第八章 微积分的进一步应用.doc

第八章 函数 1 泰勒公式 1． 写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 2． 写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 3． 求下列函数在的泰勒展开式 1 ； 2 ； 3 ； 4． 确定常数，，使时， 1 为的5阶无穷小； 2 为的3阶无穷小； 5． 利用泰勒公式求极限 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6． 设在原点的邻域二次可导，且 1 ； 2 ； 7． 设在实轴上任意次可导，令，求证 . 8． 设为一n次多项式， 1 皆为正数，证明在上无根； 2 正负号相间，证明在上无根； 9． 求证 1 ； 2 e是无理数； 10． 设在上有二阶导数，且，则存在，使 11． 设在a点附近二次可导，且，由微分中值定理 求证 12． 证明若函数在区间上恒有，则在内任意两点，都有 . 2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积 1 2 3 4 5 6 2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积 1 双纽线 2 三叶玫瑰线 3 蚌线 3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积 1 2 摆线及轴； 3 圆的渐开线，及半直线，其中． 4．直线把椭圆的面积分成两部分A小的一块和 B的一块，之值． 5，求和所围的公共部分的面积． 6，求下列旋转体的体积 1 椭圆绕轴； 2 i绕轴， ii绕轴； 3 旋轮线 i绕轴， ii绕轴， iii绕直线 4 双曲线与直线所围的图形绕轴旋转， 7．求由下列各曲面所围成的几何体的体积 1求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A，B和 a，b，而高为h； 2正圆台其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h． 8．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积h≤R． 9-求下列曲线的弧长 1 2 3 4 星形线 5 圆的渐开线 6 7 心脏线 10．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径 1 在点2，2； 2 在点1，0． 11．求下列曲线的曲率与曲率半径 1 抛物线 2 双曲线 3 星形线 12．求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径 1 旋轮线 2 椭圆 3 圆的渐开线 13．求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径 1 心脏线 2 双纽线 3 对数螺线 14．设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处 曲率为 15．证明抛物线在顶点处的曲率半径为最小． 16．求曲线的最小曲率半径． 17．求曲线上曲率最大的点． 18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积 1 绕轴； 2 绕直线 3 绕轴； 4 绕轴； 5 绕极轴． 19．求下列曲线段的质心 1 半径为，弧长为专的均匀圆弧； 2 对数螺线上由点到点的均匀弧段； 3 以A0，0，B0，1，C2，1，D2，0为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍； 4 ，密度为常数． 20，已知一抛物线段，曲线段上任一点处的密度与该点到轴的距离成正比，处密度为5，求此曲线段的质量． 21．轴长10m，密度分布为，其中为距轴的一个端点的距离，求轴的质量． 22．求半球的质心 23。求锥体的质心和绕轴的转动惯量． 24．求抛物体的质心和绕轴的转动惯量． 3 微积分方程初步 1．求下列微分方程的通解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2，求已给微分方程满足初始条件的特解 1 2 3 3．质量为1g的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在时，速度等于50cm／s，力为410-5N．问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少 4．镭的衰变有如下的规律镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比，由经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R。的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系．