混凝土结构中氯离子扩散分析的精细积分法.pdf

第 3 2 卷第 2期 V0 1 ． 3 2 No． 2 水 利 水 电 科 技 进 展 Ad v a n c e s i n S c i e n c e a n d Te c h n o l o g y o f Wa t e r Re s o u r c e s 2 0 1 2年 4月 Ap r ．2 01 2 D O h1 0 ． 3 8 8 0 ／ j ． i s s n ． 1 0 0 6 7 6 4 7 ． 2 0 1 2 ． 0 2 ． 0 0 8 混凝土结构中氯离子扩散分析的精细积分法 杨绿峰， 洪 斌， 高 钦 ， 曾建聪 广西大学工程防灾与结构安全教育部重点实验室 ， 广西 南宁5 3 0 0 0 4 摘要 针对混凝土结构中氯 离子扩散分析有限元模型存在的问题 ， 为 了去除氯离子扩散场半无限大 假设及其对计算精度的影响， 利用误差函数确定 了氯 离子扩散场的补偿长度及补偿 系数 ， 进而利用 精 细积分技术研究建立了混凝土中氯 离子扩散分析的精细积分有限元法 ， 定义 了氯 离子扩散矩阵 和氯 离子分布矩阵 ， 研究 了集中分布矩阵和一致分布矩阵对计算结果的影响。算例分析结果表明， 该方法计算结果与解析解之 间吻合很好 ， 能够有效提 高有限元法分析混凝土 中氯 离子浓度分布和 扩散过程的计算精度、 计算效率及算法稳定性。 关键词 混凝土； 氯 离子； 扩散 ； 精细积分； 有限元 中图分类号 T U 5 2 8 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 6 7 6 4 7 2 0 l 2 0 2 0 0 3 2 0 5 P r e c i s e i n t e g r a t i o n me t h o d f o r a n a l y s i s o f c h l o r i d e d i f fi ] s i o n i n c o n c r e te s t r u c t u r e ／ ／ Y A N G I 工 i f e n g ， H O N G B i n ， G A O Q i n ， Z E N G J i an- c o n g K e y L a b o r a t o r y o f D is a s t e r P r e v e n t i o n a n d S t r u c t u r a l S a f e t y o f C h i n a 打 y of E d u c a t io n ，S c h o o l of C i v i l En g i n e e r i n g a n dAr c h it e c t u r e ，G u a ngx i U n i v e r s ，Na n r d ng 5 3 0 0 0 4 ， Ch i n a Ab s t r a c t T h e c o n v e n ti o n al fi n i t e e l e me n t mo d e l d o e s n o t c o n s i d e r t h e e f f e c t o f s e mi i n fi n i t e a s s u mp ti o n of d iff u s i o n fi e l d f o r c h l o ri d e i o n i n c o n c m b a s e d o n t l 1 e F i c k ’ S s e c o n d l a w．T h i s p a p e r p r e s e n t s t h e fi nit e e l e me n t e q u a t i o n s of c h l o ri d e d i ff u s i o n b y me a n s of the V a ri a ti o n a l P ri n c i p l e ． T h e c o n c e p t an d e x p r e s s i o n of c o mpe nsa t i o n l e n g t h i S d e fi n e d a l o n e w i th c o mp e n s a t i o n c o e ffic i e n t f o r the fi nit e e l e me n t mo d e l b a s e d o n t h e e r r o r f u n c ti o n ．S O t l 1 a t the e l T o r c a u s e d b y t he semi i nfi n i t e ass u mp ti o n i s e l i mi n a t e d ．皿l e p r e c i s e i n t e g r a t i o n t e c hn o l o g y i s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e fi nit e e l e me n t mod e l f o r c hlo r i d e d i ff usi o n i n c o n c r e t e S O as t o i mp r o v e t h e c o mp u t a t i o n al a c c u r a c y ．e ffic i e n c y a n d c o n v e r g e n c e o f the F EM． n d i l ls i o n ma t ri x an d d i s t r i b u t i o n ma tr i x a r e d e fi n e d f o r t h e F E M mode 1 ． r h e l um ped a n d c o ns i s t e n t v e r s i o n s of d i s t ri b u t i o n ma t r i x a l e i n v e s t i g a t e d r e s pe c t i v e l y．E x a mp l e s i n the p a p e r s h o w t h a t the p rop o sed me tho d y i e l r e s u l t s a g r e e i n g w e l l w i th the c l o sed f o r m s o l u t i o n． Ke y wo r d sc o n c r e t e ；c hlo rid e i o n；d i ffu s i o n；p r e c i s e i n t e gra ti o n；fi nit e e l e me n t 钢筋混凝土结构较长时间暴露于海洋等富含氯 离子环境后 ， 氯离子会侵入混凝土 中并逐渐到达钢 筋表面 ， 造成钢筋锈蚀 ， 从而影响钢筋混凝土结构 的 使用性能和耐久性。由于钢筋锈蚀的过程并不持续 消耗氯离子 ， 所以分析评估氯离子环境下钢筋混凝 土结构耐久性和使用寿命的关键是确定氯离子在混 凝土 中的分布和扩散规律 。吴庆令等⋯ 1 通过现场海 洋暴露试验， 研究了混凝土中氯离子的扩散特性。 C o l l e p a r d i 等L 2 j 用 F i c k第二扩散定律 描述氯离子在 混凝土中的扩散过程， 得到在一定初始条件和边界 条件下的数学解 ； L i a n g 等l ] 考虑了水泥水化物对氯 离子扩散的影响 ， 并对氯离子扩散系数进行了修正 ； 宋子健等_ 4 ] 研究了溶液成分对混凝土中氯离子扩散 系数的影响 ； 彭国军等l J 考虑骨料形状 ， 对} 昆 凝土氯 离子扩散系数进行 了数值预测。余红发等l 6 1 提出了 考虑多因素扩散模型的一维解析解 。杨绿峰等l_ 7 j 研 究 了混凝土时变条件下氯离子扩散 的封闭解 。 由于实际的钢筋混凝土结构通常具有复杂的几 何形状和边界条件 ， 解析方法在应用中有较多困难 ， 人们通常采用数值方法解决此类 问题。在 F i c k第 二定律及其数学模型的基础上 ， 施养杭等_ 8 J 提 出了 氯离 子 侵 入 混 凝 土 计 算 的 有 限 差 分 法 模 型； F u n a J 1 a s 9 1 也在氯离子扩散分析的有限差分法方面 进行 了 研 究 ； S e r g i 等_ 1 o _ 应 用 最 小 平 方 法 1 e a s t s q u a r e s m e t h o d s 对氯离子在混凝土 中的扩散规律进 行了一维数值模拟； H a n l 1 1 j 采用有限元法分析氯离 基金项 目 国家 自然科学基金 5 1 1 6 8 o 0 3 ； 广西壮族 自治区主席基金 2 0 1 0 G X N S F D 1 6 9 0 0 8 作者简介 杨绿峰 1 9 6 6 一 ， 男 ， 河南 平顶 山人 ， 教授 ， 博士 ， 主要从事混凝土结构耐久性 、 结构极 限承载力 和可靠度等研 究。E m a i l l f y a n g g x u． e d u． c n 。 3 2 。 水利水 电科技进展 ， 2 0 1 2 ， 3 2 2 T d 0 2 5 8 3 7 8 6 3 3 5 E - m a ／ ／ h h u ． e d u ． m ／ ／ k k b ． h h u ． e d u ． C n 子扩散问题， 并推导出具体计算格式； 杨绿峰等l 12 j 研究建立了氯离子扩散分析 的边界元法。但是上述 氯离子扩散分析的有限元法普遍存在两个问题 ， 其 一 是忽视了基 于半无 限大扩散场的 F i c k第二定理 及其边界条件对数值分析模型的影响， 并造成计算 误差 ； 其二是在用有 限元求解氯离子扩散微分方程 时 ， 通常采用 显式 的中央差分法或隐式 的 N e w I I l a r k 法 、 Wi l s o n ． 0法等， 但计算结果 的稳定性 和计算精度 时常不尽如人意。时域精细积分方 法l 1 3 ] 可 以将 时 域积分转换为矩阵相乘 ， 能够取得非常高的计算精 度 ； 文献[ 1 4 ] 利用三次样条插值 函数模拟积分项 中 的被积函数 ， 建立了求解非齐次动力方程特解的一 种精细数值积分法。 由于氯离子侵入混凝土并发生扩散的过程非常 缓慢 ， 直接利用精 细数值积分格式有时会带来明显 的误差。本文利用误差函数建立了混凝土中氯离子 扩散场的补偿长度和补偿系数 ， 保证 了有限元法在 该类 问题 中的计算精度和计算效率 ； 同时， 在一致分 布矩阵的基础上建立 了集中分布矩阵 ， 验证了集 中 分布矩阵具有更好的计算精度 。在此基础上利用精 细积分技术研究建立了混凝土中氯离子扩散分析的 精细积分有限元法 ， 克服 了普通有 限元法分析氯离 子扩散时存在的问题。 1 氯离子一维扩散的有限元方程 氯离子在混凝土 中的扩散过程 可以用 F i c k第 二定律来描述 D 雾 2 1 a ￡ 一 a 、 其边界条件和初始条件分别为 r C O C { c ∞ c 0 2 【 c f0 c 。 式中 D为混凝土中氯离子扩散系数 ； t 为混凝土持 续暴露于氯离子环境 中的时间； CC ， t 表示 t 时刻混凝土试件 内深度为 处氯离子浓度 ； C 。 为初 始氯离子浓度 ； C 为混凝土构件表面氯离子浓度。 根据变分原理可知 ， 上述控制方程是泛函 1 1 n[ c 瓦O C 吉 D 3 的变分极值条件。 将扩散场沿 方 向离散为 Ⅳ个单元 ， 可以建立 典型单元 图 1 上 t 时刻的浓度分布函数 结 点1 结点2 CI C2 图 l 扩散单元 水利水 电科技进展 ， 2 0 1 2 ， 3 2 2 T e l 0 2 5 8 3 7 8 6 3 3 5 C ， t NC 4 式中 Ⅳ为形 函数矩 阵； C为单元节点 浓度参 数列 阵， 且有 C C 1 ， C 2 T N Ⅳl ， Ⅳ2 式 中 c 1 ， C 2 分别为结点 1 和 2 上的氯离子浓度 ； Ni 为插值函数 ， 其中 N1 1 一贾 ， N2 元 x ／ l 。 为无 量纲化单元局部坐标 ， f 为单元长度 。 将式 4 代人式 3 ， 可得单元泛函 Ⅱ j ． C T N T N C D C T N T N c d zI。 5 √ n 、 式中 n 表示单元域 ； 为 c对时间 t 的一阶导数 ； Ⅳ 为Ⅳ对坐标 的一阶导数。 根据变分原理 姗 0可得混凝土 中氯离子扩 散 分析 的有限元方程 肘 K C 0 6 其中 M I 。 N T N d x 7 鲁 Ⅳ ， N d 8 ￡ e J O 式中 M 为氯离子分布矩阵； K为氯离子扩散矩阵。 当单元沿着与扩散方 向相正交的另一个方向的 尺寸取为单位值时 ， 可求得式 7 为 M ] 9 2 一致分布矩阵和集 中分布矩阵 计算式 7 中分布矩阵 所用到的形 函数与计 算扩散矩阵 所用到 的形 函数一样 时， 称 为一 致分布矩阵。由于求解方程 6 时采用一致分布矩 阵 有时会导致计算结果不稳定 ， 这里尝试通过近 似数值积分方法重新计算氯离子分布矩阵 。 考虑数值积分近似计算的梯形公式 Ⅱ [ F N i ， ] I ，F N i ， E ． d x l ∑F k N ， 1 O 式中 z 为积分域 的长度 ； k为积分点 ， 取积分域 的 两个端点 ； ， 为被积 函数 F ， Ⅳ 『 在积分 点 k上的值 ， 结合式 7 可以定义被积 函数 { F N i , N j 11 【 凡 ， 根据形函数 的性质可以求得分布矩阵 M j’ 。Ⅳ T Ⅳ d 【 ] c 2 ， 式 1 2 中只有对角元素不为零， 且等于式 9 中 相应行 的全部元素的叠加。称式 1 2 的分布矩阵为 集中分布矩阵。 E - m a j z h h u ． e d u ． C n h t tp ／ ／ k k b ， h h u ． e d u ． m 。 3 3 按照普通有限元法标准步骤 ， 可 以将单元分布 矩阵和单元扩散矩阵集成为总体分布矩阵和总体扩 散矩阵 ， 相应地可将单元扩散方程集成 为总体扩散 方程。以下第 3节 、 第 4节的计算格式都是针对混 凝土中氯离子扩散分析的总体有限元方程。 3 精 细积分法 由于集 中分 布矩阵 M 存 在逆 矩阵 ， 所 以由式 6 集成的总体有限元方程可以改写为 一M I K C A C 1 3 式中 A 为定常矩阵， 且 A一 。 按照微分方程求解理论 ， 齐次方程 6 的通解为 C C o e A 1 4 式中 e 为矩阵A￡ 的指数函数。当将时间域[ t o ， t 。 ] 离散为 P个等步长的子域 ， 则时 间步长 △ 和时间 域内的第 i 个离散结点分别为 At t 一t o ／ p t i 一1 A t 1 ， 2 ， ⋯ ， P1 1 5 与之相对应 ， 在 时刻 ， 结点 氯离子浓度 向量表示 为 C ， 且有 C C 一 1 e A 一 1 1 6 式中指数矩阵 e A 。 根据矩阵加法定理有 e A △ ／ 1 7 其中 m为正整数 ， 可选择 m2 Ⅳ ， N为正整数 ， 因此 m通常是非常大的正整数 。由于 △ 是有限大的时 间步长 ， 则 r A t ／ m通常非常小。由此可得 eA r IA r ⋯ JT o 1 8 其中T oAr ⋯ 式 中 为单元矩阵。 将式 1 8 代人式 1 7 ， 有 J J 1 ’ 1 9 将 上 述 分 解 计 算 过程 重 复进 行 至第 ／ 7, 次 时， 有 JT n 一 1 ⋯” J 2 0 其 中 2 r n 一 1 一 1 ～ 1 2 1 由此可 以看 出， 当 确定后 ， 可 以按照迭代计 算公式 2 1 求出 ， 当 nN时， 代入式 2 0 求得 指数矩阵 ， 从而避免在计 算过程 中发生大数吃小 数 的情况 ； 进而根据迭代计算公式 1 6 ， 可以求解时 间域上各个离散结点 的氯离子浓度参数列阵 。 以上迭代求解方程的过程将时程积分问题转化 为矩阵相乘 问题 ， 简化了计算 ， 称之为混凝土 中氯离 3 4 水利水 电科技进展 ． 2 0 1 2 ， 3 2 2 T e l 0 2 5 8 3 7 8 6 3 3 5 子扩散分析的精细积分有限元法。 4 混凝土中氯离子扩散场的补偿长度 式 1 的解析解为 C x , t C 。 C o J 1 一 e If ] 2 2 式中 e ft S 为误差函数 ， 且 Ye r f s I e d z 2 3 √7 【 J 0 由于 F i c k 第二定理所 导出的解析模型 ， 要求远 端边界取在无穷远处 ， 并满足远端边界条件 C ∞C 。 ， 如式 2 所示 。但有 限元 、 边界元等数 值方法所建立 的计算模 型通常要求求解域 为有 限 大 ， 远端边界不可能取在无穷远处 ， 因此对于氯离子 一 维扩散分析 的有限元 、 边界元等数值方法l 1 2 j ， 需 要定义氯离子扩散场的补偿长度 ， 如图 2所示 ， 以 此 确定 远 端 边 界 的位 置 ， 并 保 证 远 端 边 界 条 件 C L c 。 仍然能够得到满足。 卜 _， l 一 三 图 2 混凝 土试 件长 度及 补偿 长度 由混凝土中氯离子扩散 的封闭解表达式 2 2 可 以看出， 当 一 。 。 时 ⋯lira e r f - 1 2 4 因此 ， 远端边界条件 C a 。 ， T C o 成立。 将式 2 3 的误差 函数用 图表示 ， 见图 3 。假定 远端边界位于 YL处 ， 如 图 2中虚线所示 ， 它 能够保证扩散方程 的远端边界条件成立 ， 由式 2 4 图 3 误差函数 Y e ft s E - m a d _廖 ． e d u ． m h t tp ／ ／ k k b ． h h u ． e d u ． ∞ ．． ．．。 一 口 司得 ， r 、 e r f ＼2 ／ J 1 2 5 根据式 2 5 可得 2 e 1 k 2 6 式中， k2 e r f - 1 ， 即有 e r f k ／ 2 1 2 7 式 2 3 定义 的误差 函数 如图 3所示 ， 可 以看 出， 当 1 ． 5 ≤S ≤2时误差函数接近于 1 。因此 ， 通过 比较式 2 3 和式 2 7 ， 容易看出式 2 7 成立时必然要求 3 ≤ k ≤4 。 这里， k称为混凝土的氯离子扩散长度补偿 系 数 ， 简称为补偿系数。通常情况下建议取 k 3 ． 5 。 根据式 2 6 可以确定计算扩散场的补偿长度 L， 从而能够保证远端边界条件 的成立 。补偿长度 表示 了混凝土的氯离子扩散问题 中， 正确计算混 凝土内部各点的氯离子浓度所需的扩散场的最小长 度 ， 如图 2所示。图 2实线 A B C D表示试件 的实际 边界 ， 如果试件的实际长度 f ≥ ， 则按照试件 的实 际长度建立有 限元计算模 型。反之 ， ≥z ， 那么在 建立有 限元法 等数值方 法 的计 算模 型 时， 需 要将 图 2 所示的混凝土试件的远端边界 B C虚拟地 移动 至虚线 B C 处 ， 从而在保证远端边界条件仍 能成立 的同时， 方便有限元等数值方法计算模型的建立 。 5 算例分析 算例 1 混凝 土试件的尺寸为 2 0 0 n l l n ， 混凝土 表面的氯离子浓度 氯离子与混凝土的质量百分比， 下同 C 1 ． O ％ ， 初始氯离子浓度 C 0 0 ， 氯离子扩 散系数 D3 1 ． 5 3 6 m 2 ／ a 。分别采用基于集中分布 矩阵的精细积分有限元法 L C M 和基于协调分布矩 阵的精细积分有限元法 c C M 计算扩散时间分别为 5 0 a和 8 0 a 时试件不同深度 的氯离子浓度值 ， 并将 计算结果和封闭解 c v s 相比较 。图 4给出了扩散 时间 5 0 a 时的 L C M， C C M和 C F S的结果。 橱 匣 膈 氯离子扩散深度／ mm 图 4 扩散 5 0 a 时氯离子浓度分布 从图 4可 以看出， L C M和 C C M 的结果都 与 C F S 比较接近， 能够给出正确的氯离子浓度分布规律 ， 其 中L C M 的结果 更 为准 确。为 了便 于 比较 L C M 和 C C M。 这里通过和 C F S比较计算两种方法 的误差 ， 见 图 5 ， 可以看出， L C M的计算结果精度优于 C C M。 氯离子扩散深度／ m m 图 5 MM和 C C M的相对误差 比较 算例 2 制作一批混凝 土试件 ， 尺寸为 1 5 0 m l n 1 5 0 m lT l 2 0 0 m ／ n ， 养 护 2 8 d后将 5个 面用环氧树 脂封闭， 只留下 1 个 1 5 0 lT l n l 1 5 0 m l T l 的面暴露于海 水 中， 混 凝 土 的氯 离 子 扩 散 系数 D 9 ． 2 5 2 1 0 ～ m 2 ／ s 2 9 1 ． 7 7 m 2 ／ a ， 试件 中氯离子初始浓度 C 0 0 ， 试 件表面氯离子浓度 C 0 ． 5 6 5 ％， 利用精 细积分有限元法 P I F E M 计算暴露时间分别为 5 0 a 和 8 0 a时试件内部的氯离子分布浓度 ， 并与封 闭解 进行 比较。在精细积分有 限元法的计算模型 中， 取 时间步长 △t 0 ． 1 a 。 首先按照试件实际长度建立精细积分有限元法 离散模型 ， 计算试件暴露 5 0a和 8 0 a 时的氯离子浓 度分氟， 并将计算结果与 C F S 相比 较， 如图6 a 所示， - 一 5 0 a CF S 一 8 0 a CF S 一B 一5 0 a PI FE M 一- e- -8 0 a PI FEM 枉 匣 扫 匣 O l 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 O 0 氯离子扩散深度／ mm a 根据构件实际长度计算 0 l 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 O O 氯离子扩散深度／ mm b 按照扩散场补偿长度计算 图 6 算例 2计算结果 水利水电科技进展 ， 2 0 1 2 ， 3 2 2 T e l 0 2 5 8 3 7 8 6 3 3 5 E - m a i l j z h h u ． e d u ． m h t tp ／ ／ k l ． h h u． e d u ． m 。 3 5 可以看 出此 时 HF E M计算结果与 C F S之间的误差 相当大。 按照本文提出的扩散场补偿长度公式 2 6 确定 有 限元法离散模型 图 2 ， 并重新利用 P I F E M计算。 当暴露时间分别取 5 0 a和 8 0 a 时 ， 根据式 2 6 ， 可以 求得扩散场补偿长度分别为 5 4 4 r t l l n和 6 8 8 m i n ， 二者 都大于试件的实际长度 ， 所 以应根据扩散场补偿长 度建立有 限元离散模型。将计算 结果 同 C F S相 比 较 ， 如图 6 b 所示 ， 可以看 出， 按照本文提出的扩散 场补偿长度理论建立有限元法计算模型， 计算结果 和封闭解吻合很好， 能够取得很高的计算精度。 6 结论 a ．基于混凝土 中氯离子扩散场的补偿长度及 其表达式 ， 建立了有限元法离散模型 ， 克服了传统数 值方法离散模型中半无限大假设导致的计算误差 ， 从而保证计算结果的正确性。 b ． 将一致分布矩阵转换为集 中分布矩阵 ， 并与 精细积分技术相结合 ， 研究 了混凝 土中氯离子扩散 分析的有限元法控制方程的求解方法 ， 不仅保证 了 计算结果的稳定性 ， 而且能够取得很好的计算精度。 参考文献 [1 ]吴庆令， 余红发， 王甲春 ， 等． 现场海洋区域环境中混凝 土的 C l 一扩散特性 [ J ] ． 河海大学学报 自然科学版 ， 2 0 0 9 ， 3 7 4 4 1 0 - 4 1 4 ． [ 2]C O L L E P A R D I M， MA R C I A L I S A ，T U R R I Z Z A NI R．T h e k i n e t i c S o f p e n e t r a t i 0 n o f c h l o r i d e i o n s i n t o t h e c o n c r e t e [ J ] ． C e m e n to， 1 9 7 o 4 1 5 7 - 1 6 4 ． ”” 一 l 3 J H A N G M T ， WA N G K L ， HA N G C H． S e r v i c e l if e p r e d i c ti o n of r e i n f o r c e d c o D ．c r e t e s t r u c t u r e s [ J J ． C e m e n t a n d C o n c r e t e Re s e a r c h， 1 9 9 9， 2 9 1 41 1 1 41 8． [ 4] 宋子健 ， 蒋林华． 溶液成分对混凝土中氯离子扩散系数 影响的研究综述[ J ] ． 水利水电科技进展， 2 0 1 1 ， 3 1 5 82 8 7． [ 5]彭国军， 郑建军， 周颖琼 ． 考虑骨料形状时混凝土氯离 子扩散系数预测的数值方法[ J ] ． 水利水电科技进展， 2 O O 9 ， 2 9 6 1 3 1 6 ． [ 6] 余红发 ， 孙伟， 鄢 良慧 ， 等． 混凝土使用寿命预测方法的 研究[ J ] ． 硅酸盐学报， 2 0 0 2 ， 3 0 6 6 8 6 - 7 0 1 ． [ 7] 杨绿峰， 李冉． 混凝土中氯离子二维扩散规律的解析研 究[ J ] ． 水利水电科技进展， 2 0 0 9 ， 2 9 3 2 0-2 3 ． [ 8]施养杭， 罗刚 ． 含多种因素的氯离子侵入混凝土的有限 差分计算模型[ J ] ． 工业建筑， 2 0 0 4 ， 3 4 5 7 - 1 0 ． [ 9]F U N A N S H I M． P r e d i c ti o n c o r ros i o n - f r e e s e r v i c e l i f e o f a c o n c r e t e s t r u c t u r e i n a c hl o ri d e e n m n m e n t [ J ] ． A C I M a t e r i a l s J o u r n a l ， 1 9 9 0 ， 8 7 6 5 8 1 5 8 7 ． [ 1 0 ]S E R G I H， P A G E C． D iff u s i o n o f c hl o r i d e and h y d r o x y l i o ns i n c e m e n t i fi o u s m a t e ri al s e x p o s e d t o a s al i n e e n v i ro n m e n t [ J ] ． Ma g a z i n e of Co n c r e t e Re s e a r c h， 1 9 9 2， 4 46 3 6 9． [ 1 1 ]H A N S H． I n fl u e n c e of d i ff u s i o n c o e ff i c i e n t o n c hlo r i d e i o n p e n e t r a ti o n of c o n c r e t e s t r u c t u r e [ J ] ． C o n s t r u c ti o n and B u i l din g Ma t e r i a l s ， 2 0 0 7， 2 13 7 0- 3 78． [ 1 2 ] 杨绿峰 ， 陈正， 王焱 ， 等． 混凝土中氯离子二维扩散分析 的边界元法[ J ] ． 硅酸盐学报 ， 2 0 0 9 7 1 1 1 0 - 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m a i l j z h h u ． e d u ． m h t tp ／ ／ k k b ． h h u ． e d u ． m