数分课外习题（应用题）.doc

数分课外习题（应用题） 1． 英国曾经发行一种“统一公债”，每年支付给债券持有人或它的继承人固定的金额直至永远。设其中一张债券是需要每年支付10英镑，那么为了支付第年时需要支付的10英镑，英国需要在银行中存入多少钱，使这笔本金连利息在第年后刚好可以支付这10英镑记这笔金额为英镑，称为第年时需要支付的10英镑的现值. 假设利率每年保持，以年复利计算 . 2． 对于上题中的债券，求前年一共需要支付的10英镑的现值，并求出这张债券的总现值 3． 放射性同位素锶－90呈指数衰减，即其含量与时间之间的关系为，为时的含量，为某正常数，其半衰期为29年，即29年后的含量只剩下初始值的一半. 在60年代初，核武器的大气实验释放出锶－90，并进入当时活在世上的人的骨骼中，那么1960年所吸收的的锶－90在2005年的人的骨骼中还剩百分之几 4． 最著名的放射性物质是碳－14，它常用于确定有机物的年代，在生命体中它的含量保持不变，而一但有机体死亡，将不可再获得碳－14而慢慢放射衰减. 已知碳－14的半衰期大约是5730年. 假如在一块古生物尸体上发现碳－14的含量为原来的1/8，请问尸体的年代 5． 已知人口是呈指数增长的，即人口与时间之间的关系为. 根据全球2000年报告，世界人口在1975年为41亿，并以2％的年增长率增长，请求出全球人口的倍增期，即人口增加一倍所需要的时间 . 6． 请自行寻找实际数据，写出我国当前的人口增长函数，并据此估计我国何时人口可达20亿 7． 海滩上有一堆桃子，是5只猴子的公共财产. 第一只猴子先到，看到别的猴子没有到，它就把所有桃子均分为5份，余下一只. 它取走其中的一份，把余下的那一只桃子扔到海里. 第二只猴子来到海滩，看到别的猴子没有到，也把看到的桃子均分为5份，也余下一只. 它取走其中的一份，把余下的那一只桃子也扔到海里. 第三，第四只猴子也是同样来做. 问（1）海滩上最初至少有几只桃子 （2）5只猴子都走了之后，海滩上至少还剩下几只桃子 8． 假定某种疾病流行天后，感染的人数满足，问何时将有25万，50万，100万人染病 9． 某滑板的销售量取决于销售价格，即 若此时，，，那么为了提高总收入，是应该提高价格还是降低价格呢 10． 设L/km表示汽车以速度km/h行驶时的耗油量. 已知， （1）设表示汽车以速度行驶时每升油可行驶的距离，求； （2）设表示汽车以速度行驶时每小时的耗油量，求； （3）假如你正以80 km/h的速度行驶，为了尽可能省油地行驶更长的路程，你应当加速还是减速 11． 根据相对论，一个静止时质量为的物体，当以接近光速的速度运动时，其质量满足求，并解释的意义 . 12． 某种条件下，当空气膨胀时，其气压和体积满足关系常数，假定某一时刻气压为30N/cm，体积为500 cm，并以60 cm/s速率减少，问在该时刻气压的变化率是多少 13． 在时刻开始放电的某电容器，其电荷量由下式给出 ， 其中为由电路决定的正常数，电流 （1）求及时的电流；（2）时可导吗应如何定义 14． 为了比较不同液体的酸性，化学家利用了PH值. PH值由液体中氢离子的浓度决定PH 求当PH2时，PH关于氢离子浓度的变化率 . 15． 为了取悦顾客，有些购物中心的电梯装在大楼的外面. 假定某商厦高100m，你站在正对电梯50m开外，50m高处. 电梯正以10m/s匀速下降，记电梯在100m高处的时刻为，为你的水平视线与看到电梯的视线之间的夹角. 假如以的变化率体现电梯相对于你的运动快慢程度，问电梯处于何种高度时你看上去它运动得最快 16． 当你咳嗽时，气管就收缩. 气流出来的速度与气管的半径满足以下关系 ， 其中为正常数，为气管的正常半径， 问为何值时，气流速度最快 17． 服用一剂药时，药量与因此而产生的病人体温的变化的关系如下 ，其中为正常数. 则称为身体对药物的敏感度. 问 （1） 多大剂量的药使体温变化最大 （2） 多大剂量的药使身体敏感度最大 18． 落在地面某处的一座烟囱的烟尘，其浓度反比于该处至烟囱距离的平方. 在两座相距20km的烟囱的连线上，距其中一座烟囱km处的混合烟尘浓度由下式给出 ，其中是正常数，取决于每座烟囱喷出的烟尘量. 如果，求两烟囱连线上一点，使该点烟尘浓度最小. 19． 放学后，小明希望尽快从学校走到汽车站. 汽车站位于学校以西1000m，以北200m.需要穿过一片大草地. 小明可以沿草地边小路往西走后穿过草地，在草地外行走速度为2m/s，在草地上行走速度为1.5m/s. 请问小明应当选择哪条路径可以最省时间 20． 比亚一天的活动如下上午在华盛顿大学上课，下午在东圣路易斯工作，晚上在酒吧做兼职，再回家睡觉. 假设华盛顿大学，东圣路易斯，酒吧都在同一条公路边，酒吧在华盛顿大学与东圣路易斯之间，距离分别是8km与12km. 问比亚应当在这条路上的何处租一间公寓，可以使得每天往返的路程最短 21． 假设你独立经营一个小家具厂，你的助手与客户签了一份协议. 无论客户定购多少椅子都保证供货. 定购1到300把椅子的单价是90美元，整个订单超过300把时，每增加1至100把，每把椅子降价0.25美元. 在这份协议下，你公司在每把椅子上得到的最大收入和最少收入各是多少 22． 为了求可导函数的根，牛顿给出了一个方法令为定义域中任一点，对任意，只要，令，则当充分大时，可看作的近似根. 试以为例，说明牛顿法并非总是有效的理由 . 23． 利用计算机，用牛顿法求的根，其中分别取以下初始值 以上实验说明了牛顿法对初始值非常敏感 . 24． 如果油罐中的油以的泄漏率从破裂的油罐中向外泄漏，求一小时内从油罐泄漏的油的总量 . 25． 一种丝纱罗灯，它的价格V在1965年是225美元. 在1965年后的年，它的价格为，求从1965年到2005年的时间段内灯的平均价格 . 26． 在马德里（Madrid），某一日白昼的小时数是该日的函数，它近似地由以下公式给出，其中为从元旦开始算起的天数. 分别在下面三个时间段计算马德里日照时间的平均值11月份，（2）7月份，（3）一年内 . 27． 一根金属棒，从1000℃的高温冷却到室温20℃. 温度与冷却时间的关系为. （1）计算1小时后棒的温度；（2）计算一小时内棒的平均温度；（3）与在一小时的开始与结束时的两温度值的平均相比，（2）的结果是大还是小试以图像的凸性来解释原因 . 28． 在时刻，细菌数目以（百万个/单位时间）的速率增长，求在时间到时的细菌总增长数目 . 29． 世界石油消费的增长率与消费量成正比. 已知，1900年的消费量为32（十亿桶），1920年的消费量为（十亿桶）,问2005年石油的消费量是多少而在2000年到2005年的总消费量是多少 30． 海洋表面上有一圆形油膜，其距离中心m处的油的密度由kg/m给出. 如果油膜是由0m扩展到10000m，求出油膜的总质量，及油膜质量为总质量一半时的值 . 31． 池塘结冰速度由给出，其中为时刻的冰的厚度，为正常数，求出的表达式 . 32． 一架波音727喷气客机起飞时速度为320km/h. 如果它匀加速地在30s内速度从0加速到320km/h，跑道应有多长 4