混凝土多轴弹塑性损伤本构模型.pdf

2 0 0 9 年 第 5 期 【总 第 2 3 5 期 Nu mb e r 5 i n 2 0 0 9 T o t a l No ． 2 3 5 混 凝 土 Co n c r e t e 理论研究 THE0RE TI CAL RES EARCH d o i 1 0 ． 3 9 6 9 ／ j ． i s s n ． 1 0 0 2 3 5 5 0 ．2 0 0 9 ．0 5 ． 0 1 2 混凝土多轴弹塑性损伤本构模型 张衡 a 。魏德敏 a ,b 华南理工大学 a ． 土木工程系；b ． 亚热带建筑科学国家重点实验室，广东 广州 5 1 0 6 4 0 摘要 建立了混凝土的多轴弹塑性损伤本构模型。 考虑到混凝土在受拉和受压荷载作用下的不同破坏机理， 将应力张量分解成受拉和 受压两部分， 定义了塑性屈服函数， 从而达到考虑混凝土塑性变形的目的。在连续损伤力学理论的框架内定义了相应的损伤变量， 并分别 给出了损伤准则， 以描述材料的不同损伤过程。对混凝土的单 ／ 双轴受拉和单／ 双轴受压四种加载情形进行了数值计算， 并与相关的试验 对比， 结果验证了模型的正确性及有效性。 关键词 混凝土；损伤力学；损伤准则；本构模型 中图分类号 T U 5 2 8 ．0 1 文献标 志码 A 文章编号 1 0 0 2 3 5 5 0 2 0 0 9 0 5 0 0 3 5 一 O 4 Mul t i - - a xi al elas t o- - pl a s t i c damag e c ons t i t ut i ve m od el f or c onc r e t e ZHANG He n g ． W EI De - ra in a ． De p a r t me n t o f C i v i l E n g i n e e ri n g ； b ． S t a t e Ke yL a b o r a t o r yo f S u b t r o p i c a l B u i l d i n gS c i e n c e ， S o u t hC h i n a Un i v e r s i t yo f T e c h n o l o g y ， Gu a n g z h o u 5 1 0 6 4 0 ， C h i n a Abs t r a c t A mult i a x i a l e l a s t o p l a s t i c d a ma g e c o n ai t u t i v e mo d e l f o r c o n c r e t e i s d e v e l o pe d．Th e e ffe c t i v e s t r e s s t e n s o r i s d e c o mp o s e d i n t o t h e t e n s i l e a nd the c o mp r e s s i v e p a r t s d u e t o t h e d i ffe r e n t f a i l me c h an i s m s o f c o n c r e t e u nd e r t e n s i o n a n d c o mp r e s s i o n ． A p l a s t i c y i e l d f un c t i o n i s i ntr o d u c e d t o a c c o u n t f o r t h e pl a s t i c b e h a v i o r s o f c o n c r e t e ． W i thi n t h e f r a me wo r k o fc o n t i n u u m d a ma g e m e c h a n i c s ， the d a ma g e v a ria bl e s a r e d e fi n e d wi t h d am a g e c ri t e ria t o c h a r a c t e r i z e t h e d e v e l o p me n t o f d a ma g e o fc o n c r e t e i n t e n s i o n an d c o mp r e s s i o n r e s p e c t i v e l y ． Nu m e ric a l c a l c u l a t i o ns o f t h e p r e s e n t mo d e l ar e c o n d u c t e d f o r c o n c r e t e u n d e r t h e u n i a x i a l t e n s i o n． t h e u n i a x i a l c o mp r e s s i o n， the b i a x i a l t e n s i o n an d the bi a xi a l c o mp r e s s i o n， c o mp a ri ng wi t h the r e l ie d e x p e rime n t a l d a t a ．Re s u l t s v e rif y the v a l i d a t i a o fthe p r o p o s e d mo d e 1 ． Ke y wor ds c o n c r e t e da ma g e me c h a n i c s ； d a ma g e c ri t e ria； c o n s t i t u t i v e mo d e 1 0 引言 混凝土因其良好的可塑性和承压性等， 现已广泛应用于土 木工程中。这就要求人们能够更加清楚地了解混凝土的受荷载 性能。混凝土在受荷载作用时会表现出刚度降低 ， 单边效应和 不可恢复变形等特征。为了体现上述特征， 人们提出了结合各 种力学理论的混凝土本构模型 ， 其中最有效的是弹塑性理论和 损伤理论。混凝土材料在侧限条件下受压将产生不可逆变形 ， 并表现出延性行为。塑性理论能够很好地反映混凝土这部分的 性质， 相关模型可见文献【 1 2 】 ， 但该类模型无法体现混凝土刚 度下降。损伤理论能描述材料内部缺陷的发展， 基于此理论的 模型能反映混凝土刚度下降的特点， 但不能代替塑性理论单独 解释材料 的不 可逆变形 ， 相关模型见文献[ 3 4 】 。 为了发挥塑性理论和损伤理论各 自的优点， 人们将二者结 合应用， 从而衍生出混凝土的弹塑性损伤本构模型。在此类模 型中通常认为塑性部分是各向同性强化的， 而损伤部分则可以 是各向同性的或者各向异性的。由于各向同性损伤以材料的宏 观参量表示损伤， 可直接与塑性理论结合， 故此类模型发展很 快， 应用广泛 ， 如 L e e 等人的模型[ 5 6 ] 。 但是混凝土的不均匀性 致使各向同性损伤无法准确的解释材料破坏的微观机理， 考虑 材料的各向异性。但是因各向异性损伤与塑性理论无法直接结 收稿 日期 2 0 0 8 1 2 - 2 5 基金项目国家自然科学基金项目 9 0 8 1 5 0 1 2 合， 导致此类模型发展缓慢， 目前应用范围不广 ， 如C a r o l 模型 。 本文根据混凝土受荷载时主要是拉裂和压碎两种破坏模 式的特征[S l ， 引入受拉和受压塑性屈服函数。 将有效应力分解成 受拉和受压两部分， 定义了材料弹塑性 He l mh o l t z自由能， 从而 在热力学框架内建立了混凝土的弹塑性损伤本构模型。随后给 出了材料的损伤准则及受拉和受压损伤变量的演化法则。对此 本构模型进行数值模拟 ， 其结果与相关试验吻合较好 ， 从而证 明本文模型的正确和有效。 1 弹塑性损 伤本构模 型 1 ． 1塑性 由于混凝土在受拉和受压荷载作用时表现出截然不同的力 学行为， 本文对两种加载隋况分别考虑， 并以上标“ ” 和“ 一 ” 表示。 本文采用 D r u c k e r - P r a g e r 塑性势函数 P 和屈服函数 厂 分别 为 {9 - ‘ 0 1 、 厂 3 1 1 产 ， K [ K ] 一 1 吨 c 一 K ≤0 2 式中 ， 。有效应力张量 的第一不变量； ． 有效应力偏张量 的第二不变量； 3 5 ≥ 考虑协 睡 ， 胀的参数， 又 混凝土， 可取O -2 ≤ ≤O ． 3 1 ／ 2 Ma c a u l a y函数 ； 最大有效主应力 ； c ， c 材料内部黏结力。 参数 和 c可写成如下形式 丝 3 1 一 一 1 a 4 c ， ， 5 c K 厂 一 K 6 式中 和 ‘ 初始等双轴和单轴受压屈服应力。 试验发现 ／f 0 - 在 1 ． 1 0 - 1 ．2 0 之间， 此时0 ． 0 8 ≤ ≤o 1 2 d ， 为有效应力空间内因塑性强化和软化导致的单轴演化应力。 根据流动法则， 有效塑性应变率言 可表示为 嚣 手 赢 枷 ㈩ 式中 6 广一 K r o n e c k e r d e l t a符号 ； 一 塑性乘数。 可由下面屈服函数的一致性条件确定 盟 盟 k - o d 盯 d K 由广义胡克定律 Co ∞‘ 式中 C ㈨ 广材料未损伤时的四阶弹性刚度张量； 卜有效弹性应变增量 ， 可表示为 ； 一 打 式中 一有效应变。因此， 式 9 可写成 ， c 的变化率定义为 H 式中 月 强化函数嘲 日 a 一 一 1 - w 。 d r 衄 式 中 权重 因子 ； 一 和 一最大和最小有效 主应力 。 由式 2 和 8 可得 h p u 式中 舻 可为 婴 0 0 “ o ． 婴 O0“ l d 叫 嚣 d ，。 d ‘ 1 因此 ， 式 1 1 可写成 式中 c Ⅲ 弹塑性切线刚度张量， 可写成 一 1 ． 2 损 伤 1 ． 2 ． 1 H e l mh o l t z自由能 3 6 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 等效应变假设认为 C a u c h y 应力 d r 损伤后状态 作用在损 伤材料上引起的应变 与有效应力 未损伤状态 作用在相 应的无损伤材料上引起的应变 等价。 据此可将 分解成弹性 部分 ； 和塑性部分 F ， 且有下式成立 C 1 一 c 。 1 9 式中 一损伤变量张量； 和 C 材料损伤前和损伤后的卸载刚度。 为了反映拉压应力对混凝土的不同影响，将 分解成受拉 和受压两部分， 分别以 和 一 表示⋯ 】 ； 。 ’ 。 pq 。 _ 【 一 瞄] 式 中 抽 争 晒 四 阶 单 位 张 量 ； 尸 矗 广四阶投影张量， 可表示为 2 O 2 1 2 2 ‰ ∑H t n ； n t ， 2 3 ％ ， 岫一 ％ 2 4 式中 有效主应力张量 的第 7 - 个主应力 对应的 He a v i s i d e函数； n 对应 于 的方 向向量。 以各向同性损伤为例， 假设材料的弹性 自由能和塑性 自由 能不耦合。以标量损伤变量 西代替 ， 则材料的总He l r n h o l t z自 由能 H F E 可以表示为 ， ， c ， ， ， ， 2 5 式中 e和p 弹性量和塑性量； ， c 一强化参数张量； ， b 和 K ， 弹性 自由能和塑性 自由能。 ， 可定义为 t， ， ， 咖 J 0 d c 咖 2 6 将式 1 9 代入式 2 6 ， 可得 ， 1 一 2 7 其 中 s ， 0 C o 2 8 连续损伤力学[ 1 2 】 给出了材料的损伤本构模型 卿 卜 2 9 o 材料 的塑性 H F E ， K 可定义 为 ， 扩 ， ， 1 o - d 3 0 无损伤 状态下 的塑性 HF E 坩 ， 可写成 有效应力 张量 的 函数 ， 即 ， K f d 3 1 由式 2 9 可得 妒 K ， b 1 一 ， 3 2 混凝土在受拉时， 塑性变形很小， 因此可假定 O ， 仅考虑 受压时的 根据等效应变假定， d d ，将式 7 代入式 3 1 ， 可得 d D ， c 一 3 ～ ／ j _2 3 3 J 式中 J-- - 1-s 一 i 一 受压有效偏应力i 一 的第二不变量； 和， 和 一 的第一不变量。 由式 2 5 可得材料总 H F E自由能为 s ， 1 - 0 一 ， ， ， 1 一 一 s ， K 式 中 串 ∥ C 一 。 S ～ 式 3 7 中 一 可由式 2 8 展开成 t／／0e一 击 歹 f D ] 式中 一初始泊松比。 此时材料的初始刚度张量 ． 可写成 Co , C o 旷 [ 辘t嘲 嘲 ] 因此在受压状态下， 可写成 与 PV ‘ ， n u i 『1 1 ． 2 ． 2 损伤准则 本文取损伤能量释放率 y 为 y 一 、 ／ 、 ／ 在数值计算中， 初始条件可取材料初始无损伤状态时的损 伤变量， 即扩 0 ， 从而得到 西 G r 5 5 函数 G r 将影响素混凝土受单轴荷载作用时的软化段 ， 本文采用 Ol i v e r 等㈣提出的形式 咖 G e x p 1 一 】 5 6 b 一 G 一 r * 1 一 { - 1 - A 一 A e x p [ 8 1 一 r - 川 5 7 式中 样4 参数， 可由单轴受压的试验进行虞拟， 口由下式确定 [器 一 I 0 5 8 式中 z 广～材料的特征长度； G F 材料的断裂能。 如此可从式 5 4 ， 式 5 6 和式 5 7 得到损伤变量 扩的演化 4 0 方程为 ．．． 西 也≥ 0 其中， 5 9 ⋯ 旦 唧 一 6 0 4 2 1 - A ～ 番 A -B - e x p 一 6 1 式中 材料的初始柔度张量。 混凝土材料损伤准则可由损伤增长函数 l ∈ 描述 n ， 本文 将其写成如下形式 y ， r y - r ≤0 4 3 y ， r G Y 一 G 产 ≤0 4 4 式中 G 单调递增函数， 可作为损伤势函数； r 当前损伤阈值， 其初始值 r n 呵 表示为 ￡ o_ 4 5 Eo 盯 、 ／ 半 4 6 1 ． 2 ． 3 演化法则 损伤变量的演化法则可定义为 如 4 7 一 d 】 ≥0 4 8 式中 ， I 损伤一致性参数。 模型在损伤区域内的响应由损伤一致性条件表征， 该条件 可写成 K u h n - T u c k e r 形式 ≤0 ， 0 ， 且 f 0 』 l 损伤发展 当 0 时， 损伤增长， 此时 O 。根据损伤一致性条件， 可得 Y ， r 0 5 0 从而有 r y 5 1 如 】 t ≥O 5 2 因此 ， 对于任意时刻 n ， r 可写成为 r m a x 、 ro , rE『 m ax 1y 5 3 将式 4 8 和式 5 1 代人式 4 7 ， 可得 i 辛 r 5 4 2 数值计算 本节分别对普通混凝土单轴和双轴荷载作用下的应力一 应 变关系进行数值模拟， 并且与相关试验结果进行对比， 即K a r s a i 1 和 J i r s a 的单轴加载试验㈣以及 Ku p f e r 等人的双轴加载试验 。 参照文献【 9 】 ， 材料参数为 E o 3 1 ． 7 G P a ， V o 0 ． 2 ， o r 0 ． 1 2 ， 0 ．2 ， fi 3 ． 4 8 MP a 2 0 MP a ， 1 5 o mm， G F 2 N ／ m， G v - l 7 6 5 N ／ m。 2 ． 1 单轴受拉 图 1 a 给出了混凝土在单轴受拉情况下本文模型与 K a r s a n 等试验对 比的结果。总体上本文给出模型略低于试验值 ， 峰值 应力前两者吻合较好 ， 峰值应力后本文模型的应力与试验值有 较大差别。但是本文模型能在较大范围内模拟混凝土单轴受拉 时的变形行为。 2 ． 2单轴 受压 混凝土单轴受压时本文模型预测值与 K a r s a n等试验数据 的对比如图 1 b 所示。 在弹性阶段 ， 二者吻合很好 ， 后续响应略 有不同； 在大变形时， 应力预测值略高于试验值。总体而言， 本 文模型能够很好的模拟混凝土单轴受压时的响应。 2 ． 3双轴 受拉 本文考虑混凝土双轴等应力加载的特殊情况。 图 2 a 所示 双轴受拉时模型结果与试验值的对比。与单轴受拉情形类似， 曲 线在弹性和大变形阶段吻合较好， 中间段有较大差别 ， 这主要 因为双轴受拉时， 混凝土材料内力分布复杂， 影响因素较多， 很 难精确模拟此时的响应。与单轴受拉相比， 双轴受拉时混凝土 的峰值应力和峰值应变均有不同程度的减小， 但是在软化段应 力减小趋势比较缓慢。 2 ． 4双 轴 受压 双轴等应力受压时， 混凝土将表现出较好的塑性变形能力 ， 这在本文提出的模型和相关的试验中均能体现， 见图 2 b ， 而 且二条曲线非常接近。与其他三种加载情形相 比较， 混凝土的 峰值应力有明显增加 ， 且软化段应力下降最缓慢， 充分体现出 有侧限时混凝土材料良好的抗压能力。 37 、i、，、 、 ， “ ，；， ， L，L 4 3 芒 2 0 0 ． 2 0 ．4 0 ． 6 SI／ 1 0 一 a 单轴受拉 0 1 2 3 4 5 图 1 3 2 8l ／ 1 0 ‘ ’ b 单轴受压 单轴加载条件下本文模型与 K a r s a n等【’ q 试验的对 比 O 0 ． 2 0 ． 4 0 ． 6 0 ． 8 eI ／ 1 0 一 ’ a 双轴 受 拉 e1 ／ 1 0 一 ’ b 双轴受压 图2 双轴加载条件下本文模型与 K u p f e r 等” 试验的对比 3结 论 本文在热力学框架内建立了考虑混凝土受拉和受压作用 的多轴弹塑性损伤本构模型。通过数值计算， 得到了混凝土在 单 ／ 双轴受拉／ 压加载条件下变形响应， 并与相关的试验进行对 比， 得到如下结论 3 8 1 单轴受拉时 ， 虽然本文模型结果略低于混凝土的实际 抗拉能力 ， 但能在较大范围内模拟材料变形行为。 2 双轴受拉时 ， 本文模型能较好地模拟混凝土峰值应力 前和大变形阶段的响应， 但中间软化段偏差较大。 3 单轴和双轴受压时， 本文模型能够很好地预测混凝土 的抗压能力 。 虽然本文模型能够较好的体现混凝土的各种变形特征， 但 是由于混凝土受拉 时破坏机理复杂 ， 模型未能精确 的模 拟此 时 的力学性质。因此需要进一步研究混凝土受拉时的各种影响因 素， 从而改进本文模型。 参考文献 [ 1 ]I A N G H D ． T r i a x i a l c o n s t i t u t i v e m o d e l f o r p l a i n a n d r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e h a v i o r [ D ] ． P h ．D ．T h e s i s ， U n i v e r s i t y o f C o l o r a d o ， B o u l d e r ， C O ， 1 9 9 7 ． [ 2 】G R A S S L P ， L UN D G R E N K， GY L L T O F T K．C o n c r e t e i n c o mp r e s s i o n a p l a s t i c i t y t h e o r y w i t h a n o v e l h a r d e n i n g l a w [ J ] ． I n t e r n a t i o n a l J o u rna l o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 2 0 0 2 3 9 5 2 0 5 5 2 2 3 ． [ 3 ]MA Z A R S J ． A p p l i c a t i o n d e l a m 6 c a n i q u e d e l ’ e n d o m ma g e me n t a n c o rn p o r t e me n t n o n l i n 6 a i r e e t a l a r u p t u r e d u b 6 t o n d e s t r u c t u r e ． T h s e d e Do c t o r a t d’ Et a t ， Un i v e r s i t P a ris VI， Fr a c n c e 。 1 9 8 4． f 4 ]C O MI C ， P E RE GO U ．F r a c t u r e e n e r g y b a s e d b i l i s s i p a t i v e d a ma g e mo d e l f o r c o n c r e t e 帆．I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 2 0 0 1 3 8 6 4 2 7 6 4 5 4 【 5 ]L E E J ， F E N V E S G L ． P l a s t i c d a ma g e mo d e l for c y c l i c l o a d i n g o f c o n c r e t e s t r u c t u r e s [ J ] J o u rna l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s ， A S C E， 1 9 9 8 1 2 4 8 9 2 - 9 0 0 ． [ 6 ]WU J Y， L J J ， F A R I A R ． A n e n e r g y r e l e a s e r a t e - b a s e d p l a s t i c - d a m a g e mo d e l fo r c o n c r e t e [ J ] ． I n t e rna t i o n a l J o u r n a l o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 2 0 0 6 4 3 5 8 3 6 1 2 ． [ 7 ]C AR O L I ， R I Z Z I E， WI L L AM K J ． O n t h e f o r mu l a t i o n o f a n i s o t r o p i c e l a s t i c s d e g r a d a t i o n ．I I ． Ge n e r a l i z e d p s e u d o- Ra n k i n e mo d e l for t e n s i l e d a ma g e [ J ] ． I n t e r n a t i o n al J o u r n a l o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 2 0 0 1 3 8 5 1 9 5 46 ． 【 8 ]G R A S S L P ， J I R A S E K M． D a m a g e - p l a s t i c mo d e l fo r c o n c r e t e f a i l u r e [J ] ． I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 2 0 0 6 4 3 7 1 6 6 7 1 9 6 ． [ 9 ]C I C E K L I U， V O YI AD J I S G Z ， A B U R K， e t a 1 ．A p l a s t i c i t y a n d a n i s o t r o p i c d a ma g e mo d e l for p l a i n c o n c r e t e [ J ] ． I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f P 1 a s t i c i t y ， 2 0 0 7 2 3 1 8 7 4 1 9 0 0 ． [ 1 0 ] V O Y I A D J I S G Z， T A QI E D D I N Z N， K A T r A N P L A n i s o t r o p i c d a m a g e p l a s t i c i t y mo d e l f o r c o n c r e t e [ J ] ． I n t e rna t i o n a l J o u rna l o f P l a s t i c i t y ． 2 o o 8 2 4 1 9 4 6 1 9 6 5 ． 【 1 1 ] F A RI A R， O UVE R J ， C E R V E R A M．A s t r a i n b a s e d p l a s t i c v i s c o u s d a m a g e mo d e l for mass i v e c o n c r e t e s t r u c t u r e s [ J ] ． I n t e r n a t i o n al J o u rnal o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s ， 1 9 9 8 ， 3 5 1 4 1 5 3 3 1 5 5 8 ． [ 1 2 ] 余寿文， 冯西桥．损伤力学[ M ] _ ] 京 清华大学出版社， 1 9 9 7 4 0 - 5 3 ． [ 1 3 ] O L I VE R J ， C E R V E R A M， OL L E R s ， e t a 1 ． I s o t r o p i c d a ma g e mode l s a n d s m e a r e d c r a c k a n aly s i s o f c o n c r e t e [ C ] ／ ／ P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d I n t e r na t i o n a l Co n f e r e n c e o n C o mpu t e r Ai d e d An a l y s i s a n d D e s i g n o f C o n c r e t e S t ruc t u r e s ， Z e l l a m Se e， 1 9 9 O 9 4 5 9 5 7． 『 1 4 ] K A R S A N A I ， J I R S A J O ． B e h a v i o r o f c o n c r e t e u n d e r c o mp r e s s i v e l o a d i n g s [ ] ] ． 1 o u rnal o f t h e S t r u c t u r a l D i v i s i o n ， A S C E， 1 9 6 9 9 5 2 5 3 5 - 2 5 6 3 ． 『 1 5 ] K U P F E R H， HI L S D O R F H K， R U S C H H． B e h a v i o r o f c o n c r e t e u n d e r b i a x i a l s t r e s s e s [ J ] ．AC I J o u rnal， 1 9 6 9 6 6 6 5 6 - 6 6 6 ． 作者简 介 单位地址 联系电话 张衡 1 9 8 3 一 ， 男， 博士研究生， 主要从事混凝土本构关系 的研究。 厂州市华南理工大学土木工程系 5 1 0 6 4 0 1 3 5 6 01 7 9 5 21 ∞ b t 善 b * ． b