双稳悬臂梁电磁式振动能量采集研究_刘仲琳.pdf

 振动与冲击 第38 卷第23 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．23 2019 基金项目国家自然科学基金 51675370 ; 天津市应用基础与前沿技术研 究计划 15JCZDJC32200 收稿日期2018 －07 －04修改稿收到日期2018 －08 －14 第一作者 刘仲琳 男， 硕士， 1993 年生 通信作者 冷永刚 男， 博士， 教授， 1964 年生 双稳悬臂梁电磁式振动能量采集研究 刘仲琳 ，冷永刚，刘进军，范胜波 天津大学 机械工程学院， 天津300350 摘要以双磁铁结构建立的双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统为研究对象， 采用形状修正函数法和磁化电流理 论分析了双稳悬臂梁振动响应特性， 并根据电磁感应原理探索了运动坐标系下电磁感应电动势的精确仿真方法。数值模拟 和实验验证表明， 所建立的非线性磁力和磁场的分析以及悬臂梁振动响应和感应电动势的计算是合理正确的， 可用于双稳 悬臂梁电磁式振动能量采集系统的感应电动势和输出功率进行有效评估。 关键词双稳悬臂梁; 能量采集; 电磁感应; 非线性 中图分类号TN384文献标志码ADOI 10．13465/j． cnki． jvs．2019．23．018 Electromagnetic type vibration energy harvester based on bi-stable cantilever beam LIU Zhonglin，LENG Yonggang，LIU Jinjun，FAN Shengbo School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China Abstract The bi- stable cantilever beam- based electromagnetic type vibration energy harvester built with dual- magnet structure was taken as the study object，the shape correction function and the magnetizing current theory were adopted to analyze the bi- stable cantilever beam’ s vibration response features． According to the electromagnetic induction principle，the accurate simulation for electromagnetic induction electromotive force under moving coordinate system was explored． The results of numerical simulation and test verification showed that the established nonlinear magnetic force， magnetic field analysis and simulation computation for cantilever beam’ s vibration response and induced electromotive force are reasonable and correct;the proposed can be used to effectively uate the bi- stable cantilever beam- based electromagnetic type vibration energy harvester’ s induced electromotive force and output power． Key wordsbi- stable cantilever beam;energy harvesting;electromagnetic;nonlinear 近年来， 无限传感器网络、 微电子技术的飞速发展， 使得电子设备及其电路系统越来越微型化和低功耗 化 ［ 1- 2 ］。由于很多微型电子设备的能源动力主要是依靠 电池方式供电， 而电池存在自身电容量有限需要定期更 换或充电等不利条件， 因此电池成为微电子设备持续供 能的主要缺陷。为了实现微电子设备长时间不间断的供 电， 采用能够吸收周围环境能量的自供电装置来取代传 统电池的方法受到广泛的关注， 并成为研究热点， 这种收 集环境能量的系统就是能量采集系统或能量采集器 ［ 3- 5 ］。 振动能是环境中普遍存在且获取方便的一种能源， 因为环境中的振动现象处处可见， 所以振动能量采集方 法成为自供能式电源研究的主要内容之一。振动能量采 集方式主要分为电容式、 压电式和电磁式。电容式能量 采集因为结构工艺复杂且能量采集效果低没有被广泛采 用， 而压电式和电磁式的能量采集研究相对较多。压电 式能量采集器的结构简单， 设计制造也方便， 但其材料电 阻高， 输出电流很小 ［ 6 ］。电磁式振动能量采集器相比前 两者所具有的优势是， 质量轻、 体积小、 感测频率高、 内阻 比压电式的小、 适用于各种恶劣的工作环境 ［ 7 ］。本文主 要研究电磁式振动能量采集方式。 电磁式振动能量采集系统的工作机制是， 利用环境 中的振动使磁铁和线圈发生相对运动， 引起线圈磁通量 变化而产生感应电动势， 实现机电能量转换， 其通常的结 构是采用线圈和永磁体单向运动形式来改变磁通量并产 生感应电动势。Sato 等 ［ 8 ］采用耦合分析法， 研究了具有 线性谐振特性的电磁式振动能量采集系统， 该能量采集 器只能在谐波共振激励条件下达到较大的能量转换。为 了克服线性能量采集器只在谐振频率有较好的能量采集 效果的缺陷， 非线性电磁式振动能量采集器的研究越来 越受到关注。Mann 等 ［ 9 ］研究的磁悬浮式振动能量采集 器， 是在一个特氟龙管子的上下两端各固定一个永磁体， ChaoXing 特氟龙管子内有一个悬浮永磁体， 在特氟龙管子外侧绕 制有上部铜线圈和底部铜线圈， 中间永磁体的上下运动 在铜线圈内产生感应电动势。这种振动能量采集器具有 弱非线性单稳特性， 虽然能使悬浮永磁体在一个较宽的 频带范围内进行较大幅度的振荡响应， 但其机械阻尼的 存在在一定程度上降低了能量采集效果。Sari 等 ［ 10- 11 ］把 几个悬臂梁串联成悬臂梁阵列进行“离散式” 宽频带振 动能量采集， 通过 MEMS 工艺加工出几个长度不同的 Parylene 悬臂梁， 线圈置于每个悬臂梁之上， 永磁体正对 悬臂梁阵列放置， 在设定条件下获得 0． 4 μW 的输出功 率和10 mV 的输出电压。Karami 等 ［ 12 ］研究了一种双稳 压电电磁感应混合式振动能量采集器， 这种能量采集 器尽管可同时通过悬臂梁的双稳振荡实现压电效应和电 磁感应的机电能量转换， 但是这种混合能量采集方式存 在结构优化与最大机电转换输出间的折中选择问题， 因 为压电片会使结构刚度增大而降低悬臂梁振动响应幅 度， 除非增大结构尺寸。即便混合转换能量总输出大于 单项压电或电磁感应的转换输出， 其后续电路的分摊损 耗未必优于单项压电或电磁感应的电路损耗。Deng 等 ［ 13 ］单独研究了双稳悬臂梁式电磁式振动能量采集方 式， 其外部两个磁铁的设置使系统显得有些冗余， 对于变 化的环境激励， 两个外部磁铁间距以及悬臂梁磁铁与外 部磁铁间距的优化调节可能是一个比较棘手的问题。 上述非线性电磁式振动能量采集， 特别是双稳能量 采集主要研究了谐波振动激励的机电能量转换规律， 而 实际环境振动通常是具有宽频带特征的随机振动。在宽 带随机激励下电磁式振动能量采集系统具有何种响应特 性， 其机电能量转换效果如何是一个值得探索的问题。 本文以双磁铁非线性双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系 统为研究对象， 采用磁化电流法分析非线性磁力， 探索随 机激励下双稳振动的磁场变化对感应电动势的影响规 律， 为非线性电磁式振动能量采集的实际应用提供可行 的研究方案和技术基础。 1双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统 1．1双稳悬臂梁振动系统 双稳悬臂梁振动系统的基本结构和受力分析如图 1 所示， 系统包括基座 G、 悬臂梁 C、 悬臂梁末端磁铁 A 和 基座上固定的外部磁铁 B， 两磁铁 A 和 B 完全相同， 其 中心距离为 d 且相互排斥。当外部激励 P t 引起基座 振动时， 由于非线性磁力的存在， 悬臂梁 C 末端磁铁 A 的振动可呈现双稳态振动特征 ［ 14 ］。图 1 的双稳悬臂梁 系统可简化成典型的质量弹簧阻尼模型， 如图 2 所示的 等效模型。 1．2双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统 以上述双稳悬臂梁振动系统为基础， 在系统中加入 图1双稳悬臂梁结构及受力分析图 Fig．1Bistable cantilever beam structure and force analysis 图2双稳悬臂梁系统等效模型 Fig．2The equivalent model of bistable cantilever beam 一线圈绕组， 构成双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统 简称双稳梁电磁系统 ， 如图 3 所示。线圈绕组由支撑 板 E 固定在基座 G 上， 外接负载 R。线圈绕组空间中心 O 与磁铁 A 中心距离为 L。线圈绕组截面与两磁铁水平 轴线正交垂直。这样摆放线圈绕组位置， 可使线圈截面 相对磁铁 A 产生最大的切割磁感线效果。其工作原理 是 外界激励P t 通过基座G 使悬臂梁C 及其末端磁铁 A 产生振动， 末端磁铁 A 与线圈产生相对运动， 线圈截 面内的磁通量发生变化， 由此产生感应电动势， 从而完成 振动能量的采集与转化。 图3双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统 Fig．3Electromagnetic vibration energy harvester based on bistable cantilever beam 2系统结构动力学分析 2．1双稳悬臂梁动力学建模 根据图2 的等效模型， 由牛顿第二定律， 可得到双稳 721第23 期刘仲琳等双稳悬臂梁电磁式振动能量采集研究 ChaoXing 梁电磁系统的双稳悬臂梁结构的动力学方程为 kP t Fx MeqX t ηeqX t K eqX t 1 式中 Meq 、 η eq、 Keq分别为双稳悬臂梁结构的等效质量、 等 效阻尼、 等效刚度。X t 为悬臂梁和末端磁铁等效质量 的振动响应位移， P t 前面的系数 k 为集总参数模型的 幅值修正因子， Fx为两磁铁 A 和 B 之间排斥磁力 F 在 竖直方向上的分力。 Meq 、 η eq、 Keq可通过以下方程式 2～ 4 计算 给出 ［ 15- 17 ］ Meq M 33m/140 2 Keq 6EbI lb－ lA 2［ 2 l b － lA 1．5lA］ 3 ηeq 2Meqξrωr 4 方程 2 中， M 为磁铁 A 的质量， M ρAlAwAhA， m 为 双稳悬臂梁的质量， m ρblbwbtb。方程 3 中， I 为双稳 悬臂梁的截面惯性矩， I wb tb3 12 ， Eb为双稳悬臂梁基体 的弹性模量。方程式 2～ 4 中的其它参数 ρA、 lA、 wA、 hA分别为磁铁 A 和 B 的密度、 长度、 宽度和高度，ρb、 lb、 wb 及 t b分别为双稳悬臂梁的密度、 长度、 宽度和厚度。 方程式 4 中， ωr为双稳悬臂梁结构的固有频率， ωr Keq/M 槡 eq ， ξ r为机械阻尼比。修正因子 K 可根据式 5 计算 ［ 15 ］ k M/m 2 0．603 M/m 0．089 55 M/m 2 0．463 7 M/m 0．057 18 5 2．2非线性磁力计算 采用磁化电流法 ［ 18 ］计算双稳梁电磁系统的两磁铁 间非线性排斥力。根据磁化电流理论， 处于磁场中的磁 介质， 其材料的内部和外部表面均会有宏观的磁化电流 产生。由于被均匀磁化的永磁体为线性各向同性介质， 因此其内部磁化电流消失， 于是磁场作用力只考虑表面 磁化电流。 磁铁 A、 B 间的非线性磁力可以归结为磁铁 A 的磁 化电流在磁铁 B 所产生的磁场中受到的力 F， 即 F  S Km BBds， Km表示表面磁化电流面密度， BB表示磁铁 B 的磁感应强度。 一般情况下， 各向同性的磁介质中的磁感应强度可 表示为 B μH 6 式中 H 为磁场强度， μ 为磁导率， 是真空磁导率 μ0与空 气的相对磁导率 μr的乘积， 即 μ μ0μr。这里空气的相 对磁导率 μr取值为1， 则磁感应强度 B μ0H 7 双稳悬臂梁的振动响应主要由其竖直方向上受到的 磁力 Fx决定， 而根据向量乘法可知， 磁力 Fx 与 y 轴方向 的磁场强度有关， 如图 4 是两磁铁在水平位置的坐标关 系， e 为两磁铁水平位置表面间距， lb是悬臂梁长度， lA、 wA、 hA是末端磁铁 A 的长、 宽、 高。以磁铁 B 的中心为坐 标原点， 则末端磁铁 A 受到磁铁 B 在 x 轴方向上的磁力 为其上下表面受到的磁力之和 ［ 18 ］ Fx μ 0MAS Hy2 － Hy1 8 式中 S 为磁铁 A 上 下 表面的面积， Hy1和 Hy2分别表示 磁铁 B 在磁铁 A 上下两表面中心位置沿 y 轴方向上产 生的磁场强度大小。 假设磁铁B 的磁化强度大小为MB， 方向沿y 轴正方 向， 则在空间坐标一点 x， y， z ， 磁铁 B 在该点处产生的 沿 y 轴正向的磁场强度表示为 ［ 19 ］ Hy x， y， z MB 4 [ π tan －1 xpzp yx2 py 2 py 槡 2 tan －1 xnzn yx2 ny 2 ny 槡 2 －tan －1 xnzp yx2 nz 2 py 槡 2 － tan －1 xpzn yx2 pz 2 ny 槡 ] 2 9 式中 xpx hB 2 ， xn x － hB 2 ， zp z wB 2 ， zn z － wB 2 。hB、 wB是磁铁 B 的高度、 宽度。 图4两磁铁在水平位置时的尺寸结构示意图 Fig．4The schematic diagram of the two magnets at horizontal position 考虑到双稳悬臂梁的振动会引起末端磁铁 A 发生 绕 z 轴转动， 可得更精确的磁力计算式 Fx μ 0MA [ S Hy2 x － hA 2 cos ， d － hA 2 sin ， 0 － Hy1 x hA 2 cos ， d hA 2 sin ， ] 0 10 式中  是考虑双稳悬臂梁振动产生弯曲时， 磁铁 A 的磁 化强度 MA方向与水平方向的夹角。 3．3系统势能函数 不考虑重力影响， 系统的势能包括悬臂梁的弹性势 能和磁力竖直分力 Fx对磁铁做的功， 由此可得双稳梁电 磁系统振动响应在 X X0时刻位置的势 能 函数为 V X0∫ X0 0 KeqXdX －∫ X0 0 FxdX 11 对式 11 进行积分计算， 可给出势函数 V X 随磁 铁间距 d 的变化趋势， 如图5 所示， 其中积分计算的参数 821振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing 选取自表1 和表2。可以看出， 当磁铁间距 d 很大时， 磁 铁力的影响可忽略， 系统实际为线性系统， 其势函数为单 稳， 表现为只在原点处出现一个稳定的平衡位置; 随着间 距 d 的减小， 系统由线性系统变成非线性系统， 其势函数 由单稳变为双稳， 即在两个势阱处出现两个稳定的平衡 位置， 而在原点处出现一个非稳定平衡位置， 且磁铁间距 d 越小， 势阱越深。 图5势函数 V X 随磁铁间距 d 和振动响应 X 的变化 Fig．5The potential function V Xchanges with the distance of the magnet d and the vibration response X 3系统电磁感应电动势分析 3．1电磁感应电动势定义 根据法拉第电磁感应定律可知， 线圈截面的磁感应 通量 简称磁通量 发生变化即可产生感应电动势。而 磁通量 Φ 表示磁感应强度 B 对线圈截面的面积分， 即磁 场通过线圈截面的某个面积元 ds 的磁通量 dΦ 为 dΦ Bcos θds 12 式中 θ 是面积元 ds 的法线方向与磁场磁感应强度 B 方 向的夹角， 那么对于通过任意曲面 S 的磁通量即为 Φ  s Bds 13 于是根据磁通量的变化率可得感应电动势表达式 为 ［ 20 ］ ε － dΦ dt － d dt s Bds － d dt s Bcos θds 14 式 14 中的负号表示感应电动势方向。 3．2感应电动势的分析与计算 当双稳梁电磁系统工作时， 悬臂梁末端磁铁 A 的运 动引起线圈绕组中磁通量的变化， 使得线圈绕组产生感 应电动势。由于悬臂梁任意时刻的振动位置都与其水平 位置存在不同的转角， 导致其末端磁铁 A 随振动时刻发 生转角和位置的变化， 因此线圈绕组中磁通量的变化随 磁铁 A 的不同转角和位置而不同， 所产生的感应电动势 也随不同振动时刻而变化。 为了确定不同振动时刻线圈绕组因磁铁 A 振动而 引起磁通量和感应电动势的变化， 参考图4 坐标系， 这里 以磁铁 A 的中心为绝对坐标原点， 建立磁铁 A 与线圈绕 组间的坐标关系。当末端磁铁 A 振动时， 磁铁 A 在线圈 绕组某一点处所产生的三坐标磁感应强度 Bx、 By、 Bz分 量中， 因 z 轴方向上的磁感应强度方向始终平行于线圈 截面， 故 Bz对线圈中磁通量的变化没有影响， 所以只有 x、 y 坐标方向上的磁感应强度才会对线圈绕组作用而产 生电动势。由式 14 可得该电动势表达式为 ε － dΦ dt － d dt s Bds － d dt s Bycos  Bxsin  ds 15 式中  是磁铁 A 的磁化强度 MA方向与水平方向的 夹角。 根据式 7 并考虑线圈匝数 N 可得到感应电动势和 磁场强度之间的关系 ε － N dΦ dt － N d dt s Bds － N s B t ds － Nμ0 d dt s Hycos  Ηxsin  ds 16 由式 16 可知， 感应电动势的大小与线圈垂直面的磁场 强度变化的快慢成正比， 而磁场强度变化的快慢又与悬 臂梁的振动速度成比例， 因此感应电动势与末端磁铁 A 随悬臂梁的振动速度成正比。 因以磁铁 A 为中心的坐标系随磁铁 A 的振动不断 发生变化， 故线圈绕组相对磁铁 A 也不断发生位置移 动， 式 16 磁场强度可由式 9 得 ［ 19 ］ Hy MA 4 [ π tan－1 xpzp y1ax2 p z2 p y2 1 槡 a tan－1 xnzn y1ax2 n z2 n y2 1 槡 a － tan－1 xnzp y1ax2 n z2 p y2 1 槡 a － tan－1 xpzn y1ax2 p z2 n y2 1 槡 ] a 17 Hx MA 4π ln [ xpz2 n x2 p y2 1 槡 a xpz2 n x2 n y2 1 槡 a xnz2 p x2 n y2 1 槡 a xpz2 p x2 p y2 1 槡 ] a 18 式中 xpx hB 2 ， xn x － hB 2 ， zp z wB 2 ， zn z － wB 2 ， 且这 里 x、 y1a、 z 的取值是悬臂梁处于水平位置时线圈绕组中 某一点的坐标值， 即磁铁 A 中心坐标原点在水平位置 时， 线圈中某一点相对于此刻位置坐标系的坐标值。这 表明， 在计算磁场强度的式 17 和 18 中， 由于坐标系 原点随磁铁 A 振动位置的变化而不断发生变化， 导致线 圈中任意一点坐标 x， y， z 值相对于移动变化的坐标系 也不断变化， 因此线圈坐标 x， y， z 不是绝对坐标， 给计 算带来不便， 需研究线圈从相对坐标转换至绝对坐标的 计算方法。 921第23 期刘仲琳等双稳悬臂梁电磁式振动能量采集研究 ChaoXing 3．3线圈绝对坐标计算 为了准确获得运动坐标系中线圈任意一点的绝对 坐标值， 以悬臂梁从水平位置向上沿 x 轴方向振动至某 一位置进行分析。因磁铁的振动限制在 x －y 平面内， 故 不考虑 z 坐标值的变化。随磁铁 A 运动的坐标系是一个 相对坐标系， 其运动可看成平移和旋转两部分运动的 合成。 当悬臂梁带动末端磁铁 A 向上平移运动时， 如图 6 简化示意图， 其末端磁铁 A 中心点由原来水平位置平移 至 A， 原线圈中任意一点 x， y， z 的坐标变为 x， y， z 或 x －x i ， y －y i ， z ， 其中 x i 是末端磁铁中心点在 x 轴方向的响应位移， 考虑悬臂梁形状修正函数， 由 x i 可算得末端磁铁 A 中心点在 y 轴方向的位移 ［ 21 ］ y i π2 lb lA/2 x2 i π2x2 i 12 lb lA/2 2 19 图6运动坐标系平移变换示意图 Fig．6Schematic diagram of translation transation under the moving coordinate system 将 A点坐标系旋转  角度到实际振动角度位置， 如 图7 所示， 则线圈中任意一点坐标 x， y， z 变为 x″， y″， z 或 xcos  ysin ， ycos  － xsin ， z 20 图7运动坐标系旋转变换示意图 Fig．7Schematic diagram of rotation transation under the moving coordinate system 已知双稳悬臂梁振动产生弯曲时， 磁铁 A 的磁化强 度 MA方向与水平方向的夹角可由下式计算［ 21 ］ sin  x i π 2 lb lA/2 1 － cos πx i 2 lb lA/2 sin πy i 2 lb lA/2 ， cos  1 － sin2 槡  21 根据位移响应 x i ， 联立求解式 19 、 20 、 21 ， 可得原线圈中任意一点坐标 x， y， z 相对于运动坐标系 的绝对坐标 x″， y″， z 的值。 4数值模拟 选取表1 的一组材料及其属性参数和表2 的几何结 构参数进行模拟计算分析， 计算分析中需要的其他参数 是 机械阻尼比 ξr0． 017 8。依照这些参数， 研究宽带 随机激励下双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统的 特性。 表1悬臂梁和磁铁主要材料参数 Tab．1Main material parameters of cantilever beam and magnets 参数数值 悬臂梁基体材料 矽钢 Eb/GPa200 ρb/ kgm －3 7 711 磁铁材料 N38N ρB/ kgm －3 7 500 Br T1．25 μ04π 10 －7 表2悬臂梁和磁铁的主要几何参数 Tab．2Main geometric parameters of cantilever beam and magnets 几何参数数值/mm lb70 wb12 tb0．3 lB5 hB9．4 wB20 4．1双稳悬臂梁振动响应特性 双稳梁电磁系统产生的感应电动势与悬臂梁的振 动状态密切相关， 悬臂梁是否处于双稳跃迁的响应状态， 将直接影响感应电动势的输出效果。在不考虑线圈绕组 阻抗的前提下， 取激励强度 D 0． 05 和带宽 0 ～120 Hz 的高斯白噪声激励 P t ， 采用四阶龙格库塔法 Runge- Kutta 对方程 1 进行数值计算， 对于不同磁铁间距 d， 得到图8 磁铁 A 位移响应 x t 的时间波形及其相图。 从图8 可知， 存在一个合适的磁铁间距 d028 mm， 可使磁铁 A 的振动幅度达到双稳跃迁的大幅度响应， 而 磁铁间距小于 d0 如 d 18 mm 或大于 d0 如 d 50 mm 时， 系统响应将处于小幅振动响应。不难理解， 对一 定强度带宽的随机激励， 合适的磁铁间距可使双稳振动 的电磁系统产生较大的感应电动势。 031振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing 图8系统振动响应时域图 左列 及其相图 右列 Fig．8Time domain map leftand phase diagram rightof vibration response 4．2双稳响应的电磁感应电动势仿真计算 本文线圈绕组的截面形状为正方形， 其边长为 15 mm， 线圈匝数 N 40 匝。将正方形线圈截面均分为 10 000 个微元 正方形 面积。 根据上节较优磁铁间距 d028 mm 处双稳振动位 移响应时间波形， 并以其采样间隔 Δt 1 ms 确定磁铁 A 的不同时刻的振动位置， 于是 10 s 的响应解一共可确定 10 000 个磁铁 A 的不同振动位置 i， 每一个位置对应一 个响应 x i 。针对每个磁铁 A 的振动位置， 计算 N 匝线 圈每个截面的10 000 个微元面中心绝对坐标值 x″，y″， z 处的磁场强度 Hx， Hy ， 将这 10 000N 个磁场强度相 加， 便可得到线圈绕组在磁铁 A 第 i 个振动位置响应解 x i 的总的磁场强度。 将相邻间隔 Δt 的两磁场强度相减并除采样间隔 Δt， 可近似得到磁铁 A 的两个相邻振动位置 x i 和 x i 1 在整个线圈绕组中产生的磁场强度 H 的变化率 ΔH Δt H i 1－ H i Δt ， i 1， 2， ， 9 999 22 10 000 个 x i 响应位置共可以求得9 999 个相邻的 连续磁场变化率， 于是可根据式 16 求得此双磁铁非线 性双稳悬臂梁电磁式振动能量采集器产生的感应电动 势。为验证感应电动势计算方法的正确性， 根据磁场变 化率与磁铁 A 振动速度的正相关性， 可将磁铁 A 的位移 响应进行一次差分得到其振动速度， 然后与感应电动势 进行对比考察。图9 a 是磁铁间距 d028 mm 时磁铁 A 的位移响应， 图9 b 是其速度波形 位移的一次差分 求得 ， 图9 c 是感应电动势的时间波形。可知， 图 9 c 线圈感应电动势与图 9 b 磁铁 A 的速度的变化趋 势保持一致， 说明感应电动势计算方法的正确性。 a位移 b速度 c感应电动势 图9磁铁 A 中心点在 x 轴方向上的仿真数据 Fig．9The simulation data of the center point of magnet A in x direction 5实验验证分析 5．1实验平台 为了验证理论分析和仿真结果， 参照图 3 设计制作 了双磁铁非线性双稳悬臂梁电磁式振动能量采集系统实 验方案， 其实验结构如图 10 a 所示。激振器振动方向 始终与重力方向垂直 或与地面平行 ， 这样可忽略实验 过程中悬臂梁与末端磁铁的重力对实验结果的影响。为 了测量末端磁铁 A 的位移响应， 系统中加入了激光位移 传感器如图 10 b 所示。实验分析时， 悬臂梁和磁铁主 要材料参数与表1一致， 悬臂梁和磁铁的主要几何参数 a双稳悬臂梁电磁式能量采集系统实验结构 b附加激光位移传感器 图10 Fig．10Electromagnetic vibration energy Harvester based on Bi- stable cantilever beam the experimental structure;laser displacement sensor 131第23 期刘仲琳等双稳悬臂梁电磁式振动能量采集研究 ChaoXing 选自表2。整个实验系统的设备主要由双稳悬臂梁电磁 式振动能量采集器、 信号发生器、 功率放大器、 激振器、 加 速度传感器、 数据采集器、 激光位移传感器系统和计算机 组成， 其实验测试系统框架如图11 所示。加速度传感器 是用来测量激振器的振动强度， 以保证多次试验的振动 强度一致。而激光位移传感器主要用来测定末端磁铁 A 的位移响应。此外， 感应电动势由 NI PXI- 1033 数据采 集仪中的电压采集模块测量。 图11双稳悬臂梁电磁式振动能量采集器实验测试框图 Fig．11Experimental test system of the electromagnetic vibration energy Harvester based on Bi- stable cantilever beam 实验中， 首先在计算机中生成带宽为 0 ～120 Hz 的 随机激励数字信号， 如图 12， 然后通过 USB 接口输入给 信号发生器， 再由信号发生器输出， 经过功率放大器和激 振器作用于电磁能量采集器上。激振器产生的激励强度 加速度 、 电磁能量采集器 负载 产生的感应电动势、 悬臂梁的位移由多通道数据采集器进行采集， 并在计算 机中进行分析。采样频率为1 000 Hz。线圈绕组匝数为 40 匝。激振器激振强度的加速度有效值保持在 0． 48 g 左右。 a时域图 b频域图 图12随机激励信号的时域和频域图 Fig．12Random excitation signal time domain graph and spectrum graph 5．2实验结果分析 当实验磁铁间距 d028 mm 时， 末端磁铁 A 的位移 响应近似双稳状态， 如图 13 所示。图 14 a、 b 是末 端磁铁 A 的位移响应波形及其速度波形， 该速度波形由 位移波形数据的一次差分得到。实验采集的线圈感应电 动势如图14 c 。由图 14 b 和 c可知， 线圈感应电 动势的大小与磁铁 A 在 x 轴方向上的速度的变化趋势 保持一致， 也表明与线圈垂直面的磁场强度变化的快慢 成正比， 这种结果与图 9 的模拟结果一致。在表 2 几何 尺寸结构下， 仅40 匝线圈绕组产生系统感应电动势的有 效值即可达到1．1 mV， 当负载 R 为 200 Ω 时， 其功率为 6．05 10 －6 mW。 图13末端磁铁 A 的相图 Fig．13Phase portrait of magnet A a位移 b速度 c线圈感应电动势 图14磁铁 A 在 x 轴方向上的位移、 速度和线圈感应电动势 Fig．14The experimental data of the center point of magnet A in x direction，displacement，velocity and induced voltage 将实验位移响应数据代入式 16 进行模拟计算， 得 231振 动 与 冲 击2019 年第38 卷 ChaoXing 到线圈实际振动响应数据的感应电动势模拟曲线， 如图 15 所示。比较图14 c 和图15 可知， 实验与模拟得到的 两感应电动势曲线的变化趋势完全一致， 仿真感应电动 势有效值为1．05 mV， 与实际测得感应电动势相符， 表明 上述非线性磁力和磁场的分析以及悬臂梁动态响应和感 应电动势的计算是合理正确的， 这种研究方法可有效预 测评估双稳悬臂梁电磁式振动能量采集器的感应电 动势。 图15实验数据的模拟感应电动势 Fig．15The induced voltage calculated by experimental displacement 6结论 本文设计了一种双磁铁非线性双稳悬臂梁电磁式 振动能量采集器， 通过数值模拟和实验验证得出的结 论是 1将悬臂梁形状修正函数、 磁化电流理论引入动 力学方程计算， 得到了更精确的双稳响应位移和感应电 动势的模拟结果。 2为了计算固定线圈绕组相对运动磁铁坐标系的 坐标， 以运动的悬臂梁末端磁铁中心为原点建立相对坐 标系， 采用坐标平移和旋转方法， 得到了线圈绕组的绝对 坐标值。 3线圈感应电动势的变化趋势与悬臂梁末端磁铁 速度的变化趋势保持一致， 表明线圈感应电动势与线圈 垂直面的磁场强度变化率成正比。 4以实验数据为基准的感应电动势模拟计算结 果， 证明了本文非线性磁力和磁场的分析以及悬臂梁动 态响应和感应电动势的计算是合理正确的， 为双稳悬臂 梁电磁式振动能量采集器的感应电动势的有效预测评估 提供了可行的研究方法。 参 考 文 献 ［1］ MIZUNO M，CHETWYND D G． Investigation of a resonance microgenerator ［J ］ ．JournalofMicromechanics＆ Microengineering， 2003， 13 2 209． ［2］ 唐刚，刘景全，马华安， 等． 微型压电振动能量采集器的研 究进展［ J］ ． 机械设计与研究， 2010， 26 4 61- 64． TANG Gang，LIU Jingquan，MA Huaan， et al． A survey on research of micro piezoelectric vibration energy harvester［ J］ ． Machine Design and Research， 2010， 26 4 61- 64． ［3］ AMIRTHARAJAH R A P． Chandrakasan． Self- powered signal processing using vibration- based power generation［J］ ． IEEE Journal of Solid- State Circuits， 1998， 33 5 687- 695． ［4］ MITCHESON P D， YEATMAN E M， RAO G K， et al． Energy harvesting from human and machine motion forw