具有初始随机材料缺陷的矿柱渐进破坏模拟.pdf

第3 7 卷第2 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．2 2 0 0 8 年3 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g yM a r ．2 0 0 8 具有初始随机材料缺陷的矿柱渐进破坏模拟 王学滨 辽宁工程技术大学力学与工程科学系，辽宁阜新1 2 3 0 0 0 摘要利用F L A C 模拟了非均质粗糙端面矿柱的破坏过程及力学行为．利用M a t l a b 编写了预置 随机材料缺陷的F I S H 函数．结果表明均质矿柱的应力一应变曲线在非均质矿柱铀线的上方．非 均质矿柱两侧剪切楔的持续产生使弹性核芯尺寸降低．矿柱两侧面附近的剪切带较弯曲，而其中 心的剪切带较平直．弯曲的剪切带起源于矿柱的4 个角，然后向其内部传播．由于相对弱的约束， 拉破坏单元在矿柱的中部最多且位于硬化阶段形成的剪切楔内部．和均质矿柱相比，非均质矿柱 遭到了更严重的拉破坏，在软化阶段后期将形如砂漏，这与现场观察相符． 关键词矿柱；渐进破坏；非均质性；剪切断裂带；拉破坏；应力一应变曲线 中图分类号P5 5 4文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 2 一0 1 9 6 0 5 N u m e r i c a lS i m u l a t i o no fP r o g r e s s i v eF a i l u r e i nM i n eP i l l a r sH a v i n gI n i t i a l l yR a n d o mM a t e r i a lI m p e r f e c t i o n s W A N GX u e - b i n D e p a r t m e n to fM e c h a n i c sa n dE n g i n e e r i n gS c i e n c e s ，L i a o n i n gT e c h n i c a lU n i v e r s i t y ，F u x i n ，L i a o n i n g1 2 3 0 0 0 ，C h i n a A b s t r a c t F L A Cw a su s e dt om o d e lt h em e c h a n i c a lb e h a v i o ra n df a i l u r em e c h a n i s mo fah e t e r o g e n e o u sm i n ep i l l a rw i t hr o u g he n d s ．AF I S Hf u n c t i o nd e t e r m i n i n gt h ep o s i t i o n so fp r e - e x i s t - i n gr a n d o mi m p e r f e c t i o n sw a sw i r i t t e nu s i n gM a t l a b ．T h er e s u l t ss h o wt h a tt h es t r e s s - s t r a i n c u r v eo ft h eh o m o g e n e o u sp i l l a rs u r r o u n d st h a to ft h eh e t e r o g e n e o u sp i l l a r ．F o r m a t i o no fs h e a r w e d g e sa tb o t hs i d e so ft h eh e t e r o g e n e o u sp i l l a rr e s u l t si nas m a l l e re l a s t i cc o r e ．S t r a i g h ts h e a r f r a c t u r eb a n d s S F B s a r eo b s e r v e da tt h ep i l l a rc e n t e r ，w h i l ec u r v e dS F B sa r ef o u n da tb o t h s i d e s ．T h ec u r v e dS F B se m a n a t ef r o mt h ec o r n e r sa n dp r o p a g a t et o w a r dt h ec e n t e ro ft h ep i l l a r ．T h en u m b e ro fe l e m e n t st h a tf a i li nt e n s i o ni 8t h eg r e a t e s ti nt h em i d d l ep i l l a rd u et ot h e r e l a t i v e l yw e a ke n d r e s t r a i n t s ．T h e s ee l e m e n t sa r el o c a t e da tt h es h e a rw e d g e sf o r m e di nt h e s t r a i n - h a r d e n i n gs t a g e ．C o m p a r e dt ot h eh o m o g e n e o u sp i l l a r ，t h eh e t e r o g e n e o u sp i l l a rs u f f e r s m o r es e v e r et e n s i l ef a i l u r ea tb o t hs i d e s ．A nh o u r g l a s ss h a p ea p p e a r si nt h el a t e rs t r a i n - s o f t e n i n gs t a g e ，w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t hf i e l do b s e r v a t i o n s ． K e yw o r d s p i l l a r ；p r o g r e s s i v ef a i l u r e ；h e t e r o g e n e i t y ； s h e a rf r a c t u r i n gb a n d ；t e n s i l ef a i l u r e ； s t r e s s - s t r a i nc u r v e 矿柱的变形、破坏及稳定性问题历来引起人们 的关注．最近，拓扑变换、断裂力学理论、弹黏塑性 理论、突变理论、刚度理论、能量原理等多种理论和 方法已被用于上述问题的研究E l - z ] ，人们对其变形、 破坏及稳定性问题有了前所未有的深刻理解．然 而，从理论角度分析矿柱的渐进破坏过程难度很 大，因而，开展一定的数值模拟研究非常必要． 一些研究人员在现场已经观察到了矿柱的渐 收稿日期2 0 0 7 一0 4 0 5 基金项目国家自然科学基金项目 5 0 3 0 9 0 0 4 作者简介王学滨 1 9 7 5 - ，男，黑龙江双鸭I I I 市，副教授，工学博士，从事非均质材科 岩石、混凝土及金属等 变形、破坏及稳定性方面 研究． E - m a i l w x b b b 2 6 3 ．n e tT e l 0 4 1 8 3 3 5 0 9 2 4 万方数据 第2 期王学滨具有初始随机材料缺陷的矿柱渐进破坏模拟 1 9 7 进破坏行为] ．对于较狭窄的矿柱，片落或剥落 s l a b b i n gO rs p a l l i n g 首先发生于矿柱的两边，然 后渐渐向矿柱的中心传播，最终导致了砂漏形 h o u r g l a s ss h a p e 的典型破坏模式．对于高／宽比 较小的矿柱，向矿柱中心迁移的剥落被逐渐形成的 剪切断裂所取代．文献[ 8 ] 通过8a 的现场观测，将 矿柱的渐进破坏过程假设为下列4 个变形阶段岩 石整体受到逐渐增加的应变的阶段、韧性剪切带在 矿柱4 个角发展阶段、剪切楔在矿柱两侧形成阶段 及剪切楔落入毗邻的矿房阶段． 准脆性材料 例如岩石、混凝土及煤等 在峰 后通常先呈现应变软化行为，然后呈现理想握性行 为，并不完全呈现弹一脆性行为．因此，和弹一脆性本 构关系[ 9 。1 们相比，峰后应变软化一理想塑性的本构 关系可能更准确．利用拉格朗日元法 F L A C 提供 的应变软化一理想塑性的本构关系，文献[ 1 1 1 2 3 分 别针对均质光滑及粗糙端面矿柱，模拟了矿柱的剪 切应变局部化、渐进破坏特征及应力分布等问题． 本文利用F L A C 提供的峰后线性应变软化一理想塑 性本构关系，模拟了具有初始随机材料缺陷的粗糙 端面矿柱 高／宽比为0 ．5 的渐进破坏过程及宏观 应力一应变曲线． 1 本构关系、计算模型及F I S H 函数 矿柱计算模型的几何尺寸、单元划分及边界条 件见图1 ，黑色单元代表材料缺陷，白色单元代表 密实的岩石材料 具有较高的强度 ．矿柱的高度及 宽度分别为2 ，4m ．矿柱两端面是粗糙的，在矿柱 上、下端面施加常速度，口一5 1 0 卅m ／时间步，计 算在小变形模式及平面应变状态下进行．将矿柱划 分为1 28 0 0 个正方形单元． 图1矿柱计算模型的几何尺寸及边界条件 F i g ．1 M o d e lg e o m e t r ya n db o u n d a r y c o n d i t i o n so fm i n ep i l l a r 在弹性阶段，密实岩石和材料缺陷有相同的本 构关系，弹性模量取为2 6 ．6G P a ，泊松比取为 0 ．2 1 ． 密实岩石的破坏准则选取莫尔库仑剪破坏与 拉破坏复合的模型，抗拉强度取为0 ．2M P a ．密实 岩石一旦发生破坏先是经历线性应变软化行为 对 应应变软化阶段 ，然后是理想塑性行为 对应残余 阶段 ．在峰后，黏结力、内摩擦角与塑性应变的关 系见图2 ．材料缺陷发生破坏之后经历理想塑性行 为．材料缺陷的黏结力和内摩擦角分别取为0 ．1 M P a 及3 8 。，分别等于密实岩石的残余黏结力和残 余内摩擦角． 日0 ．3 山 蒌0 ．2 秘- 棒O f 、 ≤ 艘 髓 慢 鬯 1 2 34 5012345 塑性应变／1 0 。4塑性应变／1 0 - 4 a 黏结力 b 内摩擦角 图2材料缺陷之外的密实岩石的峰后本构关系 F i g ．2P o s t - p e a kc o n s t i t u t i v er e l a t i o nf o r i n t a c tr o c ko u t s i d ei m p e r f e c t i o n s 为了在矿柱内部预置初始缺陷，需要执行下列 3 步 1 在1 至1 28 0 0 单元数 之间按均匀分布抽 取随机数50 0 0 次． 2 让被抽取到的随机数等于F L A C 中的识别 号码，记住每个识别号码． 3 赋予材料缺陷及密实岩石的本构关系． 上述过程是利用M a t l a b 生成F I 。A C 可以识 别的F I S H 函数实现的． 2 计算结果及分析 2 ．1 均质矿柱和非均质矿柱宏观应力一应变曲线 图3 给出了均质矿柱和非均质矿柱的宏观应 力一应变曲线．均质矿柱完全由密实岩石构成，不包 含任何材料缺陷．可以发现，均质矿柱的应力一应变 曲线的峰值高于非均质矿柱，这一点的正确性是显 而易见的．对于非均质矿柱，应力一应变曲线在应变 硬化阶段的斜率及应力一应变曲线在应变软化阶段 的斜率的绝对值均较低． 应变／1 0 ’． 图3均质矿柱和非均质矿柱的应力一应变曲线 F i g ．3S t r e s s s t r a i nc u r v e so ft h eh o m o g e n o u s a n dh e t e r o g e n e o u sp i l l a r s 2 ．2 非均质矿柱的破坏过程 图4 给出了非均质矿柱的破坏过程．黑色单元 表示这些单元正在发生剪切或拉伸破坏；灰色单元 万方数据 1 9 8中国矿业大学学报第3 7 卷 表示它们在过去已经发生了剪切或拉伸破坏，而在 当前处于弹性卸载状态；白色单元表示这些单元始 终处于弹性状态，尚未屈服．图4 a ～4 f 的应力状态 分别对应图3 中的A 至F 点的破坏形态． 图4非均质矿柱的破坏过程 F i g ．4 F a i l u r ep r o c e s so ft h eh e t e r o g e n e o u sp i l l a r 见图4 a 及图3 ，在应变硬化阶段，于非均质矿 柱的两侧面附近可以观察到许多破坏单元．然而， 在矿柱的中心，没有单元发生屈服，矿柱的弹性核 芯较大． 4 条较长的起源于矿柱4 个角的剪切断裂带 本文中简称为剪切带，文献[ 8 ] 中称之为“韧性剪 切区域”或“韧性剪切带” 形成了2 个剪切楔 以矿 柱的侧面为底的等腰三角形，此用语源于文献 [ 8 ] ，见图4 a ．在剪切楔 称之为“一次剪切楔” 首 次形成之后，陡峭的剪切带 称之为“一次剪切带” 继续向矿柱的顶面和底面传播．起源于矿柱左下角 和右下角的剪切带向矿柱的顶面扩展，而起源于矿 柱左上角和右上角的剪切带向矿柱的底面传播． 由图4 b 可以发现，2 条不太陡峭且稍微弯曲 的剪切带 称之为“二次剪切带” 已经形成．它们也 起源于矿柱的4 个角．当位于矿柱任一侧的二次剪 切带在矿柱的中部 是指矿柱高度的中央或矿柱水 平方向的对称线上 相遇时，2 个新的剪切楔 称之 为“二次剪切楔” 形成．二次剪切楔比一次剪切楔 更靠近矿柱的核芯．随后，二次剪切带继续在矿柱 的内部传播，向矿柱的两端面扩展．二次剪切楔的 形成仍然处于应变硬化阶段，见图4 b 及图3 ． 由图3 可见，B 点的应变低于C 点．另由图 4 a ，b ，在应变硬化阶段，矿柱弹性核芯的尺寸随着 施加应变的增加而减小． 当一次、二次剪切带的前端接近矿柱的顶面或 底面时，未观测到剪切带的反射现象口1 。，即观察不 到剪切带完全穿透矿柱的两端的现象．对于具有粗 糙端面的矿柱，充分发展的一次、二次剪切带未能 穿透矿柱的顶面或底面，它们仅能贯通矿柱的4 个 角． 在图4 c 中可以观察到一些比图4 b 中的二次 剪切带更不陡峭的剪切带 称之为“三次剪切带” ． 三次剪切带更加弯曲，首先形成于矿柱的4 个角． 然后，它们向矿柱的中心传播．越靠近矿柱的中心， 三次剪切带与水平方向所夹的锐角越高．当三次剪 切带的前端接近矿柱的顶面或底面时，它们的进一 步发展仍然被阻止，这显然是由于强烈的端面约 束．图4 c 中矿柱两侧的剪切带网络未能相遇，在矿 柱的中心，可以观察到许多破坏的单元．这将导致 矿柱弹性核芯的显著缩小． 见图4 c ，在矿柱的两侧，一次、二次、三次剪切 带和其它不甚明显的剪切带各形成了一个剪切带 网络．该剪切带网络类似于塑性力学中的滑移线 网．放射状的一次、二次、三次剪切带从矿柱的4 个’ 角相继发出．本文中的剪切带网络与矿柱滑移线 网L 1 3 0 有许多相似之处． 由图3 可以发现，在C 点附近，矿柱达到最大 的承载能力．在峰值应力之后，矿柱呈现应变软化 行为．在应变软化过程中，由于矿柱两侧的两套剪 切带网络发生重合，矿柱弹性核芯已经完全消失． 见图4 d - - - 4 f 及图3 ，随着矿柱承载能力的下降，新 的剪切带继续产生，并向矿柱的中心发展． 矿柱两侧面附近的剪切带比较弯曲，然而矿柱 中心的剪切带则不然，它们更加平直．似乎矿柱中 心的剪切带并非起源于矿柱的4 个角，而是起源于 更靠近矿柱中心的矿柱的顶面或底面上． 2 ．3 非均质矿柱的拉破坏过程 图5 a ～5 f 给出了非均质矿柱的拉伸破坏过 程．黑色单元是在当前正在发生拉破坏的单元；灰 色单元在过去或现在遭受到了剪切破坏；白色单元 总是保持弹性状态．当然，对于黑色单元，也可能同 万方数据 第2 期 王学滨具有初始随机材料缺陷的矿柱渐进破坏模拟 1 9 9 时发生了剪切破坏．图5 a ～5 f 的应力状态分别对应图3 中的A 至F 点． 图5非均质矿柱的拉伸破坏过程 F i g ．5 T e n s i l ef a i l u r ep r o c e s so ft h eh e t e r o g e n e o u sp i l l a r 可以发现，拉破坏单元更靠近矿柱的两侧边． 随着矿柱受到的应变的增加，拉破坏单元的数目增 加．由于矿柱中部 高度的中央 的单元基本上不受 端面约束的限制，因而，这一位置的拉破坏单元最 多．在矿柱的任一侧，拉破坏区域的形状类似于一 个等腰三角形．拉破坏单元位于应变硬化阶段形成 的剪切楔内部，见图4 a ～4 c ． 2 ．4 均质矿柱和非均质矿柱的破坏模式 图6 a ，b 分别给出了均质矿柱在F 7 点 见图3 的破坏模式及拉破坏区域．图6 a 中单元颜色的含 义同图4 ，图6 b 中单元颜色的含义同图5 ．和图4 f ， 5 f 相比，图6 a ，b 具有下列特征1 均质矿柱的剪 切断裂模式稍微规则一些；2 均质矿柱的剪切和 拉破坏不太严重；3 均质矿柱的拉破坏单元数目 较少． a J 破坏模式 b 拉破坏区域 图6均质矿柱的在应变软化阶段的后期 的破坏模式及拉破坏区域 F i g ．6 F a i l u r ep a t t e r na n dt e n s i l ef a i l u r ez o n ei nt h e l a t e rs t r a i n - s o f t e n i n gs t a g eo ft h eh o m o g e n e o u sp i l l a r 图7 a ，b 分别给出了均质矿柱在F 7 点和非均 质矿柱在F 点的破坏形态．在图7 中，拉破坏单元 已经被删除．图7 是作者利用编写的F I S H 函数作 出的．黑色单元代表剪切破坏单元，灰色单元总保 持弹性状态．当然，被删除的单元也可能同时遭受 到了剪切破坏． 和均质矿柱相比，非均质矿柱遭受到了更严重 的拉破坏，以致于在远离矿柱中心的两侧 矿柱的 两帮 ，形成了2 个具有高孑L 隙度的较厚的区域．若 单元只发生了剪切破坏，则可以维持在矿柱母体 上，不致掉下，这是由于单元尚受到摩擦力的作用． 然而，发生拉伸破坏的单元则不然．在开采扰动条 件下，高孔隙度区域内遭受到了严蕈拉伸损伤的材 料将落人毗邻的矿房．因此，在应变软化阶段的后 期，非均质矿柱的外形将形如砂漏．在准脆性材料 的单向压缩实验中，砂漏形 或锥形 的破坏形态十 分常见． a 均质矿桂【b 怍均旗何f E 图7均质矿柱和非均质矿柱在应变软化阶段 的后期的破坏形态 F i g ．7 F a i l u r ep a t t e r n so ft h eh o m o g e n o u sa n d h e t e r o g e n e o u sp i l l a r si nt h el a t e rs t r a i n - s o f t e n i n gs t a g e 可以发现，在矿柱内部预置随机材料缺陷之后 的数值计算结果与现场观察到的情景[ 9 3 更加相似． 另外，从观察结果[ 9 ] 中可以看到几条倾斜的剪切裂 纹或断裂，这也与本文的数值模拟结果相符． 3 结论 1 均质矿柱的宏观应力一应变曲线的峰值高 于非均质矿柱．非均质矿柱的应力一应变曲线在应 变硬化阶段的斜率及应力一应变曲线在应变软化阶 段的斜率的绝对值均低于均质矿柱． 2 在应变硬化阶段，非均质矿柱两侧剪切楔 的持续产生，导致了矿柱弹性核芯尺寸的降低．矿 柱两侧面附近的剪切带比较弯曲，而矿柱中心的剪 切带比较平直．弯曲的剪切带起源于矿柱的4 个 角，然后倾斜地向矿柱的内部传播． 3 拉破坏单元更靠近非均质矿柱的两侧边． 由于相对较弱的端面约束，拉破坏单元在矿柱的中 部 高度的中央 最多．在矿柱的任一侧，拉破坏区 万方数据 2 0 0中国矿业大学学报第3 7 卷 域类似于等腰三角形．拉破坏单元位于应变硬化阶 段形成的剪切楔内部． 4 和均质矿柱相比，非均质矿柱遭受到了更 严重的拉破坏，以致于在矿柱的两帮，形成了2 个 具有高孑L 隙度的区域．在软化阶段的后期，非均质 矿柱将形如砂漏，这与现场观察相符． 参考文献 E 1 ] 王连国，缪协兴．煤柱失稳的突变学特征研究[ J ] ．中 国矿业大学学报，2 0 0 7 ，3 6 1 7 - 1 1 ． W A N GL i a n - g u o ，M I A OX i e - x i n g ．S t u d yo nc a t a s t r o p h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ed e s t a b i l i z a t i o no fc o a lp i l - l a r s [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 7 ，3 6 1 7 - 1 1 ． [ 2 3 王连国，缪协兴，王学知，等．条带开采煤柱破坏宽 度计算分析[ J ] ．岩土工程学报，2 0 0 6 ，2 8 6 7 6 7 - 7 6 9 ． W A N GL i a n - g u o ，M I A OX i e - x i n g ，W a n gX u e - z h i ， e ta 1 ．A n a l y s i so nd a m a g e dw i d t ho f c o a lp i l l a ri n s t r i pe x t r a c t i o n [ J ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo fG e o t e c h n i c a l E n g i n e e r i n g ，2 0 0 6 ，2 8 6 7 6 7 7 6 9 ． [ 3 ] 徐思朋，茅献彪，张东升．煤柱塑性区的弹粘塑性理 论分析[ J ] ．辽宁工程技术大学学报，2 0 0 6 ，2 5 2 ； 1 9 4 1 9 6 ． X US i p e n g 。M A oX i a n - b i a o ，Z H A N GD o n g - s h e n g ． S t u d yo np i l l a r ’Sp l a s t i cz o n eb a s e do ne l a s t o - v i s c o - p l a s t i ct h e o r y [ J ] ．J o u r n a lo fL i a o n i n gT e c h n i c a lU n i v e r s i t y ，2 0 0 6 ，2 5 2 1 9 4 1 9 6 ． [ 4 ] 李江腾，曹平．非对称开采时矿柱失稳的尖点突 变模型[ J ] ．应用数学和力学，2 0 0 5 ，2 6 8 1 0 0 3 - 1 0 0 8 ． L IJ i a n g - t e n g ，C A oP i n g ．C u s pc a t a s t r o p h em o d e lo f i n s t a b i l i t yo fp i l l a ri na s y m m e t r i cm i n i n g [ J ] ．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dM e c h a n i c s ，2 0 0 5 ，2 6 8 1 0 0 3 1 0 0 8 ． [ 5 3王学滨．岩样单轴压缩轴向及侧向变形耗散能量及 稳定性分析[ J ] ．岩石力学与工程学报，2 0 0 5 ，2 4 5 8 4 6 - 8 5 3 ． W A N GX u e - b i n ．D i s s i p a t e de n e r g i e sa n ds t a b i l i t i e so f a x i a la n dl a t e r a ld e f o r m a t i o n so fr o c k ss p e c i m e n si n u n i a x i a lc o m p r e s s i o n [ J ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo fR o c k M e c h a n i c sa n dE n g i n e e r i n g ，2 0 0 5 ，2 4 5 8 4 6 8 5 3 ． [ 6 3 王学滨．基于能量原理的岩样单轴压缩剪切破坏失 稳判据[ J ] ．工程力学，2 0 0 7 ，2 4 1 1 5 3 1 5 6 ，1 6 1 ． W A N GX u e - b i n ．U n s t a b l ec r i t e r i o no fr o c ks p e c i m e n S H b j e c t e dt o s h e a rf a i l u r ei nu n i a x i a lc o m p r e s s i o n b a s e do ne n e r g yp r i n c i p l e [ J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，2 0 0 7 ，2 4 1 1 5 3 - 1 5 6 ，1 6 1 ． [ 7 ] W A N GXB ．A n a l y s i so fp r o g r e s s i v ef a i l u r eo fp i l l a r a n di n s t a b i l i t yc r i t e r i o nb a s e do ng r a d i e n t - d e p e n d e n t p l a s t i c i t y [ J ] ．JC e n tS o u t hU n i vT e e h n o l ，2 0 0 4 ，11 4 4 4 5 4 5 0 ． [ 8 3C H E NR ，S T I M P S O NB ．S i m u l a t i o no fd e f o r m a t i o n a n df r a c t u r i n gi np o t a s hy i e l dp i l l a r s ，V a n s c o y ， S a s k a t c h e w a n [ J ] ．C a nG e o t e c hJ ，1 9 9 7 ，3 4 2 2 8 3 - 2 9 2 ． [ 9 ] F A N Gz ，H A R R I S O NJP ．N u m e r i c a la n a l y s i so f p r o g r e s s i v ef r a c t u r ea n da s s o c i a t e db e h a v i o u ro fm i n e p i l l a r sb yu s eo fa l o c a ld e g r a d a t i o nm o d e l [ J ] ．T r a n s I n s t nM i nM e t a l l 。S e c tA M i nT e c h n o l ，2 0 0 2 ，1 1 1 1 5 9 - 7 2 ． ， [ 1 0 ] K A I S E RPK ，T A N GCA ．N u m e r i c a ls i m u l a t i o no f d a m a g ea c c u m u l a t i o na n ds e i s m i ce n e r g yr e l e a s e d u r i n gb r i t t l er o c kf a i l u r e ，P a r tI I r i bp i l l a r c o l l a p s e [ J ] ．I n tJR o c kM e e hM i nS c i ，1 9 9 8 ，3 5 2 1 2 3 1 3 4 ． [ 1 1 ] 王学滨．屈服矿柱渐进破坏及应力分布数值模拟 [ J ] ．中国地质灾害与防治学报，2 0 0 6 ，1 7 2 5 0 5 6 ． W A N GX u e - b i n ．N u m e r i c a ls i m u l a t i o no fp r o g r e s s i v ef a i l u r ea n ds t r e s sd i s t r i b u t i o n o fy i e l dp i l l a r s [ J ] ．T h eC h i n e s eJ o u r n a lo fG e o l o g i c a lH a z a r da n d C o n t r o l ，2 0 0 6 ，1 7 2 5 0 5 6 ． [ 1 2 ] 王学滨．胖试样 矿柱 的曲线剪切带及应力分布模 拟[ J ] ．科学技术与工程，2 0 0 7 ，7 1 3 0 3 5 ． W A N GX u e - b i n ．N u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc u r v e d s h e a rb a n d sa n ds t r e s sd i s t r i b u t i o nf o rs t o u ts p e c i m e n y i e l dm i n ep i l l a r [ J ] ．S c i e n c eT e c h n o l o g ya n d E n g i n e e r i n g ，2 0 0 7 ，7 1 3 0 3 5 ． [ 1 3 ]邹友峰．条带开采尺寸设计的滑移线法[ J ] ．中国矿 业大学学报，1 9 9 3 ，2 2 2 6 0 - 6 6 ． Z H O UY o u - f e n g ．T h es l i d i n gl i n em e t h o du s e df o r d e s i g no fs t r i pm i n i n g [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，1 9 9 3 ，2 2 2 6 0 一6 6 ． 责任编辑王继红 万方数据