保角变换法在磁选研究和设计中的应用.pdf

4 0 有色金属 选矿部分 2 0 0 6 年第5 期 保角变换法在磁选研究和设计中的应用 徐建民 北京矿冶研究总院矿物工程研究所，北京1 0 0 0 4 4 摘要介绍了用保角变换法求解磁选机磁场的基本步骤，分析了由复势函数导出场强梯度的公式的作用，指出 了计算场量时应该注意的问题，介绍了在磁选研究和设计里的应用，指出了用保角变换法求解得到尖端上的场强为无 穷大这一结果不是问题。 关键词磁选；磁场计算；保角变换法 中图分类号T I M 5 7文献标识码A文章编号1 6 7 1 9 4 9 2 2 0 0 6 0 5 0 0 4 0 一0 3 保角变换又叫保形变换、共形映射等，是复变函 数的一部分。它在许多实际领域中有着广泛的应用， 如著名的儒可夫斯基变换在飞机机翼剖面的设计中 有重要作用，在地图制图学里一直应用保角变换。 数学物理方法教科书里以通俗易懂的方式介绍了 保角变换【I 】。文献[ 2 】较全面地介绍了保角变换及其应 用的知识，给出了大量变换关系式。文献【3 】介绍了保 角变换在电场和磁场计算里的应用。文献【4 价绍了 保角变换在地球物理学方面的应用。文献【5 】介绍了 保角变换在电机的电磁场计算方面的应用。近年来， 在磁选研究和设计方面也已用上保角变换并在理论 方面有所提高睁坝。 了解磁性矿粒在分选空间里各个点上所受磁力 的大小和方向，是磁选研究和设计的重要内容，这需 要知道分选空间里磁场强度及其梯度的分布情况。 磁选机的分选空间往往在1 或2 个方向上线度较 小，有时小到测磁探头不能按测量的需要放置甚至 测磁探头根本插不进去，使磁场测量无法进行。并且 现在市面上供应的特斯拉计的测磁探头里的霍尔片 的定向都不够准确，给测量带来不少困难。再者现有 霍尔片还不够小，用它测出的是某个面积 如 0 ．2 5 m m x O ．2 5 m m 上磁场强度的平均值，而该面积各 点上的磁场强度差别较大 因场强梯度高 ，所以用 测量磁场强度的方法很难得到各点上磁场强度及其 梯度的比较准确的值。于是计算磁场在这里就显得 更为重要。保角变换是解析求解拉普拉斯场的一种 比较有效的方法，它能处理边界形状比较复杂的问 题，可以求出磁场中各点的磁场强度和磁通量。下面 结合在磁选研究和设计里的应用简单介绍有关内容。 收稿日期2 0 0 6 0 3 2 9 修回日期2 0 0 6 - 0 5 - 2 9 作者简介徐建民 1 9 4 4 一 ，男，北京人，研究员。 1 保角变换法求解的基本步骤 1 ．1 确定计算场域、边界条件及变换关系 保角变换法能解的是二维磁场，所以欲解的磁 选机分选磁场首先应该能被简化成二维问题。在简 化得到的二维磁场里，根据磁场分布的周期性和其 它规律 如对称或准对称 ，可只选择它的一个周期 或一个周期的一部分作为计算场域，并往往同时可 分析出该计算场域的某些边界是磁力线或磁等势 线。再假定磁系里的软磁材料不磁饱和，于是把它的 某些边界看作是磁等势线不会引起多少误差㈣。在 这一步骤里需设法确定出该计算场域全部边界上的 边界条件。 在上面选择计算场域时，需要考虑到随后能用 几个已有的变换关系把它变换成一个几何形状和边 界条件都简单的场域，且其上磁场的复势函数已知， 比如长方形场域，其一组对边是磁力线，另一组对边 是磁等势线。这是求解的关键。已经有许多以前研究 出的变换关系可供选择。应该指出，不是所有欲计算 的磁场区域 包括边界形状和边界条件 都能从已有 的变换关系里找到合用的变换关系得以求解，临时 研究开发新的变换关系往往比较困难，并且不是一 定能解出来。 1 ．2 进行保角变换 依次用上节已考虑好的几个变换关系做保角变 换，把计算场域 最后 变换成一个几何形状简单且 其磁场的复势函数容易写出来的场域。变换中注意 对应关系不要搞错，这包括各个边界的顶点之间的 对应、各条边界线之间的对应、所研究的磁场区域在 万方数据 2 0 0 6 年第5 期 徐建民保角变换法在磁选研究和设计中的应用 4 1 边界的那一侧的对应，还包括等势边界在变换后仍 是等势边界、磁力线边界在变换后仍是磁力线边界 等。为了容易看清楚，最好画出变换关系图，并在图 上用明显的标识标出各种对应关系。近年在刊物上 公开发表的磁选文献里有因把对应关系搞错导致磁 场计算全错的例子，故对此不能不注意。 1 ．3 得出复势函数 复势函数的知识见文献[ 1 7 、1 8 ] 。前已提到，上面 对计算场域做保角变换最后得到的像场的复势函数 已知。根据保角变换理论，它也就是最初的计算场域 的复势函数 见文献[ 3 】第9 8 页 。其间的联系，是前 面做保角变换过程里所用的各个变换关系式。 1 ．4 推导磁场强度的计算公式 不少专著里都给出了由复势函数导出磁场强度 函数 的公式，如文献[ 3 】第9 8 9 9 页、文献[ 1 7 ] 第 2 1 3 页、文献[ 1 8 ] 第2 0 2 2 0 3 页。用它只需对复势函 数做些求导运算就可得出计算磁场强度的大小及其 方向的解析表达式，这时需要用到所有的变换关系 式。各专著里给出的公式几乎都是对复势函数的虚 部代表势函数的情况而言的，文献[ 7 、8 ] 同时还给出 了复势函数的实部是势函数时，由复势函数导出磁 场强度 函数 的公式。 1 ．5 推导场强梯度的计算公式 在文献[ 7 、8 、9 】证明的公式出现之前，场强梯度 的计算只能用数值方法。其步骤是 1 先用上节导 出的磁场强度计算公式，计算出两个邻近点上磁场 强度的大小，其差除以这两点的距离即为其连线方 向上的场强变化率平均值。 2 在通过上述连线中点 并与该连线垂直的直线上，在该中点的两侧等距离 处各取一个邻近点，并按上法计算出在该直线方向 上的场强变化率平均值。 3 把这两个场强变化率平 均值矢量相加，认为它就是上述中点上的场强梯度。 由于这里有两个相近的数相减的情况，计算误差可 能较大。并且这里假定连线上磁场均匀变化，也会带 来误差。 文献【7 、8 、9 】从理论上证明得出了由复势函数导 出场强梯度 函数 的公式。用它可以方便地从复势 函数导出计算场强梯度的大小和方向的解析表达 式，从而可以避免上面数值方法带来的误差。 文献[ 1 0 、1 1 、1 3 、1 4 ] 都是按照上述步骤 1 ．1 节至 1 ．5 节 做的，可供参考。 1 ．6 推导气隙磁导的计算公式 保角变换最后得到的像场几何形状及边界条件 都简单，它的磁导计算公式不难写出来。根据保角变 换理论，这个磁导等于变换之初的计算场域的磁导 见文献[ 1 ] 第4 4 6 页 。文献[ 1 1 】是个计算实例。 1 ．7 计算场量时需注意的问题 用上面1 ．4 节和1 ．5 节推导出来的公式计算磁 场强度及其梯度时，需要做复数运算。在这里难掌握 的是复数辐角的取值 确定值域 。在其它场合复数 运算时，往往是根据复数的实部和虚部的大小和符 号就可以确定出它的辐角，而在这里一个复数的辐 角还与所做的变换有关。 2 应用情况举例 1 文献【6 】用保角变换法计算了磁选机分选空 间边缘附近的磁场，得到了该处磁场比内部磁场降 低幅度的数据，为设计磁系结构时确定磁势提供了 依据。 2 文献[ 1 0 、1 1 、1 3 、1 4 ] 分别计算出了相应磁选 机分选空间里的磁场，导出了各点上磁场强度及其 梯度的大小和方向的解析计算公式，并给出了对具 体实例计算得到的数值结果。这比过去磁选专著里 在分析问题时常用的所谓的指数磁场公式要可靠 B 9 ] 。此前对这些磁场从来没有过这么准确、细致、全 面的了解，这对磁选研究和设计有很大帮助。文献 【1 1 】还给出了计算磁极间气隙磁导的公式，为磁系结 构设计提供了可靠的依据。 3 文献【2 0 】在以实际情况为依据论述一个磁力 计算公式有问题时，为了说明磁选机里某些地方的 磁场强度与其梯度在方向上的关系，用了不少篇幅， 而若直接引用文献[ 1 3 、1 4 ] 的计算结果，会更为简捷、 确切。 3 一个特殊情况 用保角变换法求解时，用由它推导出的公式所 计算出的尖角顶点附近的磁场强度及其梯度是趋于 无穷大，比如文献[ 1 l 】计算的琼斯式强磁选机聚磁介 质齿板上的齿尖。实际中磁场强度不可能无穷大，但 这不表明保角变换法与实际矛盾。这可以解释为实 际中不可能有几何学意义上的尖端，且齿尖附近的 软磁材料会先磁饱和，这使齿尖处的磁势比齿面的 其它部分低，这时计算中所做的关于齿的边界 包括 齿尖 是磁等势线的假设已偏离实际。 与上不同的是，某磁选文献 下称文献甲 用保 角变换法，对不同磁系参数的十几个磁场计算出的 齿尖上的磁场强度及其梯度都是有限值。文献甲与 文献[ 1 1 ] 求解的是同一个类型的磁场，差别仅在于磁 万方数据 4 2 有色金属 选矿部分2 0 0 6 年第5 期 极距、相对齿尖的尖端之间的距离、齿尖角这3 个参 数的取值不同。根据势场的解的唯一性定理，每个磁 场的解应是唯一的，不可能一个磁场的解用一种解 法得到的结果是有限值而用另一种解法得到的结果 却是趋于无穷大【2 1 1 。文献【1 1 ] 求解磁场时每一步推导 都说明了其依据，整个推导过程是严谨的，所以说它 得出的公式和计算出的数值结果是可靠的。由此可 以推论说文献甲用保角变换法求解的过程有问题。 参考文献 [ 1 ] 梁昆淼．数学物理方法 第二版 [ M ] 一E 京人民教育出版 社，1 9 7 9 ，4 4 1 4 8 4 ． [ 2 ] 曹伟杰．保形变换理论及其应用[ M ] ．上海科学技术文 献出版社，1 9 8 8 ． [ 3 ] 英 K ．J ．宾斯、P ．J 。劳伦松．电场及磁场问题的分析与计 算[ M ] ．余世杰，陶民生译．北京人民教育出版社，1 9 8 1 ， 9 0 1 8 9 ． [ 4 ] 徐世浙．地球物理中的复变函数[ M ] ．北京科学出版社， 1 9 9 3 ，1 2 8 - 2 1 4 ． [ 5 ] 陈丕璋，严烈通，姚若萍．电机电磁场理论与计算[ M ] ． 北京科学出版社，1 9 8 6 ，5 7 6 8 ． [ 6 ] 徐建民．有关铁铠螺线管磁系的几个问题[ J ] ．有色金属 选矿部分 ，1 9 8 1 ，3 3 6 3 7 3 9 ． [ 7 ] 徐建民．由复势函数计算场强梯度的公式[ J ] ．科学通 报，1 9 8 2 ，2 7 1 5 9 5 8 9 5 9 ． [ 8 ] 徐建民．C a l c u l a t i o no fT h eF i e l dG r a d i e n tF r o mC o m p l e x P o t e n t i a lF u n c t i o n [ J ] ．K E X U ET O N GB A O F o r e i g n l a n g u a g eE d i t i o n ，1 9 8 3 ，2 8 1 1 3 6 1 3 7 ． [ 9 ] 徐建民I 由复势函数计算场强梯度的公式的证明[ J ] ．矿 冶科学与工程新进展 上册 ．北京冶金工业出版社， 1 9 9 6 ，7 5 7 - 7 6 0 ． [ 1 0 ] 徐建民．矩形截面钢毛磁场的计算[ J ] ．国外金属矿选 矿，1 9 8 2 1 1 6 1 6 4 ． [ 1 1 ] 徐建民，周二星，杨守业．齿板型聚磁介质磁场的计算 [ J ] ．有色金属，1 9 8 3 ，3 5 3 3 0 一3 5 ． [ 1 2 ] 高明炜，王常任，杨秀媛．齿板型聚磁介质的磁场特性及 其工艺参数的研究[ J ] ．金属矿山，1 9 8 5 ， 1 3 2 3 7 ． [ 1 3 ] 徐建民，李润．对辊式强磁选机分选空间磁场分布和场 强梯度的解析计算[ J ] ’矿冶，2 0 0 1 ．1 0 3 4 2 4 6 ． [ 1 4 ] 徐建民，徐建成．圆柱形多极磁选机磁场分布和场强梯 度的解析计算[ J ] ．有色金属，2 0 0 1 ，5 3 4 6 6 6 9 ． [ 1 5 ] 蒋美仙，彭会清，余玲．许瓦兹变换法在Y D Q C 一5 0 0I I 型 强磁选机中的应用[ J ] 。有色金属 选矿部分 ，2 0 0 2 1 3 2 3 5 ． [ 1 6 ] 赵凯华，陈熙谋．电磁学 下册 [ M ] ．北京人民教育出版 社，1 9 7 9 ，1 3 5 1 3 8 ． [ 1 7 ] 格列伦兹，列埃艾尔斯哥尔兹．复变函数与运算微 积初步[ M ] ．北京人民教育出版社，1 9 6 1 ，1 9 0 - 2 1 7 ． [ 1 8 ] 冯慈璋．电磁场 电工原理I I [ M ] ．北京人民教育出版 社，1 9 7 9 ，1 9 8 2 0 3 ． [ 1 9 ] 徐建民．开放式多极磁选机磁场理论推导中存在的问 题[ J ] ．矿冶，2 0 0 2 ，1 1 1 4 2 4 6 ． [ 2 0 ] 徐建成，徐建民．矿粒所受磁力计算公式的几个问题探 讨[ J ] ．有色金属，2 0 0 5 ，5 7 1 7 7 8 0 ． [ 2 1 ] 薛琴访．场论[ M ] ．北京地质出版社，1 9 7 8 ，1 1 8 1 2 0 ． A P P L I C A T I o No FC o N F o R M A LT R A N S F o l t M A T l O N I NR E S E A R C HA N DD E S I G NA B o U TM 【A G N E T I CS E P A R A T I o N X UJ i a n m i n B e i j i n gG e n e r a lR e s e a r c hI n s t i t u t eo fM i n i n ga n dM e t a l l u r g y , B e i j i n g10 0 0 4 4 , C h i n a A B S T R A C T T h eb a s i cm o v et os o l v et h em a g n e t i cf i e l d o fm a g n e t i cs e p a r a t o r sw i t hc o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o ni s p r e s e n t e d ．T h ee f f e c t o ft h ef o r m u l at o c a l c u l a t e t h ef i l e d g r a d i e n tf r o mc o m p l e xp o t e n t i a li sa n a l y z e d ．T h e p r o b l e m s ，t h a t w a n t sn o t i c ei n c a l c u l a t i n gf i e l dq u a n t i t y ，i sp o i n t e do u t ．T h ea p p l i c a t i o n i nr e s e a r c ha n d d e s i g na b o u tm a g n e t i cs e p a r a t i o ni s i n t r o d u c e d ．I ti sp o i n t e do u tt h a tt h er e s u l t ，t h a ta tt h ep e a kt h ef i e l d i n t e n s i t yt ob eo b t a i n e dt h r o u g hs o l v i n gw i t hc o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n i si n f i n i t e ，i sn o tp r o b l e m a t i c a l ． K E YW O R D S m a g n e t i cs e p a r a t i o n ；c a l c u l a t i o no fm a g n e t i cf i e l d ；c o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n 万方数据