加权平均在选矿厂统计中的简化计算.pdf

- 1 - 加权平均在选矿加权平均在选矿加权平均在选矿加权平均在选矿厂厂厂厂统计中的统计中的统计中的统计中的简化简化简化简化计算计算计算计算 王奉刚 1 刘全军1 郭丽娟2 王学娟1 1 昆明理工大学国土资源工程学院，云南昆明 （650093） 2 中山大学数学与计算科学学院， 广东广州 （510275） E-mailwfgwaitingforyou 摘摘摘摘 要要要要通过分析加权平均的两种统计方法，得出其相等的条件以及它们的大小关系，并且 有一定的实际意义。 关键字关键字关键字关键字加权平均，选矿 中图分类号中图分类号中图分类号中图分类号TD952.2；TD952.3 1 1 1 1. . . . 引引引引 言言言言 受云南思茅市某企业委托， 昆明理工选矿实验室对其矿山所产铜锌矿石进行了选矿小型 试验研究， 试验中通过对浮选工艺条件和浮选工艺流程的探索， 最终确定了较为合理的浮选 工艺流程条件，并取得了另人满意的试验指标。在接下来的工业试验中，用我方和厂方两套 系统分别对试验结果进行统计分析， 由于现场条件所限和统计方法的不同， 统计结果存在一 定的差异。 2 2 2 2. . . . 问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出 由矿石生产三种最终产品铜精矿、 锌精矿和尾矿， 该原矿及产品中所含金属量 （） 如表 1。 表 1 金属量表 Cu Zn 原 矿 a1 b1 铜精矿 aCu bCu 锌精矿 aZn bZn 尾 矿 axf bxf 11 1 11 2 100 100 xfZnxfZnxfxf CuxfZnxfCuxfZnxf CuxfxfCuxfxf CuxfZnxfCuxfCuxf aabbaabb aabbbbaa aabbbbaa aabbbbaa γ γ −−−−− −−−−− −−−−− −−−−− 铜精矿产率 锌精矿产率 11 1 12 1 Cu Cu Zn Zn a a b b εγ εγ 铜精矿中铜的回收率 锌精矿中锌的回收率 [1] - 2 - 现取某日的试验数据，如表 2。在计算累计回收率时，我们采用加权平均的方法，具体 为 1 1 1 1 Cuii i CuwCu i i Znii i ZnwZn i i a a b b ε εε ε εε ∑ ∑ ∑ ∑ i i 总 总 铜精矿中铜的总回收率 锌精矿中锌的总回收率 表 2 一选厂 2006 年 12 月 8 日工业试验数据 品位（） 取样时间 原矿 Cu 精矿 Zn 精矿 尾矿 产率（） 回收率（） 起 止 Cu Zn Cu Zn Cu Zn Cu Zn Cu Zn Cu Zn 000 200 1.697 4.338 10.580 1.493 7.310 12.594 0.270 3.191 4.91 13.08 30.59 37.99 200 400 2.238 5.051 12.896 1.892 7.141 14.214 0.259 2.767 4.60 20.30 26.52 57.14 400 600 2.500 5.050 18.573 1.533 7.040 16.079 0.260 2.668 5.48 18.23 40.74 58.03 600 800 2.348 4.960 17.000 1.570 10.720 13.550 0.323 3.360 2.12 16.07 15.36 43.91 小 计 2.196 4.850 28.371 49.707 800 1000 1000 1200 1.890 4.980 12.310 12.940 4.150 25.270 0.189 0.869 10.17 11.82 66.25 59.96 1200 1400 2.170 5.680 12.920 11.560 2.570 30.130 0.178 1.400 13.75 10.03 81.86 53.23 1400 1600 1.990 5.820 10.970 13.060 1.470 22.860 0.189 1.300 15.20 12.67 83.79 49.78 小 计 2.017 5.493 77.618 54.045 1600 1800 1.820 5.150 9.950 13.630 1.280 22.520 0.202 1.300 15.59 9.08 85.25 39.72 1800 2000 2.040 5.290 11.790 13.540 1.100 23.940 0.188 1.110 15.17 10.05 87.69 45.47 2000 2200 3.368 3.880 15.160 11.360 1.110 33.210 0.127 0.595 21.36 3.02 96.15 25.86 2200 000 3.319 4.341 17.78 10.33 2.455 16.68 0.269 1.161 16.04 11.01 85.94 42.31 小 计 2.637 4.665 89.420 39.071 合计 1 66.373 47.989 合计 2 65.480 47.379 在计算累计回收率时，我们仍然采用加权平均的方法，具体为 1 1 1 1 Cuii i CuwCu i i Znii i ZnwZn i i a a b b ε εε ε εε ∑ ∑ ∑ ∑ i i 总 总 铜精矿中铜的总回收率 锌精矿中锌的总回收率 [2] - 3 - 即 铜精矿中铜的总回收率是每个取样周期内的铜精矿中铜的回收率对于同周期内原矿 的铜品位的加权平均数， 锌精矿中锌的总回收率是每个取样周期内的锌精矿中锌的回收率对 于同周期内原矿的锌品位的加权平均数。 先计算每一个班组 8 个小时的总回收率， 然后再计算全天的总回收率。 合计 1 的数据是 用经过一次加权计算得到的小计（各个班组）数据再次加权计算所获得的，合计 2 的数据是 对全天数据只进行一次加权计算 （没有使用小计数据） 所获得的。 数据 2 是真实正确的结果， 但是计算量太大， 且没有充分利用已有的数据。 若能用合计 1 的计算方法计算能不能得到和 合计 2 相同的结果呢如果可以又需要什么样的加强条件呢下面我们就来讨论这个问题。 3. 问题的问题的问题的问题的数学建模及解决数学建模及解决数学建模及解决数学建模及解决 我们在一般的数学模型下看这个问题。建模及解决过程详见附录。 3.1 结论结论结论结论1 3.1.1 当把数组等分的时候，各个小组的数据在小组内部先进行一次加权平均计算再将得到 的数据再进行加权平均计算 （方法 A） 所得到的结果与将所有的数据进行一次性加权计算 （方 法 B）的结果是相同的。 3.1.2 当追加的新数据组的加权平均值与原有的各个数组的加权平均值相等时，无论数据的 个数多少，方法 A 和方法 B 所得到的结果都是相同的。 3.2 结论结论结论结论2 如果数组中只有一个小组的数据的个数不同于其他的小组（我们把这个小组称为异组） 而其他各个小组这数据的个数都是相等的（我们把每个这样的小组都称为同组） ，方法 A 和 方法 B 所得到的结果不相同，且大小与异组的加权平均数和所有同组的加权平均数的大小 关系有关。 3.2.1 若异组中的数据个数大于同组这数据的个数当异组的加权平均数大于所有同组的加 权平均数时，方法 A 的结果大于方法 B 的结果；当异组的加权平均数小于所有同组的加权 平均数时，方法 A 的结果小于方法 B 的结果。 3.2.2 若异组中的数据个数小于同组这数据的个数当异组的加权平均数大于所有同组的加 权平均数时，方法 A 的结果小于方法 B 的结果；当异组的加权平均数小于所有同组的加权 平均数时，方法 A 的结果大于方法 B 的结果。 4. 实际意义实际意义实际意义实际意义 4.1 在此厂的选矿工业试验初始阶段，由于生产的不连续性，试验数据不能满足上述两种计 算方法结果相等的条件，为了保证统计结果的准确性不能用方法 A 来代替方法 B。事实上， 由于不了解以上的两个结论， 试验中出现了两方的原始数据相同而统计结果不同的情况， 给 工业试验带来了方向性的误导。 4.2 在工业试验进入稳定的连续性生产阶段和工业试验完成后的工业生产阶段， 数据满足上 述两种计算方法结果相等的条件，我们可以用方法 A 来代替方法 B，即减少了计算量又保 - 4 - 证了统计结果的准确。 4.3 在某些情况下，如果同时有少数几个异组，可以采取拆散个别异组添加到其他异组中来 满足上述两种计算方法结果相等的条件， 这样就可以用较小的计算量获得准确的统计结果的 目的；在要求不很苛刻的情况下，还可以利用以上的结论 2 来估计统计的结果。 附附附附 录录录录 即有如下一系列的正数数组，当数组分为 t 组时 a1 a2 am1 am11 am2 am21 amt amt1 an b1 b2 bm1 bm11 bm2 bm21 bmt bmt1 bn 1 11 1 1 1122 1 1 12 1 m ii mm i wm m i i ab ababab A aaa a ∑ ∑ ⋯ ⋯ 1 1 1 1 m i i a B m ∑ 2 11221 2 12 1 111 2 1 1 m ii mmmmi m w m mm i i m ab abab A aa a ∑ ∑ ⋯ ⋯ 2 1 1 2 21 [1] 1 m i i m a B mm − ∑ ⋮ ⋮ 111 1 1 1 ttt t t n ii mmnni m w t n mn i i m ab abab A aa a ∑ ∑ ⋯ ⋯ 1 1 [1] 1 t n i i m t t a B nm − ∑ 11221 12 1 n ii nni wn n n i i ab ababab A aaa a ∑ ∑ ⋯ ⋯ 1 n i i n a B n ∑ 1 112211 1 1 121 1 t wii www tt i wnwnwn t t i i A B ABABAB AAA BBB B ′′ ∑ ∑ ii⋯i ⋯ 设假设 即 1122 121121 1 1 11 1 121 1 11 1 wnww tt t wii i w tt t t i i AABAB BBBBBB AB AB BBB B ∑ ∑ ii ⋯⋯ i ⋯i ⋯ - 5 - 由于 111221211 121 112211 [1 1][1 1] [1 1][1 1] www ttt wn t www tt Am BAmmBAnmB A nB nmmmm ABABAB nBnBnB −− −− ii⋯i ii⋯i 可得 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 t i i t i i t t i i m nB B mm nB B nm nB B      −       −     ∑ ∑ ∑ ⋮⋮ 又有0,0,01,2 ii abtin⋯ 解得 13121 ,,3,2ntmmm mm⋯ 若原数组后又增加如下的数据 an1 an2 anr bn1 bn2 bnr 则新数组有 1 1 1 n r ii i n w n n r i i n ab A a ∑ ∑ 1 1 n r i i n n a B r ∑ 而数组 a1 a2 an an1 anr b1 b2 bn bn1 bnr 有 1 1 1111111 1 11 1 [1 1][1 1] 1 n r ii i w n r n r i i ww tttw nn n w nn wn n ab A a Am BAnmBAnrnB nBrB ArB A nB rB nB −− ∑ ∑ i⋯ii i - 6 - 11 11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 w nn wntt wiiw nni ii w n r t n in t i i i AB A ABABB A B BB B ′ ′ ∑∑ ∑ ∑ i ii 设 ， 将 1 1 1 1 wnwn t i i AA m nB B ′      ∑ 代入得 11 1 11 1 1 11 11 1 11 w nn wnt w nn i wn i w n r nn t i i AB A AB B Am nB A BB m nB B ′ ′ ∑ ∑ i i i i 1111 11 11 w nnw nn wnwn w n r nn ArBAB AAr nBnB A rBB r nBnB ii i i 11 1 1 11 1 1 1 1 w nn n wn w n r w n rw nn n wn AB B Amr A nBnB AAB B Arm nBnB ′ i ii i ii 1111 11 11 1111 11 11 w nnw nn nn wnwn w nnw nn nn wnwn ABAB BB AmArmr nBnBnBnB ABAB BB ArAmrm nBnBnBnB ii iiiiii ii iiii ii 上式分子减去分母有 1111 11 11 1111 11 11 11 111111 w nnw nn nn wnwn w nnw nn nn wnwn nn w nwnw nwnwnw n ABAB BB AmArmr nBnBnBnB ABAB BB ArAmrm nBnBnBnB BB m ArArAm AmrAA nBnB      −   −−−− ii iiiiii ii iiii ii ⅰ 1 mr 则 ① 1wnw nw n rw n r AAAA ′则 ② 1wnw nw n rw n r AAAA ′则 ③ 1wnw nw n rw n r AAAA ′则 ⅱ 1 mr则 7 ② 1wnw nw n rw n r AAAA ′则 ③ 1wnw nw n rw n r AAAA ′则 ⅲ 1w n rw n r mrAA ′则 参考文献参考文献参考文献参考文献 [1]张强．选矿概论[M]，北京冶金出版社，2005。 [2]盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计[M]，北京高等教育出版社，2005。 Simplified Calculation of Weighted Average in Beneficiation Plants Statistics Wang Fenggang1 Liu Quanjun1 Guo Lijuan2 Wang Xuejuan1 1.Kunming University of Science and Technology Faculty of Land Resource Engineering， Kunming （650093） 2. Sun Yat-sen University School of Mathematics and Computational Science，Guangzhou （510275） Abstract In terms of analyzing the two account mode of weighted average statistics s in production, we get their equal conditions and their magnitude relationship. It has very practical meaning. Key words Weighted Average, Beneficiation