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第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 复杂建筑结构竖向地震作用的 振型分解反应谱分析 黄吉锋邵弘杨志勇 中国建筑科学研究院，北京，1 0 0 0 1 3 提要本文通过分析指出竖向地震作用下，一般的框剪、框筒等多、高层建筑结构中可能存在显著的竖向相对错动效 应大跨结构、长悬臂结构中则可能出现竖向二次共振；结构的竖向抗震设计中，应重视发生于墙一墙、墙一柱或柱一柱 之间的竖向错动效应，对于大跨结构的设计，则应有意识地使设计方案避开二次共振。抗震规范规定的计算竖向地震作 用的“底部轴力法”和“直接地震作用系数法”不能充分反映结构的竖向错动效应和二次共振效应，而振型分解反应谱 方法则可以准确地计算这些效应。基于此，为了给复杂结构、大跨结构的竖向地震设计提供一个合理、有效的工具，我 们在“复杂多、高层有限元分析与设计软件P M s A P ”中，实现了竖向地震反应谱分析，并将其分析结果严格按照中国规 范纳入了基本构件的设计。 关键词竖向地震作用，竖向错动效应，大跨结构的二次共振，振型分解反应谱方法 中图分类号T U 3 1 1 ．3文献标识码A 1 水平地震作用分析的底部剪力法 在现行的建筑抗震设计规范中，对水平地震作用的计算规定了两种基本方法，一是底部剪力法，一 是振型分解反应谱法。建筑抗震设计规范 G B 5 0 0 1 1 2 0 0 1 u 1 的 5 ．1 ．2 条规定高度不超过4 0 m 、 以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采用底 部剪力法；其余的结构，宜采用振型分解反应谱法。由此可见，底部剪力法是有其特定的适用范围的。 底部剪力法的使用范围之所以受到限制，归纳起来，主要有这么几个原因第一，底部剪力法中隐 含的基本假定是，结构的一阶侧振振型为倒三角形形式 图l a ，这个假定，与实际情况有出入；首先， 对于平面、立面都比较均匀且有连续、规则的楼板布置的单塔楼结构，其计算模型可以简化为通常所说 的～维糖葫芦串，这类结构的一阶侧向振型的形式，将因其抗侧力体系的不同而发生变化。一般地，对 于这类结构中的框架结构，剪力墙结构和框剪结构，其一阶侧向振型分别呈现剪切型 图l b 、弯曲型 图 l c 和剪弯型 图1 d ，且较少掺杂扭转成份。显然，对于剪切型结构的～阶振型用倒三角形近似，结果 将偏于保守，而如果将弯曲型和剪弯型结构的振型用倒三角形近似，结果则将偏于不安全。其次，对于 平面或者立面不均匀的结构、大底盘多塔楼结构、存在局部薄弱部位的结构等情况，结构的振型形态就 复杂多了，往往与倒三角形相去甚远。第二，除了第一振型的形态问题，还有高阶振型、扭转振型被忽 略的问题。实际上，对于平、立面虽规则但较高的结构以及平、立面不规则的结构等复杂情形，高阶振 型、扭转振型的影响都不可忽视。 在工程实际中，一方面因为底部剪力法存在明确的适用范围，使用受到限制；另一方面也因为从计 算软件的角度，实现振型分解反应谱法并不比实现底部剪力法复杂多少，因而主流的计算软件均提供振 型分解反应谱法，提供底部剪力法的计算软件反而很难见到这两个原因使得实际的结构设计中，已基 本不使用或很少使用底部剪力法了，看来这是计算手段进步的一个大趋势。 黄吉锋，男，1 9 6 9 年出生，工学博士，研究员 - 7 7 2 ． 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 ／／／ ／ a 倒三角形b 剪切型 c 弯曲型d 剪弯型 图1 不同类型结构的一阶侧向振型形态示意 2 竖向地震作用分析的底部轴力法和直接地震作用系数法 现在我们来看竖向地震作用的分析。与水平地震不同，抗震规范第 5 ．3 节对于竖向地震给出了 简化的分析方法第 5 ．3 ．1 条给出了9 度高层建筑竖向地震作用标准值的算法，它在原理和形式上 都类似于计算水平地震作用的底部剪力法，为了叙述方便，下文我们将简称该方法为“底部轴力法”；第 5 ．3 ．2 条直接给出了平板型网架屋盖和跨度大于2 4 I I l 的屋架对应于8 度、8 度半和9 度竖向地震的作 用系数 0 ．0 8 至0 ．2 5 之间 ；第 5 ．3 ．3 条则对长悬臂和其他的大跨结构，按照静力法分别给出了8 度、 8 度半和9 度竖向地震的作用系数 O ．1 ，O ．1 5 ，0 ．2 ，为了方便叙述，下文我们将简称这两条的规定为 “直接地震作用系数法”。对于竖向地震的计算是否需要采用反应谱方法，抗震规范未作明确规定。 事实上，从原理上看，抗规 5 ．3 ．1 条给出的底部轴力法，与计算水平地震作用的底部剪力法存 在类似的问题，而且可能更为严重一些，从而其适用范围也将更窄。首先，底部剪力法和底部轴力法成 立的前提，是结构的计算模型能够被简化为一维糖葫芦串。考虑水平地震作用时，结构的计算模型之所 以可以被简化为一维糖葫芦串，主要是因为楼板面内刚度一般很大，近似符合刚性楼面假定，从而可认 为楼面内的质量只发生同时性的平动和转动。然而当考虑竖向地震时，情况就不这么简单了，这时候， 能够协调结构的同一层楼面的墙顶节点和柱顶节点做共同竖向运动的是楼板的面外剪弯刚度和框架梁、 连梁的竖向剪弯刚度，而这部分刚度，通常远远不及楼板的面内刚度，因而竖向地震时，结构的同一层 楼面的墙顶节点和柱顶节点做共同的竖向运动，在绝大部分多、高层建筑中都是做不到的。做不到共同 的竖向运动，就意味着结构的每一个竖向振动振型都可能会出现“竖向相对错动”，这种错动，会造成 相对错动的两点间的联系构件，产生显著的竖向剪切变形以及弯矩和剪力，比如竖向相对错动的两片墙 之间的连梁和楼板、竖向相对错动的两根柱之间或一墙一柱之间的框架梁和楼板，就是如此而这种水 平联系构件的剪力和弯矩，又同时会造成相对错动的墙一墙、墙一柱或柱一柱之间竖向力的重分配。从以 上分析看，底部轴力法成立的前提，也即“同一楼面内的节点在竖向地震作用下作一致协同运动”，在 一般结构中并不成立；反之，如果在竖向地震分析中强制使用底部轴力法，就不能正确反映上面所说的 相对错动效应。除非结构平面内的各个部分，在竖向振动特性上足够均匀，一般情况下底部轴力法是比 较粗略的。其次，底部轴力法中，隐含假设了结构的一阶竖向振动振型呈现倒三角形 图1 a 。实际上， 对于平面和立面刚度、质量分布都比较均匀的结构，其竖向振型的形态通常类似于图1 b ，也即类似于 侧向振动振型的剪切型，这时候，倒三角形的假设可以接受但偏于保守；而对于平面和立面刚度、质量 分布不均匀的结构，结构的竖向振动振型则可能与倒三角形的假设差得很多，比如上面已经特别指出的 “竖向相对错动”，就不能在倒三角形假设中体现出来。再次，底部轴力法也忽略了竖向振动的高阶振 型，在复杂结构中，高阶振型则可能会有显著的贡献。 另外，对于平板网架屋顶、大跨度屋架以及长悬臂等大跨结构，抗规 5 ．3 ．2 条、 5 ．3 ．3 条给 出的地震作用系数，或者是由反应谱分析、时程分析的计算结果统计、总结而来，或者是直接继承了 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 7 8 规范的静力法，它们反映的是有限的工程经验和计算研究成果。大跨度结构的竖向地震反应，与大 跨结构自身的竖向振动性能、其支撑结构的竖向振动性能、大跨结构与其支撑结构间的支座连接形式、 竖向地震动的频谱特性等都有密切关系，对于经验之外的复杂情形，这种近似计算方法可能是不够的， 尤其需要特别指出的是，当大跨结构自身的竖向振动周期与其支撑结构的竖向振动周期接近甚至相等的 时候，系统将会出现所谓的二次共振，这时候，大跨结构自身以及其支撑结构的竖向地震反应，都将会 显著增大，在实际工程设计中，这个现象非常值得重视，对此问题，下文还要特别进行阐述。 综上所述，抗震规范给出的竖向地震作用的计算方法，虽然适用于工程中常见的一部分规则结构和 一些特定的结构形式，但对于一般的复杂情况，比如框剪结构、框筒结构中非常容易发生的墙一墙、墙一 柱或柱一柱之间的竖向相对错动、大跨结构中的二次共振等，则难以准确模拟。 3 竖向地震作用分析的振型分解反应谱法 基于有限元的竖向地震的振型分解反应谱分析方法，是比“底部轴力法”和“直接地震作用系数法” 更为合理、理论上更为严密的方法，原则上它可以适用于任意复杂的工程，对上面提到的框剪结构、框 筒结构中非常容易发生的墙一墙、墙一柱或柱一柱之间的竖向相对错动问题、大跨结构中的二次共振问题 等，它都可以很好地考虑和解决。 鉴于目前应用于国内土建领域的主流商业软件中，尚未见到有“全面地实现竖向地震反应谱分析并 将其分析结果严格按照中国规范纳入基本构件设计”的功能，为了给复杂结构、大跨结构的竖向地震设 计提供一个合理、有效的工具，我们在“复杂多、高层有限元分析与设计软件P M S A P ”中，实现了竖向 地震反应谱分析，并将其分析结果严格按照中国规范纳入了基本构件的设计。下面概述其在P M s A P 中实 现的基本原理 当采用振型分解反应谱法计算竖向地震作用时，其基本控制方程为 蔹 C 毙 玉X 一 僦。O 甩阶 1 这里，M ，C ，K 分别是结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；x ，量，戈分别代表结构的位移向量、 速度向量和加速度向量B 是描述地震加速度作用点位置和方向的向量，对应于竖直方向； f 是竖 向地震动的加速度记录。显然，在形式上，它与水平地震的控制方程是相同的，区别仅在于占向量的 不同。 为了应用振型分解法，首先要求解与问题 1 对应的特征值问题 K l f ， 允脚 2 利用多重黜亿向量法H 1 解出 2 式的部分低频特征对{ 九，y ， ，f l ，2 ，．．．，聊 各振型都关于质量矩 阵做归一化处理 ，然后作变换x 吼，将由式 1 确定的原始问题往印绷缈l ，l f ，2 ，．．．，l f ，。 上投影，得 到缩减问题 M ’夕 C ’夕 K ‘y 一甲r 礅g f 朋阶 3 这里，甲 砂l ，y ，．．．，l f ，。】是投影矩阵，M ‘ ，是投影后的质量矩阵，为单位矩阵， K ‘ Q D 诹 砰，，⋯，， 为投影后的刚度矩阵，是由系统 2 圆频率的平方∞ 构成的对角矩 0 1 4 ． 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 阵，C D 五昭 2 q 眚l ，2 ∞2 考2 ，．．．，2 ∞。考。 为对角投影阻尼矩阵。 降阶后的系统 3 的阶次朋通常远小于原问题的阶次拧 一般都在几百以内 ，但是，在做竖向 地震的反应谱分析时，朋的选取应保证投影矩阵、王，中含有足够多的竖向振型，或者说，应该使得竖向 地震的有效质量系数至少超过9 0 ％，也即满足下式乜3 ，7 芝◇- 脚 2 i - l B T ～m ≥O ．9 4 求解系统 3 ，然后返回原空间，可得 “f ∑y ，l f ，／g ∥ ， l 这里，y ， l f ，歹』汜为振型参与系数，劬 则是下列微分方程的解 吃O 2 白哆岛O 霹乃O 9 5 对于线性系统，任何一种结构反应或效应s 比如构件的弯矩、剪力和轴力，结构的基底剪力等 ， 都可以通过一个相应的线性算子t 作用于x f 得到，于是； s t 工 f ∑丘 y ∥加如 6 若记 吩 t 饥蚧粞 叫一 7 那么结构反应s 的最大值可根据C Q C 公式如下计算 厂m m 、- ‰ I 踟吩I 8 ＼砑芦／ 其中，岛为振型耦联系数。 上面我们已经将竖向地震的振型分解反应谱方法的实现原理作了概要的介绍，最后还要指出两点 1 竖向地震作用的设计谱，形状上直接取为与水平地震的设计谱一致，但最大地震影响系数取为相应 烈度的水平地震对应的最大地震影响系数的O ．6 5 倍；2 为了与抗震规范计算竖向地震作用的底部轴力 法在原则上保持一致，在P M s A P 中，反应谱方法得到的所有竖向地震作用效应，都作了1 ．5 倍的放大 见 抗规5 ．3 ．1 条 。 4 结构的“竖向相对错动“ 效应 在本文第2 节中，我们已经通过分析指出了，在竖向地震作用下，一般的框剪、框筒等多、高层结 构中，可能存在显著的竖向相对错动效应。本节将通过一个取自实际工程的具体算例，来进一步从定量 上说明，在竖向地震作用下，结构中可能发生的竖向相对错动效应。 某框筒混合结构，共3 8 层，总高度1 5 6 m ，典型平面如图l 所示，平面外周最大尺寸约为7 5 m 木2 8 m ’ - 7 7 5 ． 第l Ⅻt 目高目建筑结目 会“论女2 0 0 8 年 中问为砼桂芯筒，外剧为型铡砼框架杜，外圳犁钢砖拄一7 砼核芯筒Z 问用砼梁连接。地震烈度为9 鹰， I IJ 类场地，地震分组为第纰。参与振型】投6 0 个。 我们分别川“振掣分解反应醋法”和“底部轴力法”引算了该工程在竖向地震作用F 的反应．并对 比了订戈计算结粜。 由图I 叮以看到．结构平l 】中问的蚵力墙筒体，山沿着水、F 方向分布的五部分构成．相邻的两部分 之问，用连粱连接，我们把从左数第和第部分之州的曲根连粱的位丁’F 面下部的那根，记作“连 粱A ”，r 面最右边f 自珀柱，与其左下方边枉之间的丰梁记为“框架粱圹。上述这两处作标记的杜J 件，其 竖向错动效应足比较毋兽的。另外，杠1 F 【 】斟上汛略向、端与剪山墙简体唾直相交、端迕接周边型 制畦托的框架粱。州鹏种山法算出的弯≈，、鲍力结果差别不大，我们把位于平面正中间F 的、沿竖向 连接剪力墙筒和型钢俺丰1 1 的框架梁让作“水架梁R ”，把它取Ⅲ作为错动效应小明姓的代表。上述_ 二处 作标记构件的部分计算结粜列J 表lc h 表一{ ，州“s p e c ”表不反应滑办法的结粜，用“B 。t N ”表示底部 轴』缓的结果。 由表n 所列计算岢矩l l ，知，对十错动效席叫显的部位．反应讲方法计算的梁端部弯矩．町咀达到底 音| 5 轴力法算出的弯矩的3 到4 倍 连粱A ，框架粱A 对] 。错动技应不明眭∞部位，两种方法的训算结 果基本相当 框架梁B ，故在结构的怪向抗震址计中，应埘竖向错动效应．给丁足够重视。 削1 某M 甚框筒镕构透视蚓＆典犁、r 咖 表】粜3 8 B 简结构部分构件在≯q №m ”月r 的瑞部弯矩 s D e cB 。州s D c c B n “s ⋯B o t N s D e c R 0 己N s 。。cJ ∞“s D e c B 。t N 51 8 2 } 1 317 5 } 6 38 7 1 61 8 2L 6 6 75 1 2 11 3 【53 9 61 1 4d 9 5f 1 6 92 5 64 0 4 0Jh 拈 I m7 』d I5 5 2 5 2 5 6 2 2 1 6 27 2 62 6 53 7 07 86 3 01 8 32 “2 1 97 7伸 3 5 “11 6 3 8 7 23 4 64 3 4I3 65 5 01 8 92 7 62 7 77 99 2 5 大跨结构中的二次共振 建筑结构的顶部突出部分，在地震作用F 常会发生严重破坏，遮往往是由所谓的“鞭梢被应”引起 的。“鞭梢效应”义破称作“一次共振”．4 占通常的意思是指，当结构顶部小塔楼的水，r 振动周期，与其 底部主体结构的水甲振动蒯期接近甚擎一致时．在水平地震佧用F ，二青之间将发生，≈振振动．地震效 应显著增大，从而导敛小塔楼的破坏。这现象已经被很多学者研究、讨论过，比如文[ 印。l F 如上面 第㈨I _ t 『目高“建M ％N ≠m 女“＆t2 0 0 4 已弊提剖的．通常所诡的鞭悄放心，址引对水、F 振动l n J 奇的，nJ 从动j J ≯的旗本胤理f l j 款来考虑，笔者 认为，大晦艘} 仲q 在晤们地，* 作川r ，电完争自_ _ J 能出现鞭梢效应，巾十“鞭梢”这个测．与小塔楼水 、P 振动的形蒙比较吻行．为r 避免歧义，F 文我们伸把大跨鲋．构的“鞭梢敞廊”称为“一次共振”。 当人跨结构n 身『} J 峰H 振动川期，o ，J I 底部丰体结构 或称为J 茈} } 【；盘座结构 的竖向振动周j W 接近 甚争敏叫，尢蜷向地震作川F ，二名Z M 将艇生j 振振r n ，地震教』避会罹符增大．从而n r 能导致太跨 结构f l 身、或者大蹄结构与j C 芷撑鲜，构的连接部俺、或者儿生撑结构的艘纠、，返就是人蹄结构的“二敞 J I 振”现絮。E 舟动力学地理1 ．1J 水’F 挑动的鞭梢效应完个m 【州．敞I n J 兑』1 体的理论分析，n 九i 接参 右水下振曲鞭梢效席的H I 天史献，此处不必赘述。 下面我们进行此具体的数值分析，来从卣观上说明．大跨结构- | ，可能打花的二次北振现象。如蚓 2 ，用交叉巢系模拟构遗个3 0 m { 3 0 m 的雎盖，粱截1 n 『取为2 0 0 Ⅲn } 3 0 0 0 眦n ，I I l l 个角部川叫根柱模拟竖向 的掸蓝支柠。n 先- ”独“并出垮盖r I 身的竖n J 振动蒯刺，记山1 ，然后佴单独算叫根朴构成的土庸模 型，通过赴川根柱的枉顶施加币川的附加质母．得到币川的点座竖向振动周埘T s u p 分别让这些立座阁 捌分粕往J 附近 ，从而也膨J 』苴小旧振动特性的多个支序最后，让州阿的崖盖与竖向振动周列各不相 州的支胯目f 毡．形成多个峰向振动系统，分川采用反I i 谱洁 s p c c _ 』腻部轴力浊 B o t N 计算这些系统， 汇录犀盖粱的角揶蛙夫砸巧矩№和跨一l ，蛀火【1r 蛮矩‰．将H 数“【列r 表2 中，其中“1 0 0 删”，指I O o ％ 的重山简投代表值对应的静荷拽，“m l 刈弯≈，”』士指s 川c 的结果或者B o t _ 的纠- 粜々1 0 0 ％w 结果的比值。 * 外，将大跨掣，柑花小川川埘比T 7 T s u pF 的正庠和跨c ”H j 刘弯矩反应，绘r H3 中，以直脱地硅小怪 刚q 圳比T ／h u p 接近l0m 人跨结构出现的次J I 振埘蒙。 吲2 模拟人跨站构 敬』 振的箅模型 丧2 大舛结构的．改JL m l I 掉结m 镕H T TR u b T ／T s u n 绝 S u e c ”B n 、 ‰ “ 目 “ s 绝 目 ‰ 唧 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 相 S p e c O ．2 7O ．2 9O ．3 70 ．4 50 ．8 41 ．4 81 ．3 7O ．8 20 ．5 90 ．4 50 ．3 20 ．2 10 ．0 5 对 B o t NO ．1 60 ．1 6O ．1 6O ．1 6O ．1 60 ．1 60 ．1 60 ．1 60 ．1 6O ．1 60 ．1 60 ．1 60 ．1 6 ‰1 0 0 ％W1 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．O O1 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 01 ．0 0 翅 蟋 埭 静 靛 罂 g 岳 留 冥 铡 槭 1 ．6 0 大跨结构在不同竖向周期比下的支座和跨中弯矩反应 _ 支座相对弯矩 ， L 跨中相对弯矩 ■f 』| 夕l fL ，＼芝_ ， 、 一 O123456789 竖向周期比T ／T s u p 图3 大跨结构在不同周期比下的支座和跨中相对弯矩反应 观察表2 的计算结果以及图3 中相对弯矩随周期比的变化曲线，我们可以发现如下规律 1 当屋盖结构自身的竖向振动周期T ，与其底部支座结构的竖向振动周期T s u p 接近或一致时，在竖 向地震作用下，二者之间的确会发生共振振动，T 与T s u p 越靠近，结构地震反应越大，T 与T s u p 越远离，结构反应地震越小。 2 当发生二次共振或者接近发生二次共振时，结构地震反应甚至可以达到1 0 0 ％w 反应的O ．5 至1 ．5 倍左右，比抗震规范规定的此类结构的最大反应 1 0 0 ％w 反应的O ．2 5 倍 要大出很多。 3 底部轴力法的计算结果，与周期比T ／T s u p 关系不大，稳定在l o o ％w 反应的O ．1 6 倍左右，如果考虑 规范的1 ．5 的放大系数，则为1 0 0 ％w 反应的O ．2 4 倍，这个数值与抗规 5 ．3 ．2 的规定接近。 因而，在大跨结构的设计当中，建议分别计算大跨结构自身及其支撑结构的竖向振动周期T 和T s u p ， 设计方案应尽量使竖向周期比T ／T s u p 远离1 ．O ，以避免出现二次共振。 6 结论 1 竖向地震作用下，框剪、框筒等多、高层建筑结构中，会存在显著的竖向相对错动效应。 2 当大跨结构自身的竖向振动周期，与其底部主体结构 或称为底部支座结构 的竖向 振动周期接近甚至一致时，在竖向地震作用下，二者之间将发生共振振动，地震效应 会显著增大，从而可能导致大跨结构自身、或者大跨结构与其支撑结构的连接部位、 或者其支撑结构的破坏，这就是大跨结构的“二次共振”。因而，在大跨结构的设计当 中，建议分别计算大跨结构自身及其支撑结构的竖向振动周期T 和T s u p ，设计方案应 尽量使竖向周期比T ／T s u p 远离1 ．0 ，以避免出现二次共振。 3 抗震规范的“底部轴力法”，是一种从宏观上计算竖向地震作用的方法，不能充分反应 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 框剪、框筒等多、高层建筑结构中，存在的显著的竖向相对错动效应。抗震规范的“直 接地震作用系数法”，反映的是有限的工程经验和计算研究成果，当大跨结构出现或接 近出现竖向共振时，其竖向地震反应可能远大于按照“直接地震作用系数法”计算的结 果，偏大的程度可以达到5 倍以上。 4 基于有限元的竖向地震的振型分解反应谱分析方法，是比“底部轴力法”和“直接地 震作用系数法”更为合理、理论上更为严密的方法，原则上它可以适用于任意复杂的工 程，对于框剪结构、框筒结构中非常容易发生的墙一墙、墙一柱或柱一柱之间的竖向相对 错动问题、大跨结构中的二次共振问题等，它都可以很好地考虑和解决。 5 鉴于目前应用于国内土建领域的主流商业软件中，尚未见到有“全面地实现竖向地震 反应谱分析并将其分析结果严格按照中国规范纳入基本构件设计”的功能，为了给复杂 结构、大跨结构的竖向地震设计提供一个合理、有效的工具，我们在“复杂多、高层有 限元分析与设计软件P M S A P ”中，实现了竖向地震反应谱分析，并将其分析结果严格按 照中国规范纳入了基本构件的设计。 参考文献 【l 】G B 5 0 0 1 1 2 0 0 ，建筑抗震设计规[ S ] ．北京建筑工业出版社．2 0 0 l 【2 】黄吉锋，抗震计算中几个问题的研究[ J ] ，建筑科学，2 0 0 7 ，2 3 3 ，1 5 1 8 ． 【3 】C 1 0 u 曲，R ．w ．a n dP e n 五％，J ．功仳删蛔∥s 仉忙f “r 嚣．S e o ∞de d i t i ∞ M c G m w - H i l l ’k ． ，1 9 9 3 ． 【4 】黄吉锋，求解广义特征值问题的多重硒t z 向量法叨，力学学报，1 9 9 9 ，3 l 5 5 8 5 5 9 5 ． 【5 】曲乃泗，高层结构动力学[ M 】，大连理工大学工程力学系，1 9 9 1 ．