弹塑性力学与有限元(吕文阁).pdf

弹塑性力学与有限元 吕文阁 0.1 引子 通过几个问题引入有限元思想。 问题1 FL L EA   F F L 已知E，A，F，L EA FLk L L    21 F2 F1 δ2 δ1 x 21  21 FFF   21 Fk 112 Fkk 212 Fkk  11 22 Fkk Fkk             KF 刚度矩阵 节点位移向量 节点载荷向量 111211 212222 kkF kkF        1111122 Fkk 2211222 Fkk 如果要δ11，δ20 111 kF 212 kF 如果要δ10，δ21 121 kF 222 kF 刚度矩阵中系数的意义 刚度矩阵矩阵中的系数 kij为在节点 j 产 生单位变形时在节点 i 所需施加的载荷。 问题2 F x F y FL L EA   EA FLk L L    F3 F1 δ3 δ1 x δ2 δ4 F4 F2 y α δ δδ 1cos α F1-Fcos α FL EA   2 11 cos EA F L   F F F1 δ1 F2-Fsin α 21 cossin EA F L   2 11 cos EA F L   21 cossin EA F L   2 31 cos EA F L    41 cossin EA F L    2 11 2 2 3 4 cos000 cossin0000 cos0000 cossin0000 F F EA FL F                     KF δ1 1 2 22 3 2 4 0cossin000 0sin00 0cossin000 0sin000 F F EA FL F                     KF δ2 2 1 2 2 33 4 00cos00 00cossin00 00cos0 00cossin00 F F EA FL F                     KF δ3     KF δ4 1 2 2 3 2 44 0000cossin 0000sin 0000cossin 000sin F F EA FL F                 δ1 δ2 δ3 δ4     KF 22 11 22 22 22 33 22 44 coscossincoscossin cossinsincossinsin coscossincoscossin cossinsincossinsin F F EA FL F                  问题3 F 节点2节点1 节点4节点3 杆2 杆1 杆3 F 杆 1 2 3 编号 局部整体 11 22 12 23 13 24 刚度矩阵中系数的意义 刚度矩阵矩阵中的系数 kij为在节点 j 产 生单位变形时在节点 i 所需施加的载荷。 如分别在节点 1、2、3、4 产生δ1、 δ 2 、δ 3 、δ4的变形，在节点 1所需施加 （其他杆作用）的载荷为 FF 111122 kk 节点1 杆1 11 111122 kk 11 111122 kkF 由节点1的平衡条件 FF 如分别在节点 1、2、3、4 产生δ1、 δ 2 、δ 3 、δ4的变形，在节点 2所需施加 （其他杆作用）的载荷为 节点2 杆2杆1 F F F F 节点2 杆2 杆1 节点2 11 211222 kkF 22 222233 kkF  1122 211222222233 0kkkk 则有 33 433444 kkF 同样 2233 322333333344 0kkkk 11 11112 1122 221222223 2233 332333334 33 44344 00 00 00 00 Fkk kkkk kkkk Fkk                      另一个思路   11 1 1112 11 1 2 2122 3 4 00 00 0000 0000 kk kk K              1 11121 21222 kk K kk       形成单元刚度矩阵 扩展单元刚度矩阵   1 22 2 22223 22 33233 4 0000 00 00 0000 kk K kk              2 22232 23333 kk K kk         1 3 2 33 33343 33 43444 0000 0000 00 00 K kk kk              3 33343 43444 kk K kk             123 KKKK 11 111112 1122 2221222223 2233 3332333334 33 444344 00 0 0 00 Fkk Fkkkk Fkkkk Fkk                      集成整体刚度矩阵 11 1112 1122 221222223 2233 332333334 33 444344 000 00 00 00 Fkk kkkk kkkk Fkk                     加入边界条件，位移条件，载荷条件 求解 111KN 2 1 L L 3 22.2KN 问题4 v1,Fv1 2 1 3 u1,Fu1 v3,Fv3 u3,Fu3 v2,Fv2 u2,Fu2 杆 1 2 3 Am2EPaLm 0.003236.9E102.54 0.0038720.7E102.54 0.0025820.7E103.59 各杆的参数     2 1 2 3 3 0000 0101 87.7 0000 0101 u v K u v              2 2 2 1 1 1010 0000 315 1010 0000 u v K u v        形成单元刚度矩阵     1 3 1 3 3 1111 1111 74.4 1111 1111 u v K u v          扩展单元刚度矩阵     1 1 1 2 2 3 3 000000 000000 000000 87.7 000101 000000 000101 u v u K v u v                 1 1 2 2 2 3 3 101000 000000 101000 315 000000 000000 000000 u v u K v u v               1 1 3 2 2 3 3 110011 110011 000000 74.4 000000 110011 110011 u v u K v u v              集成整体刚度矩阵 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 31574.474.4315074.474.4 74.474.40074.474.4 3150315000 00087.7087.774.4 74.474.40074.474.4 74.474.4087.774.487.774.4 u v u v u v F u F v F u vF u F v F                               加入边界条件 位移条件载荷条件 1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 u v u v u v       1 1 2 2 3 3 22.2 111 u v u v u v F F F F F F       2 2 3 3 1 1 22.2 31574.474.4315074.474.4 111 74.474.40074.474.4 31503150000 00087.7087.774.40 74.474.40074.474.40 74.474.4087.774.487.774.40 u v u v u v F F F F                              1 1 389.474.422.2 74.474.4111 u v       2 2 3 3 1 1 3150 00 74.474.4 74.474.4 u v u v F F u vF F                 111KN 21 L 22.2KN 作业1 3 杆 1 2 3 Am2EPaLm 0.003236.9E102.54 0.0038720.7E102.54 0.0025820.7E103.59 各杆的参数 2 1 1 1 3 10KN 4 作业2 各杆的A和E相同 总结 杆系的有限元方法 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题 要点要点 建立平面问题的基本方程建立平面问题的基本方程 包括包括平衡微分方程平衡微分方程；；几何方程几何方程；；物理方物理方 程程；；边界条件的描述等边界条件的描述等 一一平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 1.平面应力问题平面应力问题 1 几何特征几何特征 x yy z t b a 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多方向的尺寸小得多。。 btat , 平板平板 如如板式吊钩板式吊钩，，旋转圆盘旋转圆盘，，工字形梁的腹板等工字形梁的腹板等 2 受力特征受力特征 外力外力（（体力体力、、面力面力））和和约束约束，，仅仅平行于板面作平行于板面作 用用，，沿沿 z 方向不变化方向不变化。。 x yy z t b a 3 应力特征应力特征 如图选取坐标系如图选取坐标系，，以板的中面以板的中面 为为xy 平面平面，，垂直于中面的任一直线垂直于中面的任一直线 为为 z 轴轴。。 由于板面上不受力由于板面上不受力，，有有 0 2   t zz  0 2   t zzx  0 2   t z zy  因板很薄因板很薄，，且外力且外力 沿沿 z 轴方向不变轴方向不变。。 0 z  0 zx  可认为可认为整个薄板的整个薄板的 各点各点都有都有 由剪应力互等定理由剪应力互等定理，，有有 0 zy  0 yzzy  0 xzzx  结论结论 平面应力问题只有三个应力分量平面应力问题只有三个应力分量 ,yx xyyxxy  ,yx xx  ,yx yy  x y xy  x  yx  y  xy  yx  x  y  应变分量应变分量、、位移分量也仅为位移分量也仅为 x、、y 的函数的函数，，与与 z 无关无关。。 2.平面应变问题平面应变问题 1 几何特征几何特征 水坝水坝滚柱滚柱 厚壁厚壁圆筒圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，， 且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和 尺寸不变化尺寸不变化。。 近似认为无限长近似认为无限长 2 外力特征外力特征 外力外力（（体力体力、、面力面力））平行于横截面平行于横截面作作 用用，，且且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。。 3 变形特征变形特征 如图建立坐标系如图建立坐标系以任一横截面为以任一横截面为 xy 面面，，任一纵线为任一纵线为 z 轴轴。。 设设 z方向为无限长方向为无限长，，则则, u , x  , x  沿沿 z 方向都不变化方向都不变化，， 仅为仅为 x，y 的函数的函数。。任一任一横截面均可视为对称面横截面均可视为对称面 水坝水坝 因为任因为任一一横截面均可视为对称面横截面均可视为对称面，，则有则有 0w 所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面平面。。 平面位移问题平面位移问题 0 z  0 yzzy 0 xzzx  ,yx yy  ,yx xx  ,yx xyyxxy  平面应变问题平面应变问题 注注 1平面应变问题中平面应变问题中 0 z  但是但是，， 0 z  yxz  2平面应变问题中应力分量平面应变问题中应力分量 0,,, zyzxxyzyx  仅为仅为 x y 的函数的函数。。 可近似为平面应变问题的例子可近似为平面应变问题的例子 煤矿巷道的变形与破坏分析煤矿巷道的变形与破坏分析；；挡土墙挡土墙；；重力坝等重力坝等。。 如如图所示三种图所示三种情形情形，，是否都属平面问题是否都属平面问题是平是平 面应力问题还是平面应变问题面应力问题还是平面应变问题 平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题 非平面问题非平面问题 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题 √ 3.平面问题的求解平面问题的求解 问题问题 已知已知外力外力（（体力体力、、面力面力）、）、边界条件边界条件，， 求求 xyyx ,, xyyx ,, vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数 需建立三个方面的关系需建立三个方面的关系 （（1））静力学关系静力学关系 （（2））几何学关系几何学关系 （（3））物理学关系物理学关系 形变形变与与应力应力间的关系间的关系。。 应力应力与与体力体力、、面力面力间的关系间的关系；； 形变形变与与位移位移间的关系间的关系；； 建立边界条件建立边界条件 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程 （（1））应力边界条件应力边界条件；； （（2））位移边界条件位移边界条件；； 二二 平面问题基本方程平面问题基本方程 xy  x  yx  y  P B A C x y O D X Y dy y yx yx      dx x xy xy      dx x x x      dy y y y      dx x xy xy      平面问题的平衡微分方平面问题的平衡微分方 程程 0 0             Y yx X yx yxy yx x    （2） 说说 明明 （（1））两个平衡微分方程两个平衡微分方程，，三个未知量三个未知量 yxxyyx ,, 超静定问题超静定问题，，需找补充方程才能求解需找补充方程才能求解。。 （（2））对于平面应变问题对于平面应变问题，，x、、y方向的平衡方程相同方向的平衡方程相同，，z 方向自成平衡方向自成平衡，，上述方程上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；； （（3））平衡方程中不含平衡方程中不含E、、v，方程与材料性质无关方程与材料性质无关 （（钢钢、、石料石料、、混凝土等混凝土等）；）； （（4））平衡方程对平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，，包括边界包括边界。。 xy  x  yx  y  P B A C x y O D X Y dy y yx yx      dx x xy xy      dx x x x      dy y y y      xyyN lmY yxxN mlX Ylm Xml sxysy sxysx     平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件 斜面上的应力斜面上的应力 x y O P P A dx B dy A B u v   dx x v v    dy y u u    dx x u u    dy y v v    y u x v y v x u xy y x                几何方程几何方程 说明说明 （（1）） 反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关间的关 系系，，是弹性力学的基本方程之一是弹性力学的基本方程之一。。 （（2））当当u、、v已知已知，，则则可完全确定可完全确定；；反之反之，，已知已知，， 不能确定不能确定u、、v。。 xyyx ,, xyyx ,, （（∵∵积分需要确定积分常数积分需要确定积分常数，，由边界条件决定由边界条件决定。）。） （（3））xy  以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，，增大为负增大为负。。 2.刚体位移刚体位移 物体无变形物体无变形，，只有刚体位移只有刚体位移。。 即即 ,0, 0, 0时当 xy yx       xvxf yuyf   02 01 0    x u x  0    y v y  0       y u x v xy  a b c 由由a、、b可求得可求得 2 1 xfv yfu   d 将将d代入代入c，，得得 0 21  dx xdf dy ydf 或写成或写成 dx xdf dy ydf 21  ∵∵上式中上式中，，左边仅为左边仅为y的函数的函数，， 右边仅右边仅x的函数的函数，，∴∴两边只能等两边只能等 于同一常数于同一常数，，即即  dy ydf 1 d 积分积分e ，，得得  dx xdf 2 e 其中其中，，u0、、v0为积分常数为积分常数。。 （（x、、y 方向的刚体位移方向的刚体位移），），代入代入（（d））得得 10 xvv yuu     0 0 刚体位移表达式刚体位移表达式 讨论讨论 xvv yuu     0 0 刚体位移表达式刚体位移表达式 （（1）） 2222 yxvu ,0, 0 0 时当vu 仅有仅有x方向平移方向平移。。 （（2）） , 0, 0 vuu则 ,0, 0 00 时当uv 仅有仅有y方向平移方向平移。。, 0, 0 uvv则 （（3））,0, 0 00 时当uv      xv yu   则 x y O P  y x r r x y  x y x y    tantan 说明说明OPr  P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 ω 绕绕O点转过的角度点转过的角度（（刚性转动刚性转动）） 物理方程物理方程 建立建立平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称物理方程也称本构方程本构方程、、本构关系本构关系、、物性方程物性方程。。 1.各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下在完全弹性和各向同性的情况下，，物性方程即为材料物性方程即为材料 力学中的力学中的广义虎克广义虎克（（Hooke））定律定律。。 1 zzxy v E    1 xxxz v E  1 yyzx v E   xyxy G  1  yzyz G  1  zxzx G  1  （13） 其中其中E为拉压弹性模量为拉压弹性模量；；G为剪切弹性模量为剪切弹性模量；；v为侧向收为侧向收 缩系数缩系数，，又称泊松比又称泊松比。。 21 E G v   （（1））平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程 1 zzxy v E    1 xxxz v E  1 yyzx v E   xyxy G  1  yzyz G  1  zxzx G  1  由于平面应力问题由于平面应力问题中中 1 yyx v E  1 xxy v E  21 xyxy v E    （15） 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程物理方程物理方程 注注 1 0 z  zxy v E   2 物理方程的另一形式物理方程的另一形式 2 1 yyx E v v   2 1 xxy E v v   21 xyxy E v   0 zxyzz  （（2））平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程 由于平面应变问题由于平面应变问题中中 2 1 1 xxy vv Ev     21 xyxy v E    （16） 平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程物理方程物理方程 注注 2 平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式物理方程的另一形式 2 1 1 yyx vv Ev     由由式式（（13））第三式第三式，，得得 zxy v  0 zxyzz  1 平面应变问题中平面应变问题中 0 z  ，，但但 0 z  zxy v  1 zzxy v E    1 xxxz v E  1 yyzx v E   xyxy G  1  yzyz G  1  zxzx G  1  （（3））两类平面问题物理方程的两类平面问题物理方程的转换转换 2 1 1 xxy vv Ev     21 xyxy v E    （16） 平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程物理方程物理方程 2 1 1 yyx vv Ev     1 yyx v E  1 xxy v E  21 xyxy v E    平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程物理方程物理方程 （15） 1 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题 材料常数的转换为材料常数的转换为  1 v v 2 平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题 材料常数的转换为材料常数的转换为 2 1 E v  1 v v 2 12 1 Ev v   EE 边界条件边界条件 1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程 （（1））平衡方程平衡方程 0 0             Y yx X yx yxy yx x    （（2）） （（2））几何方程几何方程 y u x v y v x u xy y x                （（9）） （（3））物理方程物理方程 1 xyy E  1 yxx E  xyxy E    1 2  （15） 未知量数未知量数 vu xyyxxyyx ,,,,,,, 8个个 方程数方程数8个个 结论结论在在适当的适当的边界条件边界条件下下，，上述上述8个方程可个方程可 解解。。 2.边界条件及其分类边界条件及其分类 边界条件边界条件建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系间的关系。。 x y O q P u S  S u SSS  是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节建立的重要环节。。 边界分类边界分类 （（1））位移边界位移边界  S u S （（2））应力边界应力边界 （（3））混合边界混合边界 三类边界三类边界 （（1））位移边界条件位移边界条件 位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us、 vs表示边界上的位移分量表示边界上的位移分量，，表表 示边界上位移分量的已知函数示边界上位移分量的已知函数，，则位移边界条件可则位移边界条件可 表达为表达为 vu,      vv uu s s （（17）） 平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件 说明说明 ,0时当 vu称为固定位移边称为固定位移边 界界。。 x y O q P u S  S u SSS  （（2））应力边界条件应力边界条件 给定面力分量给定面力分量边界边界 应力边界应力边界 YX, x y O dx dy ds PA B XN YN N yx  x  y  xy  由由前面斜面的应力分析前面斜面的应力分析，，得得 xyyN lmY yxxN mlX 式中式中取取YYXX NN ,  s xyxy s yysxx ,, 得到得到 Ylm Xml sxysy sxysx     （（18）） 式中式中l、、m为边界外法线关于 为边界外法线关于 x、、y 轴的方轴的方 向余弦向余弦。。如如 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件 垂直垂直 x 轴的边界轴的边界 . 1, 0ml 垂直垂直 y 轴的边界轴的边界 . 0, 1mlYX s xysx , XY s ys s y , 例例1 如图所如图所示示，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 x y a h h q 1, 0x      0 0 s s v u 0, 0      x v y u 2 , ax  0, 1ml Ylm Xml sxysy sxysx     0, 0 s xysx  3, hy 1, 0ml  q s xy s y s xysx   0 1 0 10   0, 0 s xy s y  4, hy 1, 0ml  00 1 0 10   s xy s y s xysx   0, s xy s y q 说明说明 x 0 的边界条件的边界条件，，是有矛是有矛 盾的盾的。。由此只能求出结由此只能求出结 果果 . 0, 0vu 0, 0YX qYX , 0 0, 0YX 内容回顾内容回顾 1. 两类两类平面问题平面问题 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题 几何特征几何特征; 受力特征受力特征; 应力应力特征特征。。 几何特征几何特征; 受力特征受力特征; 应变应变特征特征。。 yxxyyx ,, yxxyyx ,, x yy z t b a 水水 坝坝 滚滚 柱柱 位移边界条件位移边界条件 2.平面问题的基本方程平面问题的基本方程 （（1））平衡方程平衡方程 0 0             Y yx X yx yxy yx x    （（2）） （（2））几何方程几何方程 y u x v y v x u xy y x                （（9）） （（3））物理方程物理方程 1 xyy E  1 yxx E  xyxy E    1 2  （15） （（4））边界条件边界条件 1）） 2）） Ylm Xml sxysy sxysx     vvuu ss , 应力边界条件应力边界条件 平面应力问题平面应力问题 例例2 如图所如图所示示，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 1 A B C x y  h px p0 l AB段段（（y 0）） 1, 0ml 0 , 0p l x xpYX 代入边界条件公式代入边界条件公式，，有有 0sincos 0cossin     yxy xyx 0 0 p l x xp y y    0 0  y xy  2 BC段段（（x l））0, 1ml 0|, 0| lxlx vu 0, 0        lx lx x v y u 3AC段段（（y x tanβ）） sin90cos,cos  xNl cos,cosyNm 0 1 0 10 xp yxy xyx     N  例例3 图示水坝图示水坝，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 左侧面左侧面sin,cosml sinyY cosyX  由应力边界条件公式由应力边界条件公式，，有有 Ylm Xml sxysy sxysx     sincossiny xyy  cossincosy xyx  右侧面右侧面sin,cosml tanyx tanyx  0YX 0cossin xyyx  0sincos xyx   例例4图示薄板图示薄板，，在在y方向受均匀拉力作用方向受均匀拉力作用，， 证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应 力存在力存在。。 解解 平面应力问题平面应力问题，，在在 AC、、AB 边界上边界上 无面力作用无面力作用。。即即 0YX AB 边界边界 111 sin,cosml 由应力边界条件公式由应力边界条件公式，，有有 Ylm Xml sxysy sxysx     0cossin 0sincos 11 11   xyy xyx   （（1）） AC 边界边界 12 122 sin coscos     m l 代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式，，有有 0cossin 0sincos 11 11   xyy xyx   （（2）） ∵∵A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边的边 界界，，∴∴满足式满足式（（1））和和（（2），），解解 得得 0 xyyx  ∴∴ A 点处无应力作用点处无应力作用 例例5图示楔形体图示楔形体，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 图示构件图示构件，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 例例6 例例5图示楔形体图示楔形体，，试写出其边界条件试写出其边界条件。。 0YX sin90cos  l Ylm Xml sxysy sxysx     cos180cos  m 上上侧侧 0cossin 0cossin     sysxy sxysx 下侧下侧 , 0X 0l1m qY q sysxy sxysx   10 0 10   0 sxy  q sy  图示构件图示构件，，试写出其应力边界条试写出其应力边界条 件件。。 例例6 上侧上侧 , qX  0l1m 0Y 0 10 10   sysxy sxysx q   q sxy  0 sy  Ylm Xml sxysy sxysx     , 0