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第11卷第2期 2009年4月 建 筑 钢 结 构 进 展 Progress in Steel Building Structures Vol. 11 No. 2 Apr. 2009 收稿日期 2008- 02- 10; 收到修改稿日期 2008- 10- 06 作者简介 李国强1963- , 男, 博士, 教授, 主要从事多高层建筑钢结构及钢结构抗火研究。Email gqli tongji. edu. cn。 国家标准钢结构设计规范GB 50017修订专题讨论论文 关于多高层钢结构柱计算长度 理论解释 李国强1, 2 1. 土木工程防灾国家重点实验室, 上海 200092; 2. 同济大学 土木工程学院, 上海 200092 摘 要 本文先针对轴心受压杆件, 阐述了 Euler 临界力、 计算长度、 P效应、 稳定系数柱子曲线 等重要概念及它们 之间的关系; 进而论述了框架柱计算长度概念; 再通过说明我国现行钢结构设计规范GB 50017 中压弯杆 件极限承载力验算式的来源, 阐明了进行框架柱验算时, 考虑 P 效应进行结构二阶内力分析与柱计算长度 选取间的关系。最后, 本文提出了对框架柱进行承载力验算及柱计算长度选取的建议。 关键词 框架柱; 计算长度; P 效应; P 效应; 一阶分析; 二阶分析; 极限承载力 中图分类号 TU 393. 2 文献标识码 A 文章编号 1671- 93792009 02- 0001- 07 Effective Length of Columns in MultiStorey Steel Building Structures Theoretical Explanation LI Guoqiang 1,2 1.State Key Laboratory for Disaster Mitigation in Civil Engineering, Shanghai 200092, China; 2. School of Civil Engineering, Tongji University,Shanghai 200092,China LI Guoqiang gqli tongji.edu. cn Abstract Firstly, in respect to axially compressed members, the paper expatiated the definitions and relations of important concepts such as Euler critical force, effective length, P effect and the stability coefficient pillar curve. Then,more attention is specifically paid to the concept of effective length of the frame column by tracing the origination of the ula of the ultimate load capacity of bending compression members employed in steel structure design code of China GB 50017.It is then disscussed in the paper the relationship between second order stress analysis considering P effect and the selection of the columns effective length when checking frame column strength. In the last part of the paper, suggestions are given with respect to the s of frame column load capacity checking and columns effective length selecting. Keywordsframe column;effective length;P effect;P effect;firstorder analysis;second order analysis;ultimate load capacity 在现行各国钢结构设计规范中[1 4], 对多高层钢结构 设计均采用整体结构弹性内力分析和构件弹塑性承载验 算的二段方式, 特别对于框架柱一般为压弯杆件, 在进行 框架柱承载力验算时, 会涉及到一个重要的问题, 即框架 柱的计算长度如何选定。一般规范规定[ 1,5] 当框架内力 按一阶分析获得时, 柱按框架弹性失稳的定义确定计算长 度, 而当框架内力按二阶分析获得, 柱的计算长度按实际 长度确定。本文试图从轴心压杆框架柱计算长度的定义 与含义, P效应和 P效应与轴压杆和框架柱极限承载 力间的关系出发, 来说明按现行规范进行框架柱承载力验 算时,柱计算长度应如何选取的问题, 供我国钢结构设计 规范 GB 50017的修订及结构工程师设计时参考。 1 轴心受压杆件的极限承载力 1.1 理想轴压杆的弹性极限承载力Eu ler临界力 对于两端铰接的理想轴压杆无初始弯曲, 见图 1 a , 当轴压力 P 超过某一临界值时, 杆体将发生弯曲 称为失 稳或屈曲 , 见图 1 b , 此时由 P效应在杆中产生的弯 矩刚好 被 由于 杆 弯曲 变 形 产生 的 弹 性恢 复 弯 矩平 衡, 即[6 8] 建 筑 钢 结 构 进 展第 11 卷 Py - EIy1 式中 y 为杆的弯曲挠度, I 为杆件绕弯曲轴的截面惯性 矩, E 为钢材的弹性模量。 图 1 轴心受压构件弯曲屈曲 基于式 1 , Euler 于 1744 年导出等截面理想轴压杆 弹性屈曲的临界力 PE 2EI l 2 2 式中 l 为杆件的长度。 将 PE除以杆件截面面积A , 得 Euler 临界应力, 记为 E E PE A 2E l 2/ 1/ A 2E 2 3 式中 为杆件的长细比, l r l I/ A 4 考虑杆本身弯曲变形响应的称为 P效应, 以区别于考 虑结构整体变形响应的 P效应。显然 Euler 临界力是 P效应控制的理想轴压杆弹性极限承载力。 1. 2 理想轴压杆的弹塑性极限承载力 当 Euler 临界应力超过材料的弹性极限, 轴压杆应按 非弹性屈曲分析, 取切线模量计算。 当轴压杆的临界力大于杆件截面屈服承载力 Py时, 理想轴压杆的极限承载力将由杆件的截面屈服承载力 Py控制, 即当压杆达到屈服承载能力后其承载能力不再 提高。如将轴压杆达极限承载力时截面的应力定义为临 界应力 cr, 则理想轴压杆的弹塑性临界应力 cr与杆件长 细比 的关系见图 2。 1.3 几何初始缺陷对轴压杆极限承载力的影响[6 8] 一般实际轴压杆,或大或小存在一定的初弯曲 几何 初始缺陷 ,将该初始弯曲 图 3 模拟为 y0 0sin z l 5 可建立杆件的挠曲平衡微分方程为 EIy P y y0 06 杆件在轴压力 P 作用下中点的最大挠度可解得为 max y0l/ 2 yl/ 2 0 r0 1- r 0 1- r 7 其中 r E P/ A E 8 则杆件中点截面边缘的应力为 P A Pmax W P A 1 0 1- r 9 式中 0为杆件初始偏心率 0 A0 W 10 当杆件截面边缘应力达到屈服应力 y时, 杆件还可通过 截面的塑性发展承受更大的轴力, 直至杆件轴向刚度降 至零, 杆件达到最大承载力 或极限承载力状态 。为便 于给出轴压杆极限承载力的实用表达式, 可先偏于保守 地采用截面边缘屈服准则, 计算轴压杆所承受的轴力, 并 将此时杆件的平均轴压应力近似作为构件临界应力 cr P/ A。则由式 9 可得 y cr1 0 1- r cr 1 0 1- cr E 11 由上式可得到著名的 Perry 公式 2 第 2 期关于多高层钢结构柱计算长度 I 理论解释 cr y 1 0E 2 - y 1 0E 2 2 - yE 12 可以证明, 有初始变形轴压杆的极限承载力小于理 想轴压杆的极限承载力Euler 临界力和屈服承载力的较 小值 ,如图 4 所示。 图 4 由 Perry 公式获得的轴压杆临界应力 图 4 可知, 由 Perry 公式确定的轴压杆极限承载力是 杆件 Euler 临界力和屈服承载力的下限。 1. 4 柱子曲线 为应用方便, 引入了轴压杆件稳定系数 , 该系数采 用比值 cr/ y定义, 可采用杆件的计算长度进行计算 cr y 1 2 21 0 2 -[ 1 0 2]2 - 4 2 13 式中 y E , 则 cr y。 轴压杆件稳定系数 与杆件长细比有关, 故称 函数为柱子曲线。显然 还与杆件初始几何缺陷 0有 关。另外, 实际应用时, 各国钢结构设计规范还考虑杆件 截面残余应力对 的影响。此时按照压弯构件的极限强 度理论, 用数值法算出杆件的极限应力 u, 将其作为式 12 中的临界应力, 反算出相应的偏心率, 稍修正, 称之 为等效偏心率 0, 再将其代入式 13 , 得到用于设计的柱 子曲线。如钢结构设计规范 GB 50017 [1] , 除考虑 1/ 1000 杆长的初弯曲外, 还分四类杆件截面考虑残余应力 的影响, 及截面塑性发展对杆件真实极限承载力的影响, 故给出了四条 曲线。 值确定后, 轴压杆的极限承载力也可由下式确定 Pcr A y14 由式 14 的形式, 系数也可认为是由于 P效应, 几何 初始缺陷和截面残余应力影响, 对轴压杆屈服承载力的 折减系数。 2 轴压杆的计算长度 上节讨论的是两端铰支轴压杆的承载力计算理论, 对于轴压杆两端非铰支的边界约束情况, 可引入计算长 度的概念, 将其等效为长为计算长度的两端铰支轴压杆, 按计算长度确定杆件长细比, 再按式 14 确定其极限承 载力。 2.1 各种约束条件下轴心受压杆件的计算长度 系数 对于理想轴压杆, 当两端约束为非铰支时, 也可得到 其弹性极限承载力 Euler 临界力 PE, 其表达式为 Pcr 2EI l 2 15 式中 l 为杆件实际长度, 为计算长度系数, l0 l 为 杆件计算长度。 表 1 给出了各种杆端约束条件的轴压杆计算长度 系数[ 5]。 可见, 当轴心受压杆件两端侧移受约束时 , 杆件计 算长度系数 1. 0, 当轴心受压杆件端部一端侧移无约 束时, 1. 0。 上述结果也可从几何非线性对轴心受压杆件极限承 载力的影响加以说明。对于两端侧移受约束的轴压杆 件, 如杆端转动也受约束, 则由 P效应 图 5 a 在杆端 产生的弯曲与在杆件中点产生的弯矩相反, 即杆件端部 转动约束将减小 P效应在杆件中点产生的最大弯矩, 与两端铰接杆件相比, 端部转动约束杆件承载力将提高, 其效应可表现为杆件计算长度减小 参见式 13 、 14 。 对于端部侧移无约束杆件, 除 P效应使杆件产生 弯矩外, 由杆件端部侧移引起的 P效应还使杆件产生 弯矩 图 5 b , 故与端部无侧移的杆件相比, 其承载力将 降低, 其效应可表现为杆件计算长度增大 参见式 13 、 14 。 图 5 P效应与 P效应 2.2 框架柱的计算长度[9] 对于图 6 所示的框架, 如框架仅受节点竖向荷载, 且 3 建 筑 钢 结 构 进 展第 11 卷 框架无初始几何缺陷, 则框架柱为轴心受压杆件。此时 框架柱两端非铰支,柱两端的周边构件对其产生约束。 图 6 框架结构的整体失稳形式 当框架所有节点上的竖向荷载均等比例增长时, 当 荷载达到一定值, 框架将发生弹性整体失稳。框架弹性 整体失稳可有两种形式,即无侧移失稳 图 6 a 和有侧 移失稳 图 6 b 。一般情况下, 框架有侧移失稳的荷载 要小于无侧移失稳的荷载。 设框架失稳时, 柱中的轴压力为 Ncr, 则称 Ncr为框 架柱的轴压弹性临界力。如将 Ncr表达为 Euler 临界力 的形式, 即 Ncr 2EI l 2 0 16 则长度 l0 EI Ncr 17 称为该柱的计算长度, 而 l0 l l EI Ncr 18 称为该柱的计算长度系数。其中, l 为柱的实际长度, I 4 第 2 期关于多高层钢结构柱计算长度 I 理论解释 为柱的截面惯性矩。 图 7 以一简单门式框架, 说明了框架柱计算长度的 意义, 即 柱的计算长度是框架弹性失稳时理论反弯点之 间的距离, 也即假想两端铰支杆件的长度。 图 7 门式框架的失稳 文献[ 10] 给出了任意设或不设支撑的框架柱计算长 度系数简化计算公式 无侧移时 kT 60, 强支撑 1 3 1. 4k1 k2 0. 64k1k2 3 2k1 k2 1. 28k1k2 19a 有侧移时 若 kT 0无支撑 2 1. 6 4k1 k2 7. 5k1k2 k1 k2 7. 5k1k2 19b 若 0 kT 60 弱支撑 T 2 1 2 2 2 1 - 1 kT 60 0. 5 19c 式中 k1 i1b i1c , k2 i2b i2c, k T l2 B ic , i1b 与柱 1 端相连梁线刚度之和; i2b 与柱 2 端相连梁线刚度之和; i1c 与柱 1 端相连柱线刚度之和; i2c 与柱 2 端相连柱线刚度之和; B 柱所在楼层所有支撑抗侧移刚度之和; ic 柱所在楼层所有柱线刚度之和; l 柱实际长度层高。 若柱端刚接, 则 k1或 k2 ; 若柱端铰接, 则 k1或 k2 0。 3 压弯杆件的极限承载力 一般多高层钢结构中, 竖向荷载作用在框架梁上, 而 非框架节点上, 因而在竖向荷载作用下, 在框架柱端会产 生弯矩。另外, 多高层钢结构受水平荷载作用时, 框架柱 端也会有弯矩。因此, 一般情况下, 框架柱为压弯杆件, 故如何确定压弯杆件的极限承载力, 对多高层钢结构设 计更为重要。 3. 1 P效应与边缘屈服准则 对于两端铰接但所受弯矩均为 M0的简单压弯杆件 图 8 , 杆件截面最大弯矩 Mmax由两部分组成, 均匀弯矩 M0和由 P效应产生的附加弯矩 Py, 即 Mmax M0 Py z l 2 M0 1- P PEx 20 式中 PEx为压弯杆件在弯矩作用方向的 Euler 临界力。 如果构件满足下列方程 P A Mmax Wx y21a 或 P A M0 Wx1- P/ PEx y21b 则杆件弯矩最大截面边缘屈服, 此时杆件还可承受更大 轴力和弯矩, 但其潜力已不大。若偏保守地认为此时杆 件达到最大承载能力, 则称之为边缘屈服准则。 图 8 简单压弯构构件及 P效应 3. 2 等效弯矩系数 当压弯杆件两端的弯矩不相等时, 可按杆件中最大 弯矩相等的原则, 引入一个等效弯矩系数 mx, 将压弯杆 件原两端弯矩不相等的情况, 等效成两端弯矩相等的情 况 图 9 M0 mxM222 式中 M2为两端弯矩不相等时, 绝对值较大的杆端弯矩, M0为等效两端相等的弯矩。 3. 3 平面内稳定设计表达式 我国钢结构设计规范 GB 50017 [ 1] 关于压弯杆件 的平面内稳定 或弯矩平面内极限承载力 验算表达式的 形式, 采用了式 21b 所代表的边缘屈服准则来推导, 但 考虑杆件初弯曲 0的影响。将式 22 考虑的杆两端弯 矩不等情况带入式 21b , 得 5 建 筑 钢 结 构 进 展第 11 卷 P A mxM2 P0 Wx1- P PEx y23 当杆件内无弯矩, 即 M2 0 时, 杆件成为轴心受压构件 杆, 其轴心受压承载力应为 Pcr xA y, 则 xA y A xAy0 Wx1- Pcr PEx y24 由上式可得 0 1- Pcr PEx 1- x Wx A 25 将式 25 代入式 23 得 P xA mxM2 Wx1- P PEx y26 考虑截面塑性发展对压弯杆件极限承载力的影响, 最后钢结构设计规范 GB 50017 采用如下设计公式[ 1] P xA mxMx xW1x1 - 0. 8 P PEx f27 式中 Mx即为M2, f y/ R为钢材强度设计值, R为抗 力分项系数, x为考虑截面塑性发展影响的塑性发展系 数, W1x为截面不对称时弯矩方向截面抵抗矩较小值。 图 9 等效弯矩系数 采用式 27 进行压弯杆件平面内稳定验算需考虑的 一个重要问题是, 如何选取杆件计算长度, 以确定杆件长 细比 x, 进而确定杆件轴压稳定系数 x。当压弯杆的杆 端弯矩是包含 P效应影响的真实弯矩时, 框架柱的验 算可采用图 10 所示的简图, 对比压弯杆承载力推导所采 用的力学模型 图 8 和图 9 , 考虑到框架柱柱端转动或 多或少会受周围杆件的约束, 不为铰接, 故当框架柱端部 弯矩采用包含 P效应影响的真实弯矩时, 如按式 27 进行柱承载力验算, 柱的计算长度比实际长度要小, 计算 长度取为实际长度偏于安全。 图 10 考虑 P效应后框架柱验算简图 4 框架柱柱端真实弯矩的确定 传统上进行多层框架内力分析一般采用一阶弹性分 析, 因为忽略了 P 效应, 按一阶分析获得的框架柱柱 端弯矩并不真实, 为克服一阶弹性分析所获得框架柱端 弯矩不真实带来的问题, 我国现行钢结构设计规范[ 1] 在应用式 27 进行压弯杆件平面内稳定验算时, 将柱的 计算长度不取为实际柱长, 而按理想框架弹性失稳所定 义计算长度确定 见本文第 2 节 。这样处理, 实际与压 弯杆件极限承载力设计式 27 的推导来源并不一致。 为在应用式 27 时采用框架柱的真实柱端弯矩, 应 考虑 P效应, 进行框架二阶弹性分析。 4. 1 水平荷载作用下效应的近似考虑 对于框架结构, P效应是因竖向荷载在框架发生 侧移时, 对框架产生的附加内力与变形效应 图 11 。如 要精确反映框架结构的 P效应, 需要对结构进行二阶 非线性分析, 这在实际工程设计应用中不方便。在水平 荷载作用下, 文献[ 9] 提出了一种考虑 P 效应对框架 结构内力影响的近似计算方式, 即通过对框架结构一阶 分析所获得弯矩进行修正, 以得到框架结构考虑 P效 应的弯矩, 即 M11 M1 1- P H h 28 6 第 2 期关于多高层钢结构柱计算长度 I 理论解释 式中 为水平荷载在框架某层产生的层间侧移, P 为框架该层以上所有竖向荷载之和, H 为框架该层 以上所有水平荷载之和也即该层水平总剪力, h 为该 层层高, M1、 M11分别为水平荷载产生的该层柱及梁端一 阶分析弯矩和考虑 P效应的弯矩。 图 11 框架 P效应 4. 2 竖向荷载作用下效应的近似考虑 实际框架柱由于安装偏差不可能完全铅直, 当框架 层间有一定的初始层间侧移 时, 在竖向荷载作用下, 由于 P效应在该层将产生附加内力。文献[ 11] 的研 究表明, 在竖向荷载作用下, 由于框架初始几何层间位移 0, 由 P效应产生的附加内力, 可通过在框架该楼层 顶面位置附加假想水平力 H0近似, H0可表达为 H0 Qi0 h 29 式中 Qi为作用于框架每层的竖向荷载设计值。 注意到钢结构施工质量验收规范 [ 12] 要求 0 h 1 1000 30 并考虑 P效应对P效应的不利影响, 文献[ 11] 提出用于钢框架结构设计时, H0可按下式计算 H0 0. 0025Qi31 而现行钢结构设计规范[ 4]建议 H0 yQi 250 0. 2 1 ns 32 式中 ns为框架的总层数, y为钢材强度影响系数。 对于多层框架,由各楼层的假想水平力 H0, 按一阶 分析或上述近似二阶分析获得的内力, 即为竖向荷载作 用下由 P效应产生的附加内力。 应该指出, 由 H0产生的效应为竖向荷载因几何非 线性产生的附加效应, 应与竖向荷载本身产生的效应叠 加后, 再作为竖向荷载的总体效应与其他荷载效应组合。 5 结论 对本文上列论述进行归纳, 可总结如下 1 计算长度是理想轴压杆件为计算 Euler 临界力 即弹性极限承载力 而引入的一个概念, 当轴压杆两端 铰支时, 其计算长度即为其实际长度。当轴压杆两端不 为铰支时, 其计算长度一般不为实际长度。 2 实际轴压杆件会存在初弯曲。当轴压杆有初始 弯曲时, 在压力作用下, 由于 P效应, 在杆件中会产生 弯矩, 此时轴压杆的极限承载力可由杆件最大弯矩截面 处边缘发生屈服的准则确定。轴压杆的实际承载力是杆 件 Euler 临界力和杆件轴向全截面屈服承载力的下限。 3 轴压杆的稳定系数 可理解为轴压杆的实际极 限承载力与其轴向全截面屈服承载力相比的折减系数, 该系数反映杆件初弯曲、 残余应力和 P效应影响, 与杆 件按计算长度计算的长细比有关。 4 多层框架柱的计算长度, 是理想框架 无初始几 何缺陷, 且仅在梁柱节点处受竖向荷载的框架 弹性失稳 时, 将柱中所受轴力表达为 Euler 临界力而引入的一个 概念。对于理想框架, 柱为轴心受压杆件。 5 一般实际框架为非理想框架, 框架或存在几何 初始缺陷 , 或受有水平荷载, 或竖向荷载不作用在节点 处, 故一般情况下实际框架柱为压弯杆件, 故框架不会发 生弹性失稳。 6 从钢结构设计规范 [1] 压弯杆件平面内稳定验 算式 27 的推导来源可知, 对于框架结构如柱端弯矩是 结构受力的真实弯矩, 则计算柱稳定系数所采用的计算 长度可偏保守地取为柱实际长度, 这样通过考虑 P效 应 或二阶分析 以获得柱端真实弯矩, 通过 系数和 1/ 1- 0. 8P/ PEx考虑 P效应。使得框架结构内力分析 与杆件承载力验算相协调, 在概念上也很清晰。 7 对于框架结构, 如果通过一阶分析获得结构内 力, 而采用理想框架弹性失稳所定义的框架柱计算长度, 按式 27 进行柱平面内稳定验算, 则 P 效应对柱端弯 矩的影响没有考虑, 而可以认为 P效应反映在柱计算 长度中, 包括在柱稳定系数 内。显然这种处理方式, 在 框架结构内力分析与柱承载力验算间不协调, 在概念上 也不清晰。 6 建议 基于本文的讨论, 在进行钢结构框架设计时, 建议 1 对所有框架 包括支撑框架 , 均要求进行二阶 分析, 以考虑P效应, 此时框架柱计算长度系数均可 下转第 55 页 7 第 2 期深圳卓越 皇岗世纪中心项目二号塔楼结构设计与研究 而结构的受压损伤很小, 且剪力墙中钢筋应力未达到屈 服强度; 框架梁钢筋基本未屈服, 框架柱钢筋未屈服; 3 该结构能够 抵御 ElCentro 波及场 地波 峰值加 速度 208gal , 能够实现 大震不倒的性能目标。 图 9 剪力墙混凝土损伤情况 7 结论 工程设计以力学概念为基础, 并根据本工程的具体 特点, 本塔楼采用钢筋混凝土框筒结构体系, 在 1 26 层 外框柱采用了钢管混凝土叠合柱, 通过充分发挥核心筒 和外框架的工作效率, 成功满足了规范对结构的刚度要 求。本文有关设计的思路可为低地震烈度、 高风荷载地 区且核心筒具有较大高宽比的超高层建筑结构设计提供 参考。同时应用线性和非线性有限元软件对结构进行了 整体分析和抗震性能研究, 同时也对一些重要的构件进 行了专项研究, 体现出了从整体到局部的设计思路。 参考文献 [ 1 ] 钢管混凝土叠合柱结构技术规程 CECS 188 2005 [S]. 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School of Civil Engineering, Tongji University,Shanghai 200092,China WANG Yi Maive84 Abstract Firstly, four steel frames with geometric imperfections are configurated and the ultimate load of these frames, Pcrand Hcr, under horizontal and vertical load are obtained through finite element analysis. Then, the ultimate load Pcrand Hcris used to calculate the internal force of the same four frames without geometric imperfections through the way of firstorder analysis and second order analysis. The nominal stress of the column using the ula of the ultimate load capacity of bending compression members employed in steelstructure design code of China GB 50017 is obtained and compared with the real stress. It is demonstrated that w hen using the ula of the ultimate load capacity of bending compression members to check the stability of columns, using the second order elastic analysis to calculate the internal force of the frame and choosing the real length to be the effective length of the column may lead to better results than that through the way of using the first order elastic analysis to calculate the internal force of the frame and choosing the elastic buckling length to be the effective length of the column. Keywordsframe column;effective length;firstorderanalysis;second orderanalysis;ultimate load capacity;finite element analysis 在现行各国钢