第二十章 重积分.doc

第二十章 重积分 1 重积分的概念 1．证明性质（4），性质（6）． 2．证明有界闭区域上的连续函数必可积． 3．设是可度量的平面图形或空间立体，在上连续，证明 1 若在上0，且不恒等于0，则； 2 若在的任何部分区域上，有 ， 则在上有． 4．设在[a,b]可积，在[c,d]可积，则在矩形区域＝[a,b][c,d]上可积，且 ． 5．若在上可积，那么在上是否可积考察函数 在[0,1][0,1]上的积分． 6．设， 证明在上不可积． 2 重积分化累次积分 1． 计算下列二重积分 1 ，； 2 ，； 3 ，； 4 ，． 2． 将二重积分化为不同顺序的累次积分 1 由轴与所围成； 2 由及所围成； 3 由和围成； 4 ． 3． 改变下列累次积分的次序 1 ； 2 ； 3 ． 4． 设在所积分的区域上连续，证明 ． 5． 计算下列二重积分 1 ,是由围成的区域； 2 是由和围成的区域； 3 ； 4 ； 5 由所围成； 6 由所围成； 7 是以和为顶点的三角形； 8 由和所围成． 6． 求下列二重积分 1 ； 2 ； 3 ． 7． 设轴将平面有界区域分成对称的两部分和，证明 1 若关于为奇函数，即，则 ； 2 若关于为偶函数，即，则 ． 8． 计算下列三重积分 1 ； 2 由曲面所围成； 3 由曲面所围成； 4 是由曲面围成的位于第一卦限的有界区域； 5 由曲面所围成； 6 是由及所围成的区域． 9． 改变下列累次积分的次序 1 ； 2 ； 3 ； 4 ． 10．求下列立体之体积 1 由所确定； 2 由所确定； 3 是由坐标平面及所围成的角柱体． 3 重积分的变量代换 1． 用极坐标变换将化为累次积分 1 半圆； 2 半环 ； 3 圆 ； 4 正方形 ． 2． 用极坐标变换计算下列二重积分 1 ； 2 是圆的内部； 3 由双纽线围成； 4 由阿基米德螺线和半射线围成； 5 由对数螺线和半射线围成． 3． 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分 1 若； 2 ，若； 3 ，其中＝，若； 4 ，其中＝ ，若． 4． 作适当的变量代换，求下列积分 1 是由围成的区域； 2 由围成； 3 由围成． 5． 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积 1 ； 2 ； 3 球面与圆柱面（）的公共部分； 4 ； 5 ； 6 ． 6． 求曲线所围成的面积． 7． 用柱坐标变换计算下列三重积分 1 ，由曲面围成； 2 , 由曲面围成． 8． 用球坐标变换计算下列三重积分 1 ； 2 , 由围成； 3 ，由围成． 9． 作适当的变量代换，求下列三重积分 1 ，由围成的立体，其中； 2 ，同1； 3 ，由 ， 以及围成； 4 ，由围成； 5 ． 10．求下列各曲面所围立体之体积 1 ； 2 ． 4 曲面面积 1． 求下列曲面的面积 1 包含在圆柱内的部分； 2 锥面与平面所界部分的表面； 3 锥面被柱面所截部分； 4 曲面被平面及所截下的部分． 2． 螺旋面的面积． 3． 求环面被两条经线和两条纬线所围成部分的面积，并求出整个环面的面积． 5 重积分的物理应用 1． 求下列均匀密度的平面薄板的质心 1 半椭圆； 2 高为，底分别为和的等腰梯形； 3 所界的薄板； 4 所界的薄板． 2． 求下列密度均匀的物体的质心 1 ； 2 由坐标面及平面所围成的四面体； 3 围成的立体； 4 和平面围成的立体； 5 半球壳． 3． 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量 1 边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量； 2 所围平面图形关于直线的转动惯量． 4． 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量 1 关于轴的转动惯量； 2 长方体关于它的一棱的转动惯量； 3 圆筒，关于轴和轴的转动惯量． 5． 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量． 6． 求均匀薄片对轴上一点0，0，0处单位质点的引力． 7． 求均匀柱体对于0，0， 处单位质点的引力．