边坡稳定的有限元可靠度分析.pdf

2006年1月重庆大学学报自然科学版Jan. 2006 第29卷第1期Journal of Chongqing UniversityNɑturɑl Science EditionVol . 29 No. 1 文章编号 1000 - 582X2006 01 - 0102 - 03 边坡稳定的有限元可靠度分析 3 谭 晓 慧 1 ,王 建 国 2 ,刘 新 荣 3 ,张 洪 涛 1 合肥工业大学1.资源与环境工程学院; 2.土建工程学院,安徽 合肥 230009; 3.重庆大学 土木工程学院,重庆 400030 摘 要在边坡的有限元分析中引入强度折减法求边坡的整体安全系数,在此基础上进行边坡的整 体可靠度分析.这种方法不需对定值法的有限元分析程序作任何修改,无论是线性有限元问题还是非线 性有限元问题都适用,且无需对各有限单元求单元的可靠指标,能一次性得出边坡的整体可靠指标,方 便易用.并讨论了求导方法及可靠度分析方法对可靠指标计算结果的影响,指出了中心点法中功能函数 型式选择的重要性,提出了验算点法中考虑参数间相关性时新的迭代方法. 关键词边坡;可靠指标;有限元;中心点法;验算点法 中图分类号 TU457文献标识码A 边坡稳定性分析是岩土工程中一个十分重要的问 题.由于岩土参数的随机性,边坡稳定的可靠度分析日 益受到重视,但其中多数可靠性分析方法都是建立在 边坡稳定的极限平衡法的基础上的如Bishop法、 Mogenstern - Price法等各种条分法 [1 - 3 ]. 这类分析方 法的最大缺点是不能考虑边坡岩土体内部的应力应变 关系,而且需要事先假定破坏面的形状或位置.边坡稳 定分析的有限元法正好可以克服这种缺点.但建立在 有限元法基础上的边坡稳定可靠度分析的成果还多限 于“ 单元 ” 水平,如文献[4 - 5 ]都只计算了各有限单元 上的可靠指标,未能给出边坡的整体可靠指标.而边坡 的整体可靠指标在进行边坡的设计及稳定性评价时都 是非常重要的.因此,如何由各单元的可靠指标来求边 坡的整体可靠指标还需进行一步研究.笔者则尝试在 边坡的有限元分析中引入强度折减法求边坡的整体安 全系数 [6 ] ,在此基础上进行边坡的整体可靠度分析, 从而得出边坡的整体可靠指标及失效概率.这种方法 不需对定值法的有限元分析程序作任何修改,无论是 线性有限元问题还是非线性有限元问题都适用;无需 对各有限单元求单元的可靠指标,能一次性得出边坡 的整体可靠指标,因而方便易用. 1 边坡稳定的强度折减法有限元可靠度分析 1. 1 边坡稳定分析的有限元强度折减法 有限元强度折减法的基本原理是将岩土体参数 c、 φ值同时除以一个折减系数FS,得到一组新的值c 1、 φ 1 ,然后以c 1 、 φ 1 作为新的材料参数代入有限元程序 进行试算.当计算至刚好不收敛时,对应的FS值就是 边坡的最小安全系数.对c、 φ值的具体折减公式如下 c 1 c/FS,1 φ 1 arctan tanφ/FS . 2 取FS的初值为1,以0.01的增量步长来求解FS. 岩土体的屈服准则采用Mohr - Coulomb准则. 1.2 边坡稳定的强度折减法有限元可靠度分析 对于边坡的可靠度分析,常用的极限状态函数 功能函数的型式为 Z1 g X FSX -1,3 或 Z2 g XlnX -1.4 式3中, X为基本变量; FS为定值法中的安全系数, 由强度折减法求得,它是基本变量X的隐函数. 上述二式分别适用于FS满足正态分布及对数正 态分布的情况.由于边坡可靠指标 β与失效概率Pf的 计算只与极限状态函数值Z及其对基本变量的导数 有关,并不需要与极限状态函数的显式形式,因此,只 需由边坡稳定分析的有限元强度折减法求出边坡的安 全系数FS,再由数值法求出功能函数对基本变量的导 数,就可方便地求出边坡的整体可靠指标及失效概率. 3收稿日期 2005 - 08 - 25 基金项目安徽省教育厅青年教师科研资助项目2005JQ1021 ;安徽省水利厅科研项目;国家留学回国人员科研启动基金 重点项目教外司留[2002 ]247号 作者简介谭晓慧1971 - ,女,安徽宣城人,合肥工业大学副教授,硕士,主要从事岩土力学可靠度研究. 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2 边坡稳定的可靠度分析方法 2.1 中心点法简称MFOS M 中心点法在中心点μX1,μX2,⋯,μXn处将Z展开 成泰勒级数,得 β μ z σz g μ X1,μX2,⋯,μXn [∑ n i 1 ∑ n j1 5g 5XiμX i 5g 5XjμX j ρ ijσXiσXj] 1/2 , 5 式5中,ρij为变量Xi、Xj间的相关系数;μX i 、 σ Xi i 1,2,⋯ , n 分别为基本变量Xi的均值和均方差. 2.2 验算点法简称FOS M 验算点法在验算点P 3 X 3 1, X 3 2,⋯, X 3 n 处将Z 展开成泰勒级数,得 [7 - 8] β μ z σz - ∑ n i 1 X 3 i -μX i 5g 5Xi 3 ∑ n i 1α i 5g 5Xi 3 σX i ,6 即 X 3 i μX i -αiβ σX i. 7 式6中, αi ∑ n j1ρ ij 5g 5Xj 3 σX i [∑ n j1 ∑ n k 1 5g 5Xk 3 5g 5Xk 3 ρ jkσXiσXk] 1/2 ,8 |3表示偏导数在验算点P 3 处取值. 上述式6成立的前提是验算点P 3 是标准化正 态空间中极限状态超曲面Z 0上到原点最近的点, 所以理论上它应满足式9 . Z g X 3 1, X 3 2,⋯, X 3 n 0.9 但在β的迭代求解过程中,由于X 3 i的初值是假定的, 所以上式左边不为零,因此笔者采用如下的迭代公式 求β βμ z σz - ∑ n i 1 X 3 i -μ Xi 5g 5Xi 3 gX 3 1, X 3 2,⋯, X 3 n ∑ n i 1α i 5g 5Xi 3 σXi . 10 联解式7、8及式10 , 即可求得可靠指标 β, β在几何上就是标准化正态空间中从原点到极限状态 超曲面的最短距离.显然,上述方程组需迭代求解.对 β的迭代求解过程是 1确定极限状态函数的型式及所有基本变量的 分布类型和统计参数; 2假定X 3 i和β的初始值; 3对非正态变量在X 3 i处进行当量正态化,计算 当量正态化后的统计均值及均方差; 4按式8求方向余弦; 5按式10求可靠指标; 6按式7计算X 3 i的新值; 重复式3-10 , 直到前后2次计算所得的 β 值之差不超过容许限值. 3 计算实例及成果分析 某边坡比为1∶2的均质土坡, H1 m,内聚力c 1 kPa,内摩擦角 φ 40,膨胀角 ψ 0,容重 γ 20 kN /m 3. 弹性模量E110 8 ,泊松比 μ0.3 [9]. 由 于边坡稳定性系数对E、 μ不敏感,且容重的变异系数 一般比较小,文中只取c、 φ为基本变量,设二者均为正 态分布,变异系数均为0.3. 3.1 中心点法M的求解结果 对于中心点法,可靠指标与功能函数的型式有关. 为此,分别对式3、 式4这2种功能函数形式进行 了计算.为了比较各种求导方法对计算结果的影响,作 者还同时采用了中心差分法简称FDM及有理多项 式法简称RPT来进行求导计算.中心差分法的步长 取为一倍均方差.有理多项式方法取m 5,这5个计 算点分别是 X 3 i, X 3 i σ Xi, X 3 i 2σX i. 11 计算结果见表1. 表1 各种方法对应的可靠度指标 可靠度分析方法求偏导方法功能函数形式可靠指标 M FDM Z11.720 Z22.510 RPT Z11.780 Z22.600 FDM2. 313 MCS M2. 320 由表1可知当功能函数采用不同的型式时,可靠 指标的计算结果相差很大,而2种求导方法对应的可 靠指标则很接近.因此,功能函数的导数计算可采用相 对简单的差分法求解.但对于中心点法而言,功能函数 型式的型式选择非常重要,因此必须结合基本变量的 概型通过一定方法如蒙特卡罗模拟法来判断FS的 概率分布类型,从而选择合理的功能函数型式. 3.2 验算点法的求解结果 验算点法的可靠指标求解结果与功能函数的列式 无关,因此只取第1种功能函数形式进行计算.又因中 心点法已得出求导方法对计算结果的影响不大,因此 对于验算点法只采用了中心差分法进行求导.由表1 可知,验算点法的求解结果与中心点法中第二种功能 函数型式对应的结果更为接近;对 β的迭代求解收敛 性很好. 3.3 FS的概型分布及计算精度的讨论 为了分析比较各种计算方法的正确性,以及探讨 FS的分布型式,笔者作了蒙特卡罗模拟MCS M,12 000 301第29卷第1期 谭晓慧,等 边坡稳定的有限元可靠度分析 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 次 . 结果是β 2.32,与验算点法的对应解很接近. 通过对蒙特卡罗模拟结果的 χ 2检验可知 , FS属于对数 正态分布,其频率分布如图1所示.因此,在中心点法 中,取第二种功能函数型式对应于FS属于对数正态 分布的情况是较为合理的. 图1 FS的频率分布图 4 结 论 1在进行边坡稳定的有限元可靠度分析中,采用 基于强度折减法的有限元可靠度分析是完全可行的. 这种方法不需对定值法的有限元分析程序作任何修 改,无论是线性有限元问题还是非线性有限元问题都 适用;无需对各有限单元求单元的可靠指标,能一次性 得出边坡的整体可靠指标,因而方便易用. 2功能函数的导数计算方法对于可靠指标的影 响不大,一般可采用中心差分法进行求导. 3对于中心点法,功能函数的型式对可靠指标有 很大的影响,因此必须结合基本变量的概型通过一定 方法如蒙特卡罗模拟法来判断FS的概率分布类型, 从而选择合理的功能函数型式. 4验算点法的计算精度要优于中心点法,但验算 点法要对β进行迭代求解.虽然这种迭代求解收敛性 很好,但求解过程耦合了非线性有限元分析与可靠度 计算,因而计算量偏大.在精度要求不太高的情况下, 可用中心点法估算边坡的可靠指标. 参考文献 [1] 谭晓慧.岩质边坡稳定的可靠性分析[J ].岩石力学与 工程学报, 2001, 20增1 1 042 - 1 045. [2] 姚耀武,陈东伟.土坡稳定可靠度分析[ J ].岩土工程 学报, 1994, 162 80 - 87. [3] 陈晓平,孙慕群,吴起星.软基上复杂土坡稳定可靠度 研究[J ].岩石力学与工程学报, 2004, 236 925 - 929. [4] MELLAH R, AUVI NET G, MASROURI F .Stochastic Finite Element Applied to Non2linear Analysis of Embank2 ments[ J ].Probabilistic Engineering Mechanics, 2001, 15 251 - 259. [5] 庞小朝,周小文,温庆博,等.随机场的模拟及其在堤坡 可靠性分析中的应用[ J ].长江科学院院报, 2002, 194 27 - 29, 48. [6] 赵尚毅,郑颖人.用有限元强度折减法进行节理岩质边 坡稳定性分析[J ].岩石力学与工程学报, 2003, 22 2 254 - 260. [7] CHOWDHURY R N, XU D W. Rational Polynomial Tech2 nique in Slope2reliabilityAnalysis[J ]. Journalof Geotechni2 cal Engineering, 1993, 11912 1 910 - 1 927. [8] 谭晓慧.有理多项式技术在土坡可靠性分析中的应用[J ]. 水文地质工程地质, 1998, 1255 52 - 54. [9] S MITH IM, GRIFFITH D V.有限元方法编程第3版 [M ]. 王崧 译.北京电子工业出版社, 2003. Finite Element Reli ability Analysis of the Stability of a Slope TAN Xiao2hui 1 , WANG J ian2guo 2 , L I U Xin2rong 3 , ZHANG Hong2tao 1 1. College of Resource and Environmental Engineering; 2. College of Civil Engineering, HefeiUniversity of Technology, Hefei 230009, China; 3. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China Abstract The whole reliability index of a slope is derived through using the strength reduction in the finite element analysis, which can make use of the er finite element program and can be used to both linear and nonlinear finite element analysis .The affection of the uation of derivative and the selection of reliability analysis s is discussed, which shows that it is very important to select the type of limit state function of the slope stability . A new iter2 ative for mula, which can consider the correlation of fundamental parameters, is proposed for , and the conver2 gence is very well . Key words slope; reliability index; finite element; ; SORM 编辑 姚 飞 401重庆大学学报自然科学版 2006年 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.