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有色金属0 0 0 2 0 6 有色金属 2 0 0 0 No . 2 P. 2 2 -2 6 抛落式磨机有用功率的研究 陈广振 李晓安 郑龙熙 摘 要依据力矩能量法原理推导和建立了一个计算抛落式工作磨机有用功率的公 式，通过对计算值和实验室实测值的对比分析表明，在充填率为30 ～50 ，转速率为 6 0 ～8 5的范围内，即生产中通常采用的磨矿条件下，计算结果与实测结果基本吻 合，其绝对偏差小于1。 关键词抛落式磨机 介质转动动能 临界球层半径▲ 据统计，磨矿作业能耗约占选矿厂总能耗的30 ～7 0 ，而关于磨机拖动电机安装 功率即磨机功率的计算，大多数是先计算出磨机有用功率N有，然后以此为基准，乘以 一系列修正系数后计算出来的。因此，准确计算磨机有用功率对节能具有重要意义。 到目前为止，有若干个计算磨机有用功率的公式［1，2 ］。其中，前苏联C. E. 安德 列耶夫认为使介质运动的整个外功功率 即磨机有用功率 由两部分组成一部分是提 升介质所需功率 即克服力矩所需功率 ；另一部分是使介质获得动能所需功率。此即 所谓力矩能量法。但是安德列耶夫所指的动能仅仅是介质在脱离点所获得的平动动 能，而忽略了介质本身的转动动能。 笔者推导磨机有用功率计算公式的理论依据也是力矩能量原理，但有别于安德 列耶夫对此的理解。笔者认为使介质运动的整个外功功率 即磨机有用功率 从总体 上讲由两部分组成一部分是克服作圆运动的介质对磨机中心轴产生的合力矩所需的 外功功率；另一部分是提供介质在脱离点抛落时具有的动能所需的外功功率，此动能 既包括平动动能，又包括转动动能。因此，实际上磨机有用功率应由以下三部分组 成 1 克服介质合力矩所需外功功率； 2 提供介质平动动能所需外功功率； 3 提供 介质转动动能所需外功功率。 基于以上的考虑，笔者从理论上导出了克服介质合力矩和提供介质平动动能所需 的外功功率的数学表达式。同时，通过对理论和数据的分析研究，提出了提供介质转 动动能所需外功功率的数学表达式。这样，就建立了一个计算磨机有用功率的新公 式。 1 克服介质合力矩所需功率的推导 关于磨机内介质的运动形态，纯二相运动理论认为抛落式工作磨机内介质的运动 轨迹由圆轨道和抛物线轨道组成，即介质首先随筒体旋转沿圆轨道上升，至一定高度 后，以某一初速度脱离筒体沿抛物线轨道向下抛落，循环往复，周而复始。各层介质 的上升轨迹和下落轨迹都是相似的，且各层介质的脱离点轨迹 和落回点轨 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 1／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 迹 都是一定的 见图1 。因此，抛落式工作磨机内介质明显地分为圆运动区 和抛物落下区 见图1中的Ω1和Ω2 ，而且在正常工作时，这两个区域的形状是不变 的，处于一种动态平衡之中。要维持这种动态平衡，首先就要克服作圆运动的介质对 磨机中心O 点所产生的合力矩。下面就具体推导克服此合力矩所需功率的数学表达 式。 如图1所示，R1、R2分别代表最外介质层和最内介质层半径，并以R代表任意介质 层半径；A 1、A2、A 分别为相应各介质层的脱离点；α1、α2、α分别为其相应的脱离 角；B1、B2、B分别为其相应的落回点；β为R层介质的落回角；v 为R层介质脱离筒体 开始抛落的初速度。 如图1所示，在圆运动区内任意介质层R上取一微元重量d W ，则有 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 2 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 图1 抛落式磨机中介质运动轨迹示意图 d W △Lg R.d Rd θ 式中g 重力加速度，g 9. 8 1m / s 2 L磨机长度，m △介质堆比重，k g / m 3 因为d W 与Y轴的夹角为θ，所以其对O 点产生的微元力矩d M 为 d M R.s i n θ.d W △Lg R2s i n θd Rd θ 因此，全部作圆运动的介质对O 点的合力矩为 故克服介质合力矩M 所需功率 N1 为N1 M ω 又因为角速度转速ψ及所以 又因介质总重量△φV 式中φ为介质充填率，D 为磨机直径， V为磨机容积 ，所以 1 2 1 或 2 式即为所求之结果的数学表达式。 2 提供介质平动动能所需功率的推导 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 3／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 关于此功率数学表达式的推导思路可表述如下首先求出处于整个脱离点轨迹上 的介质单位体积质量所具有的平均平动动能，然后考虑介质体积V介、介质平均循环次 数J，最后导出单位时间介质所具有的平动动能，即提供介质平动动能所需的功率。下 面具体推导之。 如图1或图2 所示，在脱离点轨迹上，在任意介质层半径R所在点A 处沿脱离点轨迹 取微元弧长d S，故以d S为高，垂直于d S的单位面积为底面积的微元体积d V中所具有的 微元质量d m 可用下式表达 图2 计算脱离点上介质单位体积所具有的平均平动动能用图 d m △d V △d S 3 该微元质量d m 所具有的初速度为v Rω 4 其所具有的平动动能为 5 又因脱离点轨迹及其一阶导数为 R a c o s α 而在极坐标系中，微元弧长d S为 6 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 4／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 将 3 、 4 、 6 式及R a . c o s α代入 5 式得 故圆环状体中介质的全部平动动能E为 由 3 及 6 式可知圆环状体的微元体积d V为 d V d S a . d α 故其整个体积V为 所以脱离点轨迹上的单位体积质量所具有的平均平动动能E为 7 又因为c所以， α1 a r c c o s c o s α1 a r c c o s ψ2 α2 a r c c o s c o s α2 a r c c o s K c o s α1 a r c c o s K ψ2 故 7 式可转化为如下表达式 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 5／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 8 因为磨机转一周的时间内，全部介质的平均循环次数为故在该段时间 内外力提供给介质的平动动能 9 所以提供介质在脱离点的平动动能需功率 10 式中n 为磨机转速， n / m i n ，V介为介质所占的容积。 及 8 式代入 10 式并整理后可得 11 12 11 或 12 式即为所求之结果的数学表达式。 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 6 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 3 提供介质转动动能所需功率的推论 笔者认为，抛落式磨机内沿圆轨迹运动的钢球的转动程度随其所在球层的不同而 不同。最内球层强一些，随球层半径的增加，钢球的转动减弱，直到某一临界球层半 径，钢球的转动完全消失。处于球层半径大于此临界球层半径中的钢球，其转动自然 也完全消失。这种现象的发生是由于在这些球层中的钢球所受到的阻碍其转动的摩擦 力矩始终等于使其转动的变力偶矩所造成的。 笔者还认为，全部钢球的转动动能取决于临界球层半径。而临界球层半径与钢球 密度、磨机规格、介质充填率、磨机转速率等参数有关。由于情况太复杂，从理论上 导出提供介质转动动能所需功率的公式困难很多。为简便实用起见，通过认真分析研 究和借助实测数据验证，笔者认为提供介质转动动能所需动率可用下式表达 13 式中φ取小数，m 是与充填率φ有关的系数。m 值与φ值的对应关系见表1。 表1 m 值与φ值的对应关系 φ 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42434445 464748 495055 m8 8 . 3 8 . 6 8 . 9 9. 29. 5 9. 6 9. 7 9. 89. 9 1010 . 6 11. 211. 812 . 4 13 13. 6 14. 214. 815. 4 16 10 0 0 4 磨机有用功率新公式的建立 由于磨机有用功率三个组成部分的公式均已导出，故磨机有用功率的新公式为 14 令功率系数为 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 7 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 15 则有 N有 △VD 0 . 5f ψ，φ k W 16 14 或 16 式即为计算磨机有用功率的一种新的公式。此式的计算值与实验室 ‧46 0 m m 6 0 0 m m 磨机有用功率实测值的对比结果见表2 。 表2 磨机功耗实测值与按公式计算值对比 充填率φ 30 转速率ψ 566 26 77 47 98 78 994 实测N有 W 47 8 . 0 551. 0 6 0 6 . 0 6 55. 0 7 0 6 . 0 7 54. 0 7 7 6 . 0 7 7 9. 0 按本文公式 W 543. 2 6 0 7 . 3 6 7 0 . 37 0 5. 0 7 6 1. 17 8 0 . 7 8 44. 3 偏 差 -1. 40 . 22 . 3-0 . 10 . 90 . 68 . 4 充填率φ 35 转速率ψ 6 36 87 47 98 68 99410 1 实测N有 W 6 2 66 7 57 137 7 68 2 88 568 8 5916 按本文公式 W 6 7 7 . 7 7 44. 7 7 7 9. 48 11. 7 8 2 7 . 18 6 7 . 1 偏 差 0 . 44. 40 . 4-2 . 0-3. 4-2 . 0 充填率φ 40 转速率ψ 6 77 27 98 28 68 99396 实测N有 W 7 357 958 578 7 590 892 694096 0 按本文公式 W 7 8 5. 7 8 6 0 . 4 8 7 7 . 98 93. 8 90 2 . 5919. 4941. 7 偏 差 -1. 20 . 40 . 3-1. 6-2 . 5-2 . 2-1. 9 充填率φ 45 转速率ψ 6 67 38 08 28 6909610 0 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 8 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4 有色金属0 0 0 2 0 6 实测N有 W 7 8 98 3491593499810 3310 4510 7 0 按本文公式 W 92 8 . 9 940 . 9951. 2 954. 2 97 4. 9 10 51. 6 偏 差 1. 50 . 7-4. 7-7 . 6-6 . 7-1. 7 充填率φ 50 转速率ψ 6 67 27 98 28 68 99496 实测N有 W 8 1290 196 299610 0 610 2 110 448 7 8 按本文公式 W 959. 5 999. 9 10 16 . 5 10 15. 6 10 12 . 7 10 35. 5 偏 差 -0 . 20 . 41. 0-0 . 5-3. 017 . 9 充填率φ 55 转速率ψ 6 17 48 18 48 6909699 实测N有 W 7 518 8 793195396 78 948 408 13 按本文公式 W 10 49. 6 10 58 . 6 10 34. 8 90 8 . 8 8 0 5. 9 偏 差 10 . 19. 515. 78 . 2-0 . 9 5 结论 1. 在介质充填率‧ 30 ～50 ，磨机转速率ψ 6 0 ～8 5，即生产中通常采用的磨 矿条件下，由本理论公式计算所得结果与实测值的平均偏差小于1；当ψ 6 0 ～94 时，其平均偏差小于2 ；当ψ 6 0 ～10 0 时，其平均偏差小于3。 2 . 由于受介质层比K 值的约束，本公式不适宜计算低转速、高充填率时的有用功 率。因为在这种情况下介质在磨机中的运动已不属于纯“抛落式”运动。 3. 关于介质转动动能的理论公式尚有待于进一步研究探讨。■ 作者简介陈广振，鞍山钢铁学院应化系副教授 辽宁鞍山 1140 0 2 李晓安，鞍山钢铁学院应化系副教授 辽宁鞍山 1140 0 2 郑龙熙，鞍山钢铁学院应化系副教授 辽宁鞍山 1140 0 2 参考文献 ［1］陈炳辰. 磨矿原理. 北京冶金工业出版社 ［2 ］李启衡. 碎矿与磨矿. 北京冶金工业出版社 f i l e / / / E| / q k / y s j s -x k / y s j s 2 0 0 0 / 0 0 0 2 / 0 0 0 2 0 6 . h t m （第 9／9 页）2 0 10 -3-2 3 13 12 0 4