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1 新概念测量学 新概念测量学 史锦顺 史锦顺 2005 2 序言序言 测量是人类的一项基本实践活动。生产领域，时时运作；交易场合，无处不在。测量是 科学研究的基础，是工程控制的前提。计量是带有法制性的测量。计量的基础是体现测量单 位的基准与各级标准，计量的作用是通过监督测量工具的合格性来规范测量活动。 中国古代，秦始皇统一度量衡，计量已属国政。近代世界，科学技术大发展，测量与计 量技术随之发展起来。科学史表明，精确的测量是许多重大理论建立的基础。如今，各门学 科都有与其发展水平大体相应的测量技术。 测量学是近代科学的基础学科之一。近几十年来遭到非难。ISO（国际标准化组织）等七 个国际学术组织推荐的“不确定度”理论，否定作为测量学基础的真值、误差、准确度等基 本概念，这就从根本上否定了测量学。 “不确定度”理论抛弃经典测量学的合理内核，轻率地 否定人类长期积累的关于测量的基本知识，偏离了科学发展的正确轨道。 “不确定度”理论只 讲分散性，不讲准确性，泛滥起一股浮夸风。 测量学要完善自身，建立起严格的理论体系，才能抵御风波。 本书论述测量学与计量学的基本概念，志在概念创新，理论创新。尊重实践，正视变化， 注重哲理性与逻辑性，既发扬经典测量学的求实传统，又辨证地清理、发展一些基本概念， 从而弥补了经典测量学理论的不足。对国际测量学术界大肆宣扬的“不确定度”理论，提出 批评意见。革新观念，挑战权威，让基础、通俗而又应用广泛的测量学，再现生机。 1 本书的学术成果 1 本书的学术成果 本书提出新概念 40 项，另有 30 个命题、30 个判别，总计见解 100 条。要点如下。 第一章， “测量公式的新概念” ，提出区分测得值法则，建立关于测量公式与测得值函数 的新概念。 测量学研究测得值的规律。测量学研究怎样取得测得值（测量方法） ；分析并表征测得值 与实际值的接近程度（误差与精度理论） ；探讨如何使测得值最大限度地接近实际值（精度设 计） 。本书给出的区分测得值的具体方法是在测得值的符号上加一个脚标。办法简单，但作用 却大区别了主客观，揭示了经典测量学是研究认识与客观的关系这一本质。别看一个小小 的标志，竟可以澄清往日许多混淆。简单而实效。在区分测得值的基础上，理顺了误差分析 的程序基于测量公式，建立测得值函数，对测得值函数进行微分。测得值函数的提出，使 误差分析有了明晰的物理意义，使测量学立足于严格的逻辑基础之上。本书之前，误差分析 的惯例是拿过一个物理公式，直接取微分。这样做，是在求几个物理量的变化量之间的关系， 3 而没有求测得值与实际值的关系，是不切题的，常常弄错正反比关系。说区分测得值的办法 简单，也确实简单；但毕竟是测量学发展的一步。笔者为此竟苦苦求索三十多年。 第 2 章， “方差的新概念兼论阿仑方差” ，提出自方差概念。 详细说明阿仑方差的来龙去脉，指出阿仑方差强调采样时间，这一点是重要的，但阿 仑方差有错。错在自己否定自己的前提。阿仑方差提出的背景是存在发散困难；而在发散的 条件下是得不出贝塞尔公式的。阿仑方差错引错用贝塞尔公式，以至使其物理意义费解。阿 仑方差是当今盛行的理论，但它毕竟有错。阿仑方差的扬弃是迟早必然的事。本章提出的自 方差是取代阿仑方差的一种可行的方式。 第 3 章， “测量分类的新概念” ，探讨测量类型的划分问题，提出统计测量这个新概念。 说明统计测量与常规测量的区别与联系。对常规测量，测量学研究测得值与客观量值之间的 关系；统计测量的测得值各个是实际值，称为量值，此时测量学研究与表征的是量值的规律。 测量分为常规测量与统计测量，统计测量又细分为常规统计、发散型统计和特种发散型统计。 揭示各类测量的特征，论述各类测量的表征方法。 第 4 章， “数据表征与处理的新概念” 。指出重复测量的必要性及取平均值的意义。说明 数据拟合的对称编号的技巧。基于测量分类的新概念，提出关于误差表达的标准值的新看法 在常规测量中，客观值（真值）是标准值；在统计测量中，标称值、目标值是标准值。指出 在统计测量中，不能剔除测量数据。任何粗差剔除准则，对统计测量都不适用。给出的有效 数字的新定义，这是很基本也是很实用的。可以纠正教科书的不当说法。 第 5 章“测量不确定度理论置疑” 本章为真值、误差这些常规测量的基本概念正名，指 出，国际标准化组织（ISO）等推荐的“不确定度”概念，问题很多，不应在一般的测量领域 推行，更不能在生产领域、交换领域推行。提出在统计测量中的实际值、标称值、偏差、偏 差范围、准确度这一新的量值精度表征思路。强调指出，准确度是测量与计量领域的准则性 标志，否定它是错误的。 以上 5 章是基础理论边，为上卷；以下 5 章是 5 个测量科目的新的基础概念，为中卷。 第 6 章， “计时与测频的新概念” ，将区分测得值法则用于计时学与测频领域，从而建立 新的物理公式与测量公式。 认识到计时即计相，在计时学领域，重新表达物理公式，进而按区分测得值法则表达测 量公式，方便地给出计时学界追求多年的计时方程。建立关于时频关系的三定理，使得时频 界最常用的公式，例如比相测频公式、时差公式，极简明而又顺理成章地推出。揭示数据拟 合处理中取对称编号的技巧，方便地得到频率日老化率公式的正解，指出晶振检定规程中老 4 化率公式表达的不当之处。 第 7 章， “距离测量的新概念相位测量的折合理论” ，提出折合测尺的概念，揭示关 于折合测尺的几个理论关系；找到定位数 m 和它的计算方法；得到计算整周数的计算公式； 从而形成了一套精确测量距离的理论，测距误差可小到亚毫米量级，这无疑有重要实用价值。 其特点是巧解模糊，一个公式算出距离量，而现有理论则需用许多判别公式。 第 8 章， “速度测量的新概念” ，鉴于速度量值与频率量值的相似性与在多卜勒测速中的 相关性，提出采样速度的概念。采样速度概念的提出，澄清过去测速理论中的许多问题，如 相位增量模式的许多问题。利用对称编号的技巧，方便地推得匀速、匀加速、匀加加速各级 速度拟合公式。本章还推得多卜勒测速误差公式的正解，纠正教科书上的多卜勒测速误差公 式的不当之处。 第 9 章， “群时延的新概念” ，革新电讯界流传了六十多年的群时延概念。关于群时延概 念的思考与革新，是一堂很好的逻辑学训练课。什么是个性，什么共性，怎样表达共性；什 么是内涵，什么是外延，内涵必须准确，外延必须等值；这些是一个科学工作者应有的训练。 第 10 章， “波导特性阻抗的新概念” ，革新微波教科书上的矩形波导的特性阻抗概念，并 把特性阻抗概念应用于远程圆波导，提出关于波导尺寸公差要求的新看法。矩形波导的旧特 性阻抗概念载于多种微波教科书中，是电子技术及通讯技术专业大学生的必修课。但在大学 课堂上长期讲授的这个概念是错误的。有错就要改。本章坚持连续条件，分辨集总参数系统 与分布参数系统的不同特性，通过从特殊到一般、再从一般到特殊的分析，提出定义波导特 性阻抗的法则，给出矩形波导特性阻抗的新定义。 以上 10 章是本书的理基础，编为上卷与中卷。下卷是杂记，是技巧性的，供参考。 2 本书的学术思想 2 本书的学术思想 学术成果来自刻苦探求。但是，学术思想是学术探讨的灵魂。人们面对的具体研究课题 千差万别，但人们认识问题的思想方法却是共通的。本书体现了如下一些学术思想。 （1）区分 （1）区分 区分使研究对象面目清晰，也使认识思路清晰。区分测得值与客观值；区分计量与测量； 区分测量与统计；在测量的分类中区分常规测量与统计测量；统计测量区分为收敛型与发散 型；发散型统计测量又区分为普通（有目标值）和特种（无目标值）两类。 （2）转化 （2）转化 变量与常量的转化在常规测量中，客观值是常量，测得值是变量；在统计测量中，客 观值（即测得值）是变量；标称值或目标值是常量。 5 在拟合计算中，作为函数曲线的自变量与因变量 x、y，在一般情况下是变量，而在这里 是常量；函数曲线表达式中的系数在一般情况下是常量，而在这里却是变量。 （3）简化 （3）简化 在拟合计算中，取对称编号，由于自变量的其次项求和结果为零，于是方程组大大简化。 本书 5 次拟合计算，从零阶到 3 阶，利用这一技巧，推导很轻便。 （在一次推导中领悟，明确 后贯彻于各种拟合计算。 ） 误差分析，只取一阶量。小量法是取一阶量；微分的实质也是只取一阶量。 晶振日老化率速算法、谐振腔温度效应速算法、晶体管功耗保护电阻速算法、分贝速算 法，都是简化。 （4）共性、个性 （4）共性、个性 波导特性阻抗的概念，能突破，主要靠共性个性的分析。双线、同轴线、波导，变截面 问题连续条件是共性，用满足连续条件的量定义特性阻抗是共性，是一般法则。而在矩形波 导边条件下，分布量是它的特性，旧特性阻抗出问题，就出在忽视个性，笼统地套用电压比 电流。新特性阻抗正视矩形波导电磁量的分布特性，分析得知电压与电流密度是连续量，由 此定义特性阻抗是符合特性阻抗定义法则的。并得到实验的证实。 （5）个体、群体 （5）个体、群体 群时延，旧概念的问题主要出在误将个体当群体。微分是点的特性，用微分即点的特性 来定义群体特性的群时延，不可能正确。本书用一段直线的斜率来定义群时延，代表了频率 群体的特性， （6）相对、绝对 （6）相对、绝对 相对与绝对的概念，在真理论中很重要。测量学中的真值问题很类似。三百年来的经典 测量学，一直讲真值；近二十年来，否定真值的歪风盛行，国际标准化组织的文件竟称 “严 格地说，真值是不存在的” 。这是很不妥当的。真值都不存在，还测量什么。真值就是客观量 值，既不该说玄它，也不该否定它。真值是相对的标准的值对测量仪器来说就是真值；基 准的值，是各级标准的真值。真值是客观存在，是不能否定的。唯一真值，只适用于常规测 量，即物理量的变化远小于测量误差的情况。现代测量，大部分是统计测量，例如频率测量， 测量误差远小于被测量的变化量，测得值的变化，反映了真值的变化。 （7）概念逻辑 （7）概念逻辑 明确概念就是明确概念的内涵和概念的外延。下定义，一定要内涵准确，外延等值。有 效数字的定义，因是北大、南大等名校给出，又上数学手册，于是引用者便信赖有加，不敢 6 越雷池一步。其实它是个内涵不切题、外延不等值的无效定义。它不过是把四舍五入的数， 说成是有效数字，未涉及误差与微小误差这些根本处，实用中无法操作。初看这个表达文绉 绉的数学定义，犹如小孩观彩虹，灿烂而神秘；用逻辑的眼光再看这个定义，就像看筷子在 水面的弯曲，那不过是光线在界面折射产生的假象。 （8）前提逻辑 （8）前提逻辑 推导一遍贝塞尔公式，便可知到贝塞尔公式成立的条件是测量问题有真值存在，统计问 题有数学期望存在，这是应用贝塞尔公式的前提。由此，不论在哪里，只要引用贝塞尔公式， 就要考虑这个前提。没有这个前提，就不能用贝塞尔公式。大名鼎鼎的阿仑方差，提出的条 件是存在发散困难，即无数学期望。阿仑方差物理意义费解，就因为它引用贝塞尔公式时， 忘记了贝塞尔公式成立的前提。根基错位，大厦必倾。 （9）根源考究 （9）根源考究 研究问题，就事论事，就肤浅；寻根溯源，才能抓住根本，才深刻。物理量的量纲是很 重要的，常作为检查推导公式或计算结果是否正确的判别标准；但再追究一下，更根本的是 量纲的来源量。特性阻抗的决定者是连续条件，连续量决定特性阻抗的量纲。于是对矩形波 导特性阻抗的量纲是欧米，就不会感到意外了。在时频界，谈到时间与频率的关系，常听人 说时频反比之类的话。初看似乎有道理，深究一番，原来错了。在时钟中，计时量与频率成 正比。人们要处理的大量问题是时频正比。物理公式与测量公式的联系和区分、求误差要对 测得值函数进行微分，这些都是根源考究的产物。 （10）类比借鉴 （10）类比借鉴 采样速度的概念是参照采样频率的概念提出的，这是类比；四臂结构的矢量网络分析仪 的解是参照三臂结构的反射计的解法而解出的，学老法办新事，这是借鉴。 本书各章，特别在讨论概念时，重视逻辑，重视辨证思维，获益匪浅。逻辑学讲思维规 律，搞科学，搞学问，谁也离不开。要重视这方面的学习与训练。 7 第 1 章 测量方程的新概念 测量方程的新概念 测量学是一门基础学科，应用十分广泛。许多项目，成绩卓著，如原子频标，已有数人 获得诺贝尔奖。然而，作为测量学基础的、又是最常用的测量方程，却一直处于混淆状态。 现行分析方法的主要问题是照搬物理公式，未反映出测量与计量的特点；变量与常量混淆； 分析结果常与事实相违。 本章依据测量与计量的特点，提出区分测得值法则。贯彻这个法则，在最通用的一些领 域，给出新的测量方程。以新测量方程为基础，形成两套分析误差的规范化程序 （1）微分法比较计值公式与物理公式，建立测量方程；分辨变量、常量；求微分、偏 差、相对差。 （2）小量法比较计值公式与物理公式，建立测量方程，写出测得值函数的相对值形式； 分辨变量、常量，将变量展成常量加小量；近似计算，求得相对差。 1 区分测得值法则 1 区分测得值法则 测量是人们定量认识事物的一种手段。测量的具体操作是将待测量与已知量相比较，以 确定待测量与选定单位的比值。这个比值与所选单位结合起来，构成测得值。 物理学研究物理量的规律，物理公式表达物理量间的关系。物理公式超脱测量误差。测 量学的任务在于研究测得值。 研究如何取得测得值 （测量方法） ， 如何使测得值接近实际值 （精 度设计） ，给出测得值与实际值偏差程度（误差分析） 。要研究测得值的规律，就必须将测得 值同实际值区分开。还要使测量中所用量的标称值同实际值相区分；使认定值同实际值相区 分。 区分测得值是本文提出的关于测量理论的一条基本法则。贯彻这一法则，各种测量公式 便从物理公式的原形中脱胎、独立出来，成为测量的专用公式，称为计值公式，即测量公式。 测量理论研究的核心内容是测得值与被测量的关系。比较计值公式与物理公式，建立测 量方程，得出测得值函数。分辨常量、变量，求微分、差分，于是便顺理成章地形成误差分 析的程序。这样做，理顺了误差分析的逻辑关系，使测量理论立足于明晰的物理概念与严格 的数学分析的基础之上。 2 新测量方程 2 新测量方程 8 T N f n r m T N f f NT TN f n r m r nn r m dN NT Tf dT NT fN df 2.1 频率计测量方程 2.1 频率计测量方程 以高稳定的频率源为基础的精确的频率测量，在现代高精度测量中占重要地位。 计数式频率计是最基本最常用的测频仪器。 现行教科书上给出的计数式频率计的公式为 1.1 式中N为计数值，T为闸门时间。由于没有区分测得值和实际值，用以分析，常常出错。 此式明显标示，频率与闸门时间成反比。由此，若内标频率偏低，则闸门时间长，则频率值 小；其实，恰恰相反内标频率偏低，必有闸门时间值偏大，必定频率测得值偏大。 式1.1是物理公式，不便直接用于分析测量问题；以往硬这样做，难免出错。有些作者 看到了这一点，用取绝对值的办法来避免正负号的矛盾，这不能算错，但绕开矛盾，实际上 也掩盖了矛盾。 要做几种区分区分频率的测得值与实际值；区分闸门时间的标称值与实际值；区分N 的显示值与实际值。 计数式频率计的计值公式（测量公式）为 1.2 式中fm是测得值（被测频率的实际值是f） ，Tn是闸门时间的标称值闸门实际时间是T，Nr 是计数器的指示值。Nr区别于由fT乘积决定的周期N。前者有1 误差。Tn 通常为 1 秒，或 1 秒的 10 N 倍。 分析测得值，就是分析测得值同实际值的差别，就是将测得值同实际值相比较。比较的 方法之一是二者相除。实际值做除数，即做标准。 计值公式1.2除以物理公式1.1，得测量方程 1.3 注意，我们研究的是测量问题（可设想是在用几台仪器同时测量同一物理量） ，被测频率 的客观值f是常量，闸门时间标称值Tn是常量，客观存在的数N是常量；闸门时间实际值T 是变量，读数Nr是变量，测得值fm是变量。易见测量方程表达的关系，就是测得值函数。 A 微分 A 微分 1.4 B 偏差 B 偏差 9 r nn r m N NT Tf T NT fN f∆∆∆ r r m N N T T f ∆ ∆ δ B f KT 1 B B f f T T∆ − ∆ rBm Nffδδδ− PL π φ 2 P L πφ2 PL 50 φ 1.5 C 相对差 C 相对差 1.6 因闸门时间由内标（频率为fB）分频而来，有 1.7 （1.7）式代入（1.6）式，得 1.8 2.2 测微器测量方程 2.2 测微器测量方程 螺旋测微器是长度测量中常用的量具。书上表达如下。 1.9 式中 L测微螺杆的移动距离mm； p测微螺杆的螺距mm； φ测微螺杆的 旋转角度rad。 通常，测微螺杆的螺距为0.5mm，而微分筒圆周斜面上刻有50个分度，因此当微分筒旋 转一周时， 测微螺杆轴向位移0.5mm， 微分筒旋转一个分度1/50转， 测微螺杆移动0.01mm， 故常用千分尺的最小分度值是0.01mm。 现行这种表示法，没有区分测得值与实际值。按式（1.9）分析，测得值L与螺距P成正 比。这是不对的。实际情况是，螺距偏大，测得值偏小 。这类似于以下事实一根钢棍用尺 量，尺大则测得值偏小，尺小则测得值偏大。 新概念测量方程表述如下 1）物理公式 （弧度） 1.10 圆周既已等分50分度，φ用刻度时，10式可表为 1.11 10 n r m PL 50 φ L p P L nr m φ φ dP P LP d P LP dL nr r n m 2 φ φ φ φ − P P LP P LP L nr r n m ∆−∆∆ 2 φ φ φ φ P P L L r r m m ∆ − ∆ ∆ φ φ PL rm δδφδ− NvV nrm vNV V vN vN V nr m 2）计值公式 2）计值公式 1.12 式中Pn为螺距的标称值，φr为格数示值，Lm为长度测得值。 3）测量方程 3）测量方程 计值公式1.12除以物理公式（1.11） ，得测量方程 1.13 4）微变关系 4）微变关系 变量 Lm测得值；φr转角读数值；P螺距实际值。 A 微分 A 微分 1.14 B 偏差 B 偏差 1.15 C 相对差 C 相对差 1.16 1.17 2.3 容积测量方程2.3 容积测量方程 1）物理公式 1）物理公式 1.18 式中v是容积量具的实际容积。 2）计值公式 2）计值公式 1.19 式中vn是容积量具的标称容积。 3）测量方程 3）测量方程 1.20 11 dv Nv VvN dN Nv Vv dV nr r n m 2 − v Nv VvN N Nv Vv V nr r n m ∆−∆∆ 2 vNV rm δδδ− mgLMgLM L L m M M r M n m L L m M M mL Lm M rn m dm Lm MLm dL mL Mm dM rn r n m 2 − 4）微变关系 4）微变关系 变量 Vm容积测得值； v容积量具的实际容积；计数值Nr。 A 微分A 微分 1.21 B 偏差 B 偏差 1.22 C 相对差 C 相对差 1.23 2.4 杆秤测量方程 2.4 杆秤测量方程 1）物理公式 1）物理公式 1.24 式中M表被测物体重量（重量即质量） ，m表砣质量，LM是物臂长，L为砣臂长。砣臂长从 零点起算。零点是物重为零时的平衡点。g为测量处的重力加速度。g与称重结果无关。 2）计值公式 2）计值公式 1.25 式中Mm为物体重量测得值，mn为砣质量标称值，Lr为砣臂长读数值。 3）测量方程 3）测量方程 1.26 4）微变关系 4）微变关系 变量 Mm物体重量测得值； Lr杆秤砣臂长读数值；m秤砣的实际质量。 A）微分 A）微分 1.27 B）偏差 B）偏差 12 m Lm MLm L mL Mm M rn r n m ∆−∆∆ 2 mLM rm δδδ− 3 2 1 R R R Rx n n n xm R R R R 3 2 1 x n nn xm R RRR RRR R 321 321 3 2 321 321 2 321 31 1 32 2 1 321 dR RRR RRRR dR RRR RRR dR RRR RRRR dR n xnn n xnn n xnn xm −− 1.28 C）相对差 C）相对差 1.29 2.5 电桥测量方程 2.5 电桥测量方程 R 1 R 2 G R x R 3 图 1.1 1）物理公式1）物理公式 满足电桥平衡条件的值是电阻的实际值。 1.30 2）计值公式 2）计值公式 测量求值时用的是电阻的标称值（或认定值） 。 1.31 3）测量方程 3）测量方程 1.32 4）微变关系 4）微变关系 变量被测电阻测得值Rm，桥臂电阻实际值R1、R2、R3。 A 微分 A 微分 1.33 13 3 2 321 321 2 321 31 1 32 2 1 321 R RRR RRRR R RRR RRR R RRR RRRR R n xnn n xnn n xnn xm ∆−∆∆−∆ 321 RRRRxmδδδδ−− ∆ ∆ ∆ 111A A A A AA δ 2121 3 3 2 2 111 311 311 211 211 ∆∆∆∆ ∆−∆− ∆∆ ∆−∆− ∆∆ 212121 32 3 32 3 2 2 2 2 111 3311 3311 211 211 ∆∆∆∆∆∆ ∆−∆∆−∆− ∆∆∆∆ ∆∆−∆− ∆∆∆ B 偏差 B 偏差 1.34 C 相对差 C 相对差 1.35 3 基于测量公式的小量分析法 3 基于测量公式的小量分析法 微积分是十分重要的数学理论。用微分来处理误差问题，是微分学的重要应用；进行误 差分析，常要作微分。 这里提出小量计算法，作为一种独立的处理误差问题的方法。小量计算法可避免使用微 分公式；小量计算法还有比微分方法好的地方作法与结果的物理意义更明晰，逼着人去区 分测得值，区分变量和常量。 3.1 小量计算公式 3.1 小量计算公式 微积分是物理学家牛顿发明的。这个方法帮助牛顿建立了物理学史上的伟业。但微积分 学的严格理论是莱布尼兹建立的，他用的是极限理论。 在处理误差问题的特定条件下，还可以另辟途径，用小量法。小量法不仅简便，还可以 促进建立测量方程，促进分辨变量和常量，避免出现由于对微分法理解不当而产生的错误。 这种错误的典型例子是对多卜勒测速误差的分析。 在正常情况下，与量值本身相比，误差量总是小量。我们将通常的量值加误差的绝对形 式写成相对形式 式中将相对误差δA记为Δ，必有Δ＜＜1。例如，Δ＜0.01。考察到Δ量级，Δ的2次方以 及高次方项可略（同理，两个或两个以上不同Δ相乘项可略） 。 公式 全写 14 111∆−∆ ∆     ∆ 1 2 1 2 111∆−∆ ∆−     ∆ −1 2 1 2 ∆     ∆ 1 3 1 3 ∆−     ∆ −1 3 1 3 ∆− ∆ 1 1 1 ∆ ∆− 1 1 1 2 11 ∆ ∆ 2 11 ∆ −∆− 3 11 3 ∆ ∆ 3 11 3 ∆ −∆− n rm NT TN f f n nrm NT TTNN f ff∆∆ ∆ 公式 理由 这些易懂的小量公式，最常用。倘遇到其他运算方式或函数形式，可查数学手册，泰勒 展开式略去 2 次方以上项即可。。 3.2 小量法处理误差问题的程序 3.2 小量法处理误差问题的程序 首先写出物理公式，再写出计值公式，将计值公式除以物理公式，便得到测量方程。由 测量方程写出测得值函数的相对值表达形式。分辨变量与常量，将变量展成常量加小量；近 似计算（忽略二阶小量） ，得相对误差量。 4 小量法处理误差问题实例4 小量法处理误差问题实例 4.1 小量法处理记数式频率计误差 4.1 小量法处理记数式频率计误差 1）测量方程的相对值形式 1）测量方程的相对值形式 将计值公式（1.2）除以物理公式（1.1） ，得频率计的相对值形式的测量方程 1.36 2）微变关系 2）微变关系 变量 测得值fm；读数Nr ；实际闸门时间T。 A 变量展开成常量加小量 A 变量展开成常量加小量 15 TNf rm δδδ11 TNf rm δδδ B f KT 1 oB n f KT 1 B Bo n f f T T BBo Bo n n ff f T TT ∆ ∆ B B f f Tδ δ δ− 1 1 1 1 B fTδδ− rBm Nffδδδ− P P L L nrm φ φ PP P L LL n nrm ∆ ∆ ∆ φ φφ PL rm δδφδ− B 相对差 B 相对差 1.37 因闸门时间由内标频率（频率为fB）分频而来，有 1.38 1.39 1.39式代入1.37式，得 1.40 4.2 小量法处理测微器偏差4.2 小量法处理测微器偏差 1）测量方程的相对值形式 1）测量方程的相对值形式 计值公式1.12除以物理公式（1.11） ，得 1.41 2）微变关系 2）微变关系 变量 φr转角读数值；P螺距实际值。 A 变量展开成常量加小量 A 变量展开成常量加小量 B 相对差 B 相对差 1.42 16 Nv vN V V nrm vvN vNN V VV n nrm ∆ ∆ vNV rm δδδ−111 vNrVmδδδ− mL Lm M M rnm Lmm Lm M MM n rnm ∆ ∆ ∆ mLM rm δδδ−111 mLM rm δδδ− 4.3 小量法处理容积测量偏差 4.3 小量法处理容积测量偏差 1）测量方程的相对值形式1）测量方程的相对值形式 计值公式（1.19）除以物理公式（1.18） ，得 1.43 2）微变关系 2）微变关系 变量 Vm容积测得值；v容积量具的实际容积；记数值Nr。 A 变量展开成常量加小量 A 变量展开成常量加小量 B 相对差 B 相对差 1.44 4.4 小量法处理杆秤测量偏差 4.4 小量法处理杆秤测量偏差 1）测量方程的相对值形式 1）测量方程的相对值形式 计值公式（1.25）除以物理公式（1.24） ，得 1.45 2）微变关系 2）微变关系 变量 Mm重量测得值；Lr杆秤砣臂长读数值；m秤砣的实际质量。 A 变量展开成常量加小量 A 变量展开成常量加小量 B 相对差 B 相对差 1.46 4.5 小量法处理电桥测量偏差4.5 小量法处理电桥测量偏差 1）测量方程的相对值形式 1）测量方程的相对值形式 17 3 3 2 2 1 1 R R R R R R R R n n n x xm 33 3 2 22 11 1 RR R R RR RR R R RR n n n n n n x xmx ∆ ∆ ∆ ∆ 321 1111RRRRxmδδδδ−− 321 RRRRxmδδδδ−− B f KT 1 oB n f KT 1 计值公式（1.31）除以物理公式（1.30） ，得 1.47 2）微变关系 A 变量展开成常量加小量 2）微变关系 A 变量展开成常量加小量 B 相对差 B 相对差 1.48 5 统计测量与量值区分 5 统计测量与量值区分 以上讲的测量是指常规测量，也就是物理量变化远小于测量误差的情况。实用测量还有 一种重要情况测量误差可略，而物理量变化较大。这是统计测量。 统计测量分两步骤先测量，再统计。上述区分测得值法则推广到这种情况，说法要有 所变化。这里已无必要区分测得值与实际值。区分的思想要贯彻在后半段区分变量与常量。 统计测量，应区分实际值与标称值（或目标值） ，实际值是变量。于是，区分测得值（从实际 值与测得值中区分出测得值来）变成区分实际值（从实际值与标称值中区分出实际值） 。 例如，前面在推导计数式频率计的测频方程的过程中，用到闸门时间T，因闸门时间由 内标（频率为fB）分频而来，对函数T（它是实际值，它是分频系数K、晶振内标频率fB的 函数，对特定频率计，K为常数）求微分，写成相对差形式，即得表达式（7） 。这是找出变 化关系，这里隐含着一层意思变化是有比较标准的，那就是晶振频率标称值。 用小量法处理此问题，更符合统计测量的特征