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第 34 卷 第 3 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.34 No.3 2012 年 .3 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Mar. 2012 基于应力响应包络的土体典型本构模型比较 黄文雄 1，沈 建2 （1. 河海大学力学与材料学院，江苏 南京 210098；2. 河海大学土木与交通学院，江苏 南京 210098） 摘 要应力响应包络是本构模型切线刚度的一种几何表达，也是研究本构模型定性特征的有效工具。针对亚弹性、弹 塑性及亚塑性等 3 种类型的土体本构模型，分别以邓肯模型、剑桥模型和 Gudehus-Bauer 模型为例，讨论了相应的应力 响应包络形态，并比较了 3 类模型各自的特点。并且，通过分析不同模型的应力响应包络及其在主应力空间中的变化 规律，说明了亚弹性模型用于模拟土体的加、卸载存在着本质缺陷；弹塑性模型在屈服面附近的中性变载和卸载响应 存在一定的问题；亚塑性模型描述的土体切线模量随应变增量方向连续变化的特征比较合理，但简单亚塑性模型难以 准确模拟土体不排水剪切应力路径。 关键词本构模型；应力响应包络；亚弹性；弹塑性；亚塑性 中图分类号TU43 文献标识码A 文章编号1000–4548201203–0508–08 作者简介黄文雄1961– ，男，江苏常熟人，博士，教授，博士生导师，主要从事岩土本构模拟、颗粒材料力学特 性、数值模拟及工程应用的研究。E-mail wh670。 Comparison among some typical constitutive models for soils based on stress response envelopes HUANG Wen-xiong1, SHEN Jian2 1. College of Mechanics and Materials, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China Abstract The stress response envelope, a kind of geometric representation for tangential stiffness of constitutive models, is an efficient approach for qualitative studies on characteristic features of the constitutive models. With regard to the typical constitutive models for soils falling in the categories of hypoelasticity, elastoplasticity and hypoplasticity, the Duncan model, the Cam-clay model and the Gudehus-Bauer model are taken as examples for this study. Stress response envelopes are presented with a discussion of the general features of the corresponding constitutive models. Comparisons are made for the characteristics of the models of three types. It is shown that the essential defects exist in the hypoelastic model for modeling soil loading and unloading. For the elastoplastic model, the model response to a change of loading direction at stress points near or on the failure surface is unrealistic. For the hypoplastic model, while the main feature of continuous dependence of the tangential stiffness on the direction of strain increment is expected, difficulty exists in simple ulation for capturing stress paths of soil tests in undrained conditions. Key words constitutive model; stress response envelope; hypoelasticity; elastoplasticity; hypoplasticity 0 引 言 土是一类比金属具有更为复杂力学行为的非线性 材料。土既是颗粒材料，又是多孔介质。土体的颗粒 结构决定了它们与具有晶格结构的金属材料相比有很 不相同的力学行为。土体变形往往与土体中颗粒的相 对移动相关。这种颗粒的相对移动使土体骨架发生改 变，也使骨架间的孔隙体积发生变化，并且颗粒的这 种相对移动在卸载后通常是无法恢复的。因此，土通 常没有明显的弹性区。在常规静力荷载下，当应变量 大于 10 -6 量级时，土的变形即是不可逆的。土的体积 应变主要是由于土体中孔隙的体积变化所引起。土体 的孔隙比越小，其剪切弹模和抗剪强度就越高，即土 体具有压硬性。土体还具有强烈的体积应变与剪切应 变的耦合特性，即所谓的剪缩/剪胀性。松散砂土和正 常固结黏土受剪时，体积会收缩；密实砂土和超固结 黏土受剪时，体积会膨胀。密实土在继续加载过程中 ─────── 基金项目国家重点基础研究发展计划项目（2007CB714103） ；国家自 然科学基金项目（11172088/A020304） 收稿日期2011–09–25 第 3 期 黄文雄，等. 基于应力响应包络的土体典型本构模型比较 509 还会导致应变软化。因此，土体即使在简单加卸载情 况下的力学响应也比金属材料复杂得多。 土体的上述复杂力学特性使得模拟土体力学响应 的本构方程变得种类繁多。一些相对简单的本构模型 如亚弹性模型，仅关注土体在特定加、卸载条件下的 应力应变曲线，并不考虑沿不同加载方向材料变形模 量的变化。再如简单弹塑性模型，对于加、卸载采用 完全不同的本构表达，加载与卸载的区分则缺少客观 性，并且往往不满足 Hashiguchi[1]所讨论的本构方程 的连续性条件。另一些模型，如边界面模型、亚塑性 模型等，则因考虑的因素较多而变得比较复杂，不容 易被工程人员所理解，从而不能得到广泛的应用。因 此，随着一些新型的更为复杂的本构模型的发展，有 必要通过各种途径来表述本构模型的各种特征。 Gudehus[2]提出的应力响应包络的概念， 为反映土体本 构模型的定性特征提供了一种有效手段。这一概念已 在土体的亚塑性[3-5]本构模拟中得到了应用。并且，与 应力响应包络相对应的应变响应包络也已被应用于相 应的本构研究中[6-7]。 本文针对土力学中的非线性弹性 （亚弹性） 、 弹塑性和亚塑性 3 种典型的本构模型， 分 别以邓肯模型[8]、 修正剑桥模型[9-10]和 Gudehus -Bauer 模型[11-12]为例，利用应力响应包络讨论这几种模型的 异同点，并通过应力响应包络在主应力空间中的变化 规律，揭示不同模型的本质特征。 文中物理量采用了张量的符号表示，如应力张量 σ、应力率张量σ、应变张量ε和应变率张量ε等为 二阶张量， 切线模量张量H，D等为四阶张量。 此外， 1 和I分别为二阶和四阶单位张量。文中涉及的主要 张量运算符有并矢（如11⊗） 、双点积（如εH） 、迹 （如trσ）和欧氏范数（如ε）等。 1 土体本构方程的一般形式 土体的应力应变关系通常不能采用全量形式的本 构方程来描述，而需采用增量或率形式的本构方程来 描述。小应变条件下，许多模拟土体力学响应的本构 方程可写成如下的一般形式 ,, hqσσε α ， 1 式中，σ为应力率张量；h 为二阶张量函数，通常假 定其依赖于状态变量σ（其为Cauchy应力张量） 、qα （其为状态变量，如温度、多孔连续介质的孔隙比、 等效塑性应变等）和应变率张量ε。 方程（1）是用应变率张量ε来表示应力率张量σ 的增量型本构方程。在一定条件下，如土体不发生软 化，则土体本构方程也可采用应力率张量σ表示应变 率张量ε的形式。上式所表达的土体力学响应只与土 体的当前状态有关，变形历史对土体力学响应的影响 是通过σ和qα来体现的。 若不考虑温度变化引起的应变或应力，则σ应是 ε的齐次函数，于是式（1）又可表示为 ,, ,, hq εqα σε σσεε ε α ∂ ∂ H， 2 式中，H为土体在当前状态下的切线模量张量或本构 张量。建立土体的本构关系，实质上就是确定本构张 量H的具体表达式。 2 3 种典型的土体本构方程 Darve等[13]讨论了用应力增量表达应变增量的本 构方程，并根据本构矩阵对应力增量的依赖性将本构 方程分为增量线性型incrementally linear、分片增量 线性型piecewise incrementally linear及增量非线性型 incrementally nonlinear等3种类型。类似地，我们可 以根据式（2）中本构张量H对应变率张量ε的依赖 情况，将本构方程分为这3种类型，并分别给出相应 的典型例子。 2.1 增量线性型模型 若式（2）中本构张量不依赖于应变率张量ε，则 该本构方程为增量线性型的。邓肯模型[8]则是这类模 型的一个典型例子。邓肯模型常被用来模拟粗粒土、 堆石料等材料的力学特性，是目前我国土石坝工程中 较常用的本构模型之一。该模型的本构方程可写成 σσεD ， 3 式中，本构张量D为四阶各向同性弹性张量 tt 211μλ⊗DI ， 4 其中，Lam形式的弹性参量μt和 t λ可用另外几个弹 性参量，如切线弹性模量Et和切线泊松比νt表达 ttt tt ttt 21112 EEν μλ ννν − ，， 5 这里 Et和 νt不是常量，而是应力张量σ的函数，具体 的表达式可参见文献[8]。 该模型包含了8个材料参数， 可通过一系列常规三轴试验加以确定。 由于式（3）中的本构张量依赖于应力张量σ， 一般不存在弹性势，故这样的本构方程又属于 Truesdell[14]所讨论的亚弹性本构方程。 2.2 分片增量线性型模型 常规的弹塑性本构方程具有如下形式 p eep e , , q q σεεε σ σε α α ⎧−− ⎪ ⎨ ⎪⎩ 弹塑性加载， 弹性卸载或弹性加载。 DDD D 6 式中，四阶张量 ep −DD和 e D 分别为弹塑性加载和 510 岩 土 工 程 学 报 2012 年 弹性加/卸载时的本构张量； p ε 为塑性应变率张量。 其中弹塑性加载时本构张量中的 p D 可表示为 ee p pe QP KPQ ⊗ DD D D ， 7 式中，Kp为塑性模量，其为硬化变量κ的函数； //PfQgσσ ∂∂ ∂∂，， 8 分别为屈服面 , ffσ κ和塑性势面 , ggσ κ的 梯度。 弹塑性本构方程 （6） 中的两个本构张量 ep −DD 和 e D 与应力张量和孔隙比有关， 但均不依赖于应变率 张量ε，加载或卸载时的应力率张量σ 与应变率张量 ε分别呈线性关系。因此该方程属于分片增量线性型 本构方程。 土力学中著名的剑桥模型[9]即为此种类型的本构 方程。其弹性张量 e D 也采用各向同性弹性张量。模型 采用关联的流动法则，即假定塑性势函数与屈服函数 相同，具体的函数形式原始剑桥模型与修正剑桥模型 的取法略有不同。以修正剑桥模型为例 2 c 22 loglog1log q fgpp M p −。 9 式中 p 为 （有效） 平均应力；q为等效应力偏量；M 为强度参数； c p 为硬化变量。 该模型包含了 5 个材料参数，可通过土的固结和 常规三轴试验加以确定。模型能较好地模拟正常固结 黏土与弱超固结黏土的压缩与剪切变形。 2.3 增量非线性型模型 由于土体的基本力学响应具有增量非线性的特 征，因此近几十年一些学者提出了一些新型的土体本 构模型， 如 Kolymbas 等[3, 15]建议的无屈服面亚塑性模 型和 Dafalias[16]建议的边界面亚塑性模型，都属于增 量非线性型模型，且已被证明能较好地模拟土体的复 杂力学响应[5, 11-12]。 用于描述材料率无关响应的 Kolymbas-型亚塑性 本构方程，其本构张量只依赖于应变增量方向ε ，并 具有如下的一般形式 ,, qασσεε H， 10 式中， / ||||εεε ， 11 其中， 1/2 |||| εε ε 。 12 作为具体例子，考虑 Gudehus[11]和 Bauer[12]建议 的一个亚塑性模型。该模型能在较大的密度范围内较 好地模拟砂土的力学响应。其本构方程具有如下的简 单形式 , , ||||eeσσεσεLN 。 13 式中 L和 N 分别为四阶和二阶张量；e为孔隙比。 L和N的具体表达式为 2 s sd ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ fa Nf f as σσ σ ⎧ ⊗ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ， 。 LI 14 式中 ˆ/trσσσ为正则化后的应力张量； ˆ ˆ 1 3s σ− 为正则化后的偏应力张量； s f和 d f为平均压力 tr/3pσ −和孔隙比e的标量函数； ˆa为强度参数。 该模型包含了 8 个材料参数， 可通过砂土的密度实验、 等向压缩或一维压缩实验以及常规三轴压缩实验等加 以确定，具体的讨论参见文献[12，17]。 方程（13）右端第二项是关于ε的非线性项。若 这一项为零，则剩下第一项为关于ε的线性项。因此， 式（13）可看作是亚弹性本构方程（3）的直接推广。 但第一项中的四阶张量L仅当应力是各向同性时（等 向受压）为各向同性张量，在一般应力状态下，不具 有各向同性性。这一点与邓肯模型和修正剑桥模型中 的各向同性弹性张量不同，即张量L能反映应力引起 的各向异性性。 另外， 注意到||||εε ε ， 因此式 （13） 又可写成 Nσεε⊗ L ， 15 即本构张量依赖于应变增量方向。 由此可见方程 （13） 为式（10）的特殊形式。 3 典型本构模型的应力响应包络 3.1 应力响应包络的概念 设想对一土体单元施加一单位大小的应变增量， 该应变增量将在这一土体单元中引起一个应力增量。 应力增量之数值大小也代表了土体材料沿该方向的切 线刚度的大小。改变施加的单位应变增量的方向，相 应的应力增量响应不仅方向会改变，大小也会发生变 化。显然，沿着不同的加载或卸载方向，土体的切线 刚度是不同的，并且切线刚度是应随加载方向的改变 而连续变化的。 将应力增量响应在主应力空间中以矢量形式画 出，相应于所有可能的单位应变增量，应力增量响应 在主应力空间的矢端图将形成一个围绕当前应力点的 封闭曲面，该曲面即为应力响应包络。当前应力点到 包络面的径向长度代表了土体的切线刚度的大小。因 此，应力响应包络可以理解为本构张量的一种直观几 何表达。类似地，若对土体单元施加单位应力增量， 也可以得到土体的应变响应包络。但要研究形如本构 方程（2）的特性，应力响应包络更合适。 对土体的本构模拟，最重要的是刻划土体的压缩 第 3 期 黄文雄，等. 基于应力响应包络的土体典型本构模型比较 511 特性和剪切特性。通常考虑轴对称应力状态便能满足 这一需求。 常规的土力学实验， 如单向固结压缩实验、 等向压缩实验和常规三轴压缩实验都属于轴对称应力 状态实验。本构模型的建立通常也首先在轴对称应力 平面（pq−平面）内考虑（如剑桥模型） 。因此，通 常只需针对轴对称应力状态研究本构模型的应力响应 包络。 假设对一土体单元施加一满足轴对称条件的单位 应变增量εΔ ||1εΔ||， 23 εεΔ Δ，其方向由应变增 量方向与 23 εε−面之间的夹角αΔε 0 360 αΔ≤≤ ε 确 定。此时在主应变空间中应变增量矢量为 1 2 3 sin00 0cos20 00 α ε εα ε Δ Δ − Δ⎛⎞ ⎜⎟ Δ− ⎜⎟ ⎜⎟ Δ ⎝⎠ ε ε cos2αΔ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ ε 。 16 上述单位应变增量矢端在主应变空间Rendulic平 面内为一圆，如图 1（a）所示。图中位于圆直径两端 的两点（如A ABB，- ； ，- 等）分别代表相反的应变 增量方向。其中，A BCD， ， ， 分别对应等向压缩、 纯轴向压缩、等体积剪切（纯剪）和纯侧向压缩实验。 与所有应变增量相对应，由本构方程所确定的应力增 量的矢端将在Rendulic平面内形成一个围绕当前应力 点的、径向长度连续变化的封闭曲线即为应力响应包 络，其形状与本构方程有关，现讨论如下。 3.2 亚弹性模型的应力响应包络 图1（b）所示椭圆为轴对称条件下亚弹性本构模 型在图1（a）所示的单位应变增量作用下相应的应力 响应包络。当前应力点位于响应包络的形心。相应于 图1（a）中应变增量 A，B，C，D 等各点，应力增量 响应分别为图1（b）中的 A′，B′C′，D′等各点。亚 弹性本构模型的应力响应包络具有以下特点 （1）应力响应包络为椭圆（球） 。各向同性弹性 张量对应的响应包络椭圆， 其长轴沿静水应力轴方向。 相应于大小相等、 方向相反的两个单位应变增量作用， 应力增量的大小也相等，方向也相反。这表明卸载与 加载时切线刚度完全相等。因此亚弹性模型描述的变 形是可恢复的。 （2）相应于等向压缩（A） 、等向伸长（ A− ） 以及等体积（纯）剪切实验（C和 C− ） ，应力增量的 方向与应变增量方向一致。特别是对于纯剪实验，应 力增量垂直于静水应力轴，即纯剪切应变对球应力或 平均应力没有影响，也即偏应变增量与球应力增量之 间、球应变增量与偏应力增量之间没有耦合作用。由 于各向同性弹性张量的结构形式是不变的，这一特征 是各向同性弹性模型的一个共同特征。 （3）除了等向压缩和伸长以及等体积剪切实验 外，应力增量的方向与应变增量方向并不一致。如纯 轴向压缩，即90αΔ ε 时，对应的应力响应并非纯轴 向应力增加时的90σαΔ ，而是90σαΔ ，如图1中 虚线箭头所示。 图 1 轴对称条件下亚弹性模型的应力响应包络 Fig. 1 Stress response envelope of hypoelastic constitutive model for axisymmetric states in Rendulic plane 上述应力响应包络的第一个特征表明，简单亚弹 性模型，如邓肯模型不能正确模拟实际土体在加、卸 载时切线刚度不相等的特征。工程中常通过引进一个 与加载模量不同的卸载模量来弥补这一缺陷。但这种 处理方法对于加载和卸载的区分往往是随意的，缺少 客观性，并且该方法将导致切线刚度随加载方向改变 而出现不连续变化，这与土体的基本力学特性是不符 的。 上述应力响应包络的第二个特征表明，邓肯模型 无法模拟土体的剪缩或剪胀性，这也反映了各向同性 亚弹性模型的又一不足。 3.3 弹塑性模型的应力响应包络 弹塑性模型的应力响应包络只要考虑应力点落在 屈服面上的情况，因为应力点落在屈服面以内的应力 增量响应是与亚弹性模型一致的。弹塑性本构方程分 加载和卸载两种情况。加载为弹塑性响应，卸载为弹 性响应。材料的弹性响应由弹性张量 e D决定。弹塑性 加载时的应力增量可以表达为 ep σσσΔ Δ−Δ 。 17 式中 e e σεΔΔD为弹性响应； pp e σεΔΔD p εΔD为塑性响应，其可看作是实际应力增量对弹 性应力增量的校正。注意塑性应变增量的方向不随加 载方向的改变而改变， 因此在改变应变增量的方向时， 512 岩 土 工 程 学 报 2012 年 p σΔ的方向是保持不变的。 图2（a）给出了弹塑性模型（如修正剑桥模型） 当应力位于屈服面上，相应于图1（a）的应力响应包 络。响应包络具有如下主要特征 （1） 模型的基本响应由弹性张量所决定。 大部分 弹塑性模型，包括修正剑桥模型，假定弹性响应为各 向同性，其基本响应包络与上面所讨论的各向同性亚 弹性模型响应包络相似， 在Rendulic平面内为一椭圆， 椭圆长轴沿静水应力轴方向。 （2） 当前应力点位于弹性椭圆的形心。 屈服面经 过该点将响应包络面分成加载与卸载两部分。由于弹 塑性切线模量小于相应的弹性切线模量，加载一侧响 应包络面为另一椭圆的一部分， 位于弹性包络面内侧。 应力响应包络是连续的，即模型表达的切线刚度随加 载方向是连续变化的，但总体形状具有一定的不规则 性，在两个椭圆连接处不一定光滑。 （3）加载一侧应力增量通常要小于弹性应力增 量，方向也不相同。除了特殊情况，一般相应于两个 相反方向的应变增量，弹塑性模型的切线刚度是不同 的。加载时的切线刚度较小。加载时相应于等体积剪 切应变增量，应力增量偏向左侧（图2中C′′相对于 C′） ，表明应力增量包含了球应力增量，模型能模拟 材料的剪缩特征。 图 2 轴对称条件下弹塑性模型的应力响应包络 Fig. 2 Stress response envelopes of elastoplastic constitutive model for axisymmetric states in Rendulic plane 以上特点说明弹塑性模型能有效模拟土体在加卸 载时切线模量的不同，这一点克服了亚弹性模型的不 足，但它需要采用两个不同的方程来描述土体的加卸 载过程。而加卸载的判断取决于屈服条件。但土体屈 服条件不同于失效条件，实际上难以通过实验获得。 特别是砂土等无黏性颗粒土，变形过程中对变形历史 记忆的消抹比较显著，更是如此。 剑桥模型采用了关联的流动法则，其屈服面实际 上是塑性势面，是根据塑性应变的特征得到的。目前 比较普遍的看法是认为土体的不可逆应变与土体的屈 服不具有关联性。在经典塑性理论框架中若考虑非关 联性，常常是引入一个不同于屈服面的塑性势面。但 这样的做法可能导致应力响应包络出现图2（b）所示 的缺陷，即在弹性与弹塑性响应过渡点（中性变载） 附近，弹塑性响应的切线模量大于弹性响应的切线模 量。 3.4 亚塑性模型的应力响应包络 亚塑性模型的应力增量为线性增量 L σΔ与非线 性增量 N σΔ两部分之和 LN σσσΔ Δ Δ ， 18 其中， L σεΔΔL， N ||||NσεΔΔ ， 19 L σΔ表达了亚弹性响应，由张量L所决定。对应于图 1（a）所示的单位应变增量， L σΔ代表的亚弹性响应 为图3（a）中的虚线椭圆。 图 3 轴对称条件下亚塑性模型的应力响应包络 Fig. 3 Stress response envelopes of hypoplastic constitutive model for axisymmetric states in Rendulic plane 注意 N σΔ的大小和方向由张量 N 决定， 不随应变 增量的方向变化而改变（图3（a）中MM′） 。对每一 个线性增量 L σΔ，加上同一个 N σΔ，其作用仅相当于 使线性项对应的亚弹性响应包络产生一个平移。因此 亚塑性本构方程（13）的应力响应包络可以由相应的 亚弹性响应包络经过一个平移得到（图3（a） 、 （b） 和（c）中的实线椭圆。其中（c）图所示为等向受压 第 3 期 黄文雄，等. 基于应力响应包络的土体典型本构模型比较 513 应力状态下的响应包络，当前应力点位于静水应力轴 上） 。相应的包络具有以下一些主要特征 （1）应力响应包络形态由亚弹性张量L所决定， 为Rendulic平面内一椭圆。 与各向同性弹性张量不同， 按式（13）定义的亚弹性张量L对应的响应包络椭圆 长轴方向沿当前应力点方向。 （2） 当前应力点相对于椭圆形心有个偏移， 偏移 的方向和大小由本构方程的非线性部分所决定。 （3） 相应于两个相反方向的应变增量， 应力增量 的大小、 方向不同 （如图3（b） 中A′和A′−、C′和 C′− 等） ，切线刚度也不同。 （4）相应于等体积剪切（参见图1（a）中 C 和 C−） ，应力增量响应一般不垂直于静水应力轴。因此 亚塑性模型能模拟土体剪切与体积变形的耦合。在等 向受压状态下，椭圆形响应包络长轴与静水应力轴重 合。当前应力点沿长轴偏离形心。等体积剪切应力增 量响应包含了球应力的减小（图3（c） ，C′和 C′−在 静水应力轴上投影为负） 。 由图3可以看出，亚塑性模型的应力响应包络反 映了土体切线刚度随加载方向改变而连续变化的规 律。该模型通常不需要进行加卸载的判断，仅用一个 本构方程便能够充分描述土体的基本力学特征[18]，故 在土体的本构模拟上具有一定的优越性。在数值编程 中因不需要区分加卸载、不需要判断应力点是否落在 屈服面上而变得更为简单。 4 应力响应包络在主应力空间中的变化 模拟土体的本构张量一般都依赖于应力状态，本 构张量随应力状态的变化可以由应力空间中一系列的 应力响应包络来定性反映。 4.1 亚弹性模型 图4给出了邓肯模型在主应力空间中不同应力点 处应力响应包络的大致变化情况。由于本构张量保持 为各向同性张量，故这些应力响应包络的长轴方向均 保持不变，与静水应力轴平行。 图 4 亚弹性模型的应力响应包络在主应力空间中的变化 Fig. 4 Variation of stress response envelopes of hypoelastic .constitutive model in principal stress space 邓肯模型能模拟土体在单调剪切过程中切线刚度 的逐渐降低。在平均应力不变的情况下，邓肯模型的 切线弹模随偏应力的增大而减小，直至达到强度极限 （流动失效）时变为零。由于当前应力点始终位于应 力响应包络的形心，因此，邓肯模型的上述特征表现 为应力响应包络在静水应力轴上最大，然后随偏应 力的增大而逐渐减小，直至在失效面处退化为一点。 这意味着，当应力状态达到材料的强度极限时，该模 型沿各个方向的切线刚度均为零，此时模型完全无法 描述卸载或改变加载方向的材料响应。工程中采用的 不同加、卸载模量的方法，具有使应力响应包络不连 续的内在缺陷。 上述分析表明，亚弹性模型模拟土体剪切加载过 程中切线模量的降低只能通过不断减小应力响应包络 的大小来实现，模拟卸载响应存在本质的困难。 4.2 弹塑性模型 图5给出了修正剑桥模型的应力响应包络在主应 力空间中的变化情况。 图 5 弹塑性模型的应力响应包络在主应力空间中的变化 Fig. 5 Variation of stress response envelopes of elastoplastic constitutive model in principal stress space 图中每个响应包络由弹性响应椭圆弧与塑性响应 椭圆弧两片组成。其基本形态由弹性响应椭圆决定。 屈服面的切线方向决定加载一侧较为扁一些的塑性响 应椭圆弧。 对于剑桥模型， 弹性张量为各向同性张量， 各弹性响应椭圆的长轴保持与静水应力轴平行。当前 应力点位于弹性椭圆的中心点。 随着应力偏量的增大， 屈服面法线方向从等向受压时指向静水应力轴方向逐 渐变化到在失效面上垂直于静水应力轴。相应的塑性 响应椭圆弧变得越来越扁，直至在失效面上退化为直 线段。这些特征对于弹塑性模型是比较典型的。 由图5可以看出，当应力点落在失效面上时，弹 塑性模型的应力响应包络比较奇特。当加载应变增量 沿图示ε方向塑性加载时，应力增量为零。相应于其 它加载应变增量，应力增量方向都指向屈服面切向。 塑性加载应力增量方向不随应变增量方向的改变而改 变。同时，在失效面上应力响应包络部分超出失效面 514 岩 土 工 程 学 报 2012 年 范围，这意味着在应力达到强度极限后，改变应变增 量方向，模型预测的应力比高于上述失效面相应的应 力比。尽管有实验[19]表明土体在接近剪切流动的情况 下，突然改变应变增量方向确实会引起材料的硬化， 但应力比只是略高于强度极限。但剑桥模型在预测失 效面处的中性变载、甚至弹性卸载也能引起显著的硬 化，这一点与土体真实的力学响应不符。 上述分析说明，弹塑性模型模拟土体加载过程中 切线模量的降低是通过不断调节塑性加载部分包络面 的形状，即由椭圆弧包络面逐渐退化为一直线来实现 的。在应力接近强度极限时，弹塑性模型对应变方向 改变引起的材料响应模拟不够合理，并且这一不足难 以在经典弹塑性理论框架中克服。 4.3 亚塑性模型 Gudehus-Bauer模型在主应力空间不同点处的应 力响应包络如图6所示。 图 6 亚塑性模型的应力响应包络在主应力空间中的变化 Fig. 6 Variation of stress response envelopes of hypoplastic .constitutive model in principal stress space 椭圆形响应包络在不同应力点处，大小和方向都 改变，由张量 , eσL所决定。相应于表达式（13） ， 椭圆形响应包络的长轴沿应力点的径向。当前应力点 不在椭圆的形心，其偏离程度由本构方程非线性部分 张量 , Neσ决定。当 , Neσ使应力点偏离到包络面 上时，相应的某个方向切线刚度为零。 在静水应力轴上，应力增量响应包含了球应力的 减小（参见3.4节） 。由于这一特征，方程（13）在模 拟土体不排水剪切时预测的应力路径与实验结果在静 水应力轴附近有一定的偏差。由于这是方程（13）的 定性特征，模型的改进需要通过构造更为合适的本构 张量才能实现（参见文献[5]） ，这将使本构方程变得 相对复杂些。 在失效面上，如图6所示，亚塑性模型的应力响 应包络仍然是连续光滑的，应力增量的方向是随应变 增量的方向变化而改变的。响应包络椭圆略超出失效 面。这表明在失效面上，改变加载方向，亚塑性模型 所给出的应力响应有可能超出失效面，但这并不是意 味着应力无边界，而是存在一个略大于失效面的边界 面。模型预测的应力将始终保持在这个边界面以内。 有关亚塑性模型边界面的详细讨论及实验验证可参考 文献[19]。 5 结 论 作为一个非常有效的分析工具，应力响应包络能 用于研究增量型材料本构方程的定性特征，并在复杂 的本构模拟中发挥重要作用。 本文正是利用这一工具， 通过对邓肯模型、修正剑桥模型和Gudehus-Bauer模 型的应力响应包络分析，说明亚弹性、弹塑性及亚塑 性等3类土体本构模型所具有的定性特征，为土体本 构模拟研究提供一种参考。需要说明的是，本文讨论 的3种本构模型都是各自类别中比较简单的模型。但 有关方法可以应用于其他相对更复杂的模型。 通过前两节的分析可得到以下的主要结论 （1） 亚弹性模型无法模拟土体加卸、 载条件下切 线弹性模量的不同。 若采用不同于加载时的卸载模量， 将导致切线模量随加载方向的改变而出现不连续变 化，这是不符合土体的基本力学特性的。同时，亚弹 性模型虽然能描述土体在加载失效时的流动，但应力 响应包络在失效面上退化为一点，这便导致了各个加 卸载方向的切线模量均为零，这也不符合土体的实际 情况。此外，形如邓肯模型的各向同性非线性弹性模 型也无法描述土体的剪切应变与体积应变之间的耦合 效应。 （2）弹塑性模型能模拟土体在加卸载条件下切 线弹性模量的不同，但它需采用两个不同的本构方 程。由于土体实际的屈服面难以通过实验确定，因而 相应的加卸载判断具有一定的主观性。简单弹塑性模 型，如剑桥模型在模拟失效面附近的应力响应质量不 够好。改变塑性加载应变增量方向，模型预测的应力 响应会显著超出土体的失效面。特别是相应于中性变 载和接近于中性变载的弹性卸载，模型预测的土体中 应力比显著增大的特征与实际情况不一致。 （3）亚塑性模型能够较好地描述土体应力增量 对应变增量方向的连续依赖性，本构张量能够反映土 体切线刚度随加载方向的连续变化。土体加载过程中 切线模量的降低通过应力响应包络的偏移来实现，这 些都较为符合土体实际的力学响应特征。亚塑性模型 不需要定义屈服面和塑性势面，用同一个方程描述土 体的加载与卸载，在数值实施上具有优越性。因此， 亚塑性模型框架为土体的本构模拟提供了一种有竞争 力的选择。 简单亚塑性模型存在的不足是在对土体的不排水 第 3 期 黄文雄，等. 基于应力响应包络的土体典型本构模型比较 515 实验的应力路径预测无法达到令人满意的程度。 此外， 由于缺少了屈服面/塑性势面这样的辅助工具， 如何改 进本构张量的数学表达，使模型能利用较少的参数更 好地模拟土体的力学响应是一个需要进一步深入研究 的问题。 参考文献 [1] HASHIGUCHI K. Constitutive equations of elastoplastic materials with elastic-plastic transition[J]. Journal of Applied Mechanics, ASME, 1980, 472 266–272. [2] GUDEHUS G. A comparison of some constitutive laws for soils under radially symmetric loading and unloading[C]// WITTKE W, ed. Proceedings of the 3rd International