矿井通风网络非稳定流动数值解收敛性分析.pdf

第3 3 卷第3 期 2 0 0 4 年5 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g8 LT e c h n o l o g y V 0 1 - 3 3N o ．3 M a v2 0 0 4 文章编号1 0 0 0 19 6 4 2 0 0 4 0 3 0 2 9 5 0 3 矿井通风网络非稳定流动数值解收敛性分析 魏建平1 一，何学秋1 ，王恩元1 1 ．中国矿业大学能源与安全工程学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 2 ．焦作工学院资源与材料工程系，河南焦作4 5 4 0 0 0 摘要利用分析数学的压缩映射原理，对矿井通风网络非稳定流动数学模型进行了分析，得出了 数学模型数值解收敛的奈件，确定了以惯性系数排序选择最小生成树的回路选择方案，为矿井通 风网络非稳定流动教学模型数值解的收敛性提供了理论依据． 关键词矿井通风网络} 非稳定流动；收敛性} 压缩映射原理 中图分类号T D7 2 5文献标识码A C o n v e r g e n c eA n a l y s i so nN u m e r i c a lS o l u t i o no f N o n S t e a d yF l o wf o rM i n eV e n t i l a t i o nN e t w o r k W E IJ i a n ～p i n 9 1 ”，H EX u e q i u l ，W A N GE n y u a n l 1 ．S c h o o lo fM i n e r a la n dS a f e t yE n g i n e e r i n g ，C U M T ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n aI2 ．D e p a r t m e n t o fR e s o u r c ea n dM a t e r i a lE n g i n e e r i n g ，J i a o z u oI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y ，J i a o z u o tH e n a n4 5 4 0 0 0 ，C h i n a A b s t r a c t B a s e do nc o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e mo fa n a l y s i sm a t h e m a t i c s ，t h en o n s t e a d yf l o w m a t h e r n a t i c a lm o d e lo fm i n ev e n t i l a t i o nn e t w o r kw a sa n a l y z e d ．T h ec o n v e r g e n te o n d i t m no f n u m e r i c a ls o l u t i o nt ot h em a t h e m a t i c a lm o d e lw a so b t a i n e d ，a n dt h es e l e c t i o ns c h e m eo fc i r c u i t a c c o r d i n gt oi n e r t i a lc o e f f i c i e n ts e a r c h i n gt h el e a s ts p a n n i n gt r e ew a sp u tf o r w a r d ．T h e o r e t i c a lb a s i s o nt h en u m e r i c a ls o l u t i o nc o n v e r g e n c eo ft h en o n s t e a d yf l o wm a t h e m a t i e a lm o d e li sp r o v i d e d ． K e yw o r d s m i n ev e n t i l a t i o nn e t w o r k ；n o n s t e a d yf l o w c o n v e r g e n c e ；c o n t r a c t i o nm a p p i n g t h e o r e m 矿井通风网络非稳定流动数学模型是模拟风 网内通风参数改变时巷道风流分配情况的基础，如 模拟巷道中风门或风窗的开启与关闭、矿井主要通 风机的开停，也可以模拟灾变时各巷道风流的动态 变化规律．该模型为微分方程组形式，需进行迭代 运算求其数值解，而迭代运算的前提是迭代方程的 收敛性．对稳态通风网络解算，一般按风阻排序选 择最小生成树后选择回路，就可满足迭代收敛的要 求，但非稳态通风网络解算采用这种方法就难以保 证迭代收敛．本文利用分析数学中的压缩映射原 理，从理论上分析了矿井通风网络非稳定流动数学 模型数值解收敛的条件． 1矿井通风网络非稳定流动数学模型及其 求解m 1 根据非稳定流动理论，对矿井通风网络进行一 定简化处理后，可以得到矿井通风网络非稳定流动 的一维网络模型 ∑C 口岛警一h n4 - ∑C “E h 即一R j g ；] ， 1 式中岛为回路矩阵元素，净1 ，2 ，3 ，⋯，6 ，J 1 ，2 ， 3 ，⋯，”；b 为独立回路数；“ 为网络分支数} 岛为分 支惯性系数，卢一譬；S 为巷道断面积，m 2 ；z 为巷道 长度，m f P 为密度平均值，k g ／m 3 ；q ，为分支风量， 收藕日期2 0 0 3 0 9 2 6 基金项目国家自然科学基金项目 5 0 2 0 4 0 1 0 | 国家杰出青年基金项目 5 9 9 2 5 4 1 1 作者筒介。魏建平 t 9 7 1 一 ，男，河南省迸平县人，焦作工学院讲师，中国矿业大学在读博士研究生，从事矿井通风与安全方面的研究． 万方数据 中屋矿业大学学报 第3 3 卷 m 3 ／s } t 为时间。s ；R ，为分支风阻，N s 2 ／m 8 ；h u i 为回 路中各分支位压闭和差，也可叫回路自然风压， P a ；b 为风机压力，P a ．式 1 左边是对n 个风量求 导，根据网络理论，”个风量中，只有b 个是独立 的，所有的风量都可描述成b 个余树边风量的函数 q J 一∑c m 蛳 J 一1 ，2 ，3 ，⋯，n ． 2 令4 * 一∑岛胁 i ，k 1 ，2 ，3 ，⋯，6 ， 则式 1 左边善岛岛警一白“d 面q k 再令D r h ”十∑岛 b R J 西 ，于是 ∑d * 警一D 如州∥”，q b , 玑 3 i 一1 ，2 ，3 ，⋯，6 ． 对式 3 以血。为时间间隔进行差分运算，原 来的微分方程组可用一代数方程组来表示 ∑4 “如h D f q l t ，g 扣 ⋯，‰，岛 ，， 4 i 1 ，2 ，3 ，⋯，6 ． 式 4 中△铀为时间间隔血。前后分支的风量 之差，对 g 。。，孙，⋯，铀 和却“赋予合理的初始值 后进行迭代．假设经过m 次迭代，方程组变为 a l l △g ；孑 ” 口1 2 △g 等 ” ⋯ 日1 6 △g 乎 ” D l g 譬’，q { ’，⋯，g 留’，￡。 △“， 4 。】△g 鲁 ” 4 2 2 △q 磐 ” ⋯ 口曲△g 孑 ”一 D 2 口} ’，q 妒，⋯，q 孑’，t 。 血。， 5 嘞】却扩1 ’ 如2 △口舻1 ’ ⋯ 锄△叮舻1 D b q i ’，g 留’，⋯，q 妒，k 血。． 对于给定的时问间隔△“，式 5 中只有 g { r ”，q { 棚 ”，⋯，q 留“’ 为未知量，方程组有6 个 方程，6 个未知量，理论上可解，但能否迭代到合适 的精度要求，关键看方程组是否收敛．下面利用分 析数学的压缩映射原理来分析方程组的收敛性． 2 压缩映射原理及其在方程组解的判断中 的应用 2 ．1 度量空间嘲 1 度量空问的定义 设x 是一个非空集合，如果对于署中的任意 两个元素z ，y ，按一定的法则都有惟一确定的实数 P o ，y 与之对应，并且满足下面的3 个条件 i 非负性p x ，y ／o ；P z ，， 一0 的充分必要 条件是z y l i i 对等性P z ，y 一P y ，上 ； i i i 三点不等式P b ，y ≤P 妇，g P z ，y ． 则称p x 。， 为两点z ，y 之间的距离，又称盖为以 P 为距离的度量空间或距离空间． 2 度量空间距离的表达形式 F 表示所有n 维数组 z ，，z 。，⋯，z 。 组成的集 合，对于任意两个点。 z 。，．T g2 ．”，卫。 ，一一 M ， y t ，⋯，弘 可以定义多种距离的表达形式，这里我 们定义为P z ，y 一m x k 一挑1 ． 2 ．2 压缩映射原理[ 3 ] 1 压缩映射的定义 设T 是将度量空间x 映到自身的映射，如果 存在一个数a O ≤a 1 ，使 p T s c ，丁 ≤叩 o ，j ，；2 2 ，y ∈x ， 则称丁为x 上的压缩映射。 2 压缩映射原理及其基本思想 设x 是完备的度量空间，丁是x 上的压缩映 射，则存在惟一的点z 。∈z ，称之为不动点，使 T x 。窖z ’． 对于一般形式的方程， 。 0 的求解问题， 可以转化成， z z z ，令F h ， z z ，只要 F o 满足压缩映射条件，原方程求解问题就变成 确定一个点z 。，使F x 。 一z 。，z 。即为原方程的 惟一解． 2 ．3 压缩映射原理的应用 对于式 5 的方程组，可以表达成A X B 一0 的形式．设方程的映射关系为 1 x A X B ，若T 为 工上的压缩映射，则方程A X B 0 存在惟一的不 动点z 。∈x 使T x ’一z ‘，即原方程组 5 收敛．下 面分析r 为x 上的压缩映射的条件． T X A X B 可以表示为 I 嘞la 1 2 豫一I 1t 2 卜 ∽一1 q 口 匿 6 在舻上取度量空间的距离表达形式为p x ， ∥ 2 墨慧l z ，一斗| ，对于任意的z ，y E R “ , T x ，7 _ ∈ F ，则 T x { b l ∑口。丹，b 。 ∑“咿∥一 J 1J i 6 。 ∑％≈ ， 7 研一{ 6 ， ∑n 。∥M b ∑％∞，⋯， 巩 ∑％y ，} ． 8 按度量空间距离表达式得T x ，7 一之间的距离 P 7 k ，功卜嚣J 善q 矿∞ ≤ 万方数据 第3 期 魏建平等矿井通风网络非稳定流动数值解收敛性分析 ⋯m a x ～，I a i JI 【。厂y 小 9 由于旧～Y J I ≤燃k Y t l p x ，y ， p T x ，T y ≤⋯m a x ‰Z ，蚓J 4 一y i ] ≤ 婴氅∑h I p x ，， ． 1 0 1 ≤z ≤n 冒。 令a 一毽警善I q l ，由于p x ，y - - 与i , j 无关，则 p 7 1 z ，T y ≤a p x ，， ． 1 1 若a 满足o ≤n 1 ，即o ≤墨慧善I c z i j I 1 ， 映射关系T X A X B 中丁为x 上的压缩映射．根 据彤上X 的完备性，方程存在惟一不动点，原方 程组 5 收敛． 3 数学模型数值解收敛性分析 通过上面的分析，方程组 5 收敛必须满足0 b ≤ 慧善‰f l ，显然方程组 5 不能满足压缩 映射的条件．为此，将方程组两侧同除以主对角线 系数a i j ，并将非主对角线元素移项后得到下式 匈矿1 ’一。一嚣△q 密⋯⋯_ 一e 业2 1 1 细密” 未‘D 1 口∽拶，⋯，括’ 甄， 幻扩” 一a ％z q 。m “。o ⋯一薏却舻” 上a 2 2 D 2 拶，∥。⋯，韶’ 血。， 1 2 ∞护1 ’ 一薏匈i ⋯一薏△g 扩”⋯一b 十 三岛 g ；≯，q ；掣，⋯，批’ 峨 这时方程组 1 2 收敛的条件变为 o J ‰1 ． 1 4 l 罚i ≠l 实际上也就是方程组的系数矩阵A 中的主对 角线系数大于非主对角线系数的绝对值之和，即系 数矩阵A 具有主对角线优势． 分析系数矩阵元素a 。 ∑C i ，卢F m ，影响其 耳i 大小的主要有惯性系数口和回路矩阵C ．这样，选 择的回路是否合适，决定了方程组是否收敛，若在 选择回路时以分支风阻排序形成最小生成树，显然 不能满足收敛的条件，这就是我们前面提到的按风 阻排序选择最小生成树后方程组不能收敛的原因． 对矿井通风网络而言，因为网络由若干个闭合 回路构成，因此其系数矩阵必然是对称的．其中的 每一行都反映了一个回路中各分支风压不平衡对 本回路风量以及其它回路风量的影响，而任意回路 中的分支风压不平衡对本回路风量远大于对其它 回路风量的影响．若在选择最小生成树时按惯性系 数卢进行排序，更能保证这。点．同时按惯性系数 卢进行排序后，所选择的回路中，本回路分支的惯 性系数p 对系数矩阵A 的参与作用明显大于其它 回路分支的作用．这就可以保证系数矩阵A 具有 主对角线优势，使矿井通风网络非稳定流动数学模 型的迭代方程组 5 满足压缩映射的条件，迭代收 敛． 为加快迭代的速度，可以进一步由式 5 构造 出高斯一塞德尔迭代格式 细妒”’ { D 正q 妒，g 妒，⋯，让。，f 。] a t 。一 “d 6 弋1 2 J ％△口留’} 0 1 ，2 ，3 ，⋯，6 ． 1 5 4 结论 本文通过对矿井通风网络非稳定流动数学模 型的分析，构造出求解其数值解的迭代方程组．利 用分析数学的压缩映射原理分析了迭代方程组收 敛的条件．通过对迭代方程组处理，提出了以惯性 系数卢进行排序选择最小生成树、圈划回路可以保 证迭代方程组的收敛性，为矿井通风网络非稳定流 动数学模型数值解的求解提供了理论基础．实际解 算过程中，按照这一方法，完全保证了方程组迭代 的收敛性． 参考文献 [ 1 ] 胡卫民，魏建平，刘明举．非稳态下井巷瓦斯浓度弥 散横型及其求解E l i ．焦作工学院学报，1 9 9 6 ，1 5 5 5 8 ． [ 2 ] 胡卫民．矿井可控循环通风系统非稳定状态分析及瓦 斯显现规律研究[ D ] ．徐州中国矿业大学能源科学 与工程学院，1 9 9 9 ． [ 3 ] 潘志．近代分析数学应用基础[ M ] ．徐州中国矿业 大学出版杜。2 0 0 0 ． 责任编辑王玉竣 万方数据