多层地基轴对称弹性空间问题的解析层元解.pdf

建筑结构学报Journal of Building Structures 第 33 卷 第 4 期 2012 年 4 月 Vol. 33No. 4Apr． 2012 019 文章编号 1000-6869 2012 04-0150-04 多层地基轴对称弹性空间问题的解析层元解 艾智勇 1，董 洲 2，成怡冲2 1． 同济大学 地下建筑与工程系， 上海 200092; 2． 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092 摘要 从轴对称弹性空间问题的基本控制方程出发， 推导出 Hankel 积分变换域内单层地基的精确刚度矩阵， 即解析层元， 然 后按有限层法组装成多层地基的总体刚度矩阵。通过求解由总体刚度矩阵形成的方程组， 得到该问题在 Hankel 积分变换 域内的解， 再通过 Hankel 积分逆变换， 得到轴对称荷载作用下多层地基的精确解。编制了相应程序进行计算， 通过与已有 文献的结果及有限元计算结果比较， 证明了所提方法的正确性; 通过多层地基模型与均匀地基模型的比较， 揭示了两者的 差异。天然地基往往呈层状分布， 各层土的物理性质差别较大， 故与通常采用的均匀地基模型相比， 成层地基模型更能真 实地分析天然地基在轴对称荷载作用下的位移。 关键词 多层地基;轴对称问题;Hankel 积分变换;解析层元 中图分类号TU433文献标志码 A Analytical layer element solution of axisymmetrically elastic problem for multilayered soils AI Zhiyong1，DONG Zhou2，CHENG Yichong2 1． Department of Geotechnical Engineering，Tongji University，Shanghai 200092， China; 2． Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of China Ministry of Education， Tongji University，Shanghai 200092，China AbstractStarting from the governing equations of axisymmetrical problem of elastic body，this paper deduced the stiffness matrix of single- layered soil in Hankel integral transation domain，i． e． the analytical layer element． Then the global stiffness matrix of multilayered soils was assembled by finite layer ． The solution in Hankel integral transation domain was obtained by solving the algebraic equations of the global stiffness matrix． And the exact solution of multilayered soils under the axisymmetrical loading was obtained through the inversion of Hankel integral transation． Numerical calculation was carried out by a computer program． The correctness of the proposed was proved by comparing with the existing results and the results by finite element ;the difference between homogeneous foundation model and layered foundation model was revealed by comparing the calculated results． The distribution of natural foundation is often layered． The differences in physical property are great among different layers． Thus layered foundation model can realize a more realistic analysis of the displacement of the natural foundation under axisymmetrical loading compared with the commonly used homogeneous foundation model． Keywordsmultilayered soils;axisymmetrical problem;Hankel integral transation;analytical layer element 基金项目 国家自然科学基金项目 50578121 。 作者简介 艾智勇 1966 ， 男， 江西余江人， 工学博士， 教授。E- mail zhiyongai tongji. edu. cn 收稿日期 2010 年 11 月 051 0引言 多层弹性地基的求解由于其理论上的困难性及 工程上的实用性， 受到力学界和土木工程界关注。 目前， 用于求解多层问题的传递矩阵法 ［1- 2 ］需要对矩 阵元素进行处理才能计算厚度较大的土层， 而传统 的有限元法 ［3 ］和有限层法［4- 5 ］只能模拟有限域问题 且花费运算时间大。因此， 对于多层弹性地基的求 解有必要在计算效率和精度上做进一步研究。 解析层元法 ［6 ］因矩阵元素仅包含负指数函数， 计算结果稳定且不受计算深度的限制， 具有精确、 高 效的优点。本文采用解析层元法来求解轴对称荷载 下的多层地基问题。首先根据弹性层状地基轴对称 问题的控制方程， 推导单层地基的精确刚度矩阵， 即 解析层元; 然后根据有限层法原理组合得到总刚度 矩阵， 通过求解总刚度矩阵形成的代数方程， 得到相 应问题的精确解。 1解析层元刚度矩阵的推导 不计体力时， 空间轴对称问题的控制方程为 η θ r Δ 2u －u r2 0 1a η θ z Δ 2w 0 1b 式中 η 1 1 － 2ν， θ u r u r w z ， Δ 2 2 r 2 1 r  r  2 z 2， 其中， ν 为弹性介质的泊松比; u、 w 分别代表 径向和竖向位移。 对式 1a 、 1b分别进行关于径向 r 的1 阶和0 阶 Hankel 变换 ［7 ］， 可以得到一个二阶偏微分方程组 珔u″ － η 1 ξ 2珔 u － ηξ珔w 0 2a η 1 珔w″ － ξ 2 珔w ηξ珔u 0 2b 式中 珔u、珔w 表示 u、 w 分别经 1 阶和0 阶 Hankel 变换 后的量; ξ 为变换参数。 为求解式 2 微分方程， 进行如下变化 对式 2a进行一阶微分得 珔u－ η 1 ξ 2珔 u － ηξ珔w″ 0 3 由式 2b得 珔u － η 1 珔w″ － ξ 2 珔w ηξ 4 将式 4 代入式 3 得 ηξ珔u 2η 1 ξ 2 珔w″ － η 1 ξ 4 珔w 0 5 对式 2b进行二阶微分得 η 1 珔w″″ － ξ 2 珔w″ ηξ珔u 0 6 联立式 5 和式 6 ， 可得关于 珔w 的常微分方程 珔w ″″ － 2ξ 2 珔w″ ξ 4 珔w 0 7 式 7 的通解可表示为 珔w C1 C2z e ξz C3 C4z e －ξz 8 同理， 可求得 珔u 的通解， 其表达式为 珔u D1 D2z e ξz D3 D4z e －ξz 9 式中， 积分常数 C1、 D1、 C2、 D2、 C3、 D3、 C4、 D4均与 ξ 有 关， 常数间并不相互独立， 将式 8 和式 9 代入式 2a ， 即可得到常数间的关系式为 D1 D2 D3 D               4 － 1 － 2 η ξη 00 0－ 100 001－ 2 η ξη               0001 C1 C2 C3 C               4 10 将 珔u 和 珔w 用 C1、 C2、 C3、 C4表示， 并写成矩阵形 式为 ［ 珔u ξ， 0 珔 w ξ， 0 珔u ξ， z 珔w ξ， z ］ T N［ C1C2C3C4］ T 11 式中 N －1－ 2 η ξη 1－ 2 η ξη 1010 －e ξz －ze ξz － 2 η ξη e ξz e －ξz ze －ξz － 2 η ξη e －ξz e ξz ze ξz e －ξz ze －ξ                 z 12 由物理方程可知 τzr G u z w r 13a σz G［ η － 1 θ 2 w z ］ 13b 式中 G 为各向同性弹性介质的竖向剪切模量;τzr， σz分别为径向剪应力和竖向正应力。 对式 13a 、 13b分别进行关于径向 r 的 1 阶 和 0 阶 Hankel 变换， 并将式 8 、 式 9 和式 10 代 入， 可得 ［－ 珔τzr ξ， 0 － 珚σz ξ， 0 珔τzr ξ， z 珚 σz ξ， z ］ T M［ C1C2C3C4］ T 14 式中 珔τzr、 珚σz表示 τzr 、 σ z分别经1 阶和0 阶 Hankel 变 换后的量， 矩阵 M 的表达式为 M G 2ξ 2 1 η η 2ξ － 2 1 η η － 2ξ － 2 η 2ξ － 2 η － 2ξe ξz － 2e ξz 1 η ξηz η － 2ξe－ξz 2e－ξz 1 η － ξηz η 2ξe ξz 2e ξz 1 ξηz η － 2ξe－ξz 2e－ξz 1 － ξηz                   η 15 151 由式 11 和 14 可得 － 珔τzr ξ， 0 － 珚σz ξ， 0 珔τzr ξ， z 珚σz ξ， z             MN －1 珔u ξ， 0 珔w ξ， 0 珔u ξ， z 珔w ξ， z           16 令 K MN －1， K 为轴对称弹性空间问题的解析 层元刚度矩阵， 该矩阵建立了在 Hankel 变换域内任 一土层应力与位移间的关系。刚度矩阵 K 是对称 阵， 其具体元素如下 k11 4G ν － 1 ξ［ 4ν － 3 1 － c 4bzξ］/d k12 k21 2Gξ［ 3 － 10ν 8ν2 b － 1 2 － 4bz2ξ2］/d k13 k31 － 8aG ν － 1 ξ［ 3 － 4ν zξ b － 3 4ν zξ］/d k14 k41 － k23 － k32 8Gza b － 1 ν － 1 ξ 2 /d k22 k44 4G ν － 1 ξ［ 4ν － 3 1 － c－ 4bzξ］/d k24 k42 8aG ν － 1 ξ［ － 3 4ν zξ b 3 － 4ν zξ］/d k33 4G ν － 1 ξ［ 4ν － 3 1 － c 4bzξ］/d k34 k43 － k12 － k21 其中， d 3 － 4ν 2 b － 1 2 － 4bz2ξ2， a e －zξ ， b e －2zξ， c e－4zξ。 单一土层应力与位移的关系如图 1 所示。 图 1单一土层应力与位移关系示意图 Fig． 1Relationship of stresses and displacements for single soil layer 2轴对称荷载作用下层状地基求解 图 2 为轴对称荷载作用下的 n 层地基， 其中， R、 P 分别为荷载半径与大小; Gj 、 ν j、 hj j 1 ． ． ． n分 别为第 j 层土的竖向剪切模量、 泊松比和厚度。假定 各土层之间为完全接触， 则第 i 层和第 i 1 层土的应 力、 位移关系式为 － τ rz ξ， z － σ z ξ， z u ξ， z w ξ， z             i τrz ξ， 0 σz ξ， 0 u ξ， 0 w ξ， 0             i1 17 式 17 经 Hankel 积分变换得 － 珔τrz ξ， z － 珚σz ξ， z 珔u ξ， z 珔w ξ， z             i 珔τrz ξ， 0 珚σz ξ， 0 珔u ξ， 0 珔w ξ， 0             i1 18 图 2轴对称荷载作用下多层地基 Fig． 2Multilayered soils under axisymmetrical loading 利用有限层法 ［5 ］， 根据式 16 和式 18 建立多 层地基的总刚度矩阵为 K1 K20  0Kn－1 K               n 珔u ξ， 0 珔w ξ， 0    珔u ξ， zn 珔w ξ， zn                     － 珔τrz ξ， 0 － 珚σz ξ， 0 0  0 珔τrz ξ， zn 珚σz ξ， zn                     19 将已知边界条件代入式 19 并求解方程， 可得 出 Hankel 变换域内的解答， 对求出的量进行 Hankel 逆变换， 就可以得到物理域内的真实解。 3计算实例 3. 1理论验证 为了验证解析层元法解答的正确性， 按本文方 法编制了计算程序， 并将计算结果与文献［ 1］ 中 3 层 弹性地基表面受集中荷载 F 时的算例 1 结果进行了 比较， 每层土参数见表 1， 其中 E 为基准弹性模量， h 为土层基准厚度。图 3 为集中荷载作用下 3 层地基 不同深度的竖向位移 采用无量纲参数 Ewh/F 表 示 ， 由图可见， 本文方法得到的结果与文献［ 1］ 结果 吻合较好， 表明解析层元法求解多层地基轴对称问 题是正确的。 3. 2分层地基与等效均匀地基的比较 由于地质沉积作用， 地基往往呈层状分布， 而工 程实践中由于技术原因通常采用等效均匀地基来近 251 表 1算例 1 土层参数 Table 1Parameters of soils 土层编号 弹性模量 Case1Case2 泊松比 ν土层厚度 11E4E0. 37. 5h 22E2E0. 310. 0h 34E1E0. 332. 5h 图 3集中荷载作用下 3 层地基不同深度的竖向位移 Fig． 3Vertical displacements of 3- layered soils along depth under a point loading 似计算层状地基中的位移。计算假定地基表面半径 1 m 范围内作用 100 kN/m2的均布荷载， 算例 2 多层 地基模型土层参数见表 2， 等效均匀地基模型的剪切 模量取 2 200 kPa， 泊松比取 0. 25， 厚度 10 m。计算两 种地基模型中荷载中心下不同深度的竖向位移 w， 结果见图 4。此外， 为比较数值解与解析解， 采用 ABAQUS 计算分层地基所得结果也在图 4 中给出。 由图可见 深度 2 m 以上时， 分层地基模型中的竖向 位移大于等效均匀地基模型中的竖向位移; 而 2 m 以 下时， 情况相反。两种地基模型的计算结果存在明 显差异， 工程设计中不应忽视地基的分层性。另外， 数值解与解析解计算结果的吻合再次证明本文理论 的正确性。 表 2算例 2 土层参数 Table 2Parameters of soils 土层编号剪切模量 G /kPa泊松比 ν土层厚度/m 14 0000. 23 22 0000. 33 31 0000. 32 41 0000. 22 4结论 1 利用解析层元法推导了轴对称荷载作用下 多层地基的精确解， 通过两个算例说明本文方法的 正确性。 图 4分层地基模型与等效均匀地基模型比较 Fig． 4Difference between multilayered soils and equivalent uni soil 2 利用解析层元法分析了分层地基模型与等 效均匀地基模型的差异， 由于两种地基模型的计算 结果存在明显差异， 因此实际工程中应采用分层地 基模型来模拟实际地基情况。 参考文献 ［ 1］ Ai Z Y，Yue Z Q，Tham L G，Yang M． Extended Sneddon and Muki solutions for multilayered elastic materials［J］ ．International Journal of Engineering Science， 2002， 40 13 1453- 1483． ［ 2］ 钟阳， 王哲人， 郭大智． 求解多层弹性半空间轴对称 问题的传递矩阵法［ J］ ． 土木工程学报， 1992， 25 6 38-43． Zhong Yang，Wang Zheren，Guo Dazhi． The transfermatrixforsolvingaxisymetrical problems in multi- layered elastic half space［ J］ ． China Civil Engineering Journal，1992， 25 6 38-43． in Chinese ［ 3］ Zienkkiewic O C，Taylor K L．The finite element ，fourth edition［ M］ ． McGraw- Hill Inc． ， 1987． ［ 4］ CheungYK．Finitestripinstructural mechanics［ M］ ． New YorkPergamon Press， 1976． ［ 5］ 张问清，赵锡宏，宰金珉． 任意力系作用下的层状 弹性半空间的有限层分析方法［ J］ ． 岩土工程学报， 1982，3 2 27-42． ZHANG Wenqing，ZHAO Xihong，ZAI Jinmin． Finite layer analysis for layered and elastic half- space under arbitrary force system［ J］ ． Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1982，3 2 27-42． in Chinese ［ 6］ 艾智勇，苏 辉，成怡冲． 求解层状地基平面应变问 题的解析层元法［J］ ． 岩土工程学报，2011，33 11 1797- 1800． AI Zhiyong，SU Hui，CHENG Yichong． Analytical layer element for solving plane strain problem of multi- layered soils［ J］ ． Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2011，33 11 1797- 1800． in Chinese ［ 7］ Sneddon I N． The use of integral trans［M］ ． New YorkMcGraw- Hill， 1972． 351