土力学与地基基础学习笔记3.pdf

土力学与基础工程学习笔记三 主主 题题 土力学与基础工程学习笔记 内内 容容 土力学与基础工程学习笔记三土力学与基础工程学习笔记三 地基应力与沉降地基应力与沉降 教学目的、要求教学目的、要求 掌握掌握土的自重应力；有效应力原理 理解理解应力历史对地基沉降的影响； 了解了解饱和土的有效应力和渗透固结。 教学内容教学内容 基本内容基本内容土中自重应力；基底应力；地基附加应力；土的压缩性；地基的 最终沉降量；应力历史对地基沉降的影响；饱和土的有效应力和渗透固结 重点重点土中附加应力的计算及分布规律，有效应力原理，地基的最终沉降量 难点难点用固结理论进行地基土的固结计算。 基本要求基本要求 掌握土的自重应力；基底压力的简化计算；地基中附加压力的计算及分 布规律；掌握有效应力原理。 2.1 概述概述 应力种类1. 自重应力 2. 附加应力 应力状态变化均匀沉降；不均匀沉降。 地基变形随时间的变化过程 建筑物荷载 ⎧ ⎨ ⎩ 压缩 剪切 一 土的自重应力 cz Zσγ 只能产生竖向变形，不能侧向变形和剪切变形。 0cxcycz kσσσ （用广义胡克定律导得，见后） 0 zxyzxy τττ 0 k 土的侧压力系数（任何轴都是对称轴，故τ0） 1 n Czii i hσγ ∑ x σ z深度处竖向有效自重应力。 三附加应力 0 kp z σ 2.2 土中自重应力土中自重应力 土力学与基础工程学习笔记三 2.2.1 定义定义由土的自身重量引起的应力 2.2.2 自重应力计算公式自重应力计算公式 1 n czii i zσγ ∑ 定义为土自身有效重力在土体中引起的应力， 竖面和侧面均指有效应力对变 形有效。土的自重应力由于压缩稳定，所以不引起变形。 式中 cz σ 天然地面下任意深度z处的垂直方向自重应力，； kPa n深度z范围内的土层数； 第i层土的厚度，m； i z i γ 第i层土的天然重度，地下水位以下土层取有效重度地下水位以下土层取有效重度 i γ′。 1.自重应力公式的推导自重应力公式的推导 地基中自重应力的计算 取z深度土柱abcd为隔离体，研究作用于其上的力 ①土柱自重W Wz Aγ⋅ ⋅ ②底面垂直应力 cz σ ③侧向应力 cx σ 垂直力平衡 cz σ 0 ∑z 则有 Cz WAz Aσγ⋅⋅ ∴ Cz zσγ 考虑到不同土层，故得 ∑ n i iiCz h 1 γσ 当土成层变化时， 土力学与基础工程学习笔记三 当地下水存在时，地下水位以下土层取有效重度 i γ′， 2.水平方向自重应力的推导水平方向自重应力的推导 据弹性力学，广义胡克定律，推求 cxcy σσ与 cz σ的关系。 土柱侧面不可能位移 故有0 xy εε cxcy σσ 广义胡克定律 xYz x EE σ σσ ε − EE zXY y σσσ ε − EE YXz z σσσ ε − 0 x ε 0 − EE zYx σσσ 土力学与基础工程学习笔记三 故 cxCYCz σ σσ 又因为 cxcy σσ ∴ 0 1 cxczCz K σσ − σ K0为侧压力系数 0 zxyzxy τττ 由此得到自重应力分布如图 由于K0变化， cx σ分布与 cz σ不同，表面有突变点。 当地下水存在时 例题 已知，柱状图（地质勘探得到） 两层土 粉土 3 1 18/KN mγ， 1 2.70 s d， 1 35w 土力学与基础工程学习笔记三 粉质粘土 3 2 18.9/KN mγ ， 2 2.72 s d， 2 34.3w h11m, h21m, h31m 。 解 1 1 s s d dw γ γ − ′ 得 3 1 8.4/KN mγ ′ 3 2 8.9/KN mγ ′ （注意由计算而来 w s e d γγ − 1 1 不能用天然重度-10去算。即 sat γγ≠） 1 11223 35.3 cz hhhKPaσγγγ 2.3 基底应力基底应力 定义地基与基础作用面上的应力， 又称接触应力。 也可说基础底面给地基 的压力或说地基给基础底面的压力。 影响因素荷载的大小和分布；地基土的力学性质；基础埋深 柱下单独基础或墙下条形基础按直线分布计算。 2.3.1 基底压力计算基底压力计算 一中心荷载下的基底压力 A GF p 式中F作用于基础上的竖向力； G基础自重及其上回填土的总重； AdG G γ G γ回填土及基础平均重度，一般取20KN/m3。水位以下应扣除浮 力。 d基础埋深，从设计地面或室内外平均地面算起。 A基底面积。矩形基础lbA l长度；b宽度。 二 偏心荷载下的基底压力 1. 矩形基础 引入偏心距 GF M e 得 6 1 min max l e lb GF P 土力学与基础工程学习笔记三 e＜ 6 l 梯形分布 e 6 l 三角形分布 e＞ 6 l 出现拉应力 应力重分布 bk GF P 3 2 max 2. 条形基础 l/b≥10 偏心荷载在基础宽度方向边缘的基底压力 l b 6 1 min max b e b GF p e荷载在基础宽度方向的偏心距 矩形基础双向偏心荷载作用下的基底压力按下式计算 y y x x W M W M lb GF P min max x x W M lb GF p p 2 1 y y W M 式中、荷载合力分别对矩形基底 x、y 对称轴的力矩。 x M y M 、基础底面积分别对 x、y 轴的抵抗矩,按条形基础。 x W y W 2.3.2 基底附加压力基底附加压力 dppp c00 γσ−− 式中p基底平均压力 c σ土中自重应力基底处d c0 γσ 0 γ基础底面以上天然土层加数平均重度 / 2122110 LLhhhhγγγ 土力学与基础工程学习笔记三 作业作业 2-1 2-2 2.4 地基附加应力地基附加应力 弹性理论视土体为完全弹性体 假定 ①物体是连续的； ②均质各向同性； ③完全弹性； ④位移形变是微小的。 附加应力亦称增加应力。把土体视为半无限空间体，假定土体均匀，各向同 性，线性变形体，用弹性力学法计算，计算中把荷载视为柔性荷载，分为空间问 题和平面问题两类。 2.4.1 竖向集中力下的地基附加应力竖向集中力下的地基附加应力 一布辛奈期克解 计算在集中力作用下空间体表面下z深度M点的处的附加应力。 布辛奈斯克得出六个应力分量和三个位移分量解 式中 zyx σσσ,,M点平行于x、y、z轴正应力； xzyzxy τττ,,剪应力； 前脚标与微面法线方向一致的坐标轴方向； 后脚标与微面平行的坐标轴； wvu,,M点沿坐标轴x、y、z方向的位移； RM点到坐标原点O的距离； θγcos/ 22222 ZZZYXR θR线与z坐标轴夹角； γM点至集中力作用点的水平距离； E弹性模量； M泊松比。 以上公式中w Z, σ常用，点O点，R0代入结果无穷大。 二等代荷载法 荷载面积小，而M点距该荷载面大很多时用代替局部荷载 i p 土力学与基础工程学习笔记三 1．应力计算 22 2 5 2 2 5 22 3 5 3 ] 1/[ 1 2 3 2 3 2 3 Z P K Z P ZZ ZP R ZP z γ π γ ππ σ 2 5 2 ] 1/[ 1 2 3 Z K γ π ，集中作用力下的 附加应力系数 r kf z γ 查表 2-1 得到。 按叠加原理 M 点附加应力 ∑∑ n i n i ii i iz pk zz p k 11 22 1 σ 2. 集中力作用下 z σ应力分布 2.4.2 矩形荷载和圆形荷载下的地基附加应力矩形荷载和圆形荷载下的地基附加应力 一均布矩形荷载 表 2-2 已列出附加应力系数，可直接查取。 土力学与基础工程学习笔记三 注l恒为边长。 当计算点不在角点下，属一般情况，此时有以下四种情况 a 0 点在荷载面边缘 Ⅱ Ⅰ d c o e a b 0 pkk czclz σ b 0 点在荷载面内 d o Ⅱ Ⅰ Ⅲ Ⅳ c b a 0 pkkkk CIVCIIICIICIz σ c 0 点在荷载面边缘外侧 c a c h Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ c g c b f 0 pkkkk CIVCIIICIICIz −−σ ofbgkCI ogcekCIII d 0 点在荷载面角点外侧 d q a c e b f h o 0 pkkkk CIVCIIICIICIz −−σ ohcekCI ogdekCIII ohbfkCIIogafkCIV 土力学与基础工程学习笔记三 二三角形分布的矩形荷载 0 dxdyp b x p 在整个面积积分， 得 01p kt z σ荷载零点 02p kt z σ 表 2-3 荷载最大值 b z l , 查fkt b b x p dp 0 0 p x ⋅ 0 dxdyp b x p b dpdpdxdyp ∴ 三 均布圆形荷载 设圆形荷载面积半径为 0 γ，作用地基表面竖向荷载为。 0 p 00 p dApd dγ γ θ⋅ 积分得 0 0 γ σσ γ z fkkp zz 中心点下。查表 2-4 2.4.3线荷载和条形荷载下的地基附加应力线荷载和条形荷载下的地基附加应力 d l ≥10 ，可视为∞ d l 情况 墙基，挡土墙基础、路基、坝基等，均可按平面问题考虑。 一 线荷载 土力学与基础工程学习笔记三 ∫ ∞ ∞− zz dσσ ββ π σ 2 1 sincos 2 R p z ββ π ττsincos 2 2 1 R p zxzx 二均布条形荷载 ββ π σd p d z 20 cos 2 0 20 cos 2 2 1 2 1 pkd p d szzz ∫∫ ββ π σσ β β β β 0 pksx z σ zxxz ττ 0 PXSXZ 系数查表 2-5，, b x b z fk 等应力值，应力分布 条形荷载下地基附加应力等值线图 土力学与基础工程学习笔记三 垂直应力 X 方向 剪应力 2.4.4 非均质和各向异性地基中的附加应力非均质和各向异性地基中的附加应力 一 变形模量随深度增大非均质 属应力集中情况，弗洛利希建议用式θ π σ v z R vp cos 2 2 计算。 式中v大于 3 的集中因数，v3 代表布辛奈斯克解 v随与地基深度关系及泊松比 0 E变化。 二 交互层地基各向异性地基 水平向变形模量E0h＞竖向变形模量E0v 此时发生应力扩散 沃尔夫 设 vh EEn 00 /为一大于 1 的经验常数,得出与 s k的关系 b z ， 完全柔性 Eov Eoh M ＞1，Eoh＞Eov ， z σ随 n 值增加变小。 0 p k z s σ 土力学与基础工程学习笔记三 由图a可见，当 Eoh＞Eov 时，附加应力系数，随 n 值增加而变小。 s k 韦斯脱加特得出，值愈大，所得附加应力系数愈小。 s k 二 双层地基非均质 注①下硬上软，应力集中；②上硬下软，应力扩散。 应力扩散随上层厚度增加显著增加 还与有关和 0 E 2 1 2 2 02 01 1 1 − − E E f 101, E上层的变形模量和泊松比； 202, E软弱下卧层的变形模量和泊松比。 泊松比变化约0.30.4 故小变化主要取决于 02 01 E E 。 2.5 地基沉降的弹性力学公式地基沉降的弹性力学公式 柔性荷载下的地基沉降就是地基表面的沉降 S ,,oyxw γπ 0 2 1 ,, E p oyxwS − 式中 S竖向集中力 P 作用下地基表面任意点的沉降； γ地基表面任意点到竖向集中力作用点的距离， 22 yx γ； 土力学与基础工程学习笔记三 地基土的变形模量； 0 E 地基土的泊松比。 2.6 土的压缩性土的压缩性 2.6.1基本概念基本概念 定义土在压力下体积缩小的性质。 一般压力下100600KPa,土粒和水的压缩一般压力下很小，可认为不可压 缩，故土的压缩是孔隙体积减小。饱和土，孔隙体积减少，孔隙水被排除。压缩 随时间增长的过程固结。 2.6.2 压缩曲线和压缩性指标压缩曲线和压缩性指标 （一）压缩试验（侧限） 试验仪器固结仪 侧限压缩试验中只要测得 P 作用下，压缩量 S 即可求得相应的孔隙比。 压缩曲线有两大类 二 土的压缩系数和压缩指数 αtan 21 21 ≈ − − ∆ ∆ pp ee p e a ， dp de a− 1. 斜率 1 . 0100 1 MPaKPp a 通常采用 2 . 0200 2 MPaKPp a 土力学与基础工程学习笔记三 21− a p100-200kpa 评定土的压缩性 0.1≤＜M； a，高 2.压缩指数 曲曲线时。 21− a＜ 1 1 . 0 − MPa，属低压缩性土； 21− a 1− Pa，属中压缩性土5 . 0 21− a≥MP压缩性土 1 5 . 0 − C C 半对数压缩线pelog 1 2 21 12 21 log/ loglogp p ee pp ee CC− − − C C土的压缩指数 土的压缩性愈大。 作业作业 2-3 2-4 量侧限压缩模量 和压缩系数 C C愈大， C C＜0.2，低压缩性土； C C＞0.4，高压缩性土。 S E 三压缩模 a e11 ES 前已推导 2 1 2 2 1 1 111e HH e H e H ∆− 1 1 1 1 21 11 H e e H e ee H ∆ − ∆ 或 由于， pae∆∆ 土力学与基础工程学习笔记三 故 1 1 1 H e pa H ∆ ∆， 故 1 应变 应力 H H p ES ∆ ∆ 故有 a e ES 1 1 ，愈小，表示土的压缩性愈高。 S E 四土的回弹曲线和再压缩曲线 基坑开挖，回弹膨胀，预估基础沉降。利用压缩，回弹，再压缩的 曲线，分析土的应力历史。 pelog 三、土的变形模量E 一 以载荷试验测定土的变形模量 堆载法 基坑宽度不应小于承压板宽度或直径的三倍。 土力学与基础工程学习笔记三 锚固法 锚固法系统分为3各部分a加荷稳压装置；b反力装置；c观测装置。 土的压缩曲线 通过载荷试验，土的变形模量通过以下公式计算 1 12 0 1 S bp Eω− ω系数 方形0.88； 压板 圆形0.79； 1 S不同土取不同值 比例界限对应沉降，不时显时，中、高压缩性土、粉土和粘性土，取 0.02b，低压缩性土取0.010.015S。 1 S → 1 p 1 S→ 1 p 二变形模量E与压缩模量的关系 S E 21 1 2 1 0 2 0 KEEE SS − − − 令 β − − 1 2 1 2 S EEβ 0 推证 Eyx Kσσσ 0 x方向应变力零0 − EE zYx x σσσ ε 土力学与基础工程学习笔记三 − 1 0 K 0 0 1K K 0 0 00 21 E K EE z yx Z Z σ σσ σ ε − − 根据侧限条件 S z z E σ ε 令 0 2 21 1 2 1K β − − 整理得21 1 2 1 0 2 0 KEEE SS − − − 可得 S EEβ 0 *2.7 地基的最终沉降量地基的最终沉降量 2.7.1按分层总和法计算地基最终沉降量按分层总和法计算地基最终沉降量 在地基沉降计算深度范围内划分若干分层然后计算各分层的压缩量，然 后求其总和，当可压缩性土层厚度H＜0.5bb为基底宽度时，薄压缩层地基， 此时自重应力和附加应力沿深变化不大。与侧限应力状态相近， i S∆ 可利用 H e ee S 1 21 1 − H 薄可压缩层厚度； 1 e自重应力平均值对应的孔隙比； 2 e自重应力和附加应力之和 zc σσ平均值对应的孔隙比。 一 单向压缩分层总和法假设 ①基底附加压力认为是柔性荷载作用于地表；②只计算竖向附加应力作 用使土层压缩变形导致的地基沉降，剪应力略而不计。③土层压缩时，不发生侧 向变形。 0 p 二方法步骤 1. 绘出基础断面图及地基； 2. 应力计算①计算基底压力和附加应力；②计算自重应力和附加应力；③ 按相同比例将应力标于图中，Oz轴，左自重应力，右附加应力。 土力学与基础工程学习笔记三 3. 压缩层下限的确定 应力比法2 . 0 c z σ σ z σz深度附加应力 c σz深度的自重应力。 4. 分层厚度 hi＜0.4bb为基底宽度或1m2m。 成层土层面或地下水水面为当然的分层面。 5. 利用公式计算最终沉降量。 计算公式 ∑∑ ∆ n i ii n i i HSS 11 ε ∑ − n i i li zili H e ee S 11 土力学与基础工程学习笔记三 或 ∑ − n i i li lizii H e ppa S 11 ∑ ∆ n i i si i H E p S 1 li e i 层自重应力平均值对应的孔隙比； zi e i 层自重应力和附加应力平均值之和对应的孔隙比。 例请看讲义页 79 P 思考①不要错；②自重应力要从原始地面算起；附加应力从基础底面 算起；③附加应力计算要考虑相邻基础影响。④查ep曲线精度要高。⑤为什么 是最终沉降量ep曲线是压缩稳定的结果。 0 p 2.7.2 按规范方法计算地基最终沉降量按规范方法计算地基最终沉降量 建筑地基基础设计规范 实际分层总和法的另一种方式；采用侧限压缩条件；平均附加应力系数， 代替附加应力系数；地基沉降计算的深度；提出计算经验系数。 i K 一、基本公式 ∑∑ −− −′ n i iiii Si s n i S ZZ E p SS 1 11 0 1 ααψψψ 式中按分层总和法计算的地基沉降量； S′ s ψ沉降计算经验系数； 对应于荷载标准值基础底面附加压力； 0 p n计算深度范围内划分的土层数； 基础底面至i层土，i-1层土底面的距离； 1 , −ii ZZ 1 , −ii αα基础底面至i层土，i-1层土底面范围内的平均附加应力系数。 实际观测证明 紧密的地基土，上式结果较实测值偏大 较弱地基土，上式结果较实测值偏小 因此规范规定乘以经验系数 s ψ 沉降计算经验系数表 s ψ 表2-9 土力学与基础工程学习笔记三 MPaES 地基底加应力 2.5 4.0 7.0 15.0 20.0 0 p≥ k f 1.4 1.3 1.0 0.4 0.2 0 p≤0.75 k f 1.1 1.0 0.7 0.4 0.2 k f承载力标准值 ∑ ∑ si i i S E A A E i A第i 层土平均附加应力系数沿该土层厚度积分值 Si E相应于该土层压缩模量。 确定受压层下限 ′ ∆ n S≤0.025 ′ ∆∑ n i i S 1 n z∆应满足 计算厚度值m n z∆ B≤2 2＜b≤4 4＜b≤8 8＜b≤15 15＜b≤30 b＞30 0.3 0.6 0.8 1.0 1.2 1.5 规范规定，当基础宽度在1-50m范围内，无相邻荷载影响，基础中点下地 基沉降计算深度也可按下列经验公式计算 ln4 . 05 . 2bbzn− 2.8 应力历史对地基沉降的影响应力历史对地基沉降的影响 2.8.1 沉积土层的应力历史沉积土层的应力历史 一根据先期固结压力划分三类沉积 1. 先期固结压力，土体在固结过程中受到过的最大有效固结压力。 c p 土力学与基础工程学习笔记三 2. 根据与现有压力比可分为三类 1正常固结土 11 hpppcγ 2超固结土＞ c phγ，超固结比 1 P P OCR C ，其值愈大，超固结作用越大 3欠固结土＜ c phγ 3. 确定先期固结压力的方法 经验作图法 1从elogP曲线上找出曲率半径最小的一点A， 过A点作水平线和切线 。 1 A 2 A 2作角1角平分线与曲线中直线与延长线交于B点。 2 A 3 A 3B对应的应力就是先期固结压力。 c p 二由原始压缩曲线确定土的压缩指标 原始压缩曲线由室内压缩试验elogP曲线修正后得出符合现场条件的有 效应力关系曲线。 2.8.2考虑应力历史影响的地基沉降计算考虑应力历史影响的地基沉降计算 一正常固结土的沉降计算 ∵ ∑ n i iiH S 1ε oi i i e e ∆ 1 ε ∴ ∑ ∆ n i li ili ci i i p pp C e H S 1 0 ]log[ 1 式中i层土附加应力平均值； i p∆ log oili ili Ci ep pp Ce ∆ ∆ 土力学与基础工程学习笔记三 li pi层土自重应力平均值； oi e第i层土的初始孔隙比； ci c从原始压缩曲线确定的第i层土的压缩指数。 二超固结土的沉降计算 ①当〉 p∆ 1 ppc− ∑ ∆ n i i ili ci li ci ei oi i n p pp C p p C e H S 1 ]loglog[ 1 log 1 p p Ce c e ′∆ log 1 c c p pp Ce ∆ ′ ′∆ eee′ ′∆′∆∆ 故有。 n S n分层数； ciei CC,第i层土的回弹指数和压缩指数； ci pi层土的先期固结压力。 ②当≤p∆ lc pp − ∑ ∆ m i li ili ei oi i m p pp C e H S 1 ]log[ 1 m分层数； log 1 l e p pp Ce ∆ ∆得。 m S 三欠固结土地基沉降计算 土力学与基础工程学习笔记三 ∑ ∆ m i ci ili oi oi i p pp C e H S 1 ]log[ 1 2.9 略略 2.10 饱和土的有效应力和渗透固结饱和土的有效应力和渗透固结 2.10.1饱和土的有效应力饱和土的有效应力 一饱和土的有效应力原理 太沙基通过试验提出了饱和土的有效应力原理，其表述为饱和土的总应力 σ等于有效应力σ′与孔隙水压力u的和。 u′σσ饱和土的断面， σ总应力； σ′有效应力； u孔隙水压力。 推导设颗粒与颗粒接触面积为，则孔隙水截面面积为 S AA-。 S A 设截面单位面积上的应力为 A P σ，总合力为P 设土颗料承担的荷载为，孔隙水承担的荷载为 S P w p 则有 ws ppp SSs AAuAp−⋅σ S s S A p σ 式两边同除以A得 1 αασ σ σ− − u A AAu A A s sss 土力学与基础工程学习笔记三 *有效应力的概念是单位面积上受到的颗粒力 A ps ′σ α值很小，故α−1中α可忽略不计但 s σ一项很大，故不能省略u′σ 对于非饱和土，1955年毕肖普提出Bishop ][ waa uuxu−−−′σσ 也就是总应力等于土骨架应力和孔隙水压力和孔隙气压力。 a u 现推导上式 设颗粒接触面积 S A 孔隙水面积 w A 孔隙面积 a A α A As ，x A AW ，]1 [x A Aa −α aaWSS uAuAAA⋅σσ 除A得 aa aW S S uxxuu A A u A A A A ]1 [−′ασσσ ][ waa uuxu−−−′σσ x与饱和度有关的参数01之间 当 wx uxS−′σσ得时时,1,1100。 式中u可以是自重引起的静水压力，也可以是外荷载引起的超静水压力。 二自重下的有效应力和孔隙水压力 自重应力的两种力系 有毛细水存在 土力学与基础工程学习笔记三 三渗透固结时的两种力系 渗压模型 pAσA为活塞面积 （弹簧＋水）模拟饱和微单元体土体，弹簧模拟土骨架，水模拟孔隙水 带孔活塞，小孔排水有效应力以弹簧所受力 A ps 表示（ A PS ′σ） 模拟孔隙水和土骨架对外荷作用引起的附加应力的分担作用。 消长作用孔隙水应力消散作用，有效应力增长作用 时0t 0′σ σu 未排水时 0＜t＜α时 u−′σσ u＜σ 排水时 t →∞σσ′ 0u 不再排水时 2.10.2太沙基一维固结理论太沙基一维固结理论 （Terzaghi）一维固结单向固结。 1925年，太沙基单向固结理论研究固结情况，即的关系。 tSt 研究土层中孔隙水压力消散 t 的过程 土力学与基础工程学习笔记三 有效应力增长 0t 0′σ 0 pu 0＜t＜∞ 0≠′σ 0≠u ∞→t 0 p′σ 0u 研究0＜t＜∞过程，的关系 tSt 一基本假设 ①土的情况，土为均质、各向同性，完全饱和。 ②土粒和孔隙水都是不可压缩的，即土的压缩表现为孔隙水排出。 ③土中附加应力沿深度均匀分布。 ④土中水渗流，服从达西定律。 ⑤渗透固结过程中，浮透系数K，压缩系数a不变。 ⑥外荷是一次骤加的。 二一维固结微分方程的建立和求解 1、一维固结微分方程的建立 在饱和土层地面下Z深度处取微单元体，渗流自下向上进行。 外荷一次施加单位时间，流入微单元体水量 q′ 和流出微单元体水量 n q dxdy Z h KKiAAVq ∂ ∂ −⋅′ dxdydZ Z h Z h Kq 2 2 ∂ ∂ − ∂ ∂ −′ ′ 式中K渗透系数； i水力梯度； h透水面下Z深度处的超静水头 A微单元体的过水面积，Adxdy 微单元体的水量变化为dxdydz Z h Kqq 2 2 ∂ ∂ ′ ′−′ 微单元体孔隙体积变化率减少为 1 dxdydz e e tt VV ∂ ∂ ∂ ∂ e天然孔隙比 据固结渗流连续条件，某时间t的水量变化等于同时间t该微单元体土中孔 隙体积的变化率。即 t V qq V ∂ ∂ ′ ′−′ 由于微单元体中土粒体积dxdydz e1 1 为不变的常数，故有 t e ez h k ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ 1 1 2 2 根据压缩定律 土力学与基础工程学习笔记三 σ′−−adadpde 故 t a t e ∂ ′∂ − ∂ ∂σ 12 21 pp ee a − − σ′∂有效应力增量。 整理得出 tz h a eK ∂ ′∂ − ∂ ∂ ⋅ σ 2 2 1 根据有效应力原理up −′ 0 σ 故有 2 2 2 2 1 , Z u Z h t u t W ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′∂ γ σ 与 代入得 t u Z u a eK w ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 1 γ 令 V w C a eK γ 1 ，则有 2 2 z u C t u V ∂ ∂ ∂ ∂ − V C土的竖向固结系数。 初始条件和边界条件为 2. 一维固结微分方程的求解。根据初始条件和边界条件附加应力分布顶 底面排水条件 t0 0≤Z≤H u z σ 0＜t＜∞ Z0 u0 0＜t＜∞ ZH 0 ∂ ∂ Z u 不渗流 t∞ 0≤Z≤H U0 根据初始条件和边界条件，采用分离变量法得 ∑ ⋅ − xm m Vztz T m H zm m u 1 22 4 exp 2 sin 14ππ σ π 式中m正奇整数1，3，5 e自然对数的底 Tv竖向固结时间因数， 2 H tC T V V ，竖向固结系数 V C H压缩土层最远排水距离 单面排水取H土层厚 双面排水取H/2。 三固结度计算 土力学与基础工程学习笔记三 定义 C ct S S U 式中t时刻地基沉降； ct S 地基最终沉降。 C S ∫∫∫ − − 0 1 0101 0 udz H pH e a dzup H e a dz H e a Sz ct σ PH e a SC 1 ∴ PH udz H PH udz H PH S S C ct∫∫ − − 0 1 0 t时间固结度，即t时刻有效应力面积与最终∞t时有效应力面积的比值。 最终时刻有效应力面积，即为应力面积。∵此时u0 上式代入u的解可得 4 exp 18 1 22 , 3 , 1 22 V m m z T m m U π π α −− ∑ L v T vz eTU 4 2 2 2 2 8 1 4 exp 8 1 π π π π − −−− 注上式是荷载作用下，附加应力均匀分布时的结果，当其它分布，如 等，已建立固结度和关系曲 z U V T 土力学与基础工程学习笔记三 1 0 z z σ σ α，,, 0αααα＜1，α＞1 查表得到。双面排水H取 vz TU 2 H 例题例题 28 KPap120 0 0 . 1 0 e 1 3 . 0 − MPaa年/8 . 1 cmK 求①单向排水，加荷一年沉降量； ②双向排水，加荷一年沉降量； ③沉降达140mm所需时间。 解①求 C S 求 wa e CV γ 1 2 H t TV ε E U CC SUtS⋅ ②双向排水H 2 H