第4章塑性位势理论.doc

第四章 塑性位势理论 位势理论作为一种力学方法在弹性力学和塑性力学中都得到了广泛应用。米赛斯于1928年借用弹性势函数作为塑性势函数，并提出了按照塑性势函数的梯度方向确定塑性流动方向的传统塑性位势理论。后来又由德鲁克塑性公设，表明塑性势函数与屈服函数是一致的，从而形成了塑性应变增量方向必定正交于屈服面的关联流动法则，完善了传统塑性位势理论。传统塑性位势理论不适应岩土材料的变形机制，因而基于传统塑性位势理论而建立的岩土本构模型，不能反映岩土的实际变形。双屈服面模型与多重屈服面模型的出现实质上已经扩展了塑性位势理论。作者在研究多重屈服面弹塑性理论时，提出建立岩土本构模型应采用三个塑性势面和三个屈服面，并建立了以三个主应力作为塑性势函数的岩土本构模型。此后，杨光华用张量定律从理论上导出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式。作者在剖析传统塑性位势理论的基础上，提出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式，可作为不考虑应力主轴旋转时的广义塑性位势理论。并从基本力学概念出发，指出屈服函数与势函数必须相应，而不要求相等，相等只适用于金属情况。本书第9章中，作者又进一步发展建立了考虑应力主轴旋转情况下的广义塑性位势理论。 4.1 德鲁克塑性公设 4.1.1 德鲁克塑性公设及其应用 德鲁克塑性公设与伊留辛塑性公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料，而伊留辛公设既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。这里先来介绍什么是稳定材料，什么是非稳定材料。 图41中示出两类试验曲线。在图41（a）中当△σ≥０时，△ε≥０，这时附加应力△σ对附加应变做功为非负，即有△σ△ε≥０。这种材料被德鲁克称为稳定材料。显然，应变硬化和理想塑性的材料属于稳定材料。图41（b）所示的试验曲线，当应力点超过ｐ点以后，附加应力△σ＜０，而附加应变△ε＞０，故附加应力对附加应变做负功，即△σ△ε＜０。这类材料称为不稳定材料，应变软化材料属于不稳定材料。 图41稳定与不稳定材料 （ａ）稳定材料；（ｂ）不稳定材料 应当说明，德鲁克公设对稳定材料的定义只是充分条件，而非必要条件。因而，除了上述形式的不稳定材料外，还有其他形式的不稳定材料存在。 德鲁克公设可陈述为对于处在某一状态下的稳定材料的质点试件，借助于一个外部作用在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后，在应力下处于平衡（图4-2），即开始应力在加载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附加力，使达到，刚好在加载面上，再继续在加载面上加载到 ＋，在这一阶段，将产生塑性应变，最后将应力又卸回到。若在整个应力循环过程中，附加应力所作的塑性功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。 在应力循环过程中，外载所作的功是 4.1.1 图4-2 应力循环 符号 表示积分路径从 开始又回到,不论材料是不是稳定。上述总功不可能是负的。不然我们可通过应力循环不断从材料中吸取能量，这是不可能的。要判别材料稳定性必须依据德鲁克公设，即附加应力－所作的塑性功不小于零得出。 Ｗ＝-0 4.1.2 由于弹性应在应力循环中是可逆的，因而 - 4.1.3 故（4.1.2）式得 WD- （4.1.4） 但是整个应力循环中，只在应力达到时产生塑性应变，循环的其余部分都不产生塑性变形，上述积分变为 （ad-） 4.1.5 其中 １≥ａ≥ 在一维情况下，可用图形表示式（4.1.5）的意义，这时有 ad-0 P 4.1.6 这就是图4-3（ａ）所示阴影面积，对于稳定材料，这块面积一定不会小于零的；对于强化材料，只有纯弹性变形时所作的功才等于零。但对于图4-3 ｂ 所示的不稳定材料，则（4.1.6）式就不一定成立，因为当0很接近时，阴影面积就必定是负的。 应当指出，附加应力的塑性功并不是物理存在的某种功。因为在非稳定阶段式（4.1.5）作的功可能是负的，它表示可以把功释放出来，这样我们就可以通过反复循环，而不断得到功，这自然是不可能的。因此附加应力的塑性功只是一种假想的功，利用这个功的符号用来判断材料是否处于稳定状态。 （a） b 图4-3 一维情况下应力循环所作的附加应力塑性功 由式4.1.5可导出两个重要不等式。当≠时，由于d是无穷小量可以忽略，则得出 - 4.1.7 当＝时则有 4.1.8 由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要结论屈服面外凸和塑性应变增量方向与加载曲面正交。这是传统塑性增量理论的基础。 1.屈服曲面的外凸性 在应力空间中，一点的应力状态可用矢量表示，而一点的应变状态也可用应变空间中矢量表示。设将应力空间与塑性应变空间的坐标重合，并将的原点放在位于屈服面上的点处。参看图4-4， 用矢量表示，用表示， 用表示, 用表示,则4.1.7式为 -＝｜A0A｜｜｜≥０ 4.1.9 图4-4 屈服曲面的外凸性 此式限制了屈服面的形状，应力增量方向与塑性应变向量之间所成的夹角不应该大于90，这个条件必然适用于任意应力状态。如果通过作一个屈服面的切平面，则所有可能的都应该在这个切平面的一边，最多只能在此平面上才能满足≥０的条件。由此得出结论，稳定材料的屈服面必须是凸的，如果屈服面是凹的，则在屈服内立刻可找到一个应力状态图45ｂ，使 a b 图4-5 a 满足稳定材料的屈服面; b 不满足稳定材料的屈服面 -向量间的夹角θ＞满足不了式（4.1.9）的条件，这对稳定材料来说是不可能的。 2.塑性应变增量向量与屈服面法向平行 图46 塑性应变增量的正交性 设加载面在A点的法向矢量为 假设加载面在该点光滑，作一个切平面T与垂直，如与不重合，则总可以找到A0使≥０不成立，即、的夹角大于90，如图46所示。因此必与加载面Φ＝０的外法线重合。由矢量分析知道，在数量场中，每一点的梯度垂于过该点处的等值面，并且指向函数增大的方向。根据这一性质，如果将加载曲面的外法线方向用加载函数的梯度矢量其分量为来表示。则上述塑性应变增量的正交性可用下式表示  4.1.10 式中≥０为未定的标量因子，称塑性因子。上式表明，塑性应变分量之间的比例可由在加载面Φ上的位置确定，而与无关。 由于与重合，则式4.1.8可表示成 ≥０ 4.1.11 这就是加载准则，它的意义是只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。 4.1.2 德鲁克塑性公设的评述 德鲁克塑性公设是传统塑性力学的基本出发点，用于金属材料获得成功，表明对于金属材料这一理论与实践基本上是一致的。近几十年来，传统塑性力学开始应用到岩土材料，越来越多试验表明，传统塑性力学不能较好地描述岩土材料的变形机制。表明德鲁克公设有一定局限性，因而又重新引起人们的关注。对于德鲁克公设的存在性及其适用条件，国内外有许多学者对此进行了探讨，至今还没有一致的看法。有些观点截然不同，有的认为德鲁克公设是基于热力学定律提出的；有的则认为德鲁克公设不符合热力学定律，只不过有些材料符合德鲁克公设。当前越来越多的学者认为，德鲁克公设本来是作为关于弹塑性稳定材料的定义提出来的，但并非普遍的客观规律，因此不是所有客观材料的力学行为都必须满足这个公设所导出的结论，而是由材料的客观力学行为来判定它是否适用。大量的实践表明，金属材料适应德鲁克公设，而岩土材料不适应这一公设。 下面试图通过一些理论分析，来说明德鲁克公设存在的条件，由此可以说明它为什么适用于金属而不适用于岩土。 按照功的定义，应力循环中外载所作的真实功如式4.1.1所示图4-7，此式表明，应力循环中所作的弹性功为零，按热力学定律，塑性功必为非负。由此说明式4.1.1必然成立。同时，它也表明应力循环中实际所作的功与起点应力无关。从式4.1.2_可以看出，附加应力功是达到塑性状态时的应力与起点应力之差与应变的乘积，显然这不符合功的定义，由此进一步证明了附加应力功不是物理存在的真实功，只能理解为应力循环中外载所作的真实功与起点应力所作的虚功之差图4-7，因而不能用热力学定律来保证式4.1.2必为非负，也就是说德鲁克公设并非建立在热力学定律基础上。附加应力功为非负或负与的位置密切有关，亦即只有在一定条件下才能保证附加应力功为非负，因此德鲁克公设的成立是有条件的，即在某种情况下成立，而在另一种情况下不成立。 现用一张类似于图4-6的图来说明附加应力功为非负的条件图4-8。 图4-7 应力循环中外载所作真实功与附加应力功 图4-8 附加应力功为非负的条件 设图4-8中加载面在A点的塑性应变增量为，过A点作一条与垂直线称为势面线。A点的法向矢量为 假设加载面在该点光滑，作一个切平面T与垂直。从图4-8可见，如A点落在势面线与屈服线之间区域内时，必有＜0，即必有与的夹角大于90。反之，当A0同时落在势面线与屈服曲线之内的区域时，则能保证≥０，即与的夹角小于或等于90。由上可见，只有当A0点始终落在势面线与屈服曲线之内的区面相同时才能保证附加应力功为非负。这就是德鲁克公设成立的条件。 试验表明，金属材料的塑性势面与屈服面基本一致，符合德鲁克公设成立的条件，所以适应德鲁克公设。而岩土类材料的塑性势面与屈服面不一致，因而不适应德鲁克公设。 4.2 伊留辛塑性公设 德鲁克公设只适用稳定材料，而伊留辛提出的“塑性公设”可同时适用于稳定和不稳定材料。 伊留辛公设可陈述为在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功为零，只有弹性变形发生。 设材料单元体经历任意应变历史后，在应力下处于平衡图4-9，即初始的应变在加载面内，然后在单元体上缓慢地施加荷载，使应变点达到加载面，再继续加载达到新的加载面应变点，此时产生塑性应变。然后卸载使应变又回到原先的应变状态，并产生了与塑性变量所对应的残余应力增量 （ａ） （ｂ） 图4-9 应变循环 ｛｝＝［Ｄ］｛｝ 4.2.1 式中［Ｄ］弹性矩阵。 根据伊留辛公设，在完成上述应变循环中，外部功不为负，即 WI＝ 4.2.2 只有在弹性应变时，上述WI＝０。 由前述式4.1.7，可将德鲁克公设改写成 WD＝（－）≥０ 4.2.3 并由图4-9ａ可见，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外部作用在应变循环内做功WI和应力循环中作功WD的差别仅差一个正的附加项， 因此可将应变循环所作的外部功，写成 WI＝（－＋）≥WI≥０ （4.2.4） 上式表明，如果德鲁克公设成立，WD≥０，则塑性公设（4.2.4）式也一定成立，反之伊留辛塑性公设并不要求WD≥０，也就是说，德鲁克公设只是伊留辛公设的充分条件，不是必要条件。 图4-10 不稳定材料适应伊留辛公设 伊留辛塑性公设比德鲁克塑性公设适用的范围更广。它对不稳定材料也有效。例如在简单拉伸情况下，德鲁克公设只适用于／≥０的情况，亦即稳定材料阶段。当／＜０时，德鲁克公设不成立，但伊留辛塑性公设仍然成立，在图4-10中，当应力点由A移到B时，＜０，＜０，但＞０且＝＋＞０，所以 ＜０ 这不满足德鲁克公设，但仍满足式（4.2.2）伊留辛公设＞０，即此塑性公设能适用于不稳定材料。 式（4.2.4）中，如果初始应变点在应变空间加载面ψ＝０之内-≠０，在上式中略去高阶小项，可得 （－）≥０ （4.2.5） 由此可得在应变空间中的加载面ψ（）＝０外凸，及 ＝ （4.2.6） 而且可得 ＝ 如果应变点在屈服点之上，＝，由式（4.2.4）得 ≥０ （4.2.7） 式4.2.7中，取大于号表示有新的塑性变形发生，即加载；取等号表示只有弹性变形，即中性变载。 应当说明，推导伊留辛公设时引用了德鲁克公设，所以伊留辛公设同样要满足塑性势面与屈服面相同的条件，因此它也不适用于岩土类材料。 4.3 传统塑性位势理论 4.3.1 传统塑性位势理论 1928年，米赛斯将弹性势概念推广到塑性理论中，假设对于塑性流动状态，也存在着类同弹性势函数的某种塑性势函数Ｑ, 其塑性流动方向与塑性势函数Ｑ的梯度或外法线方向一致，这就是传统塑性位势理论。它的数学公式可表示为 ＝  4.3.1 式4.3.1表明，的方向始终与塑性势面方向正交。式中Ｑ（）一般写成主应力1、、或不变量I1、J2、J3或ｐ、ｑ、的函数；为一非负的比例系数。上述塑性势函数Ｑ（）在主应力空间形成一个塑性势面；在子午平面和偏平面上各形成一条塑性势线。 应当指出，塑性势函数Ｑ（）的准确定义应是设在应力空间中有一函数Q（），如果应力主轴方向与塑性应变增量主轴方向一致，并满足式（4.3.1）的关系，则Q（）称为塑性势函数，也就是说，传统塑性势函数理论上是有条件的，既要求存在满足式（4.3.1）的势函数，还要求应力主轴与塑性应变增量主轴一致，即不考虑应力主轴的旋转。式4.3.1只是一种假设，没有严格的理论证明，但用于金属材料已有大量实验证实而被公认。 图411 塑性应变的分解 比较式（4.3.1）与式（4.1.10），可以看出服从于德鲁克公设的材料，塑性势函数Ｑ就是屈服函数Φ，即Ｑ＝Φ，由此所得的塑性应力－应变关系通常称为与加载条件相关联的流动法则。由于屈服面与塑性应变增量正交，也称正交流动法则。如果Ｑ≠Φ，即屈服面与塑性应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称为非关联流动法则。 4.3.2 分解为塑性体应变及塑性剪应变的流动法则 塑性应变增量可分为与 图4-11，因而流动法则也可相应分解成两个式子 ＝＝＝（＋＋） 4.3.2 因为 ＝１ ， ＝０， ＝０ 4.3.3 所以有 ＝ 4.3.4 ＝－＝（－ ＝[（-＋） 4.3.5 将上式代入表达式，得到 ＝ 4.3.6 由于＝２，所以 ＝ 4.3.7  有些情况下假设洛德角与塑性势Ｑ无关，则上式变为 ＝ 4.3.8 通过与上述类似的推导，还可得到塑性应变增量洛德角 ＝ 4.3.9 或写成 ＝ 4.3.10 将上式代入式（4.3.7）可得到 ＝  4.3.11 ＝ 4.3.12 由式（4.3.9）可以看出，塑性应变增量洛德角是与应力洛德角是不相等的。图4-12中示出≠，应力偏量与塑性应变增量偏量的方向不重合。只有当塑性势面为一圆形时，即塑性势面与洛德角无关，此时＝，应力偏量与塑性应变增量的方向一致。 图4-12 π平面上流动法则的几何关系 由图4-12可见，由两部分塑性剪应变矢量组成，即 ＝ 4.3.13 ＝ 4.3.14 式中 ｑ方向上的塑性剪应变增量； 方向上的塑性剪应变增量。 4.3.3 关联流动法则举例 传统塑性力学中，采用关联流动法则，对于米赛斯条件有 Ｑ＝Ｆ＝－＝０，则有 ＝； ＝ 表明米赛斯条件只在ｑ方向产生塑性剪应变。 对于屈瑞斯卡条件 Ｑ＝Ｆ＝－ｋ＝０ ＝ ＝ ＝ 用于岩土的单屈服面模型中，有些采用关联流动法则。对于统一剪切破坏条件ｎ＝２时，有 Ｑ＝Ｆ＝＋＋-k0 则有 ＝＝（2＋α） ＝ ＝ － ＝  对屈瑞斯卡条件，有 β＝＝０，ｇ＝ 则有 ＝０ ＝ ＝－ ＝ 对莫尔库仑条件有 β＝０，＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝－ ＝ 4.4 传统塑性位势理论剖析 把适用于金属材料的传统塑性位势理论，用于岩土类材料，会出现许多不合实际的情况。大量的土工试验表明，岩土材料如下的几点变形机制，正在成为人们的共识 1．普鲁夏斯Poorooshasb、弗瑞德门Frydman、拉德Lade等人所做的试验证实，岩土类材料不遵守关联流动法则和德鲁克塑性公设。 2．按照传统的塑性位势理论，塑性应变增量方向唯一地取决于应力状态，而与应力增量无关。Balashablamaniam、沈珠江等人通过试验证实，岩土材料的塑性应变增量方向与应力增量的方向有关，表明岩土材料不具有塑性应变增量方向与应力唯一性假设，亦即不遵守传统塑性位势理论。 3．松冈元Matsuoka等人的试验证实，尽管主应力的大小相同，但应力主轴如果发生旋转，亦即主应力轴方向发生变化也会产生塑性变形，而按传统的塑性理论是算不出这种塑性变形的。 4．基于传统塑性位势理论的单屈服面模型，当采用莫尔库仑一类剪切屈服面作屈服面时，如果采用关联流动法则，将会导致出现远大于实际的剪胀变形。反之，采用剑桥模型的屈服面不能很好地反映剪切屈服，而且只能反映土的体缩，不能反映剪胀。因而，即使采用封闭型单屈服面模型，也不能完善地反映岩土材料的体缩与剪胀。 上述岩土材料变形机制与传统塑性力学的矛盾，诱发人们进一步追思，传统塑性位势理论究竟存在哪些假设条件，为何不符合岩土变形机制，这就是本节所要研究的内容。 显然，传统塑性位势理论是建立在承认式（4.3.1）的基础上，所以我们先来分析式（4.3.1）将引发出何种矛盾。 根据式（4.3.1），对三个主方向必有 ＝ ＝ 4.4.1 ＝ 故有 ＝ 4.4.2 式（4.4.2）是传统塑性势理论的一个基本特征。由此可推证塑性主应变增量与主应力增量存在如下关系 ｛｝＝〔〕｛｝ 4.4.3 式中矩阵〔〕中的元素、、（ｉ＝１、２、３）必存在如下关系 ＝ 4.4.4 式（4.4.2）和式（4.4.4）表明，各塑性主应变增量或〔〕中的各行元素成比例关系。  按照式（4.4.4），〔〕可写成如下形式 〔〕＝ 4.4.5 式中、、为系数，后面可知它们都是屈服面硬化模量的函数。按（4.4.5）式还可证明矩阵的秩为1，因为〔〕的一阶顺序余子式  4.4.6 而二阶和三阶顺序余子式  4.4.7 同理  4.4.8 式4.4.2或4.4.4表明矩阵只有一个基向量，也就是说，可用一个塑性势函数。式4.4.2或4.4.6表明，塑性应变增量的方向与应力必具唯一性，而与应力增量无关，这也就是式4.3.1所表示的物理意义。表明传统塑性位势理论必然服从塑性应变增量方向与应力唯一性关系，而实际岩土并无此种关系，塑性应变增量方向与应力增量的方向、大小均有关，如图413所示，Balashablamaniam最早通过试验证实了这点。 a应力增量方向 b实测的塑性应变增量 图413 应力增量对岩土塑性应变增量方向的影响 传统塑性力学中，屈服面写成三个不变量的函数，而不写成六个应力分量的函数，这就忽略了应力增量中三个剪应力增量所引起的塑性变形。即传统塑性位势理论中，不考虑应力主轴旋转，假设应力主轴始终与应力增量主轴共轴，只有、、，而＝＝＝０。实际岩土工程中，应力主轴会发生旋转，即存在主轴旋转的应力增量分量或主轴旋转角的增量，并由此产生相应的塑性变形，而按传统塑性力学无法算出这种塑性变形。 此外，传统塑性位势理论中一直沿用关联流动法则，即塑性势函数与屈服函数相同。这在数学上表示塑性势函数梯度矢量与屈服函数梯度矢量成比例，即有，为比例系数。此时矩阵一定对称。实际土工试验表明，岩土材料不服从关联流动法则。表明服从关联流动法则也是一种假设，并不适用于岩土材料。下面考虑图414中的一个简单摩擦系统，也能一定程度上说明岩土类材料不符合正交流动法则。图414中Q是位移矢量的方向，而OC相当于子午平面上的屈服面，所以位移矢量与屈服面并不正交，即塑性势面与屈服面不同，这也表明德鲁克公设不适用于岩土类材料。 图414 岩土材料不适用于正交流动法则示意图 将式4.4.8写成增量形式，即有 4.4.9 上式A、B、C、D系数矩阵就是塑性柔度矩阵，可以证明当采用关联流动法则时，该矩阵一定是对称的，即有B＝C。而实际上对常见剪缩性土进行土工试验，可得出B＞0，C＜0，不仅数值上不等，而且符号相反，表明系数矩阵一定是非对称的，由此也可证明岩土材料不适应关联流动法则。因而，对岩土类材料应采用非关联流动法则。 概括起来，传统塑性位势理论作了如下假设 1. 假定应力空间中只存在一个满足式4.3.1的塑性势函数，导致塑性应变增量分量互成比例；塑性应变增量的方向只与应力有关，而与应力增量无关。 2. 假定应力与应力增量的主轴共轴，不考虑应力主轴旋转。 3. 材料服从关联流动法则。 由于传统塑性位势理论存在上述假设，因而不能适应岩土的变形机制。采用传统塑性位势理论，不能反映塑性应变增量方向与应力增量的相关性，也不能合理反映岩土的剪胀与压缩，还会由于采用剪切屈服面而出现过大体胀的不合理现象。同时，也无法计入由于应力主轴旋转所产生的塑性变形。显然，消除上述假设，把传统塑性位势理论改造成为广义塑性位势理论，才能使塑性位势理论符合岩土材料的变形机制。 4.5 不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论 4.5.1 不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论 消除上节所述的三条假设，即能建立起能反映应变增量方向与应力增量相关性和应力主轴旋转的广义塑性位势理论。本节讨论不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论，此时只有三个应力分量需要采用三个塑性势函数。 假设应力空间中任一应力点存在着三个线性无关的屈服面与相应的塑性势面。总的塑性应变增量是各个屈服面产生的塑性应变增量之和。由此就可将单屈服面流动法则推广得出有三个塑性势面的流动法则 4.5.1 式中Qk ----3个塑性势函数； ----3个塑性因子。 式4.5.1是一种简单推广，缺少理论依据。杨光华1991在不计应力主轴旋转的情况下，引用张量定律，从理论上导出了式4.5.1。 应力和应变都是二阶张量，当塑性应变增量主轴、应力与应力增量主轴共轴时，按照张量定律必有 k1,2,3 4.5.2 式中与分别为三个主应力和三个塑性主应变。容易证明式4.5.2，因为当张量（如为）的三个主方向（如为）与张量 如为的三个主方向 如为相同，则有  4.5.3 则式4.5.2得证。 根据梯度定义，有  4.5.4 式中为三个线性无关的任意势函数。将式4.5.4代入式4.5.2，则有  k1,2,3 4.5.5 我们把式4.5.5称为不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论，它与传统塑性位势理论有如下区别 （1）广义塑性位势理论有三个塑性势面，且三个塑性势面必须线性无关；而传统塑性位势理论只有一个塑性势面。 （2）广义塑性位势理论中，塑性应变增量方向由三个塑性应变增量分量的方向和大小来定，而三个分量既与塑性势面有关，又与屈服面及应力增量有关。传统塑性位势理论是其特例，此时塑性应变增量分量成比例，因而可采用一个塑性势函数，塑性应变增量方向由此势函数唯一地确定，而与应力增量无关。由此表明，传统塑性力学中可事先确定塑性应变增量总量的方向与势面。而广义塑性力学中，因塑性应变增量总量方向与应力增量有关，无法事先确定塑性应变增量总量方向即势面。但可事先确定塑性应变增量的三个分量方向，亦即知道三个分量的势面。 （3）三个塑性因子ｄλｋ（ｋ＝１，２，３）不要求都大于或等于零。ｄλｋ与屈服面有关，当屈服面与塑性势面同向，ｄλｋ＞０；屈服面与塑性势面反向，则ｄλｋ＜０。岩土材料的体积屈服面既可与塑性势面同向体缩，也可与塑性势面反向体胀。而传统塑性力学中只有一个塑性势面和一个与塑性势面同向的屈服面，因而ｄλ一定大于零或等于零。 式4.5.5中三个塑性势函数是可任选的，但必须保持线性无关，最符合这一条件并应用最方便的，是选用主应力空间中的三个座标轴作塑性势函数，如选σ１、σ２、σ３或ｐ、ｑ、θσ不变量为势函数。这种情况下构造屈服函数也最为方便。这说明势函数可采用任何一种形式的三个张量不变量。 当取σ１、σ２、σ３的等值面为三个塑性势函数时，即有σ１＝Ｑ１，σ２＝Ｑ２，σ３＝Ｑ３，则式4.5.5变为 4.5.6 图415 塑性应变增量分解 式中、、分别为相应上述三个势面的塑性因子，将σ１＝Ｑ１，σ２＝Ｑ２，σ３＝Ｑ３代入4.5.6或按其物理意义均能得到 4.5.7 可见有着明确的物理意义。 如果取ｐ、ｑ、为塑性势函数，有  4.5.8 同理有 4.5.9 式中塑性体应变增量（图415；  ｑ方向上的塑性剪应变增量图415；  方向上的塑性剪应变增量图415。 塑性应变增量可分解为塑性体应变增量与塑性剪应变增量 4.5.10 塑性剪应变增量可分为ｑ方向上的塑性剪应变增量，方向上的塑性剪应变增量 4.5.11  从实际情况来看，无论是岩土或金属材料，一般不大，如果再假定在中忽略的影响，就相当于忽略了洛德角的影响，即有 4.5.12 这就是国内常用的“南水”双屈服面模型。 对于金属材料，＝０，因而式4.5.12变为单屈服面模型，即有Ｑ＝Ｑ２＝ｑ，此时，在子午平面上塑性应变增量方向在ｑ方向上。 4.5.2 塑性势面与屈服面的关系 塑性势面是用来确定塑性应变增量方向的，而屈服面是用来确定塑性应变增量大小的，亦即确定、、。一个确定矢量的方向，另一个确定矢量的大小，可见两者必然关联。在传统塑性力学中，假定屈服面与塑性势面相同，这对金属材料是适用的，而对岩土材料不适用。广义塑性力学需要从固体力学的基本概念与基本原理出发，建立塑性势面与屈服面之间的联系。从固体力学基本概念出发，屈服面必须与塑性势面相应，塑性势面的法线方向也就是给定的塑性应变增量方向，即塑性应变增量的三个分量方向，如、、。那么按屈服面定义，与三个塑性势面相应的屈服面必须分别具有如下三个硬化参量、、，亦即三个屈服面分别为、、的等值面。由此可见，屈服面不是任取的，它们是应力与塑性势面相应的硬化参量的函数，如体积屈服面必为或。同理，q方向与方向的剪切屈服面必为与。所以，屈服面必须与塑性势面相应的关系是依据力学基本原理得出的，而不是人为假设，它们不要求塑性势面与屈服面相同。对于金属材料塑性势面与屈服面不仅相应，而且相同，这是一种特例。 由式4.5.7可知，要确定、、，先要确定三个塑性应变的等值面，即确定与Ｑ１、Ｑ2、Ｑ3三个塑性势面相应的三个屈服面。 在等向强化模型情况下，如果塑性应变总量与应力存在唯一性关系。三个主应变屈服面可写成如下形式 4.5.13 将式4.5.13微分，即得相应的塑性应变增量 （i1,2,3） 4.5.14 由于，即可求得塑性因子。 同理要确定式4.5.9中的、、，要分别采用、、等值面，即有 4.5.15 式4.5.15中的第一个式子是体积屈服面，一般可略去对影响；第二个式子是剪切屈服面；第三个屈服面是剪切屈服面，通常ｐ对的影响也可以略去。式4.5.15变为 4.5.16 微分式4.5.16，即得 4.5.17 由上看出，塑性势面与屈服面存在如下关系 1 塑性势面可以任取，但必须保证各势面间线性无关，屈服面则不可任取，它必须与塑性势面相对应，并有明确的物理意义。例如取为势面，则对应的屈服面必为塑性主应变的等值面。可见，屈服面必然与塑性势面相关联，但关联并不意味着塑性势面与屈服面相同，而是必须保持屈服面与塑性势面相对应。在特殊情况下亦可相同，如服从米赛斯屈服条件的金属材料，屈服面与塑性势面同为圆筒形。 2 取、、或ｐ、ｑ、为塑性势面，相应的屈服面最简单，并具有明确的物理意义，即为三个塑性主应变的等值面或为塑性体应变、ｑ方向塑性剪切应变与方向塑性剪应变的等值面。 3 由于三个塑性势面线性无关，则相应的三个屈服面也必然互相独立。例如体积屈服面与ｑ方向上及方向上的剪切屈服面都各自独立。这表明体积屈服面只能用来计算塑性体积变形，而与塑性剪切变形无关，反之亦然。因而广义塑性力学中不能应用关联流动法则，否则就违反了剪切屈服面与体积屈服面原有的含义。 4.6 广义塑性力学的基本特征  上节所述不计应力主轴旋转的广义塑性位势理论及后述9.2节考虑应力主轴旋转的广义塑性位势理论，反映了广义塑性力学的一些基本特征，可概括如下 1.塑性应变增量分量不成比例 传统塑性力学假设塑性应变增量互成比例，而广义塑性力学塑性应变