第3章屈服条件与破坏条件 .doc
第三章 屈服条件与破坏条件 3.1 屈服条件与屈服面，破坏条件与破坏面 物体受到荷载作用后，随着荷载增大，由弹性状态过渡到塑性状态，这种过渡叫做屈服，而物体内某一点开始产生塑性应变时，应力或应变所必需满足的条件叫做屈服条件。亦即是初始弹性条件下的界限，在单向受力条件下，就是屈服极限σs。最初出现的屈服面称为初始屈服面，它是应力σij、应变εij、时间t及温度T的函数，其方程为 （3.1.1） 但在不考虑时间效应以及在接近常温的情况下，时间ｔ及温度T对塑性状态没有什么影响，那么F中将不包含ｔ和T，另外由于初始屈服之前是处于弹性状态的，应力与应变之间有一一对应关系。可将函数εij用σij表示，或将σij用εij表示。这样，屈服条件仅仅只是应力分量或应变分量的函数。通常，我们习惯于将其表达成应力的函数，则可写成 （3.1.2） 在简单拉伸情况下，当拉应力达到材料拉伸屈服极限时，即σσs；在纯剪状态，当剪应力达到材料剪切屈服极限τs时，即τ＝τs开始屈服，但一般情况下，屈服条件与应力的六个分量有关，而且是它们的函数，这个函数F称为屈服函数。 （3.1.3） 在传统塑性力学中，由于体积变形或静水应力状态与塑性变形无关，因而上式中均与、、无关，则可写成应力偏量的函数， （3.1.4） 在应力空间内屈服函数表示为屈服曲面。当以应力分量作为变量时，则屈服面为六维应力空间内的超曲面。若以主应力分量表示时，则为主应力空间内一个曲面，称为屈服曲面。 屈服曲面也就是初次屈服的应力点连起来构成的一个空间曲面。它把应力空间分成两个部分，应力点在屈服面内属弹性状态。此时Ｆ（σij）＜０；在屈服面上材料开始屈服， Ｆ（σij）＝０；对于理想塑性材料，应力点不可能跑出屈服面之外；对于硬化材料，在屈服面外则属塑性状态的继续，此时屈服函数F将是变化的，这种屈服函数一般叫做加载函数，亦称后继屈服面。 图3-1 屈服曲线与屈服面 通常，我们把材料进入无限塑性状态时称作破坏，因此，理想塑性的初始屈服面就是破坏面；而硬化材料从初始屈服起经过屈服的阶段才能达到破坏，所以屈服面逐渐发展直至破坏面为止。一般我们假定破坏面与屈服面大小不同，但形状相似，亦即屈服条件与破坏条件相似，只是常数项数值有所不同，所以本章所述屈服条件，实质上是破坏条件。因此，本章所述屈服条件，读者既可理解为初始屈服条件，也可理解为破坏条件，对硬化材料两者差别仅在屈服条件中的常数项数值，而对理想塑性材料没有差别。初始屈服面与破坏面有共同的特点，即它们与历史参量无关。 在不考虑主应力轴旋转情况下，一点的应力状态可由三个应力分量表示，也可由三个应力不变量表示。材料的屈服可以是在一个或二个应力分量或应力不变量作用下屈服，也可在三个应力分量或三个应力不变量作用下屈服，前者称为部分屈服，即材料在一个或二个应力分量方向上达到屈服，而在另外一个或二个应力分量方向上没有达到屈服，后者称为全部屈服，即三个应力分量方向上都达到屈服。由此可见，从应力分量达到屈服来看，屈服条件应是三个，即有三个屈服面，这正是广义塑性力学中屈服面的特点。表示在应力空间中，过某一应力点有三个屈服面，或在某些情况，可简化采用两个屈服面。如图3-2所示，过某一应力点，存在两个屈服面；一个是剪切屈服面，即是判断ｑ方向上材料是否达到剪切屈服的条件；一个是体积屈服面，即是判断ｐ方向上材料是否达到体积屈服的条件。 图3-2 双屈服面 图中两条屈服线把应力空间划分为四个区域区域Ⅰ为弹性区，材料未达到屈服；区域Ⅱ、Ⅲ为部分屈服区，材料只在一个应力分量方向上达到屈服，Ⅳ区为完全屈服区，在两个应力分量方向上全部达到屈服。 广义塑性力学中，材料的屈服是相对应力分量来说的，相对于三个主应力方向可采用三个主应变屈服面，相对于广义应力p、q、θσ方向可采用体应变屈服面与q方向及θσ方向（即法线与切线方向）的剪切屈服面。 屈服面在π平面上的迹线一般称为π平面上的屈服曲线；而屈服面与子午平面指曲面母线与等倾线组成的平面的交线称为子午平面上的屈服曲线图3-1。 在应力空间中，当屈服条件写成应力张量不变量的函数时，可写成如下形式 （3.1.5） 决定了π平面上屈服迹线的形状，当为常数时，即得π平面上屈服曲线。当θσ为常数时，即得子午平面上的屈服曲线，即与关系曲线。下面分别说明子午平面屈服曲线与π平面屈服曲线的一些特点。 在传统塑性理论中，由图3-3可见，在与空间等倾线平行的线上，应力点Ｓ１，Ｐ１Ｐ′１，其应力偏量都相同，均为OＳ１，由于塑性变形只取决于应力偏量，因此当Ｓ１到达屈服时，则AB线上各点的应力也同时达到屈服。同理，当Ｓ２达到屈服时，则DE线上各点的应力也都达到屈服，以此类推，可断定屈服面上的几何图形必是等截面的柱形体。它的母线与等倾线σ１＝σ２＝σ３平行。由此可见，在传统塑性理论中，各π平面上的屈服曲线都是一样的。 图3-3 屈服面几何图形 不过，上述结论并不适用于岩土塑性理论，因为岩土的屈服条件不仅取决于应力偏量，还与应力球张量有关。 在岩土塑性力学中，剪切屈服必须考虑内摩擦对抗剪强度的影响，因而它与应力张量第一不变量Ｉ１有关。在应力空间中岩土的剪切屈服面为锥形体图3-4ａ）、（ｃ）或为曲线形锥形体图3-4ｂ）、（ｄ）。当屈服函数内只含Ｉ１项时为锥形体，而含项时为曲线形锥形体。岩土材料的体积屈服面，依据岩土材料的体积变形特性，可分为二种情况图3-5ａ为压缩型体积屈服面，体变只有压缩没有膨胀，当应力达到剪切破坏线上时，体积就不再改变。图3-5ｂ为压缩剪胀型体积屈服面，体变是先压缩后膨胀。 图3-4 岩土材料的各种剪切屈服面图形 图3-5 岩土材料的体积屈服 先体缩后体胀表明体变可以恢复，但它不属于弹性恢复，而是在两种应力状态下产生的两种不同的塑性体变。因为在低剪应力状态时（时，－状态变化线的斜率），即在状态变化线以下部位出现体缩，塑性体变一直在减少；反之，高剪应力状态下（），即在状态变化线以上部位时出现体胀，塑性体变始终在增大。从低剪应力状态到高剪应力状态，塑性体变可以产生部分恢复，但它不同于卸载时体变的弹性恢复。这也是岩土类颗粒材料的塑性不同于金属材料塑性的一个特点。此外，剪切屈服的发展会导致材料的破坏，因而存在破坏条件与破坏面，而体积屈服是可以无限发展的，不存在破坏面。 子午平面上，岩土剪切屈服面在ｐ方向是不封闭的如图3-4a）、（b）、（c）、（d），金属也不例外图3-4a）、（c）。因而，子午平面上的剪切屈服曲线是一条不封闭曲线。而子午平面上，体积屈服曲线是封闭的，它通常与破坏曲线相接而形成封闭曲线图3-5。 在岩土塑性理论中，π平面上的剪切屈服曲线具有如下性质 1 屈服曲线是一条封闭曲线，或是等倾线上的一个点。 材料在初始屈服面内属弹性应力状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现某些情况下材料永不剪切屈服的情况，这是不可能的。但在传统塑性理论中，屈服由应力偏量所引起，所以屈服曲线不可能是等倾线上的一点。反之，在岩土塑性理论中，由于屈服强度不是常数，而随正应力而变，在某些情况下就会出现屈服强度为零的情况，此时屈服曲线表现为等倾线上的一点图3-4ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）。 2 屈服曲线与任一座标原点出发的向径必相交一次，且仅相交一次，即屈服曲线不仅是封闭的，而且是单连通的，否则将导致同一应力状态既对应于弹性状态又对应于塑性状态，亦即初始屈服只有一次。 3 屈服曲线对称于π平面内的三个座标轴、、。由于材料均匀各向同性，若Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３是屈服线上的一点，则（Ｓ１，Ｓ3，Ｓ2点也必是屈服线上的一点，因此屈服曲线对轴对称。就表明屈服对、、可以互换，因此屈服曲线必在6个60扇形区内有相同的形状图3-6。这个结论对岩土材料和金属材料均适用。不过金属材料拉伸与压缩具有相同的屈服极限。因此，在屈服曲线的对称性方面，还有进一步的特点。由于应力符号改变时，屈服条件不变，亦即F为σ１、σ２、σ３或Ｊ２的偶函数，这时屈服曲线对三个座标轴的正负方向均为对称，即屈服曲线对称于⊥ＡＡ′，⊥ＢＢ′，⊥ＣＣ′三条直线图3-6，亦即在12个30扇形区域内具有相同形状。这是传统塑性理论中屈服曲线的一个特点，而岩土塑性理论中，严格来说都不具有这一特点，只能在60扇形区内具有相同的形状。 图3-6 π平面屈服曲线 4 在传统塑性力学中，无论π平面还是在子午平面上，可以证明屈服曲线相对座标原点为外凸曲线，屈服面为外凸面图3-6证明见后。广义塑性力学中，体积屈服面可以凸，也可凹。从概念说，剪切屈服面（破坏条件）应为凸面，但至今没有严格的证明。 3.2 金属材料的屈服条件 3.2.1 屈瑞斯卡条件 在传统塑性理论中对金属材料应用最早的屈服条件是屈瑞斯卡条件，这是1864年由屈瑞斯卡提出来的，他假设当最大剪应力达到某一极限值ｋ时，材料发生屈服，显然这是剪切屈服条件。如规定σ１≥σ２≥σ３时，屈瑞斯卡条件可表示为 （3.2.1） 在一般情况下，即σ１、σ２、σ３不按大小次序排列，则下列表示最大剪应力的六条件中任一个成立，材料就开始屈服 （3.2.2） 或写成 （3.2.3） 如用不变量Ｊ２和Ｊ３表示则式（3.2.3）可写成 （3.2.4） 这个表达式太复杂，一般情况下不使用。当在主应力大小已知时，应用式（3.2.1）却是很方便的。 如用洛德角θσ和J２表示，还可写成 （3.2.5） 在应力空间中σ１－σ３＝２ｋ表示一对平行于σ２及π面法线on等倾线的平面。因此按式（3.2.2）所建立的屈服面由三对相互平行的平面组成，为垂直于π平面的正六柱体，在π平面上的屈服曲线如图3-7ａ）所示。 图3-7 屈瑞斯卡条件 在π平面上，根据式2.4.5有 常数 （3.2.6） 这在－30≤θσ≤30范围内，是一条平行于ｙ轴的直线，将其对称开拓就成为正六角形。 在平面应力状态下，并规定σ３＝０情况下，则式3.2.2变为 （3.2.7） 在σ１-σ２应力平面上，相当于六条直线，构成如图3-7ｂ所示的六边形。 关于ｋ值的确定，若作材料单向拉伸屈服试验，则有，，得 若作纯剪屈服试验，则有，，，，得 比较上两式，若屈瑞斯卡条件正确，则应有 （3.2.8） 3.2.2米赛斯条件 屈瑞斯卡条件不考虑中间主应力影响，另外当应力处在两个屈服面交线上时，处理时要遇到数学上的困难。在主应力大小未知时，屈服条件又十分复杂，因此，米赛斯在研究了实验结果后，又提出了另一种屈服条件，即 Ｊ２＝Ｃ （3.2.9） 或 式（3.2.9）称为米赛斯条件，是屈服条件中一种最简单的形式，因为在这一条件中只含有Ｊ２。 由式2.4.6，对米赛斯屈服条件有 ＝常数 因此，在π平面上米赛斯条件必为一圆图3-8，它比有角点的曲线应用起来更为方便。米赛斯屈服面为正圆柱体。 图38 内接屈瑞斯卡六边形 图39 当σ３＝０时的米赛斯和屈瑞斯卡屈服条件 若用简单拉伸来确定C值。此时 若用纯剪来确定C值，则有 因此，如果米赛斯条件成立，则有 （3.2.10） 对于多数金属，此式能较好符合。 如果规定简单拉伸时，米赛斯条件与屈瑞斯卡条件重合，则有 （对米赛斯 对屈瑞斯卡 此时，π平面上，屈瑞斯卡六角形顶点到0点的距离ｄ等于米赛斯圆半径C，即 所以屈瑞斯卡六边形将内接于米赛圆如图3-8。 如规定纯剪时，两种屈服条件重合，则有 （对米赛斯 对屈瑞斯卡 此时，π平面上屈瑞斯卡六角形顶点到O点的距离ｄ′为 每个三角形的高 米赛斯圆半径 Ｃ＝ 所以此时米赛斯圆内切于屈瑞斯卡六边形图3-8。 在σ３＝０的平面应力情况下，米赛斯几何条件可表示为 其形状如图3-9所示，这是一个椭圆，里面内接屈瑞斯卡屈服条件。 米赛斯屈服条件是Ｊ２的函数，而Ｊ２与八面体上的剪应力τ８和π平面上的剪应力分量τπ有关，而且还与物体形状改变的弹性比能有关，所以米赛斯屈服条件的物理意义可解释为，当八面体上的剪应力或π平面上的剪应力分量达到某一极限时，材料开始屈服；或解释为物体的形状改变弹性比畸比能达到某一极限时，材料开始屈服。 图3-10 Taylor-Quinney试验 米赛斯条件与屈瑞斯卡条件都通过试验得以验证，试验表明，米赛斯条件一般更接近于实际情况图3-10。因为从理论上说，米赛斯条件考虑了中间主应力的影响，尤其在简单加载情况下，米赛斯条件相当准确。 Taylor-Quinney在1931年分别对铜、铝、软钢作成的薄圆筒，在拉伸和扭转联合作用下，进行试验。图3-10中画出了他们所作的结果试验结果，由图可看出，对于这几种材料，米赛斯屈服条件比屈瑞斯卡条件更接近于实验数据，因而可以认为米赛斯条件来自试验。 上述两种屈服条件主要适用于金属材料，对于岩土类介质材料一般不能很好适用，这是因为岩土类介质材料的屈服与体积变形或静水应力状态有关。所以要使上述两个屈服条件适用于岩土类介质材料，还须将上述准则推广为广义米赛斯条件与广义屈瑞斯卡条件。 3.2.3 双剪应力条件 1961年，俞茂宏提出了双剪应力屈服条件。各向同性材料的应力状态可以通过三个主应力或十二面体应力来表示图3-11。十二面体应力与主应力的关系可由菱形十二面体和莫尔应力圆说明，如图3-11和图3-12所示。据此，可把从抗剪强度理论出发的破坏条件归结为三种类型。 图3-11 十二面体应力 图3-12 三向应力圆 图3-13 正交八面体双剪单元体模型 1 单剪应力类型 指在一个面上出现剪切破坏，屈瑞斯卡屈服条件属于这种情况，即认为屈服与破坏取决于最大剪应力 （3.2.11） 这一准则没有考虑中间主应力的影响。 2 双剪应力类型 由于三个主剪应力存在如下关系 τ１２＋τ２３＋τ３１＝０ （3.2.12） 因而三个剪应力中只有两个是独立变量，因而双剪应力屈服条件认为只有两个较大的主剪应力造成剪切屈服与破坏。因此双剪应力条件为图3-13 图3-13 正交八面体双剪单元体模型 （3.2.13） 这一屈服条件中考虑了中主应力σ２的影响。 3三剪应力类型 指三个主剪应力与金属材料的屈服与破坏都有关，米赛斯条件就属于这种情况 （3.2.14） 由于它表示等倾面上的剪应力达到某一值时破坏，这一破坏条件也被称为等倾面上的最大剪应力破坏条件。 双剪应力条件除可写成（3.2.13）式外，还可写成下式 （3.2.14） 图3-14 π平面上的三类剪应力屈服条件 由式（3.2.14）可见，双剪应力条件在主应力空间中的屈服面为一个以空间对角线为轴线的等边六角柱面。在π平面上为一等边六角形，与屈瑞斯卡条件不同的是，它的六个顶点不在三个主轴上而是在三个主轴的平分线上，如图314所示。 双剪应力条件反映了两个较大的主剪应力对屈服与破坏的影响，也反映了中主应力和洛德角的影响。当σ２由最小值σ２＝σ３开始增加时，材料的屈服极限较不考虑σ２时有所提高，当σ２增大至或＝０时，屈服极限就达到了最大值，如图3-14所示。由图还可看出，双剪应力条件是米赛斯条件与屈瑞期卡条件的外包络线。双剪应力条件与最大应力偏量屈服条件是一致的，即当最大应力偏量达到一定值时材料发生破坏，它们可以得到相同的屈服函数。 双剪应力适用于范围较广的拉压强度不等的金属材料。例如铸铁材料，实验表明它与试验资料有较好的吻合。 3．3 岩土材料的临界状态线 自1958年以来，英国剑桥大学罗斯科等人对剑桥重塑粘土进行了大量试验工作，并在此基础上提出了土的一些弹塑性特性和临界状态模型剑桥模型，为建立岩土塑性理论作出了开创性的贡献。 罗斯科等人所作的试验主要是正常固结土和超固结土的排水和不排水常规三轴试验，试验的参量是有效应力p′本章也以p表示，q和比容ｖ，可以在一三维空间图中来描述。比容ｖ是取决于孔隙比ｅ或体应变εｖ的，因而也就描述了孔隙比或体应变的变化。试验应用常规三轴试验，因而没有引入洛德参数。 对于正常固结土，进行三轴剪切不排水试验时，先使试样在不同的各向等压状态ａ，２α，等下固结，然后，增加垂直偏压力ｑ＝-直到土样破坏。最后可绘出一组不同的应力-应变曲线，如图3-15。由图可见，围压越高，其ｑ值也越高。一组这样曲线的试验中，试验的应力路线可以在q-p座标面内表示出来，如图3-16ａ所示，可以发现这些不同应力路线的形状是相似的，这样就意味着若采用ｑ／ｐｃ和ｐ／ｐｃ座标，所有应力路线曲线就会归一化为一条线。 正常固结试样不排水试验在ｖ－ｐ座标平面上的应力路径如图316（ｂ所示。可以看出，试样从正常固结线Ａ１、Ａ２、Ａ３出发，由于是不排水试验，所以试样在比容保持常量的情况下移动，直到Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３各点破坏为止。显然，Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３各点意味着土体发生了剪切破坏。试验表明，Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３这些破坏点在图3-16ｂ的ｖ-ｐ座标面内，连成一条光滑的曲线，曲线外观上与正常固结线形状相似。而在图3-16ａ的ｑ－ｐ座标面上，呈一条直线。 正常各向等压固结粘土试样的排水三轴压缩试验，可获得与图3-15相似的一族曲线图3-17。图3-18示ｑ-ｐ和ｖ-ｐ平面内的应力路线，由此，可以看出，所有试验路线的破坏点在ｑ-ｐ平面内都是直线，从各试样的平均固结有效应力ｐ开始，以斜率3上升，达ｑｆ、ｐｆ破坏，构成ｑ-ｐ座标内的Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３破坏曲线。这些路径在ｖ-ｐ座标面是曲线。各试样随着ｐ值增大而压缩，Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３这类破坏点连成一条光滑曲线，其形状与正常固结线相似，但随着偏压力ｑ增大比容也相应变化，如Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２矢线所示。上述论述了粘土试样先经过各向等压压缩后，再加荷载作排水和不排水剪切试验的破坏情况。从图3-16和3-18可以看出两族试验破坏点的连线十分相近。为了比较其同一性，可将这些数据点画在一起图3-19。在ｑ－ｐ座标面内这些点构成一条通过原点的直线，而在ｖ-ｐ座标面内将构成一条形状与正常固结线相似的曲线。可见，排水和不排水两类试验的破坏点均落在一条线上。 这条线表示了一种临界状态，称为临界状态线Critical State Line写作CSL线。该线的特点是 1一旦试样的应力状态达到此线，原先经过各向等压压缩的试样就会产生破坏，所以它意味着是一条破坏状态线，或叫极限状态线。但破坏与试样从正常固结状态达到临界状态过程中所走的试验路径无关，即无论是排水与不排水试验，或通过任何一种应力路径，只要达到这一状态就发生破坏。 2达到这种破坏状态表现为试样产生很大的剪切变形，而达到此线后，应力p、q，体积或比容和孔隙比均将不再发生变化，可见这是由于剪切变形所引起的破坏。从应力不变和没有体积变形及剪切变形很大的状态来看，这正是出现塑性流动的特点，所以临界状态也应当意味着理想塑性状态。后面还要说到，对既有硬化又有软化的岩土材料来说，临界状态线也就是硬化面与软化面的分界线。 3临界状态线在p-q平面上的投影可用下式表示 qＣＳ＝ＭpＣＳ 3.3.1式中M是该线的梯度。 在v-ｐ平面上的投影如图3-19ｂ。若用同样的数据，改用v-ｌｎp座标面重新作图，该线将表现为一直线如图3-19ｃ。这个线的梯度与正常固结线相同，其式如下 vＣＳ＝ｒ－λｌｎpＣＳ 3.3.2式中ｒ定义为临界状态线上与p＝1.04ｋＮ／ｍ２相应的v值； λ线的坡度； vｌｎp平面上的正常固结线与临界状态线几乎平行，已知正常固结线的方程如下 v＝Ｎ－λｌｎp 3.3.3式中参数Ｎ与r相似。 临界状态线在q-p-ｖ三维空间内是q、p、ｖ的函数，正常各向等压固结线在q＝０的平面上，即ｑ-p-ｖ空间的“底面”上。临界状态线随着ｐ的增大和ｖ的减小而抬高即q增大。临界状态线上A、B、C点在q-p平面上的投影为Ａ１、Ｂ１、Ｃ１线，而在q＝０平面上的投影为Ａ２、Ｂ２、Ｃ２，如图3-20。临界状态线可以通过实验测定。如果已知临界状态线的位置，只需知道破坏时的一个变量p、ｑ或ｖ值，就可求出其他两个变量值。 3.4 岩土材料的破坏条件 由上节可知，临界状态就是破坏状态，临界状态的数学表达式就是破坏条件。应用的岩土破坏条件有多种，应用最广和应用时间最长的是莫尔-库仑条件，其他尚有广义米赛斯条 件、广义屈瑞斯卡条件、广义双剪应力条件、辛克维兹潘德条件、霍克-勃朗Hoek-brown条件等。岩土材料属硬软化材料，如果在上述破坏条件中引入硬化参量，就成为剪切屈服条件。 3.4.1 广义米赛斯条件与广义屈瑞斯卡条件 广义米赛斯条件是在米赛斯条件的基础上，考虑平均应力p（即σｍ或Ｉ１，而将米赛斯条件推广成为如下形式 3.4.1 此式是1952年由德鲁克-普拉格提出的，他们还在平面应变状态下导出证明见第六章 所以通常也将式3.4.1叫做德鲁克-普拉格条件。c、φ为岩土的粘聚力和内摩擦角。当φ＝０时，式3.4.1即为米赛斯准则。后来又导出许多式3.4.1的a、k值。为此，我们规定式3.4.1及其各种a、k值统称为广义米赛斯条件，而将具有上述特定a、k值的广义米赛斯条件称为德鲁克普拉格条件。 广义米赛斯条件在π平面上的屈服曲线图仍是一个圆，因为αＩ１只影响π平面上圆的大小，不影响π平面上的图形。所以广义米赛斯条件的屈服曲面为一圆锥形图3-21。将屈瑞斯卡条件加以推广，同样可得广义屈瑞斯卡条件 （3.4.2或写成 3.4.3 其中 当式3.4.3中θσ＝０时，即为广义米赛斯条件。 广义屈瑞斯卡条件在π平面上的屈服曲线为一外接于米赛斯圆的正六角形。屈服面为一外接圆锥的正六角锥体，如图3-22所示。广义屈瑞斯卡条件可以有各种定义，库仑-莫尔公式也可视作广义屈瑞斯卡条件。此外还有如下形式的定义 3.4.4 式中σｍ以受拉为正，c、φ为岩土粘聚力和内摩擦角，显然，上述这些广义屈瑞斯卡条件都是不同的，但φ＝０时，都可获得屈瑞斯卡条件。 3.4.2莫尔-库仑条件 1.莫尔-库仑条件的形式 对于一般受力下的岩土，所考虑的任何一个受力面，其极限抗剪强度通常可用库仑定律表示 3.4.5 式中 τｎ极限抗剪强度； σｎ受剪面上的法向应力，以拉为正； ｃ、φ岩土的粘聚力及内摩擦角。 式3.4.5库仑公式在σ-τ平面上是线性关系。在更一般的情况下，τ-σ曲线可表达成双曲线、抛物线、摆线等非线性曲线，统称为莫尔强度条件。 利用莫尔定律，可以把式3.4.5推广到平面应力状态而成为莫尔库仑条件图323。 因为 所以，由式3.4.5得 3.4.6 式中R是莫尔应力圆半径 式3.4.6还可用主应力σ１、σ３表示成 3.4.7或 3.4.8写成一般屈服条件形式，为 （3.4.9由第二章式2.5.7，以I１、J２、θσ代以σ１、σ３，则可得 3.4.10 其中－≤θσ≤ 2.几何图形 莫尔-库仑屈服条件的屈服面是一个不规则的六角形截面的角锥体表面图3-24，其中π平面上的投影如图3-25所示。π平面上的几何图形可按下述导出 在π平面上，莫尔-库仑条件式3.4.7可写成 3.4.11由式2.4.5，并考虑S２＝－（S１＋S３），得 若规定σ１≥σ２≥σ３，则求出图形对应于－３０≤θσ≤３０，将ｘ、ｙ代入式3.4.11，得 ＝ccosφ＋y－σｍsinφ 3.4.12 图3-24 莫尔-库仑屈服面 图3-25 π平面上的莫尔-库仑屈服曲线 这就是图3-25中的AB线段方程，它对应于－30≤θσ≤30范围。当σｍ＝０时，即为米赛斯圆的半径，如果不规定σ１≥σ２≥σ３可采用对称开拓方法。得图3-25， 或采用 －1）i－１（θσ-）ｉ＝1，2，，6，代替上述式中θσ，即得图3-25。 3.π平面屈服曲线为不规则六角形的论证 图3-26中A与B两点分别是π平面迹线与压缩和拉伸试验破坏线的两个交点。π平面迹线与静水应力线交点Ｏ′与A和B两点之间的距离分别为ＯＡ＝Ｒｃ与ＯＢ＝Ｒｌ。现比较Rｃ与Rｌ的大小。 当三轴压缩试验时，σ１＝σ２，μσ＝１，ｑ＝σ１－σ３ Rc＝（rσ）ｃ＝q＝（σ１－σ３） 3.4.13由式2.5.1b，得 σｍ＝（σ１σ２σ３）＝（σ1σ3）＋（σ１-σ３） （σ1σ3）＝２σｍ－（σ１-σ３） 代入莫尔库仑方程3.4.7得 （σ１-σ３）＝（2ccosφ－2σｍsinφ） 3.4.14由于μσ＝1，则 （σ１－σ３）ｃ＝（２ｃｃｏｓφ－２σｍｓｉｎφ） 3.4.15当三轴拉伸试验时，μσ＝－１，则 Ｒｌ＝（σ１－σ３）l 且（σ１－σ３）ｌ＝（２ｃｃｏｓφ－２σｍｓｉｎφ） 3.4.16因而 ＝＝ 3.4.17 实际情况φ≥０，因而０≤Ｒｌ／Ｒｃ≤１。由此表明莫尔库仑屈服曲线是不规则六角形。这是因为岩土压缩状态与伸长状态下洛德参数μσ不同而造成π平面屈服曲线成不规则六角形。当φ＝０，在π平面上就成为规则的六角形，即为屈瑞斯卡准则。 4.莫尔-库仑条件的另一种表达形式 莫尔-库仑条件式3.4.10还可写成如下形式 3.4.18或 q＝p＋ 3.4.19式中 当σ１＝σ２时三轴伸长时 q＝σ１－σ３ ｐ＝ 式3.4.19可表达成为莫尔库仑条件的另一形式 q ＝－ｐtg＋ 3.4.20其中 5.莫尔库仑条件的几种特殊情况 式3.4.10及3.4.18、3.4.19是考虑了摩擦分量的摩擦型准则，它可以概括屈瑞斯卡条件，米赛斯条件、广义米赛斯条件以及德鲁克-普拉格条件。 当φ＝０时，式3.4.10可写成 此即屈瑞斯卡条件，它在π平面上的图形是外接米赛斯圆的六角形。 如上式θσ再等于零，即得米赛斯条件 注意这C与米赛斯原式中C不同，差一平方，因含义不同。 当θσ＝常数时，屈服函数不再与θσ或第三不变量Ｊ３有关。它在π平面上为一个圆，这时式3.4.10可写成 这就是广义米赛斯条件。 在式3.4.10中取不同的θσ值，即有不同的a、k值，由此可得到大小不同的圆锥形屈服面。当取θσ＝时，为受拉破坏，可得 3.4.21式3 4 20中 ,为 当取时为受压破坏，可得 , 3.4.22 , 如将式3.4.10对θσ微分，并使之等于零，这时F取极小，可得 取此θσ值时，可得 3.4.23 在式3.4.23条件下，即为德鲁克普拉格条件。在p-q平面上绘出了两条莫尔-库仑破环线，如图3-27。 在以3.4.21、3.4.22、3.4.23三式中的a、k作为系数的三个圆锥屈服面中，3.4.22式是通过莫尔-库仑不等角六角锥外角点的外接圆锥；3.4.23式是内切圆锥；3.4.21式是通过其内角点的外接圆锥，介于其两者之间，其间差别可用π平面图表示比较式3.4.21与3.4.22可见，当φ较小时，两者的差别较小，φ＝０时，差别消失，因为这时实质上等同于米赛斯条件了，φ＝０时，式3.4.21或3.4.22仍与式3.4.23有差别，前者表示为屈瑞斯卡等边六角形的外接圆，而式3.4.23表示等边六边形的内切圆。 由于用ｃ、φ值去计算α、ｋ值可以有好些公式，用不同公式计算结果也不一样。据辛克维兹及本书作者等人研究，按不同α、ｋ值所求极限荷载甚至相差达4～5倍之多。 徐干成、郑颖人、姚焕忠1990还提出了一种与莫尔库仑条件等面积圆的屈服条件，依据偏平面上等效圆的面积与莫尔库仑条件的面积相等，得 3.4.24 3.4. 25按式3.4.25计算结果与按莫尔库仑条件中计算结果非常接近，但计算要方便得多。 3.4.3 广义双剪应力条件. 广义双剪应力条件要在双剪应力条件基础上考虑静水压力及拉压强度不等的影响，它的数学表达式可以有如下两种形式，并考虑 1 3.4.26 当广义压缩时，即时。 当广义拉伸时，即时。 上式中β、ｋ为广义双剪应力材料常数，可以由单向拉伸与压缩试验确定，有 3.4.28 2当β、ｋ与莫尔-库仑条件中ｃ、φ建立关系，可以令两者 单轴压缩与单轴拉伸时强度相同得出 3.4.29由此有 3.4.30 当时 3.4.31 当时 由式3.4.31可见，当φ＝０时，即为双剪应力条件。 广义双剪应力条件的屈服面在主应力空间是一个以静水压力线为轴的不等边六角锥体面，在偏平面上是一个顶点不在主轴而与主轴对称的不等边六角形，如图3-14所示。图3-29ａ绘出了φ＝０、30、90相应θσ＝０、16.12、30时的莫尔-库仑条件和广义双剪应力条件在π平面上－30≤θσ≤30范围内的屈服曲线。当φ＝０时，莫尔库仑条件简化为屈瑞斯卡条件，如图3-29ａ中的AC线所示。广义双剪应力条件的折点应在φ＝０处，如图3-29ａ中的B点所示。当φ＝90时，广义双剪应力条件与莫尔库仑条件重合。
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