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SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章强度理论 主讲 力学是数学的乐园， 因为我们在这里获 得了数学的果实。 -Leonardo de Vinci SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 本章目的本章目的 明确四种强度理论提出的依据，建立方法；明确四种强度理论提出的依据，建立方法； 介绍四种经典的强度理论；介绍四种经典的强度理论； 本章目的本章目的 基本要求基本要求 总结材料的破坏模式；总结材料的破坏模式； 建立与强度理论对应的强度条件。建立与强度理论对应的强度条件。 了解莫尔强度准则及双剪强度理论的应用。了解莫尔强度准则及双剪强度理论的应用。了解莫尔强度准则及双剪强度理论的应用。了解莫尔强度准则及双剪强度理论的应用。 明确四种强度理论的适用范围；明确四种强度理论的适用范围；明确四种强度理论的适用范围；明确四种强度理论的适用范围； 掌握四种强度理论相应的强度条件；掌握四种强度理论相应的强度条件；掌握四种强度理论相应的强度条件；掌握四种强度理论相应的强度条件； SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 脆性材料断裂的强度理论脆性材料断裂的强度理论 1 1 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 铸铁（受拉）铸铁（受拉） 铸铁等脆性材料在简单拉伸试铸铁等脆性材料在简单拉伸试 验中，材料的断裂面是试件的横截验中，材料的断裂面是试件的横截 面。这与最大主应力所在的截面一面。这与最大主应力所在的截面一 致。由此提出了关于脆性材料的致。由此提出了关于脆性材料的最最 大拉应力理论大拉应力理论（或称为第一强度理（或称为第一强度理 论）。这一理论认为，最大拉应力论）。这一理论认为，最大拉应力 是引起材料破坏的主要因素。是引起材料破坏的主要因素。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 破坏条件破坏条件 1b σ σσ σ 强度条件强度条件 1 b [ ] n σ σ σσσσ≤ 试验表明脆性材料在双向或三向拉伸破坏时，最大拉应力试验表明脆性材料在双向或三向拉伸破坏时，最大拉应力 理论预测值与试验结果很接近。当有压应力存在时，只要压应理论预测值与试验结果很接近。当有压应力存在时，只要压应 力不超过最大拉应力值，则理论预测也与试验结果大致接近。力不超过最大拉应力值，则理论预测也与试验结果大致接近。 脆性材料在纯扭转破坏时，断裂沿脆性材料在纯扭转破坏时，断裂沿45 斜截面发生，也就斜截面发生，也就 是最大拉应力所在的截面。是最大拉应力所在的截面。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 第第一一强强度度理理论没有考虑其他两个主应力论没有考虑其他两个主应力σ σ2和和σ σ3的影响。也的影响。也 不能解释压应力下材料的破坏。不能解释压应力下材料的破坏。 最大拉应变理论（第二强度理论）最大拉应变理论（第二强度理论） 最大拉应变理论认为，不论在什么应力状态下，最大最大拉应变理论认为，不论在什么应力状态下，最大 拉应变拉应变ε ε1 1是引起材料破坏的主要原因。是引起材料破坏的主要原因。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 最大拉应变理论最大拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 在单向拉伸试验中，材料破坏时发生的最大拉伸应变值为在单向拉伸试验中，材料破坏时发生的最大拉伸应变值为 1 b E σ σ ε ε 在一般应力状态下，根据广义胡克定律，最大拉应变可以在一般应力状态下，根据广义胡克定律，最大拉应变可以 表示为表示为 1123 1 [] E ε εσμσμ σ σσ σ− 123b σ σμ σμ σσ σσ σ− 破坏条件破坏条件 强度条件强度条件 123 b [ ] n σ σ σμσμ σ σσ σσ σ−≤ 这是一材料常数这是一材料常数 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 最大拉应变理论（第二强度理论）最大拉应变理论（第二强度理论） F 32 0 1 , F A σσσσσ σ − 如果用第一强度理论，则不论压力如果用第一强度理论，则不论压力F多大，其强多大，其强 度条件度条件σ σ10[σ σ] 永远满足，即该理论预测材料永永远满足，即该理论预测材料永 远不会破坏，这显然与实际不符。远不会破坏，这显然与实际不符。 混凝土块受压混凝土块受压 123b [] F A μ μ σ σμ σμ σσ σσ σ− 如果用第二强度理论，破坏条件为如果用第二强度理论，破坏条件为 这一理论预测与实验结果大体相符。这一理论预测与实验结果大体相符。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 1r1 [ ]σ σσσσσ≤ 123r2 [ ]σ σσμσμ σ σσ σσ σ−≤ r1r2 , σ σσ σ 分别称为第一、第二强度理论的相当应力分别称为第一、第二强度理论的相当应力 将第一、第二强度理论的强度条件表示为将第一、第二强度理论的强度条件表示为 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论强度理论 最大歪形能理论最大歪形能理论 （（第四强度理论）第四强度理论） 222 122331 1 6 d [ ]u E μ μ σσσσσ σσ σσ σσ σ −−− 形状改变应变比能形状改变应变比能 2 1 2 6 d s u E μ μ σ σ 单向拉伸实验时单向拉伸实验时 222 122331 1 2 [ ] s σ σσσσσσ σσ σσ σσ σ−−− 第四强度理论的屈服破坏）条件为（第四强度理论的屈服破坏）条件为（Mises 屈服准则屈服准则）） 222 4122331 1 2 r [ ][ ]σ σσσσσσ σσ σσ σσ σσ σ−−−≤强度条件强度条件 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 例题例题 铸铁构件的危险点处应力如图所示。其中铸铁构件的危险点处应力如图所示。其中σ σx − −10MPa，，τ τxy 10MPa，， σ σy 20MPa，，σ σz − −5MPa，如果材料的许用应力，如果材料的许用应力[σ σ]＝＝30MPa，校核构，校核构 件的强度。件的强度。 σ σz x y z σ σy σ σx τ τxy 22 22 22 1020 10 2 23 03 13 03 x I,II 1020 MPaMPa 2 . MPa . MPa xyy xy σσσσσ σσ σ στστ − −−− ⎧ ⎨− ⎩ 解在解在x－－y平面内平面内 σ σ123.03MPa，，σ σ2 σ σz − −5MPa，，σ σ3 − −13.03 MPa。。 由于最大拉应力由于最大拉应力值大于压应力值，可以用第一强度理论校值大于压应力值，可以用第一强度理论校核核。。 既然既然σ σ123.03MPa[σ σ]30MPa，，该构件该构件满足强度条件满足强度条件。。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 例题例题 试在下列各情况下应用不同的强度理论，设计受试在下列各情况下应用不同的强度理论，设计受 扭薄壁圆筒的壁厚（设壁中面直径相同）。扭薄壁圆筒的壁厚（设壁中面直径相同）。 （（1）材料为铸铁，许用拉、压应力之比）材料为铸铁，许用拉、压应力之比[σ σ]/[σ σ]－ － ＝＝μ μ＝＝1/4；； （（2）材料为）材料为Q235钢。钢。 R t T 解薄壁圆筒处于纯剪状态。解薄壁圆筒处于纯剪状态。 σ σ1τ τ，，σ σ2 0，，σ σ3 − −τ τ。。 2 2 T R t τ τ π π （（1）铸铁可用第一，第二强度理论。）铸铁可用第一，第二强度理论。 11 22 22 [ ] , [ ] r TT t R tR σσσστ τσ σ π ππσπσ ≤∴≥ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强强度理论度理论 例题例题 例题例题 第一和第二强度理论得到的壁厚之比为第一和第二强度理论得到的壁厚之比为 11.25。。 （（2）低碳钢可用第三，第四强度理论。）低碳钢可用第三，第四强度理论。 313 22 2 2 2 [ ], [ ] r TT t R tR σσσσσ στ τσ σ π ππσπσ −≤∴≥ 222 4 22 133 23 222 [[ ], [ ] r TT t R tR στσττ ττ ττ τσ σ π ππσπσ ≤∴≥ 第三和第四强度理论得到的壁厚之比为第三和第四强度理论得到的壁厚之比为 10.866。。 2123 22 15 1 422 −≤∴≥ [ ] , [ ] r TT t R tR μ μ σσσσμ μ σ σσ σμ μ τ τσ σ π ππσπσ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 例题例题 圆筒型薄壁压力容器，内部储存压力为圆筒型薄壁压力容器，内部储存压力为p的气体。圆筒的中面的直的气体。圆筒的中面的直径径 为为D，，容容器壁的厚度为器壁的厚度为t。忽略容器的自重，根据第三和第四强度理论。忽略容器的自重，根据第三和第四强度理论 求许用压力求许用压力[p]。。 θ θ x z σ σθ θ σ σx σ σθ θ σ σx 4 x pD t σ σ 2 pD t θ θ σ σ 1 0 2 23 , , x θ θ θ θ σ σ σσσσσ σσ σσ σ 313 0 2 θ [ ] r pD t σ σσσσσσ σσ σ−−≤ 2 [ ] [ ] t p D σ σ 第三强度理论确定的许用压力第三强度理论确定的许用压力 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 例题例题 4 3 [ ] [ ] t p D σ σ 第四强度理论确定的许用压力第四强度理论确定的许用压力 222 4 133 224 rθθθ [ ] xx pD t σ σσσσσσ σσ σσ σσ σ−≤ 可见用第三强度理论得到的许用压力小于第四强度理论的可见用第三强度理论得到的许用压力小于第四强度理论的 值，第三强度理论偏保守。值，第三强度理论偏保守。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 例题例题 m m m-m 45o z θ θ x σ σ1σ σθ θ σ σ2σ σx σ σ30 薄薄壁壁储气瓶的破坏试储气瓶的破坏试 验验发发现，断口的截面现，断口的截面 接接近近与外表面成与外表面成45o，， 从从而而证实了最大切应证实了最大切应 力 是 材 料 破 坏 的力 是 材 料 破 坏 的 原原 因。因。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 塑性屈服面塑性屈服面 现在以主应力现在以主应力σ σ1，，σ σ2，，σ σ3为坐标轴，建立一个主应力空间（注这为坐标轴，建立一个主应力空间（注这 一节将不以代数值的大小给一节将不以代数值的大小给σ σ1，，σ σ2，，σ σ3排序）。排序）。 既然既然物体物体内部内部一点一点的应的应力状力状态可以由主应力完全确定，显然，主应态可以由主应力完全确定，显然，主应 力空间中的一点代表了唯一的应力状态。力空间中的一点代表了唯一的应力状态。 注意到前面所讲的塑性屈服准则，公式注意到前面所讲的塑性屈服准则，公式6－－6和和6－－8的左边都是主的左边都是主 应力的函数。它们可以归结为应力的函数。它们可以归结为 方程方程右边右边是屈是屈服极服极限。限。这个这个方程构成一个以主应力为坐标的空间曲方程构成一个以主应力为坐标的空间曲 面。如果其中一个坐标取零值，则退化为一平面曲线。面。如果其中一个坐标取零值，则退化为一平面曲线。 先看先看Tresca 屈服条件的几何表示。屈服条件的几何表示。 123 ,, S fσ σσσσσσ σ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 塑性屈服面塑性屈服面 IV B A O II σ σS I III σ σ1 σ σ2 σ σs Tresca criterion Mises criterion Mises criterion o σ σ1 σ σ3 σ σ2 n Tresca criterion maxminS σ σσσσσ− 222 1122S σ σσ σσ σσ σσ σ− Mises屈服条件屈服条件 Tresca 屈服条件屈服条件 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 利用第三和第四强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并推利用第三和第四强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并推 导塑性材料的许用切应力导塑性材料的许用切应力[τ τ]和许用拉应力和许用拉应力[σ σ]间的关系。间的关系。 解纯剪切应力状态时主应力为解纯剪切应力状态时主应力为 ，，，， 按照第三强度理论，纯剪切时强度条件可以写成按照第三强度理论，纯剪切时强度条件可以写成 或者或者 上式表示许用切应力为上式表示许用切应力为 1 σ στ τ 2 0σ σ 3 −σ στ τ 13 2− −≤[ ]σ σστσττ ττ τσ σ－ ≤ [ ] 0.5[ ] 2 σ σ τ τσ σ [ ]0.5[ ]τ τσ σ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 根据第四强度理论，纯剪切时强度条件可以写成根据第四强度理论，纯剪切时强度条件可以写成 或者或者 可以认为纯剪切时，许用切应力为可以认为纯剪切时，许用切应力为 −−−≤ 222 122331 1 [ ]3[ ] 2 σ σσσσσσσσσσ στ τσ σ ≤ [ ] 3 σ σ τ τ ≈ [ ] [ ]0.577[ ] 3 σ σ τ τσ σ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 利用第一和第二强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，利用第一和第二强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件， 并推导脆性材料的许用切应力并推导脆性材料的许用切应力[τ τ]和许用拉应力和许用拉应力[σ σ]间的关系。间的关系。 解解 按照第一强度理论，纯剪切时的强度条件为按照第一强度理论，纯剪切时的强度条件为 可以认为纯剪切时，许用切应力为可以认为纯剪切时，许用切应力为 ≤ 1 [ ]σ στστσ [ ][ ]τ τσ σ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 由第二强度理论，纯剪切时强度条件可以写成由第二强度理论，纯剪切时强度条件可以写成 所以纯剪切时，许用切应力为所以纯剪切时，许用切应力为 −−−≤ 123 01[ ]σ σμ σμ σσ στ τμ μτ τμ μ τ τσ σ ＋ [ ] [ ] 1 σ σ τ τ μ μ 如果泊桑比如果泊桑比 μ μ0.25，那么可以取，那么可以取[τ τ] 0.8[σ σ]。。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 由三个应变片互相成由三个应变片互相成60 放置在应变花，贴在铸铁构件的危险点处放置在应变花，贴在铸铁构件的危险点处。。 构件受力时测出三个方向的应变为构件受力时测出三个方向的应变为ε ε0 − −3.67 10− − 3， ，ε ε601.32 10− − 3， ， ε ε120 − −7.89 10− − 4。材料的拉伸强度极限为 。材料的拉伸强度极限为σ σb 200 MPa，，弹性模量弹性模量E 70GPa，泊松比，泊松比μ μ 0.25。试用第二强度理论计算所测试构件的安。试用第二强度理论计算所测试构件的安全全 储备量。储备量。 所以面内的两个主应力为所以面内的两个主应力为 3 1 1.846 10ε ε − 3 2 3.939 10ε ε − − 1222 060120 060601201200 2 2 33 ε εεεεεε ε ε εεεεεε εε εε ε ε ε ⎧⎫ −−− ⎨⎬ ⎩⎭ 120 0 60 解解 60 应变花的主应变应变花的主应变 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 例题例题 第二强度理论的相当应力第二强度理论的相当应力 r2123 129.2MPaσ σσμσμ σ σσ σ− 安全储备量＝强度极限/工作应力安全储备量＝强度极限/工作应力 200MPa 1.548 129.2MPa 根据广义胡克定律，根据广义胡克定律， 112 1 E ε εσμσμσ σ− 221 1 E ε εσμσμσ σ− − 12 2 64.3MPa 1 I Eε εμεμε σ σ μ μ − − 21 2 259.7MPa 1 II Eε εμεμε σ σ μ μ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 拉剪应力状态下塑性材料的强度条件拉剪应力状态下塑性材料的强度条件 例题例题 试根据第三和第四强度理论建立拉剪应力状态下塑性材料的强试根据第三和第四强度理论建立拉剪应力状态下塑性材料的强 度条件。度条件。 τ τ σ σσ σ τ τ x y 22 1 4 2 I II σ σ σ σστστ σ σ ⎫ ⎬ ⎭ 解解 x σ σσ σ0 y σ σ xy τ ττ τ 所以所以 122 3 1 40 2 2 , σ σ σσσστ τσ σ σ σ ⎫ ⎬ ⎭ 22 313 4 r σ σσσσσσ στ τ− 22222 122331 1 3 2 r4 [ ]σ σσσσσσ σσ σσ σσ σσ στ τ−−− SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 拉剪应力状态下塑性材料的强度条件拉剪应力状态下塑性材料的强度条件 τ τ σ σσ σ τ τ x y 所以，根据第三和第四强度理论，拉剪所以，根据第三和第四强度理论，拉剪 应力状态的强度条件可以分别表示为应力状态的强度条件可以分别表示为 22 4[ ]σ στστσ≤ 22 3[ ]σ στστσ≤ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 拉剪应力状态下塑性材料的强度条件拉剪应力状态下塑性材料的强度条件 τ τ σ σσ σ τ τ x y 图示薄壁圆钢管，其中面直径为图示薄壁圆钢管，其中面直径为D＝＝ 100mm，壁厚为，壁厚为t＝＝2mm。两端受拉力。两端受拉力F＝＝ 80kN和一对力矩作用和一对力矩作用T＝＝1.0kNm。材料。材料 的许用应力的许用应力[σ σ]＝＝160MPa，用第四强度理，用第四强度理 论校核该钢管的安全性。论校核该钢管的安全性。 T T FF 3 33 80 10 127 32 100 102 10 N .MPa mm F Dt σ σ π ππ π −− 解解 3 2263 22 1 0 10 31 83 100102 10 2 .N m .MPa mm T D t τ τ π ππ π −− ⋅ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 拉剪应力状态下塑性材料的强度条件拉剪应力状态下塑性材料的强度条件 τ τ σ σσ σ τ τ x y T T FF 2222 4 3127 323 31 83 138 74 ..MPa .MPa[ ] r σσσστ τ σ σ 根据第四强度理论，圆管满足强度条件。根据第四强度理论，圆管满足强度条件。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第六章第六章 强度理论强度理论 强度理论的选用强度理论的选用 通常所谓的塑性材料或脆性材料，是指在常温、静载荷、通常所谓的塑性材料或脆性材料，是指在常温、静载荷、 危险状态为塑性屈服或脆性断裂的材料。事实上，材料的危险危险状态为塑性屈服或脆性断裂的材料。事实上，材料的危险 状态不仅与材料有关，还与应力状态、温度、变形速度等因素状态不仅与材料有关，还与应力状态、温度、变形速度等因素 有关。有关。 塑性良好的金属材料，在低温下，或者冲击载荷（高速变塑性良好的金属材料，在低温下，或者冲击载荷（高速变 形）条件下将导致脆性破坏。形）条件下将导致脆性破坏。 低碳钢在三向拉应力作用下，会发生脆断。低碳钢在三向拉应力作用下，会发生脆断。 高强度合金在裂纹尖端的局部三向拉应力作用下会发生脆高强度合金在裂纹尖端的局部三向拉应力作用下会发生脆 断。断。 通常的脆性材料在三向压应力作用下也会表现出塑性。通常的脆性材料在三向压应力作用下也会表现出塑性。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 本讲结束 End of This Chapter 宇宙之大，粒子之小，力学无处不在。宇宙之大，粒子之小，力学无处不在。 Thank YouThank You 谢谢谢谢