煤和砂岩加载弹塑性损伤本构方程_王超.pdf

第 45 卷 第 2 期 煤田地质与勘探 Vol. 45 No.2 2017 年 4 月 COAL GEOLOGY 2. Shenyang Research Institute, China Coal Technology and Engineering Group Corp., Fushun 113122, China Abstract In order to study the influence of coal and rock damage on their mechanical properties during loading process and to build the constitutive equation of damage of coal and rock, single axis and three axis loading and unloading tests of coal and rock were conducted respectively. The tests results showed that with the increase of rock damage the rock unloading elastic modulus decreases, but the plastic strain increases gradually, which means that rock damage is of elastic and plastic damage. With the increase of confining pressure, the decrease value of elastic modulus is reduced, rock damage mainly increased the plastic deation of the rock, rock damage fracture changes from brittle fracture to plastic collapse. Assume that rock damage rate is in line with Weibull statistical distribution, on the basis of this assumption, the coal and rock damage evolution equation was established, then through experiment and correlation analysis, the constitutive equation of coal and rock elastic-plastic damage was constructed. Finally the constitutive equation was used to fit the experimental curve, the fitting result verified the correctness of the constitutive equation of elastic-plastic damage. Keywords coal and rock damage; constitutive equation; elastic-plastic; rock mechanics; damage mechanics; Weibull distribution 自从苏联学者 L M Kachanov[1]提出“连续性因 子”的概念以来，损伤力学得到了长足的发展，不少 学者将损伤力学与连续性介质力学的“唯象学”相结 合来研究材料的劣化对材料力学性质的影响。1976 年 Dougill 首先将损伤力学从金属材料引入到岩石 材料，开辟了岩石损伤力学研究的新领域。岩石在 微观上存在着许多的裂隙和缺陷，但是由于岩石的 原始缺陷在体积上相对于岩石来说很小，因此从宏 观来看，岩石依然可以作为连续性介质来研究。 岩石受载破坏的过程是其内部裂纹的萌生、起 ChaoXing 106 煤田地质与勘探 第 45 卷 裂、扩展和分叉的过程[2]。岩石内部裂纹的产生和 扩展正是岩石损伤演化的过程，岩石损伤的演化导 致了岩石宏观力学性质的变化，如弹性模量减小、 塑性应变增加、泊松比增大等。岩石力学参数的变 化反过来从宏观上反映了岩石损伤变化的大小，因 此可以将岩石的损伤变量看作是其某一力学参数的 函数。如郭子红等[3]用岩石的塑性体积应变作为损 伤变量构建了岩石损伤本构方程，可以很好的拟合 实验曲线。鞠扬等[4]讨论了基于等效应变假说的损 伤定义的适用条件，认为简单的用卸载弹性模量作 为参数而构建的损伤变量不能真实地反映岩石的损 伤演化过程，必须同时考虑岩石弹性损伤和塑性损 伤的损伤变量才能正确地描述岩石的弹塑性损伤现 象。金济山[5]通过不同围压下的大理石三轴压缩实 验研究了围压对大理石弹性模量的影响，发现在较 低的围压下100 MPa时，岩石 的弹性模量不随塑性应变的增加而减小，始终为定 值。他通过电镜扫描发现，高围压下产生的微裂纹 长度较低围压时要小，因而对岩石的弹性模量影响 也较小。另外，许多学者[6-7]都通过岩石加卸载实验 证实了岩石在加载过程中随损伤的增加，岩石的弹 性模量逐渐减小，而塑性应变逐渐增加的现象。因 此岩石加载过程是一个弹塑性损伤的过程，弹性损 伤主要表现为岩石弹性模量的减小，而塑性损伤表 现为岩石塑性应变的增加，因此在构建岩石的损伤 本构方程时需要同时考虑损伤变量对岩石塑性应变 和弹性模量的影响。 笔者通过岩石全应力应变过程中不同应力水平 下的加卸载实验，研究了岩石全应力应变过程中弹 性模量和塑性应变的变化规律，认为岩石力学性质 的这些变化是与岩石损伤变量相互耦合的结果。假 设岩石的损伤过程中裂纹体积的增加符合威布尔 Weibull统计规律，结合等效应变假说，构建了新 的岩石本构方程，该方程可以很好地拟合岩石的全 应力应变曲线，并且能够反映岩石弹性模量和塑性 应变的变化规律。 1 岩石加卸载实验 实验使用的是中国矿业大学北京岩控实验中 心实验室 MTS815.02S 型电液伺服岩石力学试验系 统，其可加载的最大轴压为 1 700 kN，最大围压为 45 MPa，伺服阀灵敏度 290 Hz，实验系统采用计算 机全自动控制。岩石试样为淮北矿务局朱仙庄矿 8 号煤及其顶板砂岩， 加工成直径为 50 mm， 高 100 mm 的标准试样，并且保证两端面的不平行度最大不超 过 0.02 mm，试样不存在明显的加工缺陷。 为了得到岩石全应力应变过程中不同应力阶段 的加卸载曲线，实验中选取了岩石全应力应变曲线 上适当的点进行加卸载，并确保能够在达到岩石峰 值应力前进行不少于 3 次的加卸载，全过程进行 7 次左右的加卸载。为了能够得到岩石完整的全应力 应变曲线，实验加载过程采用控制环向应变速率的 方式进行，环向应变速率控制在 0.004 mm/s 左右， 卸载过程采用控制轴向应力的方式进行，卸载速率 为 0.05 MPa/s 左右。最后选取比较有代表性的实验 结果进行分析。 分别选取煤岩单轴加卸载实验、砂岩单轴加卸 载实验和围压为 20 MPa 时砂岩的加卸载实验进行 分析， 试样编号分别为煤岩 mf21，砂岩 sf21 和砂岩 sg-c20。得到全应力应变过程加卸载实验曲线分别 如图 1、图 2 和图 3 所示。 图 1 煤岩 mf21 单轴加卸载实验应力应变图 Fig.1 Uniaxial loading and unloading stress-strain diagram of coal mf21 图 2 砂岩 sf21 单轴加卸载实验应力应变图 Fig.2 Uniaxial loading and unloading stress-strain diagram of sandstone mf21 2 实验结果分析 首先分析岩石在整个加载过程中弹性模量的变 化规律。从实验结果来看，岩石的全应力应变曲线 大致经历了压密阶段、线弹性阶段、塑性阶段、峰 后软化阶段和残余应力阶段，其卸载弹性模量大致 经历了先增大后减小的过程。在单轴加载下，煤岩 ChaoXing 第 2 期 王超等 煤和砂岩加载弹塑性损伤本构方程 107 图 3 围压 20 MPa 砂岩 sg-c20 三轴加卸载实验应力应变图 Fig.3 Triaxial loading and unloading stress-strain diagram of sandstone sg-c20 under confining pressure of 20 MPa 存在很小的残余应力，而砂岩几乎没有残余应力， 在三轴加载时砂岩存在着明显的残余应力。 在单轴加载下，如图 1 和图 2 所示，无论是砂 岩还是煤岩，随着岩石损伤的增加，岩石的弹性模 量都逐渐减小，在峰值前两种岩石弹性模量减小值 比较小，而在峰后岩石的弹性模量减小加剧，最后 两种岩石的弹性模量都几乎减小到 0，这说明岩石 在峰后的损伤演化比峰前更加剧烈。 在三轴加载下，如图 3 所示，岩石的弹性模量 的减小值很小，并没有像单轴加载时那样在进入峰 后软化阶段后出现弹性模量的大幅度减小，在岩石 进入残余应力阶段后，岩石的弹性模量依然没有明 显变化。 分析岩石塑性应变的变化可以看出，无论是单 轴还是三轴情况下，岩石加载过程中都存在着塑性 应变。在单轴加载下，如图 1 和图 2 所示，两种岩 石在峰前的塑性应变都比较小，在进入峰后岩石的 塑性应变有所增加，但是在峰后软化的前半部分， 岩石的塑性应变相对于总应变一直处在一种较低的 水平，只有在岩石破坏过程接近最后阶段时，塑性 应变才迅速地增加到与总应变相当的水平。在三轴 加载下，岩石在峰前的塑性应变依然很小，而当岩 石进入峰后软化阶段后，塑性应变开始随着岩石承 载能力下降而近似均匀地增加，当岩石由软化阶段 进入残余应力段时，其塑性应变已经构成了岩石总 应变的绝大部分，当岩石进入残余应力阶段后，弹 性应变几乎保持不变，塑性应变随轴向应变近似线 性地增加。 从以上分析可以看出，在单轴情况下，岩石的 损伤主要表现为弹性模量的减小，同时伴有少量的 塑性应变。而在较高的围压下，岩石的损伤则主要 表现为塑性应变的增加，并伴有弹性模量的些许下 降。综上可以认为，在较低的围压下岩石的损伤主 要为脆性损伤，而随着围压的增加，岩石的损伤主 要为塑性损伤。这也与许多学者[8-9]得出的“随着围 压的增加岩石逐渐由脆性向延性转化”的实验结论 相对应。 3 岩石弹性塑性损伤本构方程的构建 岩石的弹性模量和塑性应变等宏观参数在峰前 的变化比较小，当岩石进入峰后软化阶段才出现明 显的变化，这些现象都说明岩石的损伤是一个逐渐 加速的过程，并且在峰后达到最大值。不少学者通 过各种损伤的观测手段得到了岩石加载过程中损伤 演化的规律，如任建喜等[10]利用 CT 机实时观测岩 石损伤过程而得到了岩石加载过程的损伤演化规 律，李术才等[11] 运用岩石加载过程中声发射和电阻 率响应信息的互补性定义了与两者相关的综合损伤 变量从而得到了岩石损伤演化规律，杨永杰等[12]利 用三轴声发射实验参数得到的岩石损伤演化规律， 认 为岩石的损伤大致经历了压密阶段、 弹性阶段的低速 演化、塑性阶段的加速演化、峰后快速演化阶段。 首先需要定义损伤变量，不同于传统的损伤定 义，即将损伤变量定义为实际承载面积与表观承载 面积的比值，这里将损伤变量定义为岩石加载过程 中某一时刻内部产生裂纹的体积与岩石失去承载能 力或进入残余应力阶段时内部裂纹体积的比值。 随着岩石应变的增加，岩石内部裂纹的萌生和 扩展速率经历了低速发展、加速发展和高速发展的 过程。也就是说随着轴向应变的增加，岩石内部裂 纹体积增加的速率越来越大，这意味着损伤变量增 加的速率也相应的越来越大。以往学者大多认为岩 石的微元强度符合威布尔分布，并得到了以应力[13] 和应变[14]为变量的损伤演化模型，可以很好地反映 岩石的损伤演化过程。这里为了更方便地反映岩石 的损伤演化过程，借鉴前人的思路，假设岩石内部 产生损伤的速率符合威布尔分布，那么在某一应变 下岩石损伤的速率可以表示为式1。  1 11 1 exp mm m v nnn          1 式中 v为岩石损伤演化速率； 1 为轴向应变；m、 n 为与围压和岩石性质相关的参数。 那么在某一应变下，岩石的累计损伤值可以表 示为  1 11 0 dDv   2 式中 D 为损伤变量。 对式2进行积分得损伤变量的表达式 1 1 exp m D n         3 ChaoXing 108 煤田地质与勘探 第 45 卷 接下来讨论如何表示岩石弹性模量的变化规 律。首先从实验中可以看出，岩石在加载过程中首 先经历了压密阶段，这一阶段中岩石的弹性模量逐 渐增大，直到进入弹性阶段才达到最大值。也就是 说岩石的弹性模量随着应变的增加经历了一个从增 大到饱和的过程。假设岩石能够达到的饱和弹性模 量为 E0，那么岩石从开始加载到完全压实过程中的 弹性模量可以表示为 1 0 1 1 b EE b        4 式中 E 为岩石的弹性模量； E0为岩石在特定围压下 的最大弹性模量；b为与围压和岩石性质相关的常 数。 式4借鉴了 Langmuir 方程的形式，描述了岩 石在初始压密阶段弹性模量逐渐增加到逐渐饱和的 过程。其中常数 b 的大小决定弹性模量随着轴向应 变增大的快慢，b 值越大则岩石的弹性模量值就越 快地接近饱和。 随着轴向应变的增加，岩石内部开始产生损 伤，这时候岩石的弹性模量会随着岩石损伤的增 大而逐渐减小。从实验中可以看出，当岩石完全 破坏时，岩石弹性模量的减小程度受到围压大小 的影响，围压越大岩石弹性模量受岩石损伤的程 度就越小。考虑岩石损伤对弹性模量的影响，表 示为式5。  1 0 1 1 1 b EEDkD b         5 式中 k为与围压和岩石性质相关的常数， 0≤k≤1。 式5中考虑了在有围压的情况下岩石的弹性 模量不会随着损伤的增加而减小到 0 的现象，也就 是说在岩石完全破坏时依然有残余的弹性模量，其 中 k 值越大岩石的残余弹性模量就越大，在单轴加 载时 k0，在围压超过一定的值后 k1。 最后，随着岩石损伤的增加岩石的塑性应变也 增大，岩石的总应变由岩石的弹性应变和塑性应变 组成，可以表示为 1ep  6 式中 ε1为岩石的轴向应变；εp为岩石的塑性应变； εe为岩石的弹性应变。 岩石的承载应力与岩石的弹性变形有关，与塑 性应变无关。从实验中可以看出，在单轴加载时岩 石的应变最后全部转化为塑性应变，而在三轴加载 时岩石还有残余的弹性应变。因此岩石的塑性应变 可以表示为  p10 D 7 式中 ε0为岩石残余的弹性应变， 与岩石的性质和围 压相关。 当轴向应变比较小时，岩石内部几乎不存在损 伤的演化，因此损伤变量 D 值近似为 0。而通常岩 石的残余弹性应变 ε0比较小， 故在应变 ε1ε0时，损 伤变量 D 值近似为 0，这时岩石的塑性应变也近似 为 0。 虽然可以采用分段函数的方法使塑性应变与实 际情况完全相符，即当 ε1ε0时塑性应变为 0，其他 情况下塑性应变满足式7，但是由于加载初期岩石 塑性应变几乎为 0，其误差可以忽略，故没有对公 式进行修正。 将式7带入式6中可以得到岩石弹性应变的 表达式  e10 1DD 8 最终，岩石的本构方程可以表示为 1e E 9 将式5和式8带入式9中得岩石的本构方程  1 1010 1 11 1 b EDkDDD b            10 4 方程参数的确定以及实验曲线拟合结果 根据实验结果，用得到的本构方程对实验曲 线进行拟合，可以确定式10和式3中的各个参 数的值。其参数的确定过程如下首先根据岩石 在进入残余应力阶段后的残余弹性应变值来确定 参数 ε0的值，然后根据实验数据确定岩石在峰前 可以达到的最大割线弹性模量，利用得到的最大 割线弹性模量可以大致确定参数 E0的值；接着根 据实验数据求得岩石在残余应力阶段的卸载弹性 模量；根据残余应力阶段的卸载弹性模量与峰前 最大割线弹性模量的比值大致确定参数 k 的取值； 由于参数 b 反映了岩石在压实阶段弹性模量增大 的快慢程度，需要通过与实验曲线拟合来确定； 参数 n表示岩石的损伤变量值达到 0.632时岩石的 轴向应变值，而岩石会在峰后软化阶段达到这个 损伤水平，因此可以根据实验数据确定 n 的范围； 最后参数 m 反映了岩石峰后的脆性程度，m 值越 大则岩石峰后损伤演化越快，岩石峰后曲线越陡 峭，其脆性性质就越明显，因此可以通过曲线拟 合来确定。 运用以上参数确定方法，得到 3 组实验参数的 拟合结果表 1。 ChaoXing 第 2 期 王超等 煤和砂岩加载弹塑性损伤本构方程 109 表 1 弹塑性损伤本构方程拟合参数 Table 1 Fitting parameters of the constitutive equation of elastoplastic damage 岩样 E0/MPa b k m n 0 / mf21 38 9 0.15 9 0.75 0.1 sf21 175 4 0 16 1.1 0 sg-c20 208 16 0.9 10 1.47 0.5 根据拟合得到的岩石本构方程参数，可以根据 式3、式5和式7得到岩石的损伤变量，弹性模量 和塑性应变随轴向应变变化的理论曲线。其拟合得 到的曲线如图4图6所示。并且将煤岩 mf21 与 砂岩 sg-c20 得到的理论塑性应变曲线与实际的塑性 应变进行了对比，由于 sf21 实验中出现倒转现象， 因此不能得到其轴向塑性应变随轴向应变的变化数 图 4 砂岩 sg-c20 理论与实验对比分析图 Fig.4 Theoretic and experimental comparison of sandstone sg-c20 图 5 煤岩 mf21 理论与实验对比分析图 Fig.5 Theoretic and experimental comparison of coal mf21 ChaoXing 110 煤田地质与勘探 第 45 卷 图 6 砂岩 sf21 理论与实验对比分析图 Fig.6 Theoretic and experimental comparison of sandstone mf21 据，因此没有与理论曲线进行对比。 5 实验曲线拟合结果分析 从实验曲线的拟合结果看图 4a、 图 5a、 图 6a， 弹塑性本构方程可以很好地拟合煤岩应力应变曲 线，并且还可以看出岩石在全应力应变过程中任何 一点的理论线性卸载曲线。应该注意，实际的卸载 曲线并不是线性的，但是随着围压的增加其卸载曲 线会由非线性逐渐向线性转化。文中假设岩石的卸 载曲线是线性的，因此理论卸载曲线在高围压时比 在低围压时取得了更好的拟合效果。 从图 4b、图 5b 中可以看出，岩石加载过程中 理论塑性应变与实际的塑性应变具有很高的相似 性，说明本构方程可以很好地反映岩石的塑性应变 规律。同时通过对比图 4图 6 中的 4 幅图可以看 出，岩石的损伤过程大致经历了低速演化、加速演 化和高速演化的过程，当岩石进入塑性阶段时开始 加速演化，在岩石进入峰后阶段开始高速演化。 在损伤的低速演化阶段，由于岩石内部的损伤比 较小，随着轴向应力的增加，岩石的弹性模量由于压 实作用首先经历了一个快速增大的过程，此时岩石的 塑性应变基本不变。 当岩石损伤进入加速演化阶段后， 岩石的承载能力迅速地下降，弹性模量迅速下降，塑 性应变开始迅速地增加。 当岩石进入残余应力阶段时， 损伤达到最大值，损伤演化结束，这时候岩石承载能 力和弹性模量保持不变，而塑性应变则线性增加。 通过对比理论卸载线和实际卸载线可以发现，本 文构造的弹塑性损伤本构方程，不仅能够拟合岩石的 全应力应变曲线，同时也很好地反映了岩石全应力应 变过程中损伤演化、 弹性模量和塑性应变的变化规律。 6 结 语 岩石的损伤过程是一个弹塑性损伤过程，其不仅 会使得岩石的弹性模量减小，同时也会使得岩石的塑 性应变增加。在低围压下，损伤首先会使岩石的弹性 模量迅速地减小，而岩石的塑性应变的快速增加则相 对滞后，此时表现为脆性破坏的性质；在较高的围压 下，岩石的损伤仅会使岩石的弹性模量发生小幅度的 下降，而塑性应变则随着岩石损伤的增大而迅速地增 大，这时候表现为塑性破坏的性质。同时岩石的损伤 演化过程大致经历了低速演化、加速演化和高速演化 3 个阶段。 本文得到的弹塑性损伤本构方程不仅可以很好 地拟合岩石的全应力应变曲线，同时也很好地反映 了岩石应力应变过程中的损伤演化、弹性模量和塑 性应变的变化规律。 参考文献 [1] KACHANOV L M. Time of the rupture process under creep condition[J]. TVZ Akad Nauk S S R Otd Tech Nauk， 1958， 81 26–31. [2] 杨更社， 刘慧. 基于 CT 图像处理技术的岩石损伤特性研究[J]. 煤炭学报，2007，325463–468. YANG Gengshe ， LIU Hui. Study on the rock damage characteristics based on the technique of CT image processing[J]. Journal of China Coal Society，2007，325463–468. [3] 郭子红，刘新荣，刘保县，等. 基于塑性体积应变的岩石损伤 ChaoXing 第 2 期 王超等 煤和砂岩加载弹塑性损伤本构方程 111 变形特性实验研究[J]. 实验力学，20103293–298. GUO Zihong，LIU Xinrong，LIU Baoxian，et al. Experiment study of rock damage deation characteristics based on plaetic volumetric strain analysis[J]. Journal of Experimental Mechanics，20103293–298. [4] 鞠杨，谢和平. 基于应变等效性假说的损伤定义的适用条件 [J]. 应用力学学报，1998，15145–51. JU Yang，XIE Heping. A study of difference between the developing of boussinesq equation and airy wave[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics，1998，15145–51. [5] 金济山. 围压对大理岩的弹性模量的影响[C]//地球物理研究 所四十年19501990，19907. [6] 赵永川，杨天鸿，肖福坤，等. 西部弱胶结砂岩循环载荷作用 下塑性应变能变化规律[J]. 煤炭学报， 2015， 408 1813–1819. ZHAO Yongchuan，YANG Tianhong，XIAO Fukun，et al. The variation law of plastic strain energy of western weak cemented sandstone during cyclic loading experiment[J]. Journal of China Coal Society，2015，4081813–1819. [7] 彭瑞东，鞠杨，高峰，等. 三轴循环加卸载下煤岩损伤的能量 机制分析[J]. 煤炭学报，2014，392245–252. PENG Ruidong， JU Yang， GAO Feng，et al. Energy analysis on damage of coal under cyclical triaxial loading and unloading conditions[J]. Journal of China Coal Society，2014，392 245–252. [8] 曹文贵，王泓华，张升，等. 岩石脆延特性转化条件确定的统 计损伤方法研究[J]. 岩土工程学报， 2005， 2712 1391–1396. CAO Wengui， WANG Honghua， ZHANG Sheng， et al. Study on decision of conversion condition for brittle-ductile property of rock by statistical damage [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2005，27121391–1396. [9] 朱珍德， 张勇， 王春娟. 大理岩脆延性转换的微观机理研究 [J]. 煤炭学报，2005，30131–35. ZHU Zhende，ZHANG Yong，WANG Chunjuan. Study on microcosmic mechanics for brittle-ductile transition of marble[J]. Journal of China Coal Society，2005，30131–35. [10] 任建喜， 葛修润. 单轴压缩岩石损伤演化细观机理及其本构模 型研究[J]. 岩石力学与工程学报，2001，204425–431. REN Jianxi，GE Xiurun. Study on uniaxial compression of rock meso-mechanism of damage evolution and constitutive model[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2001， 204425–431. [11] 李术才，许新骥，刘征宇，等. 单轴压缩条件下砂岩破坏全过 程电阻率与声发射响应特征及损伤演化[J]. 岩石力学与工程 学报，2014，33114–23. LI Shucai，XU Xinji，LIU Zhengyu，et al. Characteristics and damage evolution of resistivity and acoustic emission in the process of sand failure under uniaxial compression[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2014， 331 14–23. [12] 杨永杰，王德超，郭明福，等. 基于三轴压缩声发射试验的岩 石损伤特征研究[J]. 岩石力学与工程学报，2014，331 98–104. YANG Yongjie，WANG Dechao，GUO Mingfu，et al. Study on rock damage characteristics based on triaxial compression acoustic emission test[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2014，33198–104. [13] 曹文贵，赵衡，张玲，等. 考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计 软化本构模型及其参数确定方法[J]. 岩石力学与工程学报， 2008，2761148–1154. CAO Wengui，ZHAO Heng，ZHANG Ling，et al. Damage statistical softening constitutive model for rock considering effect of damage threshold and its parameters determination [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008， 2761148–1154. [14] 康亚明，刘长武，贾延，等. 岩石的统计损伤本构模型及临界损 伤度研究[J]. 四川大学学报工程科学版，2009，41442–47. KANG Yaming，LIU Changwu，JIA Yan，et al. Research on statitical damage constitutive model and critical damage for rock subjected to triaxial contidion[J]. Journal of Sichuan University Engineering Science Edition，2009，41442–47. 责任编辑 张宏 上接第 104 页 [6] DAWSON E M，ROTH W H，DRESCHER A. Slope stability analysis by strength reduction[J]. Geotechnique，1999，496 835–840. [7] 栾茂田， 武亚军， 年廷凯. 强度折减有限元法中边坡失稳的塑 性区判据及其应用[J]. 防灾减灾工程学报，2003，2331–8. LUAN Maotian，WU Yajun，NIAN Tingkai. A criterion for uating slope stability based on development of plastic zone by shear strength reduction FEM[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering，2003，2331–8. [8] 郑宏，李春光，李焯芬，等. 求解安全系数的有限元法[J]. 岩 土工程学报，2002，245626–628. ZHENG Hong， LI Chunguang， LI Zhuofen， et al. Finite element for solving the factor of safety[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，245626–628. [9] GRIFFITHS D V，LANE P A. Slope stability analysis by finite elements[J]. Geotechnique，1999，493387–403. [10] MANZARI M T，NOUR M A. Significance of soil dilatancy in slope stability analysis[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2000，126175–80. [11] 宋二祥. 土工结构安全系数的有限元计算[J]. 岩土工程学报， 1997，1921–7. SONG Erxiang. Finite element analysis of factor for soil structures[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 1997，1921–7. [12] 赵尚毅， 郑颖人， 张玉芳. 极限分析有限元法讲座Ⅱ有限 元强度折减法中边坡失稳的判据探讨[J]. 岩土力学，2005， 262332–336. ZHAO Shangyi，ZHENG Yingren，ZHANG Yufang. Study on slope failure criterion in strength reduction finite element [J]. Rock and Soil Mechanics，2005，262332–336. 责任编辑 张宏 ChaoXing