第九章 再论实数系.doc

第九章 再论实数系 1 实数连续性的等价描述 1．求数列{Jn}的上、下确界 1 2 3 4 5 6 2．设在上定义，求证 1 2 3．设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界． 5．试分别举出满足下列条件的数列 1有上确界无下确界的数列； 2含有上确界但不含有下确界的数列； 3既含有上确界又含有下确界的数列； 4既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 4．试分析区间套定理的条件若将闭区间列改为开区间列，结果怎样若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样试举例说明． 5．若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 为有限数． 6．有界数列若不收敛，则必存在两个子列． 7．求证数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列． 8．设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证在上有界． 9．设在无界，求证存在，对任给，函数在上无界． 10．设是上的凸函数，且有上界，求证存在． 11．设在上只有第一类间断点，定义 求证任意的点只有有限多个． 12．设在上连续且有界，对任意， 在上只有有限个根或无根，求证存在． 3 实数的完备性 1，设在连续，求证在一致连续的充要条件是 与都存在， 2．求证数列当时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性 1 2 3 4．证明存在的充要条件是对任意给定，存在，当时，恒有 5．证明在点连续的充要条件是任给，存在，当时，恒有 6．证明下列极限不存在 1 2 3 4 5 7．设在上可导，单调下降，且存在，求证． 8．设在可导，且，任给，令 求证， 1 存在； 2 上述极限为的根，且是唯一的． 9．设在满足条件 1 2 的值域包含在内． 则对任意，令，有 1 存在； 2方程的解在上是唯一的，这个解就是上述极限值． 4 再论闭区间上连续函数的性质 1．设在上连续，并且最大值点是唯一的，又设，使，求证 2．设在上连续，可微，又设 1 2 如果，则有， 求证的根只有有限多个． 3．设在连续，，，求证存在，使，且． 4．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证必存在区间，满足条件 1或； 2 ，当． 5．在连续，且，求证存在，使． 6．设在上连续，且取值为整数，求证常数． 7．设在上一致连续，，证明在上有界； 8．若函数在上满足利普希茨Lipschitz条件，即存在常数，使得 证明在上一致连续． 9．试用一致连续的定义证明若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续． 10．设在上连续，且与存在．证明；在上一致连续． 11．若在区间 有穷或无穷中具有有界的导数，即，则在中一致连续． 12．求证在上一致连续． 13．设在上可导，且，求证在上不一致连续． 14．求证在上不一致连续． 5 可积性 1．判断下列函数在区间上的可积性 1 在上有界，不连续点为； 2 3 4 2．讨论三者间可积性的关系． 3．设都在上可积，证明 在上也是可积的． 4．设在上可积，且，求证 1 在可积； 2 在可积． 5．设在可积，求证任给，存在逐段为常数的函数，使 6．设在上有界，定义 求证 7．设在附近有定义且有界，定义 求证在连续的充分必要条件为． 8．若函数在可积，证明 其中 这一性质称为积分的连续性． 9．对任意省仨成立，求证 10．设在有连续的导函数，求证 11．设在可积，求证；存在连续函数序列，使 12．设在黎曼可积，求证 1 存在区间序列使 且； 2 存在，使得在点连续； 3 在上有无穷多个连续点．