Alford力和磁悬浮轴承对转子系统动力学特性的影响_王小虎.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 收稿日期 2018 -11 -27 修改稿收到日期2019 -01 -27 第一作者 王小虎 男,博士,工程师,1986 年生 Alford 力和磁悬浮轴承对转子系统动力学特性的影响 王小虎, 鄢光荣, 胡瑶尧, 唐 瑞 中国航发四川燃气涡轮研究院,成都 610500 摘 要以磁悬浮轴承支承的航空发动机高压模拟转子为对象,研究了在压气机叶尖气流激振力和磁悬浮轴承电 磁力共同作用下的转子系统动力学特性。 采用 Timoshenko 梁理论建立了模拟转子的有限元模型,在模型中引入由 PID 方法控制的差动磁悬浮轴承电磁力以及由 Alford 力表示的压气机叶尖气流激振力,利用 Newmark-β 法求解了转子系统的 动力学响应。 计算结果表明,在非线性 Alford 力和磁轴承电磁力共同作用下,转子系统表现出了较复杂的动力学特征;磁 悬浮轴承的控制参数对转子系统特性有较大影响,不同取值可能导致转子出现单周期、多周期拟周期甚至失稳等不同动 力学行为;因此,对由磁悬浮轴承支承并含轴流压气机的转子,需考虑叶尖气流激振力与电磁轴承力的相互影响进而确定 轴承控制参数。 关键词 磁悬浮轴承;Alford 力;非线性;转子动力学 中图分类号 TH212;TH213. 3 文献标志码 A DOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 032 The influence of Alford force and active magnetic bearing on the dynamic behavior of a rotor system WANG Xiaohu, YAN Guangrong, HU Yaoyao, TANG Rui AECC Sichuan Gas Turbine Research Establishment, Chengdu 610500, China Abstract The dynamic characteristics of a rotor system incorporating flow induced Alford forces and electromagnetic forces of active magnetic bearings AMBs were studied, based on a simplified model high-pressure rotor of an aero engine supported by AMBs. The Timoshenko beam theory and a finite element were utilized to model the rotor. Electromagnetic forces of the AMBs controlled by differential PID s and flow induced Alford forces at the tip of the compressor vanes were introduced, before the dynamic responses of the rotor system were calculated through the Newmark-β . The results reveal complex dynamic behaviors of the rotor system simultaneously excited by the nonlinear Alford forces and bearing electromagnetic forces. Control parameters of the AMBs show remarkable influences on the rotor system dynamics, by changing it into period 1, multi-period and quasi-period motions with different values. Therefore, for rotors supported by AMBs and with axial compressors, effects of the flow induced Alford forces and electromagnetic forces need to be considered before determining control parameters. Key words active magnetic bearing; Alford force; nonlinear; rotor dynamics 磁悬浮轴承技术自其诞生以来便因其无摩擦、低 损耗、寿命长、工作转速高,以及可以较易实现对转子 的主动控制而受到学术界与工业界的广泛关注。 主动 磁悬浮轴承以下简称磁轴承因其可以被主动控制从 而调节转子系统动力学特性的优点,已在多种场合成 功应用。 磁轴承的机械结构较简单,但由于电磁吸力 内在的“负刚度”特性以及较强的非线性特点[1],其控 制方法、稳定性与非线性动力学一直是研究的热点 之一。 在使用轴流式压气机的燃气轮机或者航空发动机 中,压气机转子转动时发生径向偏离或变形,就会造成 叶轮各叶片顶端和外壳之间的间隙不再相等, 从而引 起一个流体激振力,即所谓 Alford 力[2 -4]。 这种非线性 力其能激发出转子的反进动模式[5],引入负刚度,从而 可能导致转子失稳。 在滚动或滑动轴承支承的转子系 统中,Alford 力的出现会使系统出现非线性特性。 辛晓 辉等[6]采用滑动轴承短轴承理论研究了汽轮机转子在 非线性油膜力和气流激励力共同作用下转子的非线性 特性;黄来等[7]考察了油膜轴承、气流力和质量偏心共 同作用下转子的非线性特性,并发现不同力对转子的 运动周期性质影响不同。 白长青等[8]研究了 Alford 力 ChaoXing 和非线性滚动轴承力共同作用的航空发动机转子,发 现超过临界转速后,Alford 对转子稳定性的影响越来越 大;成玫等[9]分析了滚动轴承及 Alford 力的影响后,发 现滚动轴承间隙对系统的分岔行为影响较大。 这些研 究结果都表明气流激励 Alford 力对整个转子系统动力 学有显著影响。 在磁轴承支承的转子平稳运转时,磁 轴承处转子振动通常较小,控制电流变化也较小,除专 门考量外[10 -13],磁轴承力一般可以当作线性力处理。 然而,当非线性的 Alford 力引入后,转子系统运动趋于 复杂,承载变化较大,会使得磁轴承工作偏离线性区 域,从而呈现出较强的非线性特征。 此外,磁轴承的力 学特性,除受自身物理结构影响,更多地还受控制算法 以及控制参数影响[14 -17],因此为了推进磁轴承在含轴 流压气机的转子系统中的应用,有必要研究气流激励 力和磁轴承电磁力共同作用下的转子动力学特性。 本文首先利用 Timoshenko 梁理论建立了航空发动 机模拟转子模型,然后计入 Alford 力以及采用 PID Proportional Integral Derivative控制的磁轴承力的影 响,最后利用有限元方法以及 Newmark-β 法求解了整 个系统的响应。 结果显示在计入 Alford 力后,在多种 工况下转子系统非线性特征显著。 同时,工况一定,改 变控制参数,系统振动特征也会出现较大变化,表明磁 轴承区别于传统轴承,需要将控制算法及其参数考虑 进轴承与转子系统的耦合动力学中。 1 转子系统动力学模型 1. 1 动力学方程 考虑某个转子系统,其动力学方程为 Mq C ωG q K - Kcq Ft1 式中q ,q,q 分别为广义加速度向量、速度及位移向 量;M,C,G,K,Kc分别为转子系统不含轴承特性的 质量阵、阻尼阵、回转阵、刚度阵和离心力引起的刚度 软化矩阵;ω 为转速;Ft为外部激励力向量,且 Ft FBt FAt ft fg2 式中FBt为磁轴承提供的轴承力;FAt为转子受到 的 Alford 力;ft为其他外部激励动力;fg为重力向量。 此处引入重力向量,是因为在竖直方向上,磁轴承需要 先平衡掉转子重力后,再提供对其他激励的支承力。 在对转子系统的一般处理方法中,轴承特性往往等效 为刚度和阻尼特性,集成进 K 和 C 中,忽略重力的影 响,式2右端只有 ft项。 由于磁轴承特性受控制参 数、转子振动幅值等多种因素影响,轴承力为非线性 力,难以简单等效为刚度或阻尼系数,故在本文中直接 将轴承电磁力作为激励加入系统动力学方程中。 1. 2 磁轴承力 磁轴承中一个电磁铁产生的电磁吸力可表示为 FBt μ0n2A 4 i2t x2t 3 式中真空磁导率 μ04π 10 -7 N/ A2;n 为线圈匝数; A 为磁极投影面积;i 为励磁电流强度;x 为轴承转子与 定子间距;t 为时间变量。 磁轴承应用中对一个自由度 上的两个磁铁如图 1 中的 1、3 号磁铁常采用差动控 制,如在图 1 中使电流 I1,I1分别为 I1 I0 Δi 和 I3 I0- Δi,其中 I0为偏磁电流,Δi 为控制电流。 在此差动 控制方式下,物体所受电磁合力为 FBt μ0n2A 4 I0 Δi x0 Δx 2 - I0- Δi x0- Δx 2 [] 4 式中x0为悬浮平衡位置;Δx 为相对偏移量。 一般为方便数学处理和控制器设计,往往将式4 进行线性化处理,但在本文中保留 FBt的标准形式, 用于计入磁轴承的非线性效应。 图 1 径向磁轴承系统结构 Fig. 1 Schematic of a radial AMB system 径向磁轴承的系统结构示意图及磁极编号与坐标 系定义见图 1。 磁轴承本体主要包含定子、绕组线 圈和转子,且定子磁极和转子之间的电磁吸力使得转 子悬浮。 控制器从位移传感器采集转子位移信号,根 据控制算法输出控制电流。 控制电流经功率放大器放 大后对各绕组励磁,进而产生电磁吸力。 在本研究中,控制算法采用通用的 PID 控制;对 于数字控制器,PID 控制为离散式,采用不完全微分 PID,控制系统如图 2 所示。 控制算法的差分方程因 此为 Uk c KM1{KpU k e Km[KiTU k e U k -1 e ] [ Kd Td TU k e- U k -1 e ]} KM2Uk -1 e 5 式中Kp为比例系数;Ki为积分系数;Kd为微分系数; Td为惯性时间常数;Uc为控制器输出控制电压;Ue为 传感器输入电压;上标 k 为离散步数;T 为采样时间; KM1和 KM2为死区控制参数。 在本文中,忽略转子轴向 力,因此没有轴向推力磁轴承。 322第 8 期 王小虎等 Alford 力和磁悬浮轴承对转子系统动力学特性的影响 ChaoXing 图 2 磁轴承的离散数字PID 控制 Fig. 2 Discrete digital PID control of the AMB 1. 3 叶尖气流激励力 采用柴山等的研究中对原始 Alford 力表达式的改 进形式,叶尖气流激振力可以表示为 FAt 2R2 T - R2 Bπv 2 1ρ0RTet R2 T - R2 B 2RTδ2 L1 ψL2 6 式中RT为叶尖半径;RB为叶根半径;v1为叶片进气 相对速度;ρ0为气流密度;δ 为叶顶平均间隙;ψ 为速 度系数;L1,L2的详细表达式见柴山等的研究。此外, Alford 力 FAt 的方向与叶片转子的偏移 et 方向 垂直, 因 此 在 计 算 中 需 要 根 据 et 的 方 向 确 定 FAt 的方向。如在图 3 转子坐标系 ξOη 中,FAt 始终指向 - ξ方向,而转子坐标系 ξOη与固定坐标系 xOy 不重合, 因此可以将 FAt 在 xOy 中分解为 FAxt 和 FAyt,并施加在转子动力学方程式1 的相应自由度上。 图 3 Alford 力及其方向 Fig. 3 The Alford force and its direction 2 转子系统动力学分析 2. 1 计算模型 用于计算的航空发动机高压转子模拟转子模型结 构如图 4 上半部分,主要将压气机和涡轮简化为质量 盘,并忽略对转子动力学影响较小的结构。 图 4 下半 部分为模拟转子对应的有限元模型,用于求解转子动 力学方程。 有限元模型中根据转子轴段内外径不同, 分别以不同内外径的 Timoshenko 梁单元建模;两个磁 轴承的轴承力按式3计算,分别施加在轴承对应节点 上;叶尖 Alford 力施加在压气机盘节点上;所有节点都 受重力作用,因此重力以加速度形式施加在每个节点 的 x 自由度上。 模拟转子的结构及主要尺寸见图 4,压 气机与涡轮的模拟质量盘参数见表 1。 磁轴承系统主 图 4 高压转子模拟转子及对应有限元模型 Fig. 4 Simulated rotor of the high-pressure rotor and the corresponding finite element model 表 1 质量盘参数 Tab. 1 Parameters of the disks 质量盘半径内/ 外 / mm厚度/ mm质量/ kg偏心/ mm极转动惯量/ kgmm2赤道转动惯量/ kgmm2 压气机盘42/85253. 350. 07515. 07. 5 涡轮盘32. 5/80423. 270. 08012. 26. 1 422振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 要参数见表 2。 利用这些参数,可以完成模拟转子系统 有限元模型的建模,然后利用 Newmark-β 法对有限元 方程进行数值积分,即可求得转子系统的瞬态响应。 2. 2 系统特性 首先考察无 Alford 力时系统的振动特性。 图 5 绘 制了无 Alford 力 时 磁 轴 承 转 子 系 统 从 0 加 速 至 30 000 r/ min时的升速响应,上下图分别为 1轴承处 x 向振动响应和 1 号磁极电流值。 可见,在 9 300 r/ min 附近,系统到达一阶临界转速,且轴承处振动形式和电 流变化形式相似。 为承受转轴重量,1 号磁极在平衡时 励磁电流 I1在 3. 22 A 附近小幅波动;在临界转速附 近,振动增大导致轴承承载力增加,因此 I1波动范围扩 大至约 2. 05 4. 55 A。 可见,在没有计入 Alford 力时, 磁轴承主要还是在线性范围内工作,整个转子系统动 力学响应并无明显非线性特征。 表 2 磁轴承系统主要参数 Tab. 2 Main parameters of the AMB system 参数1轴承2轴承 气隙 c0/ mm0. 30. 3 线圈匝数 n104110 偏置电流 I0/ A32 最大电流 Imax/ A66 磁极面积 A/ mm2260240 比例系数 Kp2. 953. 58 积分系数 Ki120. 23104. 84 微分系数 Kd0. 0160. 050 图 5 转子升速 1轴承处 x 向振动及电流响应 Fig. 5 Displacement and current response at bearing 1 during rotor acceleration Alford 力主要计算参数见表 3,其中进气绝对速度 v1a与式6中进气相对速度 v1关系见柴山等的研究。 图6 为引入 Alford 力后,系统在转速1 500 r/ min 时 1轴承节点及压气机节点的轴心轨迹和 x 向振动频谱。 可以清楚看到,由于非线性 Alford 力的引入,系统响应出 现了明显的非线性特征,且两节点处的轴心轨迹和振动 频谱有一定的相似性在两点的频谱中,幅值最高分量都 约为180 Hz。 使用简支方式代替磁轴承,可以计算得到 转子的一阶反进动频率约为 186. 2 Hz,考虑到磁轴承刚 度偏弱,可以认为图6 的180 Hz 分量是由 Alford 力激励 起的转子第一阶反进动振动频率。 两频谱中都还存在不 可通约的其他频率分量,证明非线性气流激励力对压气 机和轴承都会产生影响。 此外,在轴承处的频谱中,还存 在许多转频25 Hz及其倍频分量,而在压气机处这些分 量几不可见。 这些频率分量是非线性的轴承力引入的。 由此可见,从整个转子来看,在 1 500 r/ min 时,Alford 力 的非线性因素起主要作用,但是对于轴承附近,磁轴承的 非线性轴承力影响则不可忽略。 图7 绘制了转速分别为 1 500 r/ min 和7 000 r/ min 时转子上两个轴承处以及压 气机、涡轮处的轴心轨迹。 可见,在低转速时,在整个转 子系统呈现非线性特征;而在高转速时,整个系统均表现 出线性特征。 表 3 Alford 力主要计算参数 Tab. 3 Main calculate parameters of the Alford force 参数值 叶片进气绝对速度 v1a/ ms -1 80 气流密度 ρ0/ kgm -3 11. 8 叶尖半径 RT/ mm80 叶根半径 RB/ mm68 速度系数 ψ0. 83 叶尖平均间隙 δ/ mm1. 8 图 6 1轴承与压气机节点轴心轨迹及 x 向振动频谱1 500 r/ min Fig. 6 Orbits and the frequency spectra displacement in the x direction of bearing 1 and the compressor nodes 1 500 r/ min 522第 8 期 王小虎等 Alford 力和磁悬浮轴承对转子系统动力学特性的影响 ChaoXing 图 7 轴承、压气机及涡轮处转子轴心轨迹 Fig. 7 Orbits at the bearings, compressor and turbine 图 8 绘制了转速分别为1 500 r/ min 和7 000 r/ min 时 1轴承磁极电流强度 I1和压气机节点 Alford 力 x 向 分量 FAx随时间的变化情况。 可见,在 1 500 r/ min 时, Alford 力较大,轴承承载多次达到或接近设计极值 I16 A 和 0;而在 7 000 r/ min 时,Alford 力减小,磁 极电流在静载偏置电流 3. 22 A 附近震荡,振幅约 0. 4 A。 作为对比,图中 IRef曲线为无 Alford 力时的电 流值。 磁极电流达到极值意味着轴承输出了最大支承 力。 根据式3,磁轴承力与励磁电流强度 it也呈非 线性关系,it幅值增大使得磁轴承输出了强烈的非线 性力,这与图 6 所示结果一致。 此外,观察图 8 还可以 发现,轴承电流波形与 Alford 力波形相似,但是有相位 滞后,表明磁轴承控制系统对外界响应存在时滞。 当磁轴承承载接近满负荷时,若转子再受到额外扰动、 控制系统出现波动等情况,轴承极易失稳导致转子跌 落。 所以,在 Alford 力的影响下,磁轴承力的非线性效 应增强,失稳的可能性增加。 在采用传统轴承的场合, Alford 的存在同样有可能导致系统失稳,然而磁悬浮轴 承因为比承载力小、电磁吸力不稳定等特性,在 Alford 力影响下更容易出现过载或失稳。 图 8 转速 1 500 r/ min 及 7 000 r/ min 时 1 轴承磁极电流 I1及 Alford 力 FAx Fig. 8 Bearing current I1and Alford force FAxat 1 500 r/ min and 7 000 r/ min 2. 3 质量偏心对系统动力学特征的影响 为考察质量偏心对转子系统动力学特征的影响, 选择了转速5 000 r/ min 进行分析。 图9 绘制压气机盘 质量偏心 ec分别是 0. 08 mm,0. 30 mm,0. 60 mm 时压 气机盘处的轴心轨迹及竖直方向振动解的 Poincar 映 射。 随着偏心量增大,节点所受离心力增大,增大转子 变形,而转子变形增大会导致 Alfod 力增大。 这两种力 与轴承支承力共同作用决定转子的轴心轨迹。 从图 9 可知,在此转速下,随着偏心增大,一方面系统周期数 出现变化;另一方面压气机节点振幅反而有下降趋势, 这一现象与纯线性转子系统响应有所区别。 图 9 转速 5 000 r/ min 时不同偏心下压气机处轴心轨迹及 Poincar 映射 Fig. 9 Orbits and Poincar map of the compressor node at 5 000 r/ min with different eccentricities 622振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 2. 4 控制参数影响 不同于一般采用滚动轴承的转子,磁轴承特性并 非固定不变,在工况确定后,其特性仍然受控制参数影 响。 下面分别研究参数 Kp,Kd,Ki对系统特性的影响。 2. 4. 1 比例系数 Kp对系统响应的影响 图 10 绘制了转速 5 000 r/ min 且其余参数不变, 比例参数 Kp分别为 1. 55,2. 95 及 4. 55 时 1轴承处 轴心轨迹和 x 向响应的 Poincar 映射。 在 Kp 1. 55 时,系统为典型的单周期运动,Poincar 截面上只有一 点。 在此时的轴心轨迹图上可以看到,轴承 x 向上振 幅明显大于 y 向,表明此时轴承 x 向刚度小于 y 向刚 度,意味着 Kp对轴承刚度有影响,这与文献[18]结论 一致。 当 Kp取 2. 95 时,振动为拟周期;当 Kp取 4. 55 时,振动为多周期形式。 参照图 11 系统关于 Kp的分 岔图可知,在 Kp从 1. 55 增加至 4. 95 的过程中,1轴 承处振动先是单周期运动,然后在约 Kp 1. 85 进入 多周期运动,再到拟周期运动,再从约 Kp 3. 25 后, 振动又变为多周期运动。 此外注意到,在约 Kp 2. 35 3. 25 内,转子进行拟周期运动,振幅大于 Kp 取其他值时。 这一现象表明比例系数 Kp对转子运动 行为及振幅同时产生影响,在选取磁悬浮轴承控制参 数时需考虑此特点。 图 10 比例参数 Kp1. 55, 2. 95, 4. 55 时 1轴承轴心轨迹及 Poincar 映射 Fig. 10 Orbits and Poincar map of bearing 1 node with Kp1. 55, 2. 95, 4. 55 图 11 1轴承处 x 向振动响应随比例参数 Kp的分岔图 Fig. 11 The bifurcation diagram versus Kp of displacementat bearing 1 in the x direction 2. 4. 2 微分系数 Kd对系统响应的影响 图 12 为转速 5 000 r/ min 时微分系数 Kd分别为 0. 015,0. 019 和 0. 025 时,1轴承处轴心轨迹和 x 向响 应的 Poincar 映射。 可见,随着 Kd的增大,系统的周期 数逐步减少,最后成为单周期运动,此特性也可以从图 13 所绘制的系统关于 Kd的分岔图中可知。 值得注意 的是,在此转速下,若 Kd 0. 015 则系统解发散,表明 此时转子失稳。 由于微分参数与控制系统的响应速度 有关,此现象意味着若有 Alford 力存在,则系统响应速 度不能太慢,否则容易失稳。 2. 4. 3 积分系数 Ki对系统响应的影响 图 14 为 Ki1 200 时 1轴承处轴心轨迹和 x 向响 应的 Poincar 映射。 对比默认参数时Ki 120的轨 迹和 Poincar 映射如图 10 中 Kp2. 95 时的两图可知, 虽然积分系数 Ki扩大了10 倍,但其对转子响应几乎没 有明显影响。 考虑到积分系数的引入主要是修正稳态 响应时的平衡位置,对系统振动响应形式几无影响,此 现象是合理的,这也是相当一部分磁轴承系统只进行 PD 控制即可稳定工作的原因。 由以上分析可知,不同于采用传统轴承的转子,在 磁悬浮轴承转子系统中,即使转子系统的机械结构、使 用工况都确定,一旦控制参数发生变化,系统动力学特 性也可能出现较大的变化。 此结果一方面意味着在使 722第 8 期 王小虎等 Alford 力和磁悬浮轴承对转子系统动力学特性的影响 ChaoXing 用磁轴承时,最好能采用自适应算法,对不同工况优选 控制参数;另一方面也表明,通过采用磁轴承并调节控 制参数,可以主动控制转子系统的动力学特征,实现对 转子系统的主动控制。 图 12 微分参数 Kd0. 015,0. 019,0. 025 时 1轴承轴心轨迹及 Poincar 映射 Fig. 12 Orbits and Poincar map of bearing 1 node with Kd0. 015,0. 019,0. 025 图 13 1轴承处 x 向振动响应随微分参数 Kd的分岔图 Fig. 13 The bifurcation diagram versus Kd of displacementat bearing 1 in the x direction 图 14 Ki1 200 时 1轴承处轴心轨迹及 Poincar 映射 Fig. 14 Orbits and Poincar map of bearing 1 node with Ki1 200 3 结 论 本文分析了在叶尖气流激振 Alford 力和磁轴承力 共同作用下转子系统的动力学特性,结果表明,在这两 种非线性力的作用下,转子系统呈现出了较复杂振动 特征。 具体结论有 1无 Alford 力存在时,虽然磁轴承力也是非线性 力,但轴承基本工作在线性区间,系统整体呈现线性动 力学特征,表明在一般应用中将磁轴承力进行线性近 似是可行的。 2引入 Alford 力后,一方面其本身有较强非线 性,另一方面在一定条件下,Alford 力幅值较大,导致磁 轴承接近于满负荷工作。 如本次仿真中转子静悬浮状 态下 1磁轴承承载约 68. 8 N,但是在 Alford 力存在时 1磁轴承最大承载超过了 1 100 N,接近其设计载荷 1 200 N,同时轴承力出现强烈非线性,这极易使轴承过 载或失稳,导致转子坠落。 3在有气流激励 Alford 力的磁轴承转子系统中, 磁轴承电磁力的非线性特性极易被非线性的 Alford 力 引发,使得转子行为较无 Alford 力时更加复杂。 此时 磁轴承控制参数的改变将引起磁轴承转子系统动力学 行为较大的改变,可能降低、增加转子振动甚至直接导 致转子失稳,所以,在有气流激振力的磁轴承转子系统 中,对轴承控制参数的选择必须更加谨慎。 参 考 文 献 [ 1 ] SCHWEITZER G, MASLENEH.Magneticbearings theory, design, and application to rotating machinery[M]. 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