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第 24 卷 增 2 岩石力学与工程学报 Vol.24 Supp.2 2005 年 11 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov.，2005 收稿日期收稿日期2005–06–26；修回日期修回日期2005–08–15 基金项目基金项目安徽省教育厅青年基金项目2005jq1021；合肥工业大学科学研究发展基金资助项目030703F，安徽省水利厅科研项目 作者简介作者简介谭晓慧1971–，女，硕士，1995 年于重庆大学资源与环境工程学院获硕士学位，现任副教授，主要从事岩土力学可靠度方面的教学与研 究工作。E-mailtantan9666。 边坡稳定的大变形有限元可靠度分析边坡稳定的大变形有限元可靠度分析 谭晓慧 1，王建国2，张洪涛1 1. 合肥工业大学 资源与环境工程学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学 土木建筑工程学院，安徽 合肥 230009 摘要摘要在用有限元法对边坡稳定的可靠度进行分析时，通常只考虑土体的弹塑性变形即材料非线性问题。而对于 土坡而言，其滑动面附近土体会产生应变局部化，研究结果表明当平均应变为 10时，剪切带内的应变高达 40。因此，为了真实模拟边坡的破坏情况及过程，应进行边坡的大变形有限元可靠度分析即几何非线性问题。 基于非线性连续介质力学的基本原理，采用以物质坐标为变量的更新的拉格朗日法UL 法建立了弹塑性大变形有 限元分析模型，同时考虑了边坡工程中的材料非线性及几何非线性问题。在此基础上，采用有限元强度折减法计 算边坡的安全系数，建立了边坡破坏的极限状态方程，进行了边坡的有限元可靠度分析。计算比较了弹塑性小变 形及弹塑性大变形时均质土坡的安全系数及可靠指标，进行了参数的敏感性分析。得出了当考虑边坡的大变形时， 安全系数有所增加而可靠指标有所减小的结论，指出只进行小变形有限元可靠度分析偏于危险。 关键词关键词边坡工程；弹塑性；大变形；可靠度分析；可靠指标；更新的拉格朗日法UL 法 中图分类号中图分类号P 642.2 文献标识码文献标识码A 文章编号文章编号1000–69152005增 2–5308–05 LARGE DEATION FINITE ELEMENT RELIABILITY ANALYSIS OF SLOPE STABILITY TAN Xiao-hui 1，WANG Jian-guo2，ZHANG Hong-tao1 1. School of Resources and Environment，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China； 2. School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China AbstractIn the reliability analysis of a slope，by using finite element FEM，which only considers the property of elasto plasticity or material nonlinearity. However，it exists the locally large strain in most soil slopes. It has been proven by experiments that the local strain can reach the value of 40 while the average strain is only 10. Therefore，it′s necessary to carry out large deation finite element analysis of a slope in order to simulating its real failure property. In this paper，the constitutive relationship of the soil is considered as realistic elasto plasticity one and the Mohr-Coulomb yield criteria is adopted. Based on the basic principal of nonlinear continuum mechanics，a kind of elasto plastical large deation finite element analysis model is built by using updated Lagrangian ， which can consider both the nonlinearity of material and geometry. Then， the of strength reduction is adopted to calculate the factor of safety Fs of a slope. Among the several s of reliability analysis such as mean first order second moment M，advanced first order second moment A and Monte Carlo simulation MCSM，the A is used in this paper since it is the most popular . Through the comparative calculations of factor of safety and reliability indexβ by FEM of small and large deation and the sensitivity analysis of parameters，the conclusion is that when the large deation property is considered，the value of Fs will arise while the value of βwill drop. The reason is 第24卷 增2 谭晓慧等. 边坡稳定的大变形有限元可靠度分析 5309 that the value of Fs is more sensitive to the value of cohesive c in this situation. Therefore，the limit state function Z has larger variation and smaller reliability index. From this point，it′s unsafe if the large deation property in the finite element reliability analysis of a slope is not considered. Key words slope engineering； elasto plasticity； large deation； reliability analysis； reliability index； updated Lagrangian UL 1 引引 言言 由于边坡岩土体物理力学性质、几何参数及外 界荷载等因素的不确定性，基于概率理论的边坡工 程可靠度分析已日益受到重视。边坡的可靠度分析 与定值法分析的最大区别是考虑了变量的随机性， 并用严格的概率来度量结构的安全度。 边坡的可靠度分析是建立在定值法分析基础 上的。在边坡稳定的各种定值法中，有限元法由于 能全面满足静力许可、应变相容及应力–应变之间 的本构关系，并且不受边坡几何形状的限制和材料 不均匀的限制，因而是边坡稳定性分析中一种较为 理想的方法[1]。但是，经典有限元法常假定边坡在 荷载作用下发生的应变是微小的，而实际上，边坡 的破坏往往伴随着大变形条件。研究结果表明当 平均应变为 10时，剪切带内的应变可高达 40[2]。 因此，应进行边坡的大变形有限元可靠度分析。 近年来，大变形有限元分析方法已在土体的固 结分析、深基坑工程及边坡稳定性分析中得到了一 定的应用[3 ～8]。例如，文[7]采用大变形有限元方法 分析了边坡体中各单元的应力及变形情况；文[8]则 采用有限元强度折减法求解了考虑边坡大变形情况 时的边坡总体安全系数。但是，上述有限元大变形 分析均未涉及到可靠度分析情况。本文拟在边坡的 大变形有限元可靠度分析方面进行研究。 2 大变形有限元可靠度分析模型大变形有限元可靠度分析模型 2.1 有限变形的虚功方程有限变形的虚功方程 通常，大变形增量平衡方程因变量的参照状态 不同而分为 TL 表述和 UL 表述这 2 种方法，前者 以 t 0 的初始状态为参考构形， 在以后所有时步内 的计算都以此构形来定义；后者在时段[t，tt∆]的 增量求解期间的所有变量均以这个时步的开始时刻 t的状态作为参考构形来定义。这 2 种方法各有优 缺点，本文采用 UL 描述方法进行求解。 当采用 UL 描述时，有限变形的虚功方程可写 为 AVV ∆VV dδ dδ dδ T T T ∫∫∫ ∆qupueτ τ 1 式中qpue，，，，τ τ都是对应于时刻tt∆的状态 量，分别表示 Cauchy 应力、Euler-Almansi 应变、位 移、体力和面力向量。 注意到tt∆时刻的以下关系式 δδee∆ 2 δδδ e δ δ∆∆Nuu 3 式中N 为形函矩阵， e δ δ∆为单元节点位移增量。 如将应力表示为t时刻的应力与增量应力之和，即 τ ττ ττ τ∆ 4 则虚功方程可改写为 ∆∆ ∫V V T dδττττe ∫∫ ∆ AV AV T TTe ddδqNpNδ δ 5 此即以增量形式表示的虚功方程，说明从时刻t到 时刻tt∆的变化过程中，外力虚功的增加量等于 应变能的增加量。 2.2 有限元方程的建立有限元方程的建立 将线性方程式5经过有限元离散，并在几何 及物理两方面进行线性化，即令 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∆∆ ∆∆ ∆∆ eD BBe BBe τ δ δ τ δ δ δδ 2 1 e NLL0 e NLL0 6 可得 RRK−∆ e T δ δ 7 其中， σ KKK 0T 8a ∫ V Vd L0 T L00 DBBK 8b ∫ V Vd TMG GKσ 8c ∫∫ VA AVdd TT qNpNR 8d ∫ V Vd T L0τ τ BR 8e 5310 岩石力学与工程学报 2005年 式中 T K为切线刚度矩阵； 0 K为小位移刚度矩阵； σ K为初应力刚度矩阵几何刚度矩阵；R为tt∆ 时刻荷载的等效节点力矢量；R为t时刻内力所产 生的等效节点力矢量； L0 B， NL B，D分别为线性 应变–位移转换矩阵、非线性应变–位移转换矩阵 及切线刚度矩阵；G为位移增量梯度矢量与单元节 点位移增量矢量之间的转换矩阵；M为应力矩阵。 上述公式的详细推导见文[9，10]。 2.3 极限状态方程的建立极限状态方程的建立 在边坡稳定的可靠度分析中，首先遇到的是极 限状态方程的建立。本文取极限状态方程式为 1 21s − n XXXFXgZ，，，L 9 式中 s F 为边坡的安全系数， 是土工参数 c，ϕ，γ 等记为 X1，X2， n X，L的隐函数。本文设土体为 理想弹塑性体，采用莫尔–库仑屈服准则，由强度 折减法求解边坡的整体安全系数。有关强度折减法 的详细介绍见文[11]。 2.4 边坡稳定的可靠度分析边坡稳定的可靠度分析 在岩土工程的可靠性分析中，常用的方法有均 值一次二阶矩法M、改进的一次二阶矩法 验算点法 A、蒙特卡罗模拟法MSCM。其 中，验算点法应用最广。本文即采用验算点法进行 边坡的可靠度分析。 设基本变量 i X 是互为独立的正态变量，由式9 可知，Z 代表以基本变量 i X 为坐标的 n 维欧氏空间 上的一个曲面。将功能函数在验算点 P*展开成泰勒 级数，并仅保留其一次项，则可导出可靠指标β是 标准正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短 距离，可用以下方程组迭代求解，得到可靠指标β 及验算点坐标值 * 1 x ， * 2 x ，L， * n x [12] iXXi ii xβασ * i 1，2，L，n 10a ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − n i X i X i i i i X g X g 1 2 * * σ σ α 10b g * 1 x ， * 2 x ，L， * n x 0 10c 式中|*为计算偏导数时变量在 P*点取值。 当基本变量为非正态基本变量时，需先进行当 量正态化处理。当有相关的正态变量时，可先采用 正交变换，转换为相互独立的随机变量，再用上述 方法进行求解。 3 计算实例及成果分析计算实例及成果分析 为了便于对比，本文选用文[13]之例 1 作为算 例。该均质边坡高 H 5 m，坡比 V∶H 1∶2，粘 聚力 c 10 kPa，内摩擦角ϕ 10 ，容重γ 17.64 kN/m3。 计算时取 c，ϕ，γ为互相独立的正态变量。 计算结果如图 1，2 所示。 c / kPa a ϕ / b γ / kNm －3 c 图 1 安全系数与土工参数关系曲线 Fig.1 Curves of safety factors and soil parameters 3.1 大、小变形安全系数的对比分析大、小变形安全系数的对比分析 图 1 分别绘制了安全系数 Fs与土工参数 c，ϕ， FS Bishop 法 FEMsmall FEMlarge FS Bishop 法 FEMsmall FEMlarge FS Bishop 法 FEMsmall FEMlarge 第24卷 增2 谭晓慧等. 边坡稳定的大变形有限元可靠度分析 5311 δϕ a δc 0.1，δγ 0.01 δϕ b δc 0.2，δγ 0.02 δϕ c δc 0.3，δγ 0.03 图 2 可靠指标与土工参数变异系数关系曲线 Fig.2 Curves of reliability inds and coefficient of variations γ间的关系曲线。由此可知，本文大变形有限元 FEMlarge和小变形有限元FEMsmall分析结果 与原文中简化 Bishop 法分析结果具有相同的规律， 即无论采用何种计算方法，边坡的安全系数均随着 粘聚力或内摩擦角的增加而增加，随着容重的增加 而减小；但上图中有限元大变形分析所得 s F -c 曲线 的斜率比其他 2 条曲线的斜率有所增加，也即在这 3 种求解安全系数的方法中，大变形有限元方法计 算所得的 s F 对 c 的敏感性相对最大；对于相同的土 工参数，这 3 种方法对应的安全系数大小关系是 s F [FEMlarge]＞Fs[FEMsmall]＞Fs[Bishop 法]。 可 见，在边坡稳定的有限元分析中，若考虑岩土体的 大变形性质，计算所得的安全系数将会有所提高。 3.2 大、小变形可靠指标的对比分析大、小变形可靠指标的对比分析 边坡稳定可靠度分析的结果见图 2，图中 c δ， ϕ δ， γ δ分别表示 c，ϕ，γ的变异系数。可见大 小变形有限元可靠度计算结果亦与原文基于简化的 Bishop 法的计算结果一致，而且有限元法的可靠指 标均大于简化 Bishop 法的可靠指标， 三者之间的大 小关系是β[FEMsmall]＞β[FEMlarge]＞β [Bishop 法]。其中，有限元大变形分析结果与简化 Bishop 法的结果很接近。 值得注意的是，虽然在定值法分析中，采用有 限元大变形分析所得的边坡安全系数比小变形分析 的相应值要高，但可靠性分析对应的可靠指标却恰 恰相反。其原因是边坡在临近破坏时，滑面附近 土体的变形值很大，只有采用有限元大变形分析方 法才能更合理地考虑边坡的真实变形情况。而由 图 1 可知，大变形条件下，安全系数 s F 对 c 值更敏 感，也即相应的功能函数值在大变形条件下具有更 大的变异性，因此相应的可靠指标有所减小。 因此，当考虑到边坡岩土体的大变形性质时， 虽然其安全系数增加，但可靠指标却有所降低，故 采用常规的小变形有限元法进行可靠度分析或只进 行大变形有限元定值法分析都偏于不安全。 4 结结 论论 本文基于非线性连续介质力学的基本原理，采 用更新的拉格朗日法UL 法建立了弹塑性大变形 有限元分析模型，同时考虑了边坡工程中的材料非 线性及几何非线性问题。在此基础上，采用有限元 强度折减法计算边坡的安全系数，进行了边坡的有 限元可靠度分析。均值土坡稳定性算例分析表明 对边坡进行大变形有限元可靠度分析是可行的，其 计算结果与简化的 Bishop 法及常规小变形有限元 分析结果类似。但是，大小变形对应的各种情况下的 s F 及β的相对关系却截然相反 s F [FEMlarge]＞ s F [FEMsmall]，β[FEMlarge]＜β[FEMsmall]。 因此，对边坡采用常规的小变形有限元可靠度方法 Bishop 法 FEMsmall FEMlarge β Bishop 法 FEMsmall FEMlarge β Bishop 法 FEMsmall FEMlarge β 5312 岩石力学与工程学报 2005年 进行分析偏于危险，边坡稳定可靠度分析中应考虑 相应岩土体的大变形性质。 参考文献参考文献References [1] 陈祖煜. 土质边坡稳定性分析原理、方法、程序[M]. 北京中 国水利水电出版社，2003. 239–248.Chen Zuyu. 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