尾流激励下的叶片气动力快速分析_罗骁.pdf

 振动与冲击 第38 卷第23 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．23 2019 基金项目国家自然科学基金 51775518 ; 飞行器结构完整性技术工业和 信息化部重点实验室基金 收稿日期2018 －04 －12修改稿收到日期2018 －09 －01 第一作者 罗骁 男， 硕士生， 1992 年生 通信作者 李立州 男， 博士， 副教授， 1977 年生 E- mail lilizhou163． com 尾流激励下的叶片气动力快速分析 罗骁1，李立州1，张新燕1，张珺2，杨明磊1，原梅妮1 1． 中北大学 机电工程学院， 太原030051; 2． 太原学院 数学系， 太原030001 摘要为快速求解尾流引起的叶片气动力， 提出了基于谐波平衡法的尾流激励的叶片气动力降阶模型方法。对该 气动力降阶模型方法进一步的研究发现 小扰动情况下， 尾流谐波引起的叶片气动力谐波振幅和尾流谐波振幅的比例系数 只与尾流频率有关。基于这一发现， 进一步提出了尾流激励下的叶片气动力快速分析方法。该方法首先得到若干谐波尾流 引起的叶片气动力谐波振幅与谐波尾流振幅的比例系数， 并拟合出这些比例系数与尾流谐波频率的关系曲线; 对任意尾流 通过该曲线插值出该尾流各谐波对应的比例系数， 得到叶片气动力谐波振幅， 再由气动力降阶模型求得尾流激励的叶片气 动力。算例结果表明 提出的气动力快速分析方法可以快速准确的估计任意尾流激励下的叶片气动力， 而无需对不同频率 尾流反复的进行 CFD 气动力计算。 关键词尾流; 降阶模型; 影响系数法; 气动力; 叶片; 谐波平衡法 中图分类号V231．3文献标志码ADOI 10．13465/j． cnki． jvs．2019．23．020 Fast analysis of blade aerodynamic force under wake excitation LUO Xiao1，LI Lizhou1，ZHANG Xinyan1，ZHANG Jun2，YANG Minglei1，YUAN Meini1 1． School of Mechatronic Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China; 2． Department of Mathematic，Taiyuan University， ，Taiyuan 030001，China Abstract To quickly solve blade aerodynamic force under wake excitation，the blade aerodynamic force reduced order model ROM based on the harmonic balance was proposed here． Through further studying this ，it was found that under small turbulence，proportional coefficients between aerodynamic force’s harmonic amplitudes and wake harmonic amplitudes are only related to wake frequencies． Based on this finding，the fast analysis of blade aerodynamic force was proposed． Firstly，proportional coefficients between aerodynamic force’ s harmonic amplitudes caused by wake harmonics and wake harmonic amplitudes were obtained，and then the relation curves between these proportional coefficients and wake harmonic frequencies were fitted．For any wake，proportional coefficients corresponding to its various harmonics were acquired through these curves interpolation，further blade aerodynamic force harmonic amplitudes were gained． Finally，the blade aerodynamic force ROM was used to solve blade aerodynamic force under wake excitation． The example calculation results showed that the proposed fast analysis can be used to rapidly and accurately estimate blade aerodynamic force under any wake excitation without needing to do repeatedly CFD aerodynamic force computation for wakes of different frequencies． Key wordswake;reduced order model ROM ;influence coefficient ;aerodynamic force;blade;harmonic balance 航空发动机中存在气流导向的静叶和对外做功的动 叶， 如图1。当上下游叶片相对转动时， 上游叶片流场的 尾流会使下游叶片表面气动力产生周期性振荡 ［ 1- 3 ］ ， 引 起叶片强迫振动 ［ 4- 6 ］， 甚至导致叶片疲劳破坏［ 7 ］。因此 研究上游尾流作用下叶片的气动弹性振动对发动机设计 有着重要的意义。 数值模拟方法是研究非定常流下叶片气动弹性的主 要方法， 但其计算效率较低， 工程应用不便 ［ 8- 10 ］。气动力 降阶模型 Reduced Order Model，ROM 是描述叶片气动 力特征的简化数学模型 ［ 11- 14 ］。近年来， 气动力降阶模型 发展迅速， 并被广泛用于叶片和机翼颤振 ［ 14- 18 ］的研究。 其中， 常用谐波平衡法来描述时域和空间中的非线性周 ChaoXing 图1尾流作用下叶片流场 Fig．1The flow field of blade under the wake 期性流场， 并对其求解 ［ 15 ］。Ekici 等［ 6 ］用谐波平衡方法 研究了叶片颤振， 认为该方法的结果与势流理论的结果 符合较好。Ashcroft 等 ［ 18 ］用谐波平衡法研究了二维压气 机叶栅在亚音速和跨音速条件下的颤振特性， 发现谐波 平衡法可以准确地预测叶栅的颤振。He［ 15 ］通过一阶谐 波法对叶栅周围流场非定常流分离的情况进行了研究， 准确的预测了叶栅的颤振。现有气动力降阶模型的研究 集中在机翼和叶片的颤振方面， 没有涉及上游尾流激励 下叶片的振动。针对这一问题， 本文基于谐波平衡法提 出尾流激励的叶片气动力降阶模型方法。对该气动力降 阶模型方法的进一步研究发现 小扰动情况下尾流谐波 引起的叶片气动力谐波和尾流谐波的振幅比例系数只与 尾流频率有关。基于这一发现， 本文进一步提出基于谐 波平衡法和影响系数法 ［ 19- 20 ］的尾流激励下的叶片气动 力快速分析方法。该方法首先得到叶片气动力谐波振幅 和尾流谐波振幅的比例系数; 再拟合出这些比例系数与 尾流谐波频率的关系曲线; 通过该曲线和气动力降阶模 型快速计算叶片气动力且不需要反复的 CFD 分析。 1尾流激励下的叶片气动力快速分析方法 本文以二维叶片 见图 2 为例， 介绍尾流激励的叶 片气动力快速分析方法。设二维流场受上游尾流波动的 持续激励 见图2 ; 上游尾流以恒定速度 w 在流场进口 处移动， 下游叶片流场随上游尾流的移动而振荡， 使得整 个叶片气动力周期性振荡。描述二维叶片周围流场的动 量方程为 ρ u t u u x v u  y μ 2u x 2 2u y []2 － p x ρ v t u v x v v  y μ 2v x 2 2v y []2 － p  { y 1 式中 u 为 x 方向流速， v 为 y 方向流速， p 为压力。 在进口 x x0处移动的尾流边界条件可以用傅里叶 级数表示为 p y， t p ～ 0 ∑ N k 1［p ～I kcos kωt p ～II ksin kωt ］ u y， t u ～ 0 ∑ N k 1［u ～I kcos kωt u ～II ksin kωt ］ v y， t v ～ 0 ∑ N k 1［v ～I kcos kωt v ～II ksin kωt          ］ 2 式中 p y， t ， u y， t 和 v y， t 分别为进口处压力， x 方 向流速和 y 方向流速; p ～ 0， u ～ 0， v ～ 0为进口压力和流速的 定常状态。 图2尾流激励的叶片气动力系统 Fig．2The system of aerodynamic force of blade under the wake 1．1基于谐波平衡法的气动力降阶模型方法 根据谐波平衡法线性化理论 ［ 1， 10， 15 ］， 在小扰动情况 下周期性尾流激励的流场可以用傅里叶级数表示为 p p0∑ N k 1［ p I kcos kωt p II ksin kωt ］ u u0∑ N k 1［ u I kcos kωt u II ksin kωt ］ v v0∑ N k 1［ v I kcos kωt v II ksin kωt          ］ 3 式中 p， u， v 为尾流激励下流场中的压力， x 方向流速和 y 方向流速; p0， u0， v0为流场压力和流速的定常部分; pI k， pII k， u I k， u II k， v I k， v II k 为流场压力和流速谐波振荡部分的 振幅。 将公式 3 代入公式 1 ， 按照文献［ 1］ 整理可得谐 波分量的振幅方程如下 kωuIk － uII k u 0 x － u0 u II k x － vII k u 0 y － v0 u II k y － 1 ρ P II k x γ 2uII k x 2 2uII k y 2 ， kωuII k uIk u 0 x u0 u I k x vIk u 0 y v0 u I k y 1 ρ P I k x γ 2uIk x 2 2uIk y 2 ， kωvIk － uII k v 0 x － u0 v II k x － vII k v 0 y － v0 v II k y － 1 ρ P II k y γ 2vII k x 2 2vII k y 2 ， kωvII k uIk v 0 x u0 v I k x vIk v 0 y 041振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing v0 v I k y 1 ρ P I k y γ 2vIk x 2 2vIk y 2 4 将公式 3 代入公式 2 ， 则在进口边界上有 p0 p ～ 0 u0 u ～ 0 v0 v ～ { 0 ， pIk p ～I k uIk u ～I k vIk v ～ { I k ， pII k p ～II k uII k u ～II k vII k v ～II { k 5 联立公式 4 和公式 5 ， 求解这些定常振幅方程， 得到流场压力和流速谐波的振幅 pIk， pII k， u I k， u II k， v I k， v II k 。 将这些振幅代入公式 3 就可确定尾流激励下叶片周围 的流场状态。沿叶片表面压力积分， 可得尾流激励下叶 片的气动力 Cl A0∑ N k 1［ A I kcos kωt A II ksin kωt ］ Cm B0∑ N k 1［ B I kcos kωt B II ksin kωt ］ Cd D0∑ N k 1［ D I kcos kωt D II ksin kωt          ］ 6 式中 A0∮ Lp0sin θds B0∮ Lp0 xcos θ ysin θ ds D0∮ Lp0cos θd        s AIk∮ Lp I kcos kωt sin θds BIk∮ Lp I kcos kωt xcos θ ysin θ ds DIk∮ Lp I kcos kωt cos θd        s AII k ∮ Lp II ksin kωt sin θds BII k ∮ Lp II ksin kωt xcos θ ysin θ ds DII k ∮ Lp II ksin kωt cos θd        s Cl为叶片气动升力， Cm为叶片气动力矩， Cd为叶片气动 阻力， A0， B0， D0是叶片气动力的定常值， AI k， A II k， B I k， B II k， DIk， DII k是叶片气动力谐波振荡部分的振幅。 在小扰动条件下， 采用以上方法需要建立公式 4 和公式 5 进行繁琐的求解。为简化这一过程， 本文基 于以上方法的理论， 借助 CFD 求解各频率下叶片气动力 谐波振幅和尾流谐波振幅之间的关系建立气动力降阶模 型。公式 6 中叶片气动力与上游尾流同频。由此， 建 立尾流激励下的叶片气动力降阶模型如下 见图3 ① 通过傅里叶变换将尾流分解为不同频率的尾流 谐波。 图3气动力降阶模型方法 Fig．3The of aerodynamic ROM ② 计算尾流傅里叶分解后定常状态下的叶片气 动力。 ③ 将各尾流谐波加载在 CFD 模型进口， 获得各尾 流谐波引起的叶片气动力谐波， 并得到这些气动力谐波 的振幅。 ④ 将③中的气动力谐波的振幅代入公式 6 得到尾 流引起的叶片气动力。 1．2基于影响系数法的叶片气动力快速分析方法 上述尾流激励的叶片气动力降阶模型只能计算给 定频率尾流下的叶片气动力; 一旦尾流的频率发生改变， 则需重新进行各频率谐波下叶片气动力的 CFD 计算。 为此， 本文对基于尾流激励的叶片气动力降阶模型方法 深入研究， 发现尾流激励下的叶片气动力振幅与尾流振 幅之间存在相互影响 ［ 19- 20 ］， 进一步提出了尾流激励的叶 141第23 期罗骁等尾流激励下的叶片气动力快速分析 ChaoXing 片气动力快速分析方法。 由公式 4～ 6 可知 叶片气动力谐波振幅 AIk， AII k， B I k， B II k， D I k， D II k 与尾流谐波振幅和尾流频率有关。将 叶片气动力谐波振幅 AIk， AII k， B I k， B II k， D I k， D II k 按泰勒级数 展开， 并忽略高阶小量， 得 dAIk A I k p ～I k dp ～I k A I k u ～I k du ～I k A I k v ～I k dv ～I k， dAII k A II k p ～II k dp ～II k A II k u ～II k du ～I k A II k v ～II k dv ～II k， dBIk B I k p ～I k dp ～I k B I k u ～I k du ～I k B I k v ～I k dv ～I k， dBII k B II k p ～II k dp ～II k B II k u ～II k du ～II k B II k v ～II k dv ～II k， dDIk D I k p ～I k dp ～I k D I k u ～I k du ～I k D I k v ～I k dv ～I k， dDII k D II k p ～II k dp ～II k D II k u ～II k du ～II k D II k v ～II k dv ～II k 7 因为本文中气动力谐波振幅 AIk， AII k， B I k， B II k， D I k， D II k 和尾流谐波振幅 p ～I k， p ～II k， u ～I k， u ～II k， v ～I k， v ～II k 都是相对于稳 态值的增量， 因此式 7 可变为 AIk AIk p ～I k p ～I k AIk u ～I k u ～I k AIk v ～I k v ～I k， AII k AII k p ～II k p ～II k AII k u ～II k u ～I k AII k v ～II k v ～II k， BIk BIk p ～I k p ～I k BIk u ～I k u ～I k BIk v ～I k v ～I k， BII k BII k p ～II k p ～II k BII k u ～II k u ～II k BII k v ～II k v ～II k， DIk DIk p ～I k p ～I k DIk u ～I k u ～I k DIk v ～I k v ～I k， DII k DII k p ～II k p ～II k DII k u ～II k u ～II k DII k v ～II k v ～II k 8 在公式 8 中， 气动力谐波振幅和尾流谐波振幅的 比例系数 AIk p ～I k ， AII k p ～II k ， AIk u ～I k ， AII k u ～II k ， AIk v ～I k ， AII k v ～II k ， BIk p ～I k ， BII k p ～II k ， BIk u ～I k ， BII k u ～II k ， BIk v ～I k ， BII k v ～II k ， DIk p ～I k ， DII k p ～II k ， DIk u ～I k ， DII k u ～II k ， DIk v ～I k ， DII k v ～II k 只与尾流谐波的频率 kω 有 关。如果得到频率和各比例系数的关系曲线， 就可以根 据该曲线快速计算任意频率尾流引起的叶片气动力谐波 振幅而不需要反复的 CFD 气动力计算。另外， 由于在同 频情况下正弦和余弦尾流波形相同， 因此， AIk p ～I k AII k p ～II k ， AIk u ～I k AII k u ～II k ， AIk v ～I k AII k v ～II k ， BIk p ～I k BII k p ～II k ， BIk u ～I k BII k u ～II k ， BIk v ～I k BII k v ～II k ， DIk p ～I k DII k p ～II k ， DIk u ～I k DII k u ～II k ， DIk v ～I k DII k v ～II k 。故令 Ak p ～ k AIk p ～I k AII k p ～II k ， Ak u ～ k AIk u ～I k AII k u ～II k ， Ak v ～ k AIk v ～I k AII k v ～II k ， Bk p ～ k BIk p ～I k BII k p ～II k ， Bk u ～ k BIk u ～I k BII k u ～II k ， Bk v ～ k BIk v ～I k BII k v ～II k ， Dk p ～ k DIk p ～I k DII k p ～II k ， Dk u ～ k DIk u ～I k DII k u ～II k ， Dk v ～ k DIk v ～I k DII k v ～II k 。 基于这一想法， 本文建立尾流激励的叶片气动力快 速分析方法的步骤如下 见图 4 1计算定常状态下叶片气动力稳态值 A0， B0， D0。 2取若干尾流谐波样本 不同频率 ， 加载在叶片 CFD 模型进口， 计算出各谐波尾流引起的叶片气动力谐 波， 获得气动力谐波的振幅 AIk， AII k， B I k， B II k， D I k， D II k。 3计算出各频率下叶片气动力谐波的振幅与尾流 谐波振幅的比例系数 AIk p ～I k ， AII k p ～II k ， AIk u ～I k ， AII k u ～II k ， AIk v ～I k ， AII k v ～II k ， BIk p ～I k ， BII k p ～II k ， BIk u ～I k ， BII k u ～II k ， BIk v ～I k ， BII k v ～II k ， DIk p ～I k ， DII k p ～II k ， DIk u ～I k ， DII k u ～II k ， DIk v ～I k ， DII k v ～II k 。 4拟合出 3 中振幅比例系数与谐波频率的关系 曲线。 5对任意尾流进行傅里叶级数分解， 获得该尾流各 谐波的振幅 pIk， pII k， u I k， u II k， v I k， v II k 和频率 k ω。 6在4 中的拟合曲线上插值出已知尾流各谐波引 起的振幅比例系数 Ak pk ， AII k pII k ， AIk uIk ， AII k uII k ， AIk vIk ， AII k vII k ， BIk pIk ， BII k pII k ， BIk uIk ， BII k uII k ， BIk vIk ， BII k vII k ， DIk pIk ， DII k pII k ， DIk uIk ， DII k uII k ， DIk vIk ， DII k vII k 。 7将6 中的振幅比例系数和各频率已知尾流谐波 的振幅代入公式 8 ， 获得叶片气动力谐波振幅 AIk， AII k， BIk， BII k， D I k， D II k。 8将7 中的气动力谐波振幅代入公式 6 ， 可获得 已知尾流激励的叶片气动力响应。 2方法验证 以上游尾流在进口的压力波动为例验证本文方法。 流场 CFD 模型见图 5。叶片流场采用 fluent 求解， 理想 气体，Spallart- Allmaras 模型， 无滑移壁面， 稳态进口总压 120 300 Pa， 稳态出口压力为 101 325 Pa， 温度为 300 K。 尾流以10 m/s 的速度沿着进口 y 方向移动。 2．1气动力降阶模型验证 流场进口边界压力随时间的变化见图6 实线。对该 压力进行傅里叶分解， 取前7 阶波形， 求得的傅里叶级数 的系数见表1。用7 阶傅里叶级数拟合的尾流压力波形 见图6 虚线。 241振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing 图4尾流激励下的气动力快速分析方法 Fig．4The aerodynamic force of blade fast analysis under upstream wake 图5流场 CFD 模型 Fig．5The flow field model of CFD 按照前述气动力降阶模型方法， 将表 1 中各频率下 的尾流谐波逐个加载到 CFD 模型进口， 计算得到叶片气 表1尾流傅里叶级数展开的系数和频率 Tab．1The coefficients and frequencies of wake by FFT kpIkpII k kω p0120 30000 1－158．8－1 603314．4 2994．5－406628．8 3466．7485．4943．2 4－174．1401．91 257．6 5－283．82．91 572 6－70．08－173．31 886．4 791．14－84．122 200．8 图6尾流波形及其傅立叶级数拟合 Fig．6The wake and the fitting of Fourier series 动力各谐波振幅。计算结果见表 2， 将表 2 的气动力振 幅代入公式 6 ， 就可以得到尾流引起的叶片气动力响 应 见图7 虚线 。图7 a 为尾流激励的叶片升力， 图 7 b 为叶片力矩， 图7 c 为叶片阻力。 表2叶片气动力振幅 Tab．2The amplitudes of aerodynamic force for blade k kω AIkAII k BIkBII k DIkDII k 00－877．90－11．40232．80 1314．47．070．70．10．91－1．7－18．79 2628．8－44．818．3－0．50．2210．1－4．11 3943．2－21．6－22．4－0．2－0．243．83．99 4 1 257．68．1－18．68．1－0．18－1．22．79 51 57212．3－0．1312．3－0．001 2－2．10．022 6 1 886．42．66．42．60．066－0．63－1．55 7 2 200．8－2．52．3－2．50．0280．91－0．84 a升力 b力矩 c阻力 图7尾流激励的叶片气动力 Fig．7The aerodynamic force of blade under the wake 为验证降阶模型的结果， 用 CFD 模型计算了图6 尾 流激励下的叶片气动力 见图 7 实线 。从图 7 可以看 出 降阶模型的结果与 CFD 的结果一致。由此可知， 尾 流激励的叶片气动力降阶模型方法是可行的。 341第23 期罗骁等尾流激励下的叶片气动力快速分析 ChaoXing 2．2尾流激励的叶片气动力快速分析方法的验证 将3．1 节中得到的各叶片气动力谐波振幅与尾流谐 波分量的振幅相除， 获得各频率 kω 对应的振幅比例系 数， 见表3。 拟合这些振幅比例系数与频率 kω 的关系曲线 见 图8 。图8 a 、 图 8 b 和图 8 c 分别为升力、 力矩和 阻力振幅比例系数与频率 kω 的关系曲线 见图中实 线 。图8 中 “* ” 为样本采样点的叶片气动力振幅比例 系数。 表3叶片气动力谐波振幅与尾流谐波振幅的比例系数 Tab．3The ratio between the amplitude of aerodynamic force of blade and the frequencies of wake harmonic k kω Ak p ～ k Bk p ～ k Dk p ～ k 1314．4－0．088 16－0．001 1400．023 44 2628．8－0．090 09－0．001 0690．020 27 3943．2－0．092 43－0．000 9810．016 45 41 257．6－0．092 53－0．000 8970．013 89 51 572－0．086 67－0．000 8290．014 79 61 886．4－0．073 48－0．000 7610．017 88 72 200．8－0．055 26－0．000 6580．019 94 a升力振幅比例系数 b力矩振幅比例系数 c阻力振幅比例系数 图8气动力谐波振幅比例系数与频率 kω 的关系 Fig．8The relationship between the ratio of the amplitude of aerodynamic force and frequency of wake 为验证尾流激励的叶片气动力快速分析模型方法和 以上拟合曲线， 计算一个尾流压力波动下的叶片气动力 加以验证。假设已知尾流压力波为 p 120 300 1 000cos 600t 1 000cos 1 200t1 000cos 1 500t 得到的频率 k ω和振幅pk见表4。 在图8 中插值得出 该尾流波动分解后各频率对应的比例系数， 求解结果见 表4。 将表4 中的振幅比例系数分别代入公式 8 得到已 知尾流引起的气动力振幅 Ak， Bk， Dk ， 再将这些气动力 振幅 Ak， Bk， Dk 代入公式 6 得到各尾流激励下叶片的 升力、 力矩和阻力， 结果见图 9 中虚线。为验证该结果， 这里也给出用 CFD 模型计算该尾流引起的叶片升力、 力 矩和阻力， 结果见图9 中实线。 表4已知尾流各频率对应的振幅比例系数 Tab．4The ratio of the amplitude corresponding to the frequencies of known wakes k k ω pk Ak pk Bk pk Dk pk 00120 300 16001 000－0．090－0．001 10．021 21 2001 000－0．093－0．000 90．014 31 5001 000－0．089－0．000 80．014 a尾流 p 激励下的叶片升力 b尾流 p 激励下的叶片力矩 c尾流 p 激励下的叶片阻力 图9尾流激励的叶片气动力 Fig．9The aerodynamic force of blade under the wake 从图9 中可知 用尾流激励的叶片气动力再降解模 型方法计算得到的叶片气动力结果与 CFD 结果一致。 因此， 本文提出的尾流激励的叶片气动力快速分析方法 是可行的。且对于不同频率的尾流该方法无需用 CFD 反复计算各谐波下叶片气动力。 3结论 本文基于基于谐波平衡法建立了尾流激励的叶片 气动力降阶模型方法。算例结果表明 本文提出的尾流 激励的叶片气动力降阶模型方法可以快速计算尾流激励 441振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing 下的叶片气动力。 在该尾流激励的叶片气动力降阶模型的公式推导 过程中， 发现小扰动情况下叶片气动力谐波振幅与尾流 谐波振幅的比例系数是关于尾流频率函数。基于此， 本 文进一步提出了尾流激励的叶片气动力再降阶模型方 法， 且该方法无需反复的 CFD 气动力计算。算例的结果 表明 再降阶模型方法可以准确估计任意尾流激励下的 叶片气动力。 参 考 文 献 ［1］ 陈佐一． 流体激振［ M］ ． 北京 清华大学出版社， 1988 24- 27． ［2］ 王梅． 非定常流场分析结果想结构载荷压力场转化问题的 解决［ J］ ． 燃气涡轮试验与研究， 2005， 18 3 15- 19． WANG Mei． Solving the problems of transing unsteady flow analysis results to load 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