电动力学_郭硕鸿版_答案.pdf

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式 BABAABABBA rrrrrrrrrr ∇⋅∇∇⋅∇⋅∇ AAAAA rrrrr 2 1 2 ∇⋅−∇∇ 解1BABAABABBA vvvvvvvvvv ∇⋅∇∇⋅∇⋅∇ 首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 ∇将作用于BA vv和 又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质 因此利用公式bacbcabac v vv v vv v vv ⋅−⋅⋅可得上式其中右边前两项是∇作用于 A v 后两项是∇作用于B v 2根据第一个公式令A v B v 可得证 2. 设 u 是空间坐标 xyz 的函数证明 . du Ad uuA du Ad uuA u du df uf r r r r ∇∇ ⋅∇⋅∇ ∇∇ 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z uf e y uf e x uf uf zyx x u zyx ∇ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ rrrrrr 2 du Ad u z u dz uAd y u du uAd x u du uAd z uzA y uA x uA uA z y xz y x rr r rr r r r ⋅∇ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅∇ 3 ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ z x y y zx x y z zyux zyx e y A x A e x A z A e z A y A uAuAA zyx eee uA r r r r rr r r r rrr rrr r 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du Ad ue y u du Ad x u du Ad e x u du Ad z u du Ad e z u du Ad y u du Ad z x y y zx x y z r r r r r rr r r r ∇ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 3. 设 222 zzyyxxr−−−为源点 x到场点 x 的距离r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果并体会对源变数求微商 z e y e x e zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ rrr 与对场变数求 微商 z e y e x e zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ rrr 的关系 0.0, 0, 11 , 3 333 ≠−∇⋅∇∇−−∇∇−∇∇r r r r r r r r r rrr r rr rrrrr 最后一式在人 r0 点不成立见第二章第五节 2求 均为常矢量及其中及 000 ,],sin[]sin[,, ,,EkarkErkErararr rr rr rr r rr rrrrrr ⋅∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅∇⋅∇ 证明3 ∂ −∂ ∂ −∂ ∂ −∂ ⋅∇ z zz y yy x xx r r 0 −−− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ zzyyxx zyx eee r zyx rrr r ] ][[ zyxzyxzzyyxx ezzeyyexxe z e y e x eaeaeara vrvvvvvvvrv −−− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅∇⋅ ] [ zyxzyx ezzeyyexx z a y a x a vrv −−− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ aeaeaea zzyyxx vvvv ararrarara vvvrvvvvvv ⋅∇⋅∇∇⋅∇⋅∇ aararra vrvvvvv ⋅⋅∇∇⋅ arara vvvvv ⋅∇⋅∇ sin]sin[]sin[ 000 ErkErkrkE r r rr r r r rr ⋅∇⋅⋅⋅∇⋅⋅∇ 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 - 0 ]sinsinsin[Eerk z erk y erk x zyx rr r rr r rr r ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ coscos 0 EkrkEekekekrk zzyyxx rr r rr rrrr r ⋅⋅⋅ 000 sin]sin[]sin[ErkErkrkE r r rr r r r rr ∇⋅⋅∇⋅∇ 4. 应用高斯定理证明 ∫∫ ∇ SV fSdfdV rrr 应用斯托克斯Stokes定理证明 ∫∫ ∇ LS l d Sdφφ rr 证明1由高斯定理 ∫∫ ⋅⋅∇ SV gSdgdV r r r 即 ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ S zzyyxx V z y x dSgdSgdSgdV z g y g x g 而dVkf y f x jf x f z if z f y dVf xyzxyz V ][ rrrr ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ ∫∫ ∫ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ dVifjf z kfif y jfkf x yxxzzy ][ rrrrrr 又][kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSd y S xxyxzzxzyyz S rrrrr ∫∫ −−− ∫ −−− zyxyxzxzy dSifjfdSkfifdSjfkf rrrrrr 若令ifjfHkfifHjfkfH yxZxzyzyx rrrrrr −−−,, 则上式就是 ∫∫ ⋅⋅∇ SV HSddVH rrr ,高斯定理则证毕 2由斯托克斯公式有 ∫∫ ⋅∇⋅ Sl Sdf l d f rrrr ∫∫ ⋅ l zzyyxx l dlfdlfdlf l d f rr ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅∇ S zxyyzxxyz S dSf y f x dSf x f z dSf z f y Sdf rr 而 ∫∫ l zkyjxi l dldldl l d φφφφ r 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ S yxxzzy S kdS x dS y jdS z dS x idS y dS z Sd rrrr φφφφφφ φ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ zyx dSi y j x dSk x i z dSj z k y rrrrrr φφφφφφ 若令 kzjyix fffφφφ,, 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ,, ∫ V dVxtxtP rr r ρ 利用电荷守恒定律0 ∂ ∂ ⋅∇ t J ρ r 证明P r 的变化率为 ∫ V dVtxJ dt Pd , r r r 证明 ∫∫ ∇− ∂ ∂ ∂ ∂ VV dVxjdVx tt P r r r r r ρ ∫∫∫ ⋅∇−⋅∇−⋅∇−∇− ∂ ∂ V x V x dVjxjdVjxjxdVxj t P ][ rrrr r ∫∫ ⋅− S x Sdj xdVj rr 若0 , 0,⋅∞→ ∫ S jSdj xS rrr 则 同理 ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ ,dVj t dVj t zzyy ρρ rr 即 ∫ V dVtxj dt Pd , r r r 6. 若m r 是常矢量证明除 R0 点以外矢量 3 R Rm A r r r 的旋度等于标量 3 R Rm r r ⋅ ϕ的梯 度的负值即 ϕ−∇∇A r 其中 R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点 证明 m r m rr m r m R m R Rm A vvvvv v v v ] 1 [] 1 [ 1 1 ] 1 [ 3 ∇⋅∇−∇⋅∇−∇∇⋅∇⋅∇∇−∇ ∇∇ 电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 5 - 0 , 1 ≠∇∇⋅r r m v r mm rr m r m R Rm1 1 ] 1 [] 1 [ 3 ∇∇⋅−∇∇−∇∇−∇⋅−∇ ⋅ ∇∇ vvvv v v ϕ r mm r 1 ] 1 [∇∇⋅−∇⋅∇− vv ϕ−∇∇∴A v 7有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自 由电荷 f ρ求 1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布 解1 ∫∫ ⋅dVSdD f S ρ rr , r2rr1 f rrrDρ π π 3 4 4 3 1 32 −⋅即 , 3 12 3 3 1 3 rrrr r rr E f − ∴ r r ε ρ 由 , 3 4 2 3 1 3 2 00 rrrr Q SdE f f S −⋅ ∫ ρ ε π ε rr , 3 2 3 0 3 1 3 2 rrr r rr E f − ∴ r r ρ ε 0 1时 Err r r1时2 2 1 2 rrjSdjrH l d H f S f l −⋅⋅ ∫∫ ππ rrrr rj r rr r rrj B f fr rv − − 2 2 1 2 2 1 2 2 2 当 rr2时 2 2 1 2 2 rrjrH f −ππ rj r rr B f r rr − 2 2 1 2 20 2 2 1 2 2 1 2 00 0 r rr rjHHMJ fMM − ∇− − ∇∇∇ r rrrr χ , 1 1 21 00 rrrjH f −nbnaEaa nn ϕ θθϕϕcos b cos 2 10 00 R b R RE∴ 外 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 3 - 又 0 2 0 1 0 0 000 cos b cos, 00 φθθϕϕφϕ− R b R RE RRRR 即 外外 故而又有        − ∴ 0coscos 2 0 1 00 0 0 0 0 θθ φϕ R b RE R b 得到 2 0010000 ,REbRb−ϕφ 最后得定解问题的解为 cos cos 0 3 00000 00 RR R RE R R RE − −θ ϕφ ϕθϕ外 2当导体球上带总电荷 Q 时定解问题存在的方式是              ∂ ∂ − ∇ nbP n 项故θθ θθϕϕcos b cos 2 10 00 R b R RE∴ 外 又有 0 RR外 ϕ是一个常数导体球是静电平衡 C R b R RE RR − θθϕϕcos b cos 2 0 1 0 0 000 0 外 3 001 2 0 1 00 0coscosREb R b RE−∴即θθ 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 4 - θθϕϕcoscos 2 3 000 00 R RE R b RE 外 又由边界条件Q 外 ∫ ∂ ∂ − s 0 ds r φ ε 0 0 4πε Q b ∴ 0, 0 00 R 4 R R Q 外 θθ πε ϕ 3 均匀介质球的中心置一点电荷 f Q球的电容率为ε球外为真空试用分离变数法求 空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示空间各点的电势是点电荷 f Q的电势 R Q πε4 f 与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加后者满足拉普拉斯方程 解一. 高斯法 在球外 0 RR,由高斯定理有 fPf QQQQsdE⋅ ∫ 总 r r 0 ε对于整个导体球 而言束缚电荷0 P Q 2 0 4R Q E f πε ∴ r 积分后得是积分常数 外 CC R Q . 4 0 f πε ϕ 又由于0, 0∴ ∞→ C R外 ϕ 4 0 0 RR R Qf ∴ πε ϕ外 在球内 0 RR及 12 σσ两种情况的电流分布特点 先求空间电势      ∇ ∇ 0 0 2 2 外 内 φ φ 外内 φφ 0 Rr 因为 0 Rr nn 外内 δδ稳恒电流认为表面无电流堆积即 nn 流出流入 故 rr2 2 2 2 21 外内 φ σ φ σ 并且 0 δδ ∞→r 外 即 θφcos 0r E r − ∞→外 02 0 Ejfσ 有限 内∞→r φ 可以理解为在恒流时0→r的小封闭曲面流入流出 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 11 - 这时的解即为        − 置一点 电荷 f Q试用分离变数法求空间各点电势证明所得结果与镜像法结果相同 提示 .cos 1 cos2 11 0 22 aRP a R a aRaR r n n n − ∑ ∞ θ θ 解1分离变数法 由电势叠加原理球外电势 f , 4 φφ πε φ R Q 外 是球面上感应电荷产生的电势且满足定解条件        ∇ ∞→ 0 0 , 0 0 0 2 Rr r Rr 外 φ φ φ 根据分离变数法得 , cos 0 0 1 RrP r B l l l l ∑ ∞ θφ ∑ ∞ − ∴ 0 1 22 f cos cos2 1 4 l l l l P r B arra Q θ θ πε φ外 * , coscos 1 4 0 1 0 arP r B P a r a Q l l l l n n n f − − θ θ πεπεπε φ外 将分离变数法所得结果展开为 Legend 级数可证明两种方法所求得的电势相等 9接地的空心导体球的内外半径为 R1和 R2在球内离球心为 aa a试用电象法求空间电势 解如图利用镜像法根据一点电荷附近置一 无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体 球两个模型可确定三个镜像电荷的电量和位置 rbrQQ r b a rQ b a Q r b a rQ b a Q r r r −− − − 33 2 22 2 11 , , , θ θθ πε φ cos2 cos2 1 cos2 1 [ 4 2 2 4 2 2222 0 R b a b a Rb a RbbRRbbR Q − − P Q Q b a − Q b a -Q O R 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 15 - , 2 0], cos2 2 2 4 2 aR R b a b a Rb a − −− −zy bzayxxbzayxx 13.设有两平面围成的直角形无穷容器其内充满电导率为的液体取该两平面为 xz 面 和 yz 面在x0,y0,z0和x0,y0,-z0两点分别置正负电极并通以电流 I求导电液体中的 电势 解本题的物理模型是由外加电源在 AB 两点间建立电场使溶液中的载流子运动形 成电流 I,当系统稳定时是恒定场即0 ∂ ∂ ⋅∇ t j ρ r 中0 ∂ ∂ t ρ 对于恒定的电流可按静电场的方式处理 于是在 A 点取包围 A 的包围面 ∫ ⋅ n Q sdE ε r r 而又有 σ⋅ ⋅∫ Ei sdiI rr r r } ∫ ⋅⇒sdEI r r σ 1 ∴有 σ ε εσ 1 1 1I Q Q I⇒ 对 BQ σ ε1I QQB−− 又在容器壁上, 0 n j r 即元电流流入容器壁 由Ej rr σ有0 n j r 时0 n E r ∴可取如右图所示电像 b a Qx0,a,b-Q x0,-a,b -Qx0,a,-bQ x0,-a,-b z y Px, y, z Bx0,y0,z0 x z y Ax0,y0,z0 σ j r j r -Qx0,-y0,z0 z Qx0,-y0,z0 Q-x0,-y0,z0 -Qx0,y0,-z0 -Q-x0,y0,z0 -Q-x0,y0,-z0 Qx0,y0,z0 Qx0,y0,z0 y x 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 16 - 14.画出函数 dx xdδ 的图说明xP r r δρ∇⋅−是一个位于原点的偶极子的电荷密度 解    ∞ ≠ 0, 0, 0 x x xδ x xxx dx xd x ∆ −∆ →∆ lim 0 δδδ 10 0≠ dx xd x δ 时 2−∞ ∆ ∞− ∆ →∆ xdx xd x x 0 lim , 0 xa0 0 δ 时 ∞ ∆ ∞− ax a axδδ若 a0,结果如何 20xxδ 证明1根据 ∑ − ][ k k x xx x φ δ φδ所以 a x ax δ δ 2从xδ的定义可直接证明 有任意良函数 fx,则xFxxf⋅也为良函数 ∫ ⋅ 0 0 x xxfdxxxxfδ 16一块极化介质的极化矢量为 xP r r 根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的静 电势为 ∫ ⋅ V dV r rxP 3 0 4 πε ϕ rr r 另外根据极化电荷公式, PnxP PP r rr r rr ⋅⋅−∇σρ及极化介质所产生的电势又可表为 ∫∫ ⋅ ⋅∇ − SV r SdxP dV r xP 0 0 4 4 πεπε ϕ r r r r r 试证明以上两表达式是等同的 x dx xdδ P O X’ r 电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 17 - 证明 ∫∫ ∇⋅ ⋅ VV dV r xPdV r rxP 0 3 0 1 4 1 4 1r r rr r πεπε ϕ 又有 r P r P r P p 11 1 ∇⋅⋅∇∇ rrr 则][ 4 1 ][ 4 1 0 0 ∫∫∫∫ ⋅ ⋅∇ −⋅∇ ⋅∇ − SVVV Sd r P dV r P dV r P dV r P r rrrr πεπε ϕ ][ 4 1 ][ 4 1 0 0 ∫∫∫∫ ⋅ ⋅∇ − S P V P SV dS r dV r dS r nP dV r P rs r rr σρ πεπε 刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和 17证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化 1 在面电荷两侧电势法向微商有跃变而电势是连续的 2 在面偶极层两侧电势有跃变 Pn r r ⋅− 0 12 1 ε ϕϕ 而电势的法向微商是连续的各带等量正负面电荷密度σ而靠的很近的两个面形成面 偶极层而偶极矩密度.lim 0 lP l rr σ σ → ∞→ 证明1如图可得,2 0 ε σs sE ∆⋅ ∆⋅ 0 22 , 2 00 21 0 −−∴z