］ T /l; q ［ q1， q2， ， qN］ T， 为2N 阶向量; q i ［ δ1－ fb i ， δ2－ fb i ］ T ， δ 1 p1/ k1l ， δ2 p2/ k1l ; B B3 B4－ B5， 为 2N 阶矩阵。其中 B3 11 110  011               11 ; B4 B4 1， 1B4 1， 2 B4 1， 2N B4 2， 1B4 2， 2 B4 2， 2N  B4 2N， 1B4 2N， 2 B4 2N， 2N             ; B5 γ1/ 1－γ1 γ1γ2 / γ 1 －γ 2 0  0γ1/ 1－γ1 γ1γ2 / γ 1 －γ 2               ; γ1 k2 k1 ， γ 2 k3 k1 ; B4 2I － 2， 2J － 1 B4 2I － 1， 2J B4 2I， 2J － 1 B4 2I， 2J B2 I， J ; I 1， 2， ， N; J 1， 2， ， N。 3. 3计算与分析 式 27 为标准线性互补问题， 可用 lemke 算法 进行求解 ［14 ］。该式过程中引入了下列无量纲参数 α EIπ 4 / bk1l4 ; β Q0/ bk1l2 ; δ1 p1/ k1l ; δ1 p2/ k1l ; γ1 k2/k1 ; γ 2 k3/k1。 其物理意义分 述如下 当地基梁尺寸 b、 l 确定后， 相对于地基初始 刚度 k1， α 反映地基梁的相对刚度; β 反映相对荷载 大小; γ1和 γ2反映地基非线性程度; δ1和 δ2为 p- s 曲 线线性分段间相对临界压力值。下文通过对比计算 来分析各量对结果的影响。 在进行计算之前， 先通过试算， 确定地基梁分段 数 N 和挠曲变形试函数中的级数项 M。 结果发现 取 x ＞ 0 侧 N 20 和级数项为 5 项后， 进一步的细分梁 段和增加级数项， 对计算结果影响很小。 3. 3. 1线性与非线性计算结果对比 非线性计算工况 工况 1 参数取值如下α 0. 1， β 0. 01， γ10. 9， γ20. 75， δ10. 005， δ2 0. 015。若令 k11， 由 γ1和 γ2的表达式可得 k2 0. 9， k30. 75。当令式 24 中控制变量λ0 时， 可 得线性情况计算结果。显然， 线性情况计算结果仅 与地基刚度 k 和 α、 β 有关。 工程实践中的初始刚度法和割线法， 线性计算 工况包括两种， 参数取值分别如下 工况 2， α 0. 1， β 0. 01， k11. 0; 工况 3， α 0. 125， β 0. 0125， k10. 8。 以上三种计算工况， 地基梁及梁上作用的荷载 完全相同， 反映地基变形特性的 p- s 曲线亦相同， 不 同之处是对 p- s 曲线的基床系数取值 工况 1 采用分 段基床系数， 工况 2 采用初始线性段基床系数， 而工 况 3 采用割线基床系数。三种计算工况得到的地基 梁位移曲线和地基梁内力曲线如图 4 和图 5 所示。 其中 地基梁无量纲坐标 ξ x/l，无量纲挠度 η w/l， 无量纲内力矩 ζ 25Ml N2EI。 图 4挠度计算结果对比图 Fig． 4Comparison of calculation result of deation 结果分析 ①由图 4 可知， 非线性计算结果 工 况 1 得到的地基梁位移曲线陡峭， 表明地基梁跨中 和两端的不均匀沉降相对较大。②由图4 可见， 非线 性计算结果得到的最大挠度介于初始刚度法和割线 法之间; 相对于初始刚度法， 非线性计算得到的最大 挠度增加了 11. 7; 相对于割线刚度法， 非线性计算 得到的最大挠度减小了 5. 9。③由图 5 可知， 非线 性计算结果得到的地基梁弯矩大; 相对于初始刚度 法， 非线性计算得到的最大弯矩增加了 13. 8; 相对 于割线刚度法， 非线性计算得到的最大弯矩增加了 5. 2。 641 图 5弯矩计算结果对比图 Fig． 5Comparison of calculation result of bending moment 3. 3. 2p- s 曲线非线性程度对计算结果的影响 计算工况及参数取值情况见表 1。各计算工况 得到的地基梁位移曲线如图 6 所示。其中， 工况 2 为 初始刚度法， 地基梁特性及梁上荷载与非线性计算 工况相同。 表 1无量纲参数取值 变化 γ Table 1Dimensionless parameter values change γ 无量纲参数αβγ1γ2δ1δ2 工况 1- 10. 10. 01 1. 01. 00. 0050. 015 工况 1- 20. 10. 01 0. 90. 850. 0050. 015 工况 1- 30. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 015 工况 1-40. 10. 01 0. 80. 750. 0050. 015 图 6非线性程度对计算结果的影响 Fig． 6Effect of nonlinearity level on calculation result 由图 6 可得 ①相对于初始刚度法 工况 2 ， 考 虑非线性影响的位移曲线相对陡峭， 跨中挠度有所 增加。②工况 1- 1 计算结果与线性情况结果一致， 表 明当 γ1 γ 2 1 即 p- s 曲线上 3 个分段的斜率相 等 时， 利用参变量变分原理得到的计算结果与经典 的地基梁计算理论得到的结果相同。这从另一方面 验证了本文方法的合理性。③ 从工况 1- 1 ～ 工况 1-4， 地基梁位移曲线越来越陡峭， 表明随着 p- s 曲线 非线性程度的增加， 地基梁的不均匀沉降增大， 内力 矩亦增大。 3. 3. 3分段压力临界值对计算结果的影响 计算工况及参数取值情况见表 2。各计算工况 得到的地基梁位移曲线如图 7 所示。 表 2无量纲参数取值 变化 δ Table 2Dimensionless parameter values change δ 无量纲参数αβγ1γ2δ1δ2 工况 2- 10. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 005 工况 2- 20. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 010 工况 2- 30. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 015 工况 2-40. 10. 01 0. 90. 750. 0020. 015 工况 2- 50. 10. 01 0. 90. 750. 0080. 015 图 7分段压力临界值对计算结果的影响 Fig． 7Effect of critical pressure value on calculation result 由图 7 可得 ①相对于初始刚度法 工况 2 ， 考 虑非线性影响的位移曲线相对陡峭， 跨中挠度有所 增加。②当 δ10. 005 固定， 随着 δ2由0. 005 增大到 0. 015 工况 2- 1、 2- 2 和 2- 3 ， 非线性影响减弱。③当 δ20. 015 固定， 随着 δ1由0. 002 增大到0. 008 工况 2-4、 2- 3 和 2- 5 ， 非线性影响减弱。④ p- s 曲线上进 入另一分段的压力临界值越小， 非线性影响越显著。 3. 3. 4梁较地基相对刚度对计算结果的影响 计算工况及参数取值情况见表 3， 相应的地基梁 位移曲线如图 8。其中， 工况 A、 工况 B 和工况 C 分 别对应于工况 3- 1、 工况 3- 2 和工况 3- 3 下的初始刚 度法γ1 γ 2 1. 0 。 表 3无量纲参数取值 变化 α Table 3Dimensionless parameter values change α 无量纲参数αβγ1γ2δ1δ2 工况 3- 10. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 015 工况 3- 20. 010. 01 0. 90. 750. 0050. 015 工况 3- 30. 0010. 01 0. 90. 750. 0050. 015 由图 8 可知 ①相对于初始刚度法， 考虑非线性 影响的位移曲线相对陡峭， 跨中挠度有所增加。② 随着梁与地基相对刚度变化， 考虑或不考虑非线性 计算得到的位移曲线形状均发生变化。当梁较地基 相对刚度较小时 工况 3- 3 和工况 C ， 地基梁仅跨中 局部有明显变形， 差异沉降显著; 当梁较地基相对刚 741 图 8梁与地基相对刚度对计算结果的影响 Fig． 8Effect of relative stiffness on calculation result 度较大时 工况 3- 1 和工况 A ， 跨中最大沉降显著减 小， 不均匀沉降得到改善。 3. 3. 5相对荷载对计算结果的影响 计算工况及参数取值情况见表 4。为分析相对 荷载对线性情况的影响， 分析中还包括工况 D、 工况 E 和工况 F， 三种工况分别对应于工况 4- 1、 工况 4- 2 和工况 4- 3 情况下的初始刚度法。 表 4无量纲参数取值 变化 β Table 4Dimensionless parameter values change β 无量纲参数αβγ1γ2δ1δ2 工况 4- 10. 10. 01 0. 90. 750. 0050. 015 工况 4- 20. 10. 1 0. 90. 750. 0050. 015 工况 4- 30. 11 0. 90. 750. 0050. 015 各计算工况得到的地基梁位移曲线如图 9。其 中工况 4- 2 和工况 E 得到的无量纲挠度值减小了 10 倍， 工况 4- 3 和工况 F 得到的无量纲挠度值减小了 100 倍。 图 9相对荷载对计算结果的影响 Fig． 9Effect of relative load on calculation result 由图 9 可得 ①对于初始刚度法， 图中工况 D、 E 和 F 三种工况位移曲线重合， 表明当梁上相对荷载 按倍数增大时， 地基梁位移按相应倍数增加， 位移曲 线形状却不变。②对于非线性计算工况， 当梁上相 对荷载按一定倍数增大时， 地基梁位移增加， 但增大 的倍数与荷载增大倍数不一致。同时， 位移曲线形 状发生变化， 且荷载增加的倍数越大， 位移曲线改变 程度越明显。 3. 4结果分析讨论 对照图 3 对算例分析结果进行说明。地基梁在 图 3 所示集中荷载作用下， 跨中挠度最大， 相应位置 的地基反力亦最大。 当荷载较小时， 地基变形处于初始线性段， 分段 线性地基模型计算结果与 Winkler 地基模型 初始刚 度法 计算结果一致。随着荷载增大， 跨中基底压力 与沉降间关系率先进入 p- s 曲线的第二段， 该处地基 刚度减小， 促使跨中沉降进一步增大， 并使得地基梁 沉降曲线陡峭， 不均匀沉降加剧， 地基梁内力矩增 大。此时， 非线性计算结果与线性计算结果存在差 异。随着荷载进一步增大， 基底压力与沉降间关系 进一步偏离 p- s 曲线初始线性段， 非线性影响更加明 显。这样， 当增大荷载时， 地基梁不仅位移大小发生 改变， 地基梁不同位置的相对位移亦发生变化， 即位 移曲线形状发生变化， 并导致地基梁内力矩增大。 4结论 基于参变量变分原理和分段线性地基模型中的 互补条件， 将地基梁位移非线性求解问题转化为一 个标准互补模型问题， 并用互补算法进行求解， 得到 如下结论 1考虑 p- s 曲线非线性影响时， 地基梁位移曲 线不均匀沉降增大， 地基梁内力增大， 工程设计中应 考虑基床系数非线性对计算结果的影响。 2随着 p- s 曲线非线性程度的增加， 地基梁的 不均匀沉降增大， 内力弯矩亦增大。 3p- s 曲线上进入另一分段的压力临界值越 小， 非线性影响越显著。 4考虑 p- s 曲线非线性影响时， 荷载大小及梁 与地基的相对刚度均影响地基梁位移分布形式。 参考文献 ［ 1］ Selvadurai A P S． Elastic analysis of soil- foundation interaction［ M］ ．NewYork ElsevierScientific Publishing Company， 1979 1-6． ［ 2］ 龙驭球． 弹性地基梁的计算［ M］ ． 北京 人民教育出 版社， 1981 6- 27． ［ 3］ 汪基伟，徐海华，赵曰平． 混凝土与土体非线性对 地基梁弯矩的影响［J］ ． 岩石力学与工程学报， 2006， 25 8 1619- 1674． Wang Jiwei，Xu Haihua， Zhao Yueping． Influences of nonlinear characteristics of concrete and soil on bending moment of foundation beam［