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单级齿轮减速机双重优化设计方法 宋庆环 （唐山学院， 唐山 063020 ） Dual optimization of single-stage gears reductor SONG Qing-huan （Tangshan College， Tangshan 063020， China ） 文章编号 1001-3997 （2009 ） 01-0029-03 【摘要】齿轮基本参数的选择是齿轮设计中的一项非常重要的内容。传统的齿轮设计方法忽视了 所选择的基本参数对啮合效率的影响， 从而造成了能源浪费和经济损失。首先从减少体积出发对圆柱齿 轮结构参数进行优化， 然后在此结构参数的基础上， 基于啮合效率， 进行再次优化， 得到既减少体积又提 高啮合效率的系列结构参数。 关键词 齿轮设计； 齿轮基本参数； 啮合效率； 双重优化 【Abstract】The selection of gear basic parameters is an important content on gear design. Traditional design ignores the effect of basic parameters on meshing efficiency， and results in energy waste and econo－ my loss. Firstly， discusses the optimization based on capacity reduction， and gets the basic parame－ ter. Then according to the meshing efficiency， the obtained basic parameter is optimized again. This proce－ dure was called dual optimization. Through this ， the optimized parameter make the designed gear reductor have virtue of both small capacity and high meshing efficiency. Key words Gear design； Basic parameter； Meshing efficiency； Dual optimization ＊来稿日期 2008-03-18 中图分类号 TH12文献标识码 A 1 引言 优化设计是一种现代设计方法， 建立在最优化数学理论和现 代计算机技术的基础之上， 其任务在于运用计算机自动确定工程 设计的最优方案。优化设计方法应用于机械设计中， 可以提高产 品质量， 降低产品成本， 是一种具有重要经济意义和巨大应用潜 力的先进技术。 圆柱齿轮结构参数优化通常从减少体积、 减少轴距的角度对 齿轮的结构参数进行优化设计， 这种设计方法以满足强度、 寿命 理论为准则， 取得了较好的优化效果， 特别是相关行业软件和数 学工具的推广， 使这些优化工作变得规范， 操作简单， 在实际设计 中得到广泛的应用。 降耗节能是国民经济可持续发展的重要任务之一， 所以效率 的高低是衡量机械性能的一个重要指标。上述设计方法， 忽视了所 选择的参数对啮合效率的影响， 从而造成了能源浪费和经济损失。 啮合效率是反映齿轮传动的工作效率的一个重要指标。因 此， 提出一种双重优化的齿轮设计优化方法， 即， 首先从减少体 积或轴距的角度对齿轮的结构参数进行优化， 在此基础上， 再从 啮合效率的角度对齿轮的设计参数进行再优化。 提出设计既满足 强度、 寿命要求， 又具有传动效率高特点的齿轮设计的通用方法。 第二部分对以减少体积或轴距为目标的齿轮设计优化方法 进行简单介绍。 第三、 四部分对齿轮啮合效率的计算、 以啮合效率 为目标的齿轮设计优化方法进行详细介绍。 2 基于强度、 寿命准则的优化方法 从目标函数建立、 约束条件确定、 优化方法选择三方面简要 介绍基于强度、 寿命准则的优化设计的过程与步骤。 2.1 目标函数的建立 单级齿轮减速器的结构简图， 如图 1 所示， 轴板孔数为 4。已 知输入功率 P280kW， 输入转速 n11000r/min， 齿数比 u5， 齿轮 的许用接触应力 ［σ］H855MPa， 主动齿轮的许用弯曲应力 ［σ］F 261MPa， 从动齿轮的许用弯曲应力 ［σ］F213MPa。求在满足零件 强度和刚度条件下， 使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿 轮和轴的尺寸 （即壳体内的零件 ） 是决定减速器体积的依据， 因此 可按它们的体积之和最小的原则来建立目标函数。 图 1 齿轮结构尺寸图 输入、 输出轴 d1′、 d2′近似看成直径一样粗 （即计算应力时， 不考 虑其阶梯部分 ） 。设大小齿轮的齿宽均为 B， 轴支承跨距为 L， 轴 向尺寸为 L28cm， L32cm， 齿数 ZZ1。根据齿轮几何尺寸及齿 轮结构尺寸的计算公式， 壳体内齿轮和轴的体积可近似表示为 MachineryDesign＆Manufacture 机械设计与制造 第 1 期 2009 年 1 月29 Vπ 4（d1 2-d 1 ′2） Bπ 4（d2 2-d 2 ′2） B-π 4（D2 2-d G2 2 ） （B-C ） -4 （π 4 d0 2c ） π 4（d1 ′2d 2 ′2） L28π 4 d1 ′232π 4 d2 ′2 按文献[2]上的齿轮结构经验公式推荐尺寸关系为 δ＝5m D2 ′ d2-2δ dG21.6d2 ′ d00.25 （D2 ′ -dG2） c0.2B 将 δ、 D2 ′ 、 dG2、 d0、 c 按上述公式代入消去后，可知体积 V 决定 于 B、 Z1、 m、 L、 d1 ′ 、 d2 ′ 、 i 等 7 个参数， 而 i 为设计常量， 故其余 6 个 为设计变量。 取 x1B， x1Z1， x1m， x1L， x1d1 ′ ， x1d2 ′ ，将设计变量代入体积 和公式， 经展开整理得目标函数为 F （X ） 0.7839815 （4.75x1x 2 2x 2 385x1x2x 2 3-85x1x 2 30.92x1x 2 6 -x1x 2 50.8x1x2x3x6-1.6x1x3x6x4x 2 5x4x 2 628x 2 532x 2 6） 2.2 约束条件的确定 单级圆柱齿轮结构参数优化是一个 6 设计变量， 16 个约束 条件的优化设计经典问题。 其设计约束根据最小齿数、 齿宽系数、 模数限制、 齿轮直径、 轴径、 轴支撑、 接触疲劳强度、 弯曲疲劳强 度、 主动轴刚度、 主动轴弯曲强度等确立。 由于单级圆柱齿轮结构 优化是个优化设计的经典问题， 相关文献有详细介绍， 不再赘叙。 仅列出最终约束条件。 g1（x ） 17-x2燮0 g2（x ） 0.9-x1/ （x2x3） 燮0 g3（x ） x1/ （x2x3）- 1.4燮0 g4（x ） 2-x3燮0 g5（x ） x2x3- 300燮0 g6（x ） 100-x5燮0 g7（x ） x5-150燮0 g8（x ） 130-x6燮0 g9（x ） x6-200燮0 g10（x ） x10.5x6-x4-40燮0 g11（x ） 44163/ （x2x3x1姨）- 550燮0 g12（x ） xF1-400燮0 g13（x ） xF2-400燮0 g14（x ） 117.04x 4 4/ （x2x3x 4 5） - 0.003x4燮0 g15（x ） 1 x 2 5 2.85106x4 x2x3 2.41012 姨 -5.5燮0 g16（x ） 1 x 2 6 2.85106x4 x2x3 61013 姨 -5.5燮0 2.3 选择优化方法 这是一个带有 16 个约束的 6 维优化设计问题，通过采用复 合形法来进行优化计算。复合形法的基本原理是 在可行区域内 选取 K 个设计点作为初始复合形的顶点，通常取 n1≤K≤2n。 比较这些顶点的目标函数值，其中目标函数最大的点为坏点， 以 坏点之外其余各点的中心为映射中心， 寻找坏点的反射点， 一般 反射点总是优于坏点， 然后以反射点代替坏点， 构成新的复合形。 依此步骤重复多次， 使复合形的位置越来越靠近最优点， 最后输 出复合形中目标函数最小的点作为近似最优点。 基于 Matlab 的优化函数，把目标函数和约束条件分别定义 为 M 文件，通过 Matlab 的有约束优化函数 fmincon 进行优化计 算， 最终得出优化变量。 x＝ ［x1x2x3x4x5x6］ ［10.7534 25.0245 0.6812 22.0009 10.0012 13.0068］ 经标准化和圆整后 x＝ ［B Z1m L d1 ′ d2 ′］ ＝ ［11 25 0.7 22 10 13］ 。 经过优化后的体积为 F （x ） 3.4162104cm3。 3 啮合效率的计算 3.1 齿轮传动瞬时啮合效率的计算 如图 2 所示， 设两轮廓 1、 2 在点 p 接触， 其中 n-n 为两轮廓 在点 p 的公法线， v1、 v2为两轮廓在点 p 处的速度， α1、 α2为 v1、 v2与 公法线 n-n 的夹角，两轮廓总反力 F12、 F21与公法线 n-n 的夹角为 准， 设1为主动件。压力角与啮合点坐标x的关系图， 如图3所示。 图 2 齿轮轮廓啮合简图 图 3 压力角与啮合点坐标 x 的关系图 则点 p 处驱动力的功率 P1F12v1cos （α1-准 ） 点 p 处克服工 作阻力所需的功率 P2F12v2cos （α2-准 ） 。由 F12＝F21， 以及根据平 面啮合的基本定理， 两齿轮在接触点的速度沿公共法线方向的分 量相等， 即 v1cosα1v2cosα2。因此点 p 处的效率 η＝P2 P1 F21v2cos （α2-准 ） F12v1cos （α1-准 ）＝ 1ftanα2 1ftanα1 由于假定的条件是 α1α2， 当 α1α2时， η＝ 1ftanα2 1ftanα1 ， 这里不 再证明。 第 1 期 宋庆环 单级齿轮减速机双重优化设计方法 30 3.2 齿轮传动平均啮合效率的计算 上面求出了齿轮副的瞬时啮合效率， 其值随着啮合点的变化 而变化， 因此需要用积分求出平均啮合效率。 如图 3 所示， B1B2为 实际啮合线， 在节点 P 的两侧， η 具有不同的表达式， 因此采用分 段积分。其中， PB1rb2tanαb2-rb2tanαrb2（tanαa2-tanα ） PB2rb1tanαb1-rb1tanαrb1（tanαa1-tanα ） 3.2.1 PB2段的积分 将坐标原点取在节点 P 处， x 轴正向沿 PN2方向，则压力角 与啮合点坐标 x 的关系为 S1mz1 2i12 cosα ｛ （1i12） （1 f tanα ） ln 1 f tanarccosz1cosα z12ha 1 f tanα - （tanarccosz1cosα z12ha -tanα ） ｝ 3.2.2 PB1段的积分 在 PB1段， 积分得 S2mz1i12 2 cosα ｛ （1i12） （1 f -tanα ） ln 1 f itanarccosz1i12cosα z1i122ha - （i1 ） tanα 1 f -tanα -i12（tanarccosz1i12cosα z1i122ha -tanα ） ｝ 3.2.3 平均啮合效率的计算 （1 ） 实际啮合线长度 B1B2PB1PB2rb2（tanαa2-tanα ） -rb1（tanαa1-tanα ） mz1 2 cosα ｛i12（tanarccosz1i12cosα z1i122ha -tanα ） （tanarccosz1cosα z12ha -tanα ） ｝ （2 ） 平均啮合效率的计算 η＝S1S2 B1B2 ｛1 i12［ （1i 12） （1 f tanα ） ln 1 f tanarccosz1cosα z12ha 1 f tanα - （tanarccosz1cosα z12ha -tanα ） ］ i12［ （1i12） （1 f -tanα ） ln 1 f itanarccosz1i12cosα z1i122ha - （i1 ） tanα 1 f -tanα -i12（tanarccosz1i12cosα z1i122ha -tanα ） ｝ / ｛ ［ i12（ tanarccosz1i12cosα z1i122ha -tanα ） （ tanarccosz1cosα z12ha -tanα ） ］ ｝ 4 基于啮合效率的齿轮设计再优化方法 4.1 目标函数的建立 齿轮的基本参数为齿数 z、 模数 m、 压力角α、 齿顶高系数ha和 顶隙系数 c。由平均啮合效率公式可以看出， 式中不包含 m、 c， 因 此这里就不予讨论； 虽然 η 求解公式中包含 ha， 但由于 ha已经标 准化， 这里也不再讨论。由于 z1和 i12在第一步优化中已经确定， 这里不再讨论， 而且， z1和 i12对啮合效率的影响比较小， 详细论证 见参考文献， 这里不再论述。因此， 在第二步优化中， 仅考虑压力 角 α以及摩擦系数 f 对啮合效率 η 的影响。 在平均啮合效率公式，取 x1α， x2f，即可建立目标函数 F （X ） F （x1， x2） 。 4.2 约束条件的确定 （1 ） 根据设计经验， 压力角的初值范围在 10～60。 g1（x ） 燮60 g2（x ） 燮10 （2 ） 摩擦系数的减小， 直接导致加工成本的升高， 可以根据使 用条件的要求， 适当限制摩擦系数， 这里限制摩擦系数大于 0.05。 g3（x ） 燮1 g4（x ） 燮0.05 4.3 选择优化方法 这是一个带有 4 个约束的 2 维优化设计问题，基于 Matlab 的优化函数 fmincon， 能够很方便的实现优化计算， 最终得出优化 变量 x ［x1， x1］ ＝ ［39.8942 0.0500］ 。 经标准化和圆整后 x ［α f］ ＝ ［40 0.05］ 经过优化后的啮合系数为 F （X ） 99.1。 从优化结果可以看出， 适当增加压力角， 有利于啮合效率的 提高， 但达到一定程度后， 啮合效率反而下降； 摩擦系数与啮合效 率成反比关系。 5 结论 首先从减少体积出发对圆柱齿轮结构参数进行优化， 然后在 此结构参数的基础上， 基于啮合效率， 进行再次优化， 得到既能减 少体积又能提高啮合效率的系列结构参数。 传统的齿轮设计忽视了所选择的基本参数对啮合效率的影 响， 从而造成了能源浪费和经济损失。 从优化结果可以看出， 在齿 轮设计中， 其基本参数的选择在满足强度、 寿命的前提下， 应考虑 选择合理的压力角， 同时应尽量减小摩擦系数。 优化设计方法应用于机械设计中， 可以提高产品质量， 降低 产品成本，是一种具有重要经济意义和巨大应用潜力的先进技 术。减速机作为机械传动中机械变速的关键部件， 其优化设计要 求在保证产品品质的同时， 实现最小体积、 最大效率的目标， 是一 个典型的多目标优化问题。基于 matlab 的优化函数使优化工作 简单易行。 参考文献 1刘铁禄. 行星齿轮减速器设计中主要结构尺寸的优化设计 ［ J］ . 东华大学学 报 （自然科学版 ） ， 2007 2吴宗泽. 机械零件设计手册 ［ M］ . 北京 机械工业出版社， 2004 3关维娟、 许峰等. 基于Matlab的单级圆柱齿轮减速器优化设计 ［ J］ . 机械设 计与制造， 2007 （9 ） 18～20 4王成，方宗德等. 基于啮合效率下齿轮基本参数的选择 ［ J］ . 机床与液压， 2007 （9 ） 10～12 机械设计与制造 No.1 Jan.200931