第2章应力—应变及其基本方程.doc
第二章 应力应变及其基本方程 2．1一点的应力状态 对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如p点处应力状态在直角座标系可表示为 2.1.1如图2-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与座标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧座标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式2.1.1就是应力张量，它是二阶对称张量。因为它具有,,。 已知物体内某点ｐ的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在p点处取出一无限小四面体图2-2。 图2-1一点的应力状态 图2-2倾斜面上的应力 它的三个面分别与、、三个轴相垂直。另一面即为任意倾斜面，它的法线，其方向余弦为、、。分别以、、、代表、、、三角形面积。 （2.1.2）在三个垂直于座标的平面上有应力分量，在倾斜面上有合应力，它可分解为正应力及切向剪应力，即 2.1.3 沿座标轴方向分量为、、，由平衡条件可得 （2.1.4）求出、、在法线方向上的投影之和，即得正应力 （2.1.5） 而剪应力则由式2.1.3得 （2.1.6） 在空间状态下一点的应力张量有三个主方向、三个主应力。在垂直主方向的面上，， 即为主应力，等于合应力，而主应力在座标轴上的分量为 （2.1.7） 将式2.1.7代入2.1.4整理后得 2.1.8 此外，法线N的三个方向余弦应满足 （2.1.9） 由上面4个方程可求得及方向余弦、、。如果将、、看作未知量，则由式2.1.9可见，、、n不能同时为零。因此线性方程组式2.1.8有非零解的充要条件为系数行列式等于零。 （2.1.10）展开行列式得到 （2.1.11） 式中 （2.1.12） 方程 2.1.11 有三个实根，即三个主应力。按三个主应力数值，分别由式 2.1.8 求出三个主方向. 当座标方向改变时，应力分量均将改变，但主应力的数值是不变的，即方程2.1.11 的根不变，因此该式的关系也不变。由于系数、、与座标无关，故称作应力张量不变量，通常分别叫作应力张量第一不变量、第二不变量与第三不变量。应力张量不变量除由式2.1.12表示外，还可由主应力表示，因为主平面上无剪应力，则由式2.1.12可得 （2.1.13） 主应力与应力张量不变量均不随座标而变，因而在岩土塑性理论中应用甚为方便，以后将广为应用，尤其是应力张量第一不变量，它的物理意义是平均应力三个正应力的平均值的三倍，表示了平均应力的大小。 2．2应力张量分解及其不变量 设三个正应力的平均值为平均应力，用或p表示 （2.2.1） 于是 由此，应力张量可分解为两个分量 2.2.2 等式右端第一个张量称应力球张量球应力张量，第二个张量称应力偏量偏应力张量。 2.2.3 式中定义为 令， ，，，，，则应力偏量即为 2.2.4 若以主应力表示一点应力，则可写成 2.2.5 如图2-3所示，应力可分解为应力球张量与应力偏量。应力球张量表示各向等值应力状态，即静水压力情况。应力偏量是应力张量与静水压力之差。在传统塑性理论中，由第一章中试验证实，静水压力不影响屈服，所以塑性变形与静水压力无关，而只与应力偏量有关，因此在传统塑性理论中，只有应力偏量才显示出与塑性有关的部分。但由岩土的试验表明，塑性变形既与应力偏量有关，也与应力球张量有关，这正是岩土塑性理论的特点。此外，在弹性力学和传统塑性理论中，认为应力球张量只产生体积改变，不产生形状改变；应力偏量只产生形状改变，不产生体积改变。即有 图2-3 应力张量的分解 2.2.6 式中、分别是体积应变、剪切应变；为体积模量、为弹塑性剪切模量，弹性状态下＝，为弹性剪切模量。同样，在岩土塑性理论中，式2.2.6不再适用，目前一般推广为下式。 2.2.7 式中、、、可分别称为弹塑性体积模量，剪缩模量，压硬模量，弹塑性剪切模量。弹性状态下，与，。 应力球张量与应力偏量都是一种应力状态，因而也同样存在不变量，进行与应力张量不变量类似推导，即令代入2.1.13式中，得应力球张量的不变量 2.2.8 因此应力球张量可用一个参量来表示。 应力偏量的不变量在式2.1.12中以、、代替、、而得 （2.2.9） 式中、、分别为应力偏量的第一、第二、第三不变量。、、为主应力偏量）、（）、（）。由式2.2.9可看出，应力偏量可以、两个参量来表示。因此，一点的应力状态可由、、表示。这种表示方法在岩土塑性理论中应用极广，后面会经常用到它。应力偏量的第二不变量具有一定的物理意义，后面说到，它在数值上是八面体平面上剪应力的倍数，又是π平面上的矢径大小，这个数值无论在传统塑性理论中，还是岩土塑性理论中都是十分重要的。 2．3八面体应力、广义剪应力与纯剪应力 研究塑性状态时，采用应力张量不变量可减少表示应力状态所必需的参量，但采用八面体上的应力也可以达到同样目的，因为它与应力张量不变量密切相关。 已知物体内某点的主应力及应力主轴，通过该点作一平面，使平面法线N与三个主轴夹角相等，夹角为54。44″，此平面称为等斜面，法线N称为等倾线。利用前节求倾斜面上应力公式可以求出等斜面上应力，取主应力方向为座标方向，物体内所取四面体受力情况如图2-4所示。 abc是等斜面，它的法线方向余弦彼此相等，且它的平方和为1，因此有 ｌ＝ｍ＝ｎ＝ 2.3.1 由式2.1.4得等斜面上的合应力的分量为 2.3.2 所以合应力数值为 图2-4 等斜面图 2-5 正八面体 2.3.3 由式2.1.5可得到等斜面上正应力 2.3.4 等斜面上正应力等于平均应力，而等斜面上剪应力亦可得到 2.3.5 与式2.2.9中的第二式比较，可见等斜面上剪应力与应力偏量第二不变量有如下关系 2.3.6 因为在物体内某点附近可作出上述八个等斜面，构成如图2-5所示正八面体，故上述正应力和剪应力也称为八面体上正应力与剪应力，通常以和表示。可见，八面体上应力可分为两部分一为与应力球张量或有关的正应力；另一为与应力偏量第二不变量有关的剪应力。这两个数值在岩土塑性理论中经常引用。 为了使用方便起见，塑性理论中将乘以系数称为广义剪应力q或应力强度。 2.3.7 当单向拉伸时，，则与单向应力相等，故也将或称作等效应力。当一般三轴压缩试验时，并设以压为正，则，因此 2.3.8 将乘以得，我们以此定义纯剪应力，也称剪应力强度，因为纯剪时，，，由此得 2.3.9 即与剪应力相等。 上述八面体剪应力、广义剪应力、纯剪应力均是的函数，且与座标选择及应力球张量无关。各正应力增减一个数值，均不影响上述剪应力值。 2.4 应力空间与π平面上的应力分量 塑性理论中所考虑的问题通常是各向同性的，因此对方向问题并不十分重要，只要注意主应力的大小，可不考虑它们的方向。我们可采用三个主应力σ1、σ2、σ3所构成的三维应力空间来研究问题，由此可获得直观的几何图象。 应力空间中的一定点对应着一定的应力状态。图2-6表示三个互相垂直的轴Oσ1、Oσ2、Oσ3的主应力空间。如果一物体内一点处的主应力为σ1、σ2、σ3，则这种应力状态可由主应力空间中一点P表示。P点的座标为σ1、σ2、σ3，这个应力状态可写为三个矢量OP1（σ1），OP3（σ3），OP2（σ2）的矢量和。 图26主应力空间与π平面 通过原点O与三个座标之间夹角相等的一条空间对角线，即等倾线，其方向余弦均为，在该线上。我们把垂直于这条空间对角线的任一平面称为π平面，其方程为 2.4.1 式中ｒ沿等倾线方向由座标原点到该平面的距离。 可见在给定ｒ的π平面上，＝常数；在过原点的π平面上。而在传统塑性理论中，只把其中过原点的平面作为π平面。 在空间对角线上的投影为 即ｒ，则 ＝ｒ＝ 2.4.2 可把称为作用在平面上的正应力分量，因为它是一点的应力在平面法线方向上的投影，有些书上把它叫做π平面上的法向应力，可记作，它是与应力球张量相对应的。 是在平面上的，并垂直于等倾线，其值为 2.4.3 是在平面上的剪应力分量，它是一点的应力状态在π平面上的投影，记作，也称作偏剪应力，有些书上把它叫做π平面上的剪应力，它与应力偏量相对应，有 2.4.4 与和相似，π平面上的应力分量与也是塑性理论中常用的一种参量，它与及密切相关。由于π平面本身内只有应力偏量，因此还把π平面叫作偏量平面。 我们顺着轴的反方向，即从上向下看平面，则在图2-7中平面上出现了正的主轴、、，彼此之间的夹角为120，它们是主应力空间三个垂直轴的投影。图2-7a中虚线表示负的主应力轴，则π平面全部面积分成了六个等扇形。 图2-7 屈服轨迹上一点的位置 主应力空间中一点与平面上的一点存在对应关系，由图2-7可见 ˊ 在图2-7中，点的座标在上的投影长度，即为＝，在上的投影长度为，在投影长度为。 如果π平面上取直角座标系，其中轴方向与轴在π平面上投影一致。由图2-7a，则平面上应力在、轴上的投影为 （2.4.5） 如果在平面上取极座标、，则 2.4.6 式中洛德角，π平面上应力PQ与′轴的垂线间的夹角； 洛德参数。 由图 2-7还可以看出，，也可由此得到 2.4.7 各正应力与应力张量第一不变量之间的关系 表2-1 各正应力与 平均应力 八面体正应力 平面上正应力分量 应力张量第一不变量 可见，平面上剪应力分量的大小方向将由两个参数确定，或由直角系的座标、来定，或则由极座标、来定。其中确定应力偏量数值大小，而洛德角或洛德参数确定应力偏量在平面上位置。 无论是八面体应力，还是平面上的应力分量都是与应力张量第一不变量或平均应力及应力偏量的第二不变量有关。表2-1及2-2中列出了其间的相应关系。 各剪应力与应变偏量第二不变量之间的关系 表2-2 各剪应力与 广义剪应力 八面体剪应力 纯剪应力 平面剪应力分量（偏剪应力） 应力偏量第二不变量 2.5洛德Lode参数与洛德角 在传统塑性理论中，认为应力球张量不影响屈服，所以对应力偏量特别感兴趣，而洛德参数或洛德角都是应力偏量的特征量。此外，采用洛德参数或洛德角研究塑性问题十分方便，因而在岩土塑性理论中应用极广。 设横座标为正应力，纵座标为剪应力，设已知应力σ1、σ2、σ3令 ，， 以，，，为直径画三个圆，如图2-8。 其半径为 、、称为主剪应力，半径最大者为最大剪应力，如果把图2-8中座标原点点移到新的位置，使这时 由此所得移轴后应力圆即是描述应力偏量的应力圆2-8。 图28莫尔圆 原点任意平移一个距离，就相当于在原有应力状态下叠加一个静水压力。在传统塑性力学中，这个叠加并不影响屈服函数和塑性变形。因此，对塑性变形有决定性意义的是应力圆本身。若以表示的中点，则 若考虑到中间主应力对屈服函数的影响，可由与之比确定的相对位置，其比值用洛德参数表示。 若主应力次序为，则 2.5.1 或 2.5.2b 式中。由变到，因此和的变化范围为 －，－ 由式2.5.1可见，μσ为主应力差值的函数，说明是应力差的比例关系，而与应力大小无关。不管座标纵轴原点位置移动多少，其μσ不变，可见μσ是描述应力偏量的特征值，它与应力偏量不变量J2、J3有关，而与应力球张量无关。 由上可见，洛德参数或洛德角都不能表示一点的应力状态的特征值，因为它不表示应力球张量。然而它却能反映受力状态的形式，即主应力分量之间的比例关系。因而不同的洛德参数与洛德角可以反映材料的不同受力状态图2-9，2-10。 在弹性力学和传统塑性力学中，符号一般都规定以拉为正，但在岩土力学都一般规定以压为正。本书在一般情况下也规定以拉为正，但研究岩土问题时，有时也规定以压为正，以便与岩土力学保持一致。当以压为正时，书中都予以说明。下面说明不同的μσ或值反映了不同的受力状态。 ａ）纯拉伸ｂ纯剪切（ｃ纯压缩 图2-9 简单应力状态的莫尔圆 图2-10 岩土在压缩、伸长和平面应变下受力状态 （ａ）压缩ｂ拉伸（ｃ）平面应变 纯拉时，，，，； 纯剪时，，，，，； 纯压时，，，，； 注意σ1、σ2、σ3均为负值，常规三轴伸长拉伸试验时，﹥（图2-10），，；常规三轴压缩试验时，＝＞ 图2-10a，，。一点的应力状态通常可用σ1、σ2、σ3；I1、I2、I3；J1、J2、J3表示，但岩土塑性理论中，引用最多的是p、q、 或或、、的应力体系。前面已经将洛德角与不变量都写成了主应力的函数。下面则将主应力写成洛德角与不变量的函数，并将洛德角也改写成不变量的函数。 仿照式2.1.11写出的主偏应力方程式 2.5.2 三个主偏应力、、是方程的三个根，直接解上述方程是困难的，但可用三角恒等模拟上述方程求解。 2.5.3 若以代入方程2.5.2，即得 2.5.4 与方程2.5.3恒等，得 2.5.5 并有 2.5.6 由上即能写出中间偏主应力 考虑到平面上三个主应力轴各相夹，由此得、如下 按此，三个主应力σ1、σ2、σ3可写成 （2.5.7） 其中。式2.5.7十分有用，它以不变量和洛德角来表示主应力，使运算大为简便。在岩土塑性理论中，常以、、 或表示应力状态。由上已知 2.5.8 当采用普通三轴压缩试验时，＝ 取以压为正故 2.5.9 当采用普通三轴伸长试验时，＝ 取以压为正故 2.5.10 在平面应变试验中，σ1σ2σ3，图2-10ｃ，值在1～-1间，在30～（-）之间。 2.6各剪应力与最大主剪应力的比较 令，并设座标轴与应力主轴一致，则得 0，，， 0，，， 0，，，， （2.6.1） 故最大剪应力 2.6.2 并由式2.5.7得 2.6.3 或 令，，则得 2 故 2.6.4 由表2-2查得，，代入方程2.6.3得 或 １ 则 2.6.5 由表22中代入方程2.6.3，得 2.6.6 由表2-2中查得代入方程2.6.3，得 （2.6.7由上可见， 最大主剪应力不仅与广义剪应力及洛德角有关，而且也可写成广义剪应力与洛德参数的函数，由式2.6.3及2.4.6可得 2.6.8 工程上常应用与，但某些情况下应用更简单，此时可应用式2.6.8。 2.7孔隙应力、有效应力与总应力 在两相的孔隙介质分析孔隙土的变形性状分析中，常把总应力｛｝的一部分理解为被土的颗粒骨架承担；而另一部分则被土的液体所承担，其应力状态可用一个单纯的静压力来描述，即使当液体处于运动中，静水压力状态的偏差也是微不足道的。 由试验可知，均匀增加孔隙水压力，仅能导致土的骨架产生微不足道的应变。从而可以说明，土的任何应变作用必须是由于总应力｛｝和孔隙压力｛｝孔隙水压力uw和孔隙气压力ua）之压差所引起，我们称此压差为有效应力｛｝。对于饱和土，有效应力即为总应力与孔隙水压力uw之差图2-11，即有 2.7.1 式中 2.7.2 2.7.3因而土的本构定律可用骨架的可测应变 2.7.4以及有效应力｛｝来适当地表达。 图2-11 孔隙介质中的总应力和有效应力 上述原理就是1925年太沙基提出来的有效应力原理，它反映了土的多相性质。对于非饱和土，有 （2.7.5） 式中是孔隙气压力，是一个与饱和度有关的参数。对于饱和土，＝１，则式2.7.5与式2.7.1一样。对于干土＝，式2.7.5成为 （2.7.6） 2.8应力路径 2.8.1 应力路径的基本概念 岩土的性质与本构关系，与应力应变状态的变化过程有关，因此需要描述一个单元在它的加载过程中的应力或应变过程。通常称描述一单元应力状态变化的路线为应力路径，而称描述应变状态变化路线为应变路径，目前工程上应用较多的是应力路径。 对岩土来说，一点的应力状态完全可由总主应力及其方向和孔隙压力所确定。有效主应力可用计算算出。 我们令三个总主应力或有效主应力为座标轴，而建立应力空间或有效应力空间。如图2-12所示，图、及为三个有效主应力，将一单元的瞬时有效应力状态所有的点联结起来的线，并标上剪头指明应力发展的趋向，就可得到有效应力路径，简称。同样可在主应力空间中给出总应力路径，简称。 图2-12 应力空间中的应力路径 图2-13 二向应力平面上的应力路径 通常，我们将总主应力轴与有效应力轴放在一起，在这张图上不仅能表示有效应力路径和总主应力路径，而且还能表示孔隙压力的大小。 当略去中间主应力和时，则可在二向应力平面上绘制有效应力路径和总主应力路径。如图2-13所示。图中为有效应力路径，若在的孔隙压力为值，则点代表瞬时总应力，因为有效应力与总应力之间的水平距离与垂直距离均为孔隙压力u值。由目测可知，瞬时总应力与有效应力的点，必定沿座标轴倾斜成的线上，线段隔开，如图2-13所示。 2.8.2应力路径的表示方法 在应力空间中绘制应力路径既不方便，也不便应用。通常，在两向应力状态用，及ｓ，ｔ座标系上表示，而在三向应力状态则用、及p、q座标来表示。 二向瞬时应力状态可用莫尔应力圆表示，如图2-14所示。莫尔圆的大小及其位置可用其顶点的座标，表示，因而可在座标、平面上绘制点的路径来描述一个单元的加载历史。在、座标上描述有效应力路径，同样，能在ｓ、ｔ平面上描述总应力路径。 从图2-14中看出，为莫尔有效应力圆半径，并等于最大剪应力；而为自座标原点至莫尔圆圆心的距离，并等于及的平均值。从图中的几何关系，并注意剪应力互等，则有 （2.8.1） （2.8.2） 如以有效主应力表示，则为 （2.8.3） （2.8.4） （ａ）（ｂ） 图2-14 应力路径表示方法 对总应力则有 2.8.5 2.8.6 经简单运算，并用有效应力公式，即得 2.8.7 2.8.8 如将总应力路径与有效应力路径用叠合在一起的、及、座标系作图，则图上两种路径的水平间距等于孔隙压力。 用、座标系绘制图2-13的应力路径，其结果示于图2-14中。为了计算及的坡度，将式（2.8.3）及（2.8.4）写成如下形式 2.8.9 2.8.10 对于，及；同时对于，及。相应于点有效应力的总应力状态，由点表示，与点的水平距离就是孔隙压力。 对于三向应力状态，通常是在、和、座标上表示。因而其应力需用广义剪应力或八面体应力等表示。已知 2.8.11 （2.8.12） 且第三不变量将不为零。相应有效应力可写成 2.8.13 （2.8.14） 以、和、为座标系即可绘制有效应力路径和总应力路径，为计算及部分坡度，将式2.8.13、2.8.14改写，并考虑应用于轴对称情况。为了使所绘图形与常见图形一致，这里假设以ｐ受压为正，则常规三轴压缩试验时有＞＝。因而 2.8.15 2.8.16 对于，及；而对，，，。点相应于有效应力状态的总应力状态，孔隙压力为。 2.8.3不同加荷方式的应力路径 岩土工程中一点的应力路径是很复杂的，而且各点的应力路径也不相同。实验室中完全模拟实际路径几乎是不可能的，它要受到现有实验设备的限制。常规三轴仪、平面应变三轴仪及真三轴仪，可以控制不同的应力和排水条件，反映土中一些常规的应力路径。 常规三轴仪中的试样为圆柱形试样，受力的条件为轴对称条件。它可以进行等压固结、（静止侧压力系数）固结，三轴压缩剪切与三轴伸长剪切等各种应力路径的试验。各种不同的试验方法受力条件与变形条件如图2-15、、、所示。 图2-15 三轴仪上的应力条件与应力路径 1．静水压力试验 简称HC试验，试验中，故应力路径沿等应力线变化，如图2-15、所示。 2．试验 试验中保持，，应力路径沿线变化，如图2-15、所示。 3．三轴压缩试验 简称TC试验，有三种试验方法 1普通三轴压缩试验，简称CTC试验，此时增加，保持不变，进行压缩剪切试验。这时，；，＝其应力路径如图2-15、所示。 2减压三轴压缩试验，简称RTC试验。试验中减小，保持不变，进行压缩剪切试验。此时有，；，＝，其应力路径如图2-15、所示。 3的试验，简称PTC试验。试验中保持ｐ不变，因而要求0，而，相应的，＝，其应力路径如图2-15、所示。 4.三轴伸长试验 简称TE试验，也分三种试验方法 1普通三轴伸长试验，简称CTE。此时，；相应有，，其应力路径如图2-15、所示。 2减压三轴伸长试验，简称RTE。此时有＝，；，，其相应路径如图2-15、所示。 3 的三轴伸长试验，简称PTE，此时有，而。相应有，。应力路径如图2-15、所示。 图2-16不排水条件三轴压缩试验的总应力路径和有效应力路径 图2-17偏平面上的应力路径 在排水条件下，有效应力路径与总应力路径是一样的。图2-16示不排水条件下三轴压缩试验的总应力路径和有效应力路径，破坏时孔隙压力为uf。在偏平面上，θσ变动只能画出和试验图2-17，要画出全部应力路径状况，需要采用真三轴试验仪。如要画出偏平面上的破坏曲线，可改变θσ， 亦即改变、主应力的比值，再改变试验直至破坏，由此来达到改变θσ的目的，再算出 按试验得到的不同θσ与θr值，即能给出偏平面上的破坏曲线。 土体中一点的应力状态可以用6个独立的应力分量来描述，因而一个“完美”的土工试验仪器应当能够独立地变化六个应力分量并量测相应的六个应变分量。可惜这种仪器目前尚未问世。从这一角度出发，目前功能最好的室内试验仪器是空心圆柱压缩扭剪仪，简称空心扭剪仪。它可单独施加与改变空心圆柱试样的内外压力，可施加与改变轴向压力及绕轴扭矩。因而它可独立施加、、与或，或者是变化三个主应力的大小与实现应力主方向从轴向向切向的旋转。 2.9一点的应变状态 在外力作用下，物体内各点的位置要发生变化，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，称这种位移为刚体位移。如果物体各点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时也产生了形状变化，统称为该物体产生了变形。 在外力作用下，物体内部质点产生相对位置的改变。设某点的座标为、、，其邻近点座标为，，。该点的位移向量分量为、、，邻近点的位移向量分量为、、。ｕ、ｖ、ｗ是座标点、、的函数，当、、很小时，可以利用泰勒公式展开，只需要保留一次项，得、、与、、关系如下 2.9.1 后面的九个量构成了位移梯度张量，一般是不对称的二阶张量 2.9.2 矩阵可以分解为两部分 2.9.3 前一项是一个对称张量，就是在小变形条件下的应变张量，应变张量的矩阵形式是 2.9.4 左式是工程力学中的习惯写法，右式适用于使用张量下标记号。2.9.3式的后一项是一个反对称张量，对应于单元体的刚体转动部分，其矩阵形式为 2.9.5 用张量下标记号，以表示应变张量，令，，，则 由此 2.9.6 与前相似，应变张量的座标变换式是 2.9.7 应变张量的不变量是 （2.9.8）这里、、是三个主应变 平均正应变表示为 2.9.9 应变偏量定义为 将应变张量分解为应变球张量与应变偏量 与此相应表示变形可分解为纯体积变形和纯形状变形两部分，如图2-18所示。 图2-18 变形分解 立方体变形＝纯体积变形＋纯畸变变形 （2.9.10） 应变偏量的不变量是 （2.9.11） 2.10应变空间与应变π平面 与应力空间一样，它是由三个主应变构成的三维空间，用来表示应变状态。应变空间中的一定点对应着一定的应变状态。图2-19中等倾线，在该线上。与此线垂直的平面称应变平面。其方程为 （ 2.10.1） 平面上的法向应变为 图2-19 应变空间与应变π平面 2.10.2 平面上的剪应变，又称偏剪应变，为 2.10.3 为应变空间中应变点在平面上的投影。 如在应变平面上取直角座标，并使轴方向与轴在平面上的投影一致，则得 （2.10.4） 如平面上取极坐标、，则 （2.10 .5） ，为应变洛德角与应变洛德参数。 （2.10.6） 2.11各种剪应变间的关系 1.八面体应变 八面体上正应变 （2.11.1） 八面体上剪应变 （2.11.2） 2. 广义剪应变又称应变强度 （2.11.3） 在简单位伸时，，，，得。 3.纯剪应变又称剪应变强度 （2.11.4）在纯剪时，＞，，，，则 4 .平面上的应变分量 平面上的正应变分量见式2.10.2 （2.11.5） 平面上的剪应变分量见式2.10.3 （2.11.6） 令主剪应变 （2.11.7） 当规定时 各剪应变与应变偏量第二不变量的关系 表23 剪应变或偏应变 第二不变量 广义剪应变 八面体剪应变 纯剪应变 平面上剪应变分量（偏剪应变） 偏应变张量第二不变量 与2.6节类似，令，，得 由上可见 2.12应变路径 2.12.1应变路径的表示方法 与应力路径相似，采用座标轴、、的应变空间中，也能描述一单元应变状态的历史。在平面应变问题中，其中一个主应变为零，只需要研究二向问题即可。此时，瞬时的应变状态可用一个莫尔应变圆来表示，如图2-20ａ所示。应变莫尔圆是以法向应变及绝对剪应变为座标轴，莫尔圆的位置和大小由其顶点的座标表示。 图2-20 应变路径表示方法 令参数 （2.12.1） （2.12.2） 若以、为参量建立座标系，则、平面上的一点就相当于某一莫尔圆顶点的应变状态的二倍。联系瞬时应变状态点，即得如图2-20所示的应变路径。 定义参量、时引入了一个2的系数，目的是使、恰好对应应力参量及。容易证明，此时 （2.12.3） （2.12.4） 式中为工程剪应变最大值，为体积应变，以压缩为正。 对于三向应变状态，必须引入广义应变或八面体应变的不变量表述。 相应的广义应变 （2.12.5） （2.12.6） 在轴对称的情况下，，则上两式为 （2.12.7） （2.12.8） 为方便起见，可将上式系数拿掉，并记作、
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